446-第二章 解析函数
第二章解析函数
第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
解析函数的定义
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是 它的奇点.
• §2 函数解析的充要条件
• 2. 1 回顾解析函数 • 2.1.1 如果函数 f ( z ) 不仅在点 z 0 处可导， 而且在点 z0 的某邻域内的每一点都可导，则 称 f ( z ) 在点 z0 处解析，并称点 z0是函数的解 析点；如果函数 f ( z )在区域 D 内每一点都解 析，则称 f ( z )在区域 D 内解析或称 f ( z )为区 域 D 内的解析函数，区域 D 称为的 f ( z ) 解析 区域.
例5
2 研究函数 f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和 2
h( z ) z 的解析性 . 解 由本节知识可知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
g( z ) x 2 yi 处处不解析;
下面讨论 h( z ) z 的解析性 ,
h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z
• 例1 求函数 • 解 因为
f ( z) z
n
的导数（ n 为正整数）.
n
k k ( z z )n Cn z (z )nk
(z) C (z)
n 1 n
n1
z C (z)
2 n
k 0
n 2
z C (z)
2 n n
n n
z
n
所以，由导数定义有
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
第二章 解析函数(研究生)
lim R( z )
z 0
lim x 0
x 0 y 0
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【例2】 证明
f ( z ) x 2 yi 在任意点处不可导
f ( z z ) f ( z ) 证明: lim z 0 z
[( x x ) 2( y y )i ] ( x 2 yi ) lim z 0 x yi
存在，则称w = f (z)在z0处可导. 记为
dw f ( z0 ) dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
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【例1】 设 f ( z ) z Re( z ), 求 f (0)
f ( z ) f ( 0) 解: f (0) lim z 0 z 0 zR( z ) lim z 0 z
1. 定理1：
f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在区域D内有定义, 则
f(z)在D内一点z处可导的充要条件是 u (x, y), v (x, y), 在z=(x, y)处可微，且满足C-R条件 .
u x v x
u y v y
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第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 解析函数的充要条件
§3 初等函数
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§1
解析函数的概念
一. 复变函数的导数与微分
1. 导数的定义：设 w = f (z) 在D上有定义, z0 D,
z0 z D 若极限
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
解:方法一:
解析函数的概念
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象．它在理论和实际中有着广泛的应用．本章在先学习复变函数概念的基础上，讨论解析函数．学习函数解析的的一个充要条件，以及如何用实部、虚部所具有的微分性质表达函数的解析．学习常用的初等复变函数．§2.1 解析函数的概念教学目的：1．理解并掌握复变函数可微和解析的定义，以及复变函数在一点和闭区域上解析的含义；能正确判断所给函数在一点或在一个区间上的可导性与解析性．2．能理解并掌握复变函数可微、解析与实、虚部两个二 元实函数的关系（C —R 条件）；正确运用解析的充要条 件判断函数的解析性．3．熟练掌握几类初等单值解析函数，并了解几类典型的 初等多值解析函数．重难点：证明函数的可导性与解析性；掌握函数可导与解析的联系 与区别．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.1.1 复变函数的导数解析函数是复变函数论的主要研究对象, 它是一类具有某种特性的可微函数．首先, 我们类似于实函数的导数引进复变函数的导数.【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,记0z z z -=∆且对 00()z z z ∀+∆∈，)()(0z f z f w -=∆)()(00z f z z f -∆+=, 如果z w z ∆∆→∆0lim00)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数）存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有 ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微（其中D 为)(z f 的定义域）.A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dw A dz ==,即 A ＝zw z f z ∆∆='→∆00lim )(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→． 如果z w z ∆∆→∆0lim 00)()(lim 0z z z f z f z z --=→不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微．如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微．注：10. 由于复变函数导数的定义与实函数导数的定义形式一致,容易验证, 实函数求导的基本公式大多可不加更改地移植到复变函数上来．20.由定义2.1易得, 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) ．例1 讨论z z f =)(在z 平面上的可导性．解 在复平面上任取一点z ,由于当0→∆z 时,zz z z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的 极限不存在, 所以 z z f =)(在点z 不可导．再由z 的任意性, z z f =)(在z 平面上处处不可导．（注意z zz z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的极限不存在图2 .1）例2 证明 函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0． 证明 由于 0000()()()(0)lim lim 0z z z f z f z f z f z z z →→--=--200lim lim 0z z zz z →→===，故函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．例3 设()Re f z z =，证明 ()f z 在全平面处处不可导． 证明 因为对平面上任意一点0z ，000000()()Re Re Re()f z f z z z zz z z z z z z ---==---，考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时00000000Im Im Im Im ()()Re()lim lim 1z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- 考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时00000000Re Re Re Re ()()Re()lim lim 0z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ；所以当0z z →时,极限000Re()limz z z z z z →--不存在， 即()f z 在0z 没有导数． 