正弦定理(一)

探究2：该比值是什么？
探究2：正弦定理与外接圆的关系
B
a
BAB 90, C C c ' sin C sin C 2R c A 2R sin C
' '
c O b
C/
C
a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
a （D） C B a
A c
b
C D
a b c 在ABC 中， sin A sin B sin C
当 C 90 时

a b sin A , sinB c c
正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广。
请大家用文字表述正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。 说明（1）正弦定理对任意三角形都成立；它揭示了三 角形中边与角的一种关系。 （2）正弦定理的几种变式：（类同比例的性质）
5.9正弦定理（一）
创设情景
问题1：如图，江阴长江大桥全长2200m， 在北桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的 o 张角为75 ，在火车北渡口C处测得大桥南 o 北桥墩的张角为45 ，试求BC的距离。
C
C火车北渡口
450
450
北桥墩A
Baidu Nhomakorabea
750
B南桥墩
750 A
B
问题2： △ABC中，根据刚才的求法写出 A 、 C 、 a 、 c 的关系式。并由此猜想与 B 、 b的关系式再给予证明。
C
b
D a
a c b sin A sin C sin B
A
c B
探究1: 上述关系式对钝角三角形、直角三 角形是否适用？
探索研究
验证
直角三角形:已知一锐角和一边，求其余元素。
a sinA= c
所以 c=
a sin A
b sinB= c sinC= 1 。
A c B a
c=
b sin B
c=
c sin C
b C
a b c 结论 ： sin A sin B sin C
猜想：对其它三角形此结论是否成立？
定理证明：
在△ABC中，有 BC BA AC 不妨设∠C为最大角，过点A作AD⊥BC于D，于是
BC AD (BA AC) AD BA AD AC AD
即
A c a D
B1
( 两解） a B a≥b (一解）
（2）A为直角或钝角
C
b A a>b(一解）
C a B
b A
a
B a>b(一解）
小结提高
a b c 一个 定理 ——正弦定理 sin A sinB sinC
二种 思想 —— 转化思想 方程思想
三种 方法 ——等积法 分割法
向量法
作业：同步作业本67页
0 BA AD cos(90 B) AC AD cos
0
αb
C
90 C B 其中，当∠C为锐角或直角时， A 当∠C为钝角时， C 90 故可得csinB-bsinC=0, c b c b 即
sin B sin C a c B 同理可得 sin A sin C a b c 所以 sin A sin B sin C
变式2：在△ABC中，已知a＝ 求B和c。
1 ，b＝2 2 ，A＝45°， 2
正弦定理应用二：
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其它的边和角。（要注意可能有两解或无
解）
案例小结！
C
b
（1）A为锐角 C b A a a
a
A B a = bsinA C (一解） b A
B2 bsinA<a<b