由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导．例4 证明: 函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且 1)(-='n n nz z (n 为正整数) ．证明 在z 平面任取一点z , 因为()()()n nf z z f z z z z z z+∆-+∆-=∆∆121(1)2n n n n n nz z z z ----=+∆++∆ 所以 0lim →∆z 1)()(-=∆-∆+n nz z z f z z f , 即n z z f =)(在点z 可 导,且1)(-='n n nz z . 由点z 的任意性知, 结论成立．练习：试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示： 22224200()(0)lim lim 01y y x ky x kyf z f xy k z x y k →→==-==-++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化，故结论成立.§2.1.2 解析函数的概念与求导法则1.【定义2.2】如果)(z f 在点0z 的某邻域内处处可导, 则称)(z f 在点0z 解析；如果)(z f 在区域D 内可微(即)(z f 在D 内每一点都可导), 则称)(z f 在区域D 解析； 如果)(z f 在区域G 内解析, 而闭区域G D ⊂,则称)(z f 在闭区域D 上解析．如果)(z f 在0z 处 不解析，则称0z 为)(z f 的奇点.（如图2 .2）说明: 由定义2.2知,10.函数解析一定是与相关区域联系在一起的．即函数在一点解 析不是函数在该孤立点的性质. 函数在一点可导与在一点解析不等价；指函数在此点的某邻域内可导；20. 函数在一个区域D 内解析有时也称此函数为区域D 上的全纯函数或正则函数．函数在区域D 内解析等价于函数在区域D 内处处可导(即在区域D 内每一点都解析)．函数在某闭区域上解析是指函数在包含此闭区域的更大的区域内解析．2.类似于实函数的求导法则, 关于解析函数我们有如下法则：1) 四则运算：如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、 差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ；[()()]()()()f z g z f z g z f z g z'''⋅=+⋅；2()()()()()[](()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠．另：（1）常数的导数为零．（2）()1n n z nz -'=（n 为正整数）；（3）[()]()kf z kf z ''=（k 为常数）．（4）多项式函数n n n a z a za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n z na z p （5）而有理函数m m n nb z b a z a z R ++++=00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的． 2) 复合函数求导法则：设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析, ()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合 函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅．3) 反函数求导法则：设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且 ()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则 ()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''． 提问：1.设41()(1)4f z z i z =-+，则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案: 32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点，则()f z 在点0z 不可导.（ × ）3.若0z 是函数 ()f z 的解析点，则()f z 在点0z 可导. （ √ ）4.0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. （ × ） 例5 设212)23()(+-=z zz f , 由上述法则知, 2202()21(32)(32)f z z z z z ''=-+-+22021(32)(61)z z z =-+-．例6 求函数 5223()41z z f z z -+=+的解析性区域以及在该区域上的导数．解 设52()23,()41P z z z Q z z =-+=+，则P(z) , Q(z)在全平面上 解析，再由商的求导法则知()0Q z ≠时， ()()()P z f z Q z =在平面上解析，由()0Q z =得2i z =±；故函数)(z f 的解析区域是全平面除点2i z =±外的区域．且由商式求导公式得4222246104241()(41)z z z z f z z ++--'=+． §2.1.3 解析函数的一个充要条件（柯西—黎曼条件）与判别从形式上，复变函数的导数及其运算法则与实函数几乎没有什么差别，但实质上它们之间存在很大的的差异．下面，我们来研究复变函数的可微和解析与其实部、虚部两个二元实函数之间的关系．【定理2. 1】（可微的充要条件）设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微（可导）的充要条 件是 ：(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, （ 柯西—黎曼条件也称为C R -方程 ）．证明 必要性:若 )(z f 在点D iy x z ∈+=可微记ib a z f +=')(,v i u w ∆+∆=∆, y i x z ∆+∆=∆, 其中 (,)(,)u u x x y y u x y ∆=+∆+∆-，(,)(,)v v x x y y v x y ∆=+∆+∆-由导数的定义知()()()()()w f z z o z a ib x i y o z '∆=∆+∆=+∆+∆+∆()0()(0)a x b y i b x a y z z =∆-∆+∆+∆+∆∆→比较上式两边的实部、虚部得 ),(),(y x u y y x x u u -∆+∆+=∆y b x a ∆-∆=()o z +∆)(0z ∆→）),(),(y x v y y x x v v -∆+∆+=∆)()b x a y o z =∆+∆+∆(0z ∆→）再由实函数中二元实函数可微的定义知, ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微, 且xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,． 充分性: 记xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,, 且),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微,所以 w u i v ∆=∆+∆[()][()]x y x y u x u y o z i v x v y o z ''''=∆+∆+∆+∆+∆+∆ ()()()]x x y y u i v x u i vy o z ''''=+∆++∆+∆ ()()()a b i x b i a y o z=+∆+-+∆+∆ ()()()a b i x i a b i y o z =+∆++∆+∆()()()a b i x i y o z =+∆+∆+∆ ()()f z z o z '=∆+∆. 所以 00()lim lim ()x x o z w a bi f z z z∆→∆→∆∆'=++=∆∆. 说明：10. 定理2.1中条件xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,称柯西—黎曼条件或柯西—黎曼方程或C R -方程．20. 由定理2.1的证明知，如果),(),()(y x iv y x u z f +=在 点iy x z +=可微， 则有导数公式 yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(． （由C R -方程还可以写出其它形式）30.特别注意：C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如：函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x∂∂∂∂===-=∂∂∂∂， 但是由于()f z 在点0z =处不连续，所以函数在0z =处不可导. 在实函数中,我们知道由二元实函数具有一阶连续的偏导数可以 推得二元函数可微, 由此可得【推论】※ (可微的充分条件) 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在 区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件．将上述定理1及其推论运用到区域D 的每一点上，可得函数解析的充要条件．【定理2.2】 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,． 【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上， 则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程． 注： 定理2.2的充分性由推论立即可得, 但必要性的证明需要用到第三章中的解析函数的无穷可微性．例7 讨论下列函数的可导性与解析性．（1）()Re f z z =解： 设iy x z +=, 则有()Re f z z x ==,记 (,)u x y x =, 0),(=y x v ． 因1,0u u x y∂∂==∂∂, 0,0=∂∂=∂∂y v x v , 显然它们不满足C —R 条件, 所以 由定理1知, ()Re f z z =在z 平面上处处不可导且处处不解析．（2）2)(zz f =．解： 设iy x z +=, 则有222)(y x zz f +==, 记 22),(y x y x u +=, 0),(=y x v ． 因y y u x x u 2,2=∂∂=∂∂, 0,0=∂∂=∂∂yv x v , 显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需0,0==y x 即可,所以 2)(zz f =仅在原点可导, 但在z 平面上处处不解析． （3）()(cos sin )x f z e y i y =+.解：设iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=,则有 cos ,sin x xu e y v e y ==因为 cos ,sin x x x y y x u e y v u v e y ''''===-=，且四个偏导数存在且连续，所以 ()f z 在z 平面上处处可导且处处解析且)()(z f z f =' ()(cos sin )()x z u v f z i e y i y e f z x x∂∂'=+=+==∂∂． 注: 满足此例题条件的解析函数称为复指数函数．说明：在讨论具体函数的可导性和解析性时, 可先找出实部和虚部实函数,再验证定理2.2或者推论的条件(1)和(2)得出可导性. 但在回答解析性时一定要慎重, 必须再考虑函数在可导点的邻域内的可导性后才能给出正确的回答．若C —R 方程不成立，则函数一定不可导.用推论有时更方便.提问：5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是（B ）（A ）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解 由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导，在复平面上处处不 解析.6．若)(z f 在曲线C 上每点不解析，则)(z f 在C 上不可导．（ ⨯ ）7．若)(z f 在曲线C 上每点可导，则)(z f 在C 上每一点解析．（ ⨯ ） 练习：（1）讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性． 解 记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yv x v ,显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需,12-=x 即21-=x , 所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析．(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性． 解 记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因 2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v v xy y x x y∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的． 要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导， 但在z 平面上处处不解析．例8 求函数 ()f z ＝Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数． 解 ()f z ＝2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+，则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =，1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续， 由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩ 故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导，且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．例9若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析.证明 因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析．例10 判断函数 ()f z ＝232x y i +在何处可导，何处解析，并求 (3),(32)f i f i ''++．解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =，22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得23x y =故 函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导，又点3z i =+在此曲线上，所以(3)f i '+存在且(3)f i '+＝6，而32z i =+不在曲线上， 所以 (32)f i '+ 不存在．故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-． 例11判断函数 ()f z ＝322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上 的解析性；若解析，试求()f z '．解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-，2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂，6v xy x∂=∂，2233v x y y ∂=-∂，四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立， 故函数 ()f z 在复平面上处处解析且()f z '＝23z ．