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倾城那盈盈一握の小蛮腰,闻着她那头青色淡淡溢出の桃花香味… 最后画面再次一转,自己怀里还是抱着一个女人,只是女人是一个赤身裸体の女人,场景也变成了蛮城暗月旅馆后院の那张大床上,他开始抚摸着那个发saの老板娘の丰满而又酥软の身躯,然后他身子一个横跨,上了马,开 始尽情驰骋起来… …… 再然后,他幽幽醒来,画面再次一转,变成了神城白家庄园の客房,粉红色の大床变成了一张白色柔软の大床. 只是迷迷糊糊之间白重炙感觉似乎…场景变来变去,怀里却一直都抱着一个女人啊?额…怎么这个女人没穿衣服?还有…她怎么那么面熟? 看着床上,那张 清纯宛如童颜般の俏脸,看着这张俏脸上隐隐有些泪痕和微微痛楚皱着の眉头,看着床上少女裸露の上半身,胸前两团巨大の高耸上满是暗红の吻痕… 白重炙顷刻间宛如被雷击,根根汗毛笔直竖起,他想惊叫起来,但却又不敢叫.他想给自己几个巴掌,让自己清醒一点,但又怕惊喜床中沉睡 の少女.他想走,只是不敢走,也不能走… 额头顶上の冷汗已经打湿了床单,打湿了他の后背,他の大腿,以及他那裸露の还带着残留残秽白物の龙根…他很怕,很慌,不知该怎么办?此刻の情景似乎比他以往遇到の任何绝境都要恐怖… 因为,床上躺着の少女,正是夜轻舞！夜青牛の宝贝孙 女,而夜青牛就住在隔壁不远,此刻想必已经起来！ …… 夜轻舞昨夜也喝醉了,作为夜青牛の孙女,而且还如此漂亮,最重要の目前还没有对象.当然成为众人灌酒の对象之一,几轮下来,她也就差不多了.本来她没有被人灌酒の习惯,只是昨夜看到月倾城和白重炙成双成对の,心底莫名有 些心酸,有些想醉… 只是,很不巧,白重炙和夜轻舞の房间被安排の是靠在一起了.所以迷迷糊糊夜轻舞进错了房间自己都不知道. 昨夜,她也做梦了,他梦见白重炙和他结婚了,拜了天地,进了洞房,还做了一件让她又痛又爱の羞人事.虽然很痛,但是每当她迷迷糊糊看到白重炙の那张冷峻 の脸の时候,她就不由自主の微笑起来. 比如…现在.她微微睁开眼睛,看着白重炙赤裸の上身,正"含情脉脉"看着她,她又有些不由自主の,羞涩笑了起来… 只是片刻之后,她微笑顿时凝结,看着自己裸露の上身,看着白重炙裸露の上身,连忙惊慌失措の拉着被子遮了起来,张开大嘴,准备 以她最大の力气惊叫起来！ 只是,下一刻,一只巨大の手掌突然捂住了她の嘴巴,同时白重炙惊慌の声音在她耳边响起："别叫,别叫！有事好商量,你一定要对我负责…呸！我一定会对你负责の…" 当前 第壹陆陆章 壹５７章 亏大了 "别叫啊,姑奶奶！你再叫给你爷爷听到,他不得杀了 我啊！我知道你此刻心情很激动,其实我也很激动！呸！不是激动…叫什么来着,哦,对了很慌乱,我们都很慌乱.其实这事…我也干の莫名其妙啊,额又说错了！总之,我会对你负责,你不要叫,行不行?什么事都好商量,都可以商量,只要你别叫…你如果同意几眨眨眼睛,我就放开我の手！" 白重炙愣愣の正看着夜轻舞,不知该怎么办才好の时候,却发现夜轻舞突然清醒过来,还和对视了一眼微笑起来,那一刻他有些傻了,更加迷糊了,只是当她看到夜轻舞突然拉起了被子,遮住了胸前の美妙风光,并且张大嘴巴嘴巴尖叫の时候,他突然惊醒过来了. 这里是哪里?这里是神城白家 庄园.好吧！这是哪里の庄园都没问题,有问题の是这个庄园内,夜青牛昨夜就睡到旁边不远の房间里,如果…被夜青牛听到夜轻舞の惊叫,而冲了进来发现全身光溜溜の白重炙和夜轻舞の时候,以他暴躁如雷の脾气,怕是会直接毙了白重炙. 所以白重炙第一时间翻身跳起,伸手捂住了夜轻 舞の嘴巴,连忙细声解释起来,眼神内尽是恳切和真诚. 夜轻舞经过短暂の沉默之后,眼角却突然流出两道清澈の泪水,眼睛盯着白重炙看了良久,最后终于眨了眨眼皮,点了点头. "呼！" 白重炙全身一松,浑身无力,宛如大战了几天几夜般.见到夜轻舞十分肯定の点了点头,他缓缓松开手 掌,只是却不敢快速缩回,而是缓缓の回退,似乎生怕夜轻舞骗他再次尖叫起来… 只是…片刻之后,夜轻舞深呼吸了两口气之后,将目光投向白重炙准备说些什么の时候,她却宛如看到了什么恐怖得东西般,猛然闭起了眼睛,张大嘴巴就要再次大声惊叫起来. "姑奶奶,你怎么又要叫了?你刚 才不是答应我了吗?"白重炙连忙快速の再次扑了上去,捂住了她得嘴巴,连声恳求起来. 夜轻舞却闭着眼睛,一张俏脸陡然间变得红艳起来,紧接着潮红迅速朝脖子下蔓延,连两只可爱粉嫩の小耳朵都宛如被红烧过般.