例12 求实数,a b ，使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-，(),v x y ax by =+则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a = 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数，试确定n m l ,,的值.解：令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(，则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续，因为解析函数()f z 满足C-R 方程，即：x y u v =，y x u v =-，亦即：lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+ 解得：m =1, 3-==l m .例13 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一,证明: )(z f 在区域D 内必为常数．(1) ()0f z '=．（2）Re ()f z =常数．（3）)(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数．（5）c bv au =+，其中a,b,c 为不 全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂， 故 u ，v 都是常数，从而 )(z f 在D 内必为常数．（2）因为 u ＝常数，故 0u u x y∂∂==∂∂，由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂＝0，从而 )(z f 在D 内必为常数． (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则 ),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, xv y u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立；若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ，0,0=∂∂=∂∂yv x v ； 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在 区域D 内为常数．（5）设a ≠0，则a bv c u -=，于是有 y y x x v a b u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 .;x y y x v u v u -== 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴u,v 必为常数，即f(z)为常数.说明：在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常 常起着关键的作用．例14 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析．证明 在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属 于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→,从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析． 说明：在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义． 练习：1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗？答：不对，函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析，因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导．2.函数在一条曲线上可导，则函数在此曲线上解析这种说法对吗？（不对，理由同上．）3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导．综上所述, z w =在平面上处处不可导．(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导．5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析．6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=； (2) 22)(iy x z f +=；(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数 又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析．(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂． 要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =．所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析．(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂,6u v xy y x ∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件．所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析．7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=．证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂． 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数． 证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂． 所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.小结：1.函数在一点解析与函数在一点可导不是等价命题；函数在一个区域上解析与函数在一个区域上可导是等价命题.2.判断函数的解析性时最好将其转化为运用推论即对应实、虚部函数是否具有一阶连续偏导数，是否满足柯西－黎曼条件来判定.3.多项式复函数、整数次幂的幂函数、有理函数（分母不为零时）在整个复平面上解析.解析函数的四则运算解析（作商式运算时分母不为零）.4.函数的导数公式只须记住：()u v f z i x x∂∂'=+∂∂及柯西－黎曼方程，则在求导数时可根据条件写出相应公式.易犯错误：函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数.。
第二章解析函数
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
第二章解析函数基础
证 1
0
' f 必要性 设 z0 i 存在，即 f i z o z z 0 ，
或即
u iv i x iy o z
.
分开实部和虚部，得
， . v x y o z 可见 u , v在x0 , y0 处可微，且 du dx dy, dv dx dy . 由此可见 ' ' ' ' ， . v x , y u u x , y v x , y x 0 0 x 0 0 y x0 , y0 y 0 0
f lim z 0 z
0
f z0 z f z0 f ' z0 z o z
2.2 z 0 也称 df z0 f ' z0 z或 f ' z0 dz 为在 z0 处的微分， 故也称 f z 在 z0处可微. 由于（2.1）和（2.2）与实分析中的相似， 且极限运算法则也相似，因此实分析中有关 求导的一些运算法则这里也成立，例如有关 两复函数和、差、积、商的求导法则，复合 函数求导法则等成立，其证明也类似.比如， n ' 1 n 为整数）成立.又，如同实分析一 z nzn（ 样，如f z 在 z0 处可导，则f z 必在 z0 处连续； 反之却不一定.
(2.1) 存在（有限），则称 f z 在 zo 处可导，其导数记为 ， df ' ' ）式也可写为（注 也记为 , .z（ f z 0 z 2.1 zz dz 意： z 0 和 z 0 等价）
0
z z
z0
u x y o z
2 0 充分性 设 u , v 在x0 , y0 处可微，且（2.5）成立.
第二章解析函数演示文稿
第一节 导数
充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处
满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
第二章解析函数演示文稿
优选第二章解析函数
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某
点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为 函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
第一节 导数
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z) 在区域B内可导
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1 2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处 处不可导
可导必连续
第一节 导数
求导法则
d dz
1
2
d1
dz
d2
dz
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
第二节 解析函数
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析 函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
第2章、解析函数
第二章 解析函数本章介绍复变函数中一个重要的概念：解析函数，并给出一个重要的判定方法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍一些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分支解析。
第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、 此定义也用εδ-语言给出。
注2、 可导必连续注3、解析必可导性，在一个点的可导不一定解析，可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平面上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例子：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
第二章 解析函数
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) [ ]' , ( g( z ) 0) 2 g( z ) g (z) 由以上讨论
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
• 2.2.2 函数解析的充要条件 • 定理１ 设函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 内有定义，则 f ( z )在 D 内解析的充分必要条 件为 u, v 在 D 内任一点 z x iy处 （1）可微； （2）满足
ex1
试用C-R条件判定下列函数在何处可导，在何处解析：
w z
2
解 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在0点可导，但处处不解析 。
2
例2: 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问 常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处 处解析。
例1 求函数 f ( z ) z 的导数（n 为正整数）.
n
解 因为
k k ( z z )n Cn z (z )nk k 0
第二章 解析函数Analyticfunction第一讲
第二章解析函数（Analytic function）第一讲授课题目：§2.1解析函数的概念§2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系.学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题二：1-12作业布置：51板书设计：一、解析函数的概念二、函数解析的充分必要条件三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后辅导教学过程：§2.1 解析函数的概念(The conception of analytic function )一、复变函数的导数（Derivative of complex function ） 定义（Definition ）2.1 设)(z f w =是在0z 的某邻域内有定义，对于邻域内任一点z z ∆+0.如果zz f z z f o z ∆-∆+→∆)()(lim 00 存在有限的极限值复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作)('0z f ，或0z z dz dw=. 即z z f z z f z f z ∆∆∆)()(lim )('0000-+=→0)z ( |)(|)('0→+=∆∆∆∆z o z z f w 由此可得()()()dzz f z df z z f z z f z z f 00000 )()(''=记作处可微。
解析函数