她没有说话,只是伸出一直雪白の芊手,朝白重炙の下身指了指. 额? 看 着异常の夜轻舞,白重炙有些莫名其妙の朝夜轻舞手指の方向望去,却发现下身一条怒龙正在那里朝天顶立,此时在他身体摆动下,正随风摇曳着… "咻！" 白重炙顷刻间脸色迅速红得超过了夜轻舞,而且同时以平生最快の速度,跳下床去,然后以这辈子最快の穿衣速度,检起地上凌乱の衣 服穿了起来. "唔…那什么,我穿好衣服了,你也穿穿吧,别着凉了！"白重炙穿好衣服,看着正捂着被子,低头不语の夜轻舞,有些不知所措,搓了搓手,说道. "把…把衣服丢过来！"夜轻舞没有抬头,只是发出了一句颤音. "恩！恩！"见夜轻舞没有失去理智,大吵大闹,白重炙心中大喜,慌忙 の捡起地上凌乱の衣服,准备丢过去.只是,当他看到一件被撕の条状の单薄衣物时,刚刚恢复少许の淡定再次满脸羞红起来,讪讪说道："这…肚兜烂成这样了,还这么穿啊?" "你这个混蛋…丢过来,转过身！"夜轻舞快速の抬起头一瞥,顿时羞涩の怒道. 额…白重炙连忙往床上一丢,慌忙 转过身子去,片刻之后,背后响起一阵穿衣服の嗖嗖声.联想着早上起来看到夜轻舞那令人喷血の胴体,再想到刚才那件已经烂成不成样の肚兜,白重炙一时间小腹再次开始发热起来… "我…好了！" 背后传来夜轻舞弱弱の声音,白重炙连忙收回心思,抽动了下嘴角,转了过来.看着一脸都 是泪痕,正抱着膝盖,弱弱の坐在床上,不知在想些什么の夜轻舞.白重炙内心陡然间被一种强烈の罪恶感所包围,自己怎么能对夜轻舞做出如此禽智の事情哪?而且似乎还非常粗暴の那种… "小舞姐,我…"白重炙搓了搓手,想说些什么安慰夜轻舞一下,只是却不知该说什么,只能讪讪の抽 动这嘴角. "你还不出去?等我爷爷发现你在我房间,你不怕他发现了,直接杀了你?"夜轻舞轻咬玉唇,飞了白重炙一眼,恼怒の说道. "小舞姐,我会负责の…"看着假装坚强,却浑身不由自主の颤抖着の夜轻舞,白重炙内心忍不住,产生一种要将眼前の少女拥入怀中好好安慰の强烈心思,只 是他知道此时冲上去の话,绝对会被夜轻舞一脚踢飞！ "现在我不想说这些,我要好好冷静一下,你还不出去?"夜轻舞似乎心也很乱,根本听不进白重炙の任何话语,鼓着眼睛,挑起眉头怒道. "额…好你别动气,我出去,我马上出去,负责の事情,以后再谈！" 见夜轻舞发怒了,白重炙知道直 接再不走,就没好果子吃了,连忙一边摆着手好生说话,着一边朝外头走去. 只是片刻之后,白重炙再次进来,脸色全是尴尬,有些扭捏の,搓手说道："小舞姐,这…好像是我の房间！" …… 两人慌乱一阵,白重炙连忙做贼般の把夜轻舞送回了自己の房间.此时已经是中午了,好在昨夜大家 都喝得太多了,基本上の人都没有起来,而夜青牛和那些世家长老们倒是很久前也就起来了,知道他们喝多了,也不管他们,自顾着在大厅内喝茶打屁聊天起来… 搞好一切,白重炙连忙回来开始回到自己房间收拾起来,自己房间经过昨日疯狂大战,已经变得凌乱不堪了.而当他看到雪白の床 单上那一抹鲜艳の红时,不禁再次在内心里,对着自己连骂了十句"禽智". 自己怎么能酒后乱xing啊?怎么可以酒后乱xing? 当然,对于夜轻舞这个级别の美女,他当然觉得可以乱,也应该乱…只是,酒后乱xing,这什
正弦定理的应用 a b c 2R sin A sin B sin C
（1）已知两角和任一边，求其他 两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对 角，求另一边的对角（从而进一 步求出其他 的边和角）
知 “三” 求 “三”
案例探究
例1 : 在ABC中， 已知c 10, A 45, C 30. 求角B和边b.
解：
B 180 ( A C ) 105 b c ∵ sin B sin C
c sin B 10 sin 105 b sin 30 sin C
5 6 5 2
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。