第二章 解 析 函 数解析函数是复变函数研究的主要对象．本章介绍导数、解析函数的概念，并介绍一些常用初等函数的解析性．§1．解析函数的概念1．导数与微分 导数定义：设)(z f w=，D z ∈（区域），D z ∈0．若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，则称)(z f 在0z 处可导，记为)(0z f '，00 ,z z z z dz dfdz dw ==．若)(z f 在区域D 内处处可导，称 )(z f 在D 内可导．例1．求32)(2+=z z f 的导数．解：z z z zz z z z z f z z f z f z z z 4)Δ2(2 lim ]32[]3)(2[lim )()(lim )(0 220 0 =+=∆+-+∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆，)(C z ∈．（处处可导）．例2．问 yi x z f 3)(+= 是否可导 )(iy x z +=？解：z z z ∆+→，x x x ∆+→，y y y ∆+→，y i x z ∆+∆=∆．yix yix z yi x i y y x x z z f z z f z z z ∆+∆∆+∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆3 lim ]3[])(3)[(lim )()(lim0 0 0． 设z z ∆+ 沿平行于x 轴方向趋于z ，则0=∆y ，极限为 1lim 3lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x xyi x yi x x z ；设z z ∆+ 沿平行于y 轴方向趋于z ，则0=∆x ，极限为33lim 3 lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yiyi yi x yi x y z ． 所以yi x z f 3)(+= 的导数不存在，无处可导．可导与连续的关系：函数可导⇒连续； 但函数连续≠⇒可导．证：“可导⇒连续”． 设)(z f 在0z 可导， 则 0 0, >∃>∀δε，当 δ<∆<z 0 时，ερ<'-∆-∆+=∆)()()(000z f zz f z z f ． 因此，0lim 0 =→∆ρz ． 而z z z f z f z z f ∆⋅+∆'=-∆+ρ)()()(000， 所以 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆，)(z f 在0z 连续． “连续≠⇒可导”． 见例2．求导法则：复变函数的导数定义与实函数的导数定义一致，故求导法则也相同．罗列如下，应当牢记． (1) )( ,0)(C c c ∈='； (2) ) ( , )(1N n z n z n n ∈='-；(3))()(])()([z g z f z g z f '±'='±； (4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='；(5) ) 0)g( ( ,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z g z g z f z g z f z g z f ； (6))()(})]([{z g w f z g f ''='，其中)(z g w =；(7) )(1)(z f w '='ϕ， 其中)(z f w =是)(w z ϕ= 的反函数，0)(≠'z f ．微分：若)(z f 在0z 可导， 则 )()()()(000z o z z f z f Δz z f w ∆⋅+∆'=-+=∆， 定义dz z f dw )(0'=．2．解析函数 定义：(a ) 若)(z f 在0z 的某一邻域) ,(0δz U 内可导，称)(z f 在0z 处解析； (b ) 若)(z f 在区域D 内的每一点解析，称)(z f 在D 内解析；(c ) 若)(z f 在0z 不解析，称0z 为)(z f 的一个奇点．注：函数在区域内解析与可导等价．但可导与解析并不等价．函数在一点 0z 处可导，并不意味着在0z 处解析．例1．讨论32)(21+=z z f 和 yi x z f 3)(2+= 的解析性．解：)( ,4)(11z f z z f =' 在复平面上解析，称为全纯函数；)(2z f 处处不可导，无处解析． y例2．讨论函数 )1(1+=z z w 的解析性． 解：当1 0-≠≠z z 及 时， w 可导：22)1()12(++-=z z z dz dw ． x 所以，在除0=z 及1-=z 外的复平面上，)(z f w = 解析．而1 0-==z z 和 是w 的两个奇点． 称函数)(z f w = 为亚纯函数．定理．两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是解析函数；解析函数的复合函数也是解析函数． 结论：多项式在C 内处处解析；有理分式函数)()()(z Q z P z f = 在分母不为零的区域内解析．§2．函数解析的充要条件判断复函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 是否解析，有如下的充要条件．定理．函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在iy x z += 处可导的充要条件是：) ,(y x u 、) ,(y x v 在点 ) ,(y x 处可微，并且满足Riemann Cauchy－ 方程： xvy u y v x u , ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂．此时，有导数公式x y y x v i v iu u z f )(+=-='． （证略）注：(1) 若) ,(y x u 、) ,(y x v 在D 内具有一阶连续偏导数，且满足R C －方程，则)(z f 解析；(2) 将点改成区域D ，便得)(z f 在D 内解析的充要条件．例1．判断下列函数是否解析． (1)z z f =)(；(2))sin (cos )(y i y e z f x +=．解：(1)iy x z z f -==)(，y v x u -== ,． 100 ,1-====y x y x , v , v u u ．y x v u ≠，不满足R C －方程， 故z z f =)( 无处可导， 无处解析．(2)y e u x cos =，y e v x sin =． 由于⎪⎩⎪⎨⎧-=-===x x yy xx v y e u v y e u sin cos ， )(z f 处处解析，全纯函数． 例2．证明：若在区域D 内0)(='z f ，则 c z f ≡)(（复常数）．证：000 )( i v i v iu u z f x y y x +==+=-='，故0====y x y x v v u u21 c , v c u ≡≡⇒ c ic c z f Δ=+≡⇒21)( ．例3．函数 iy x z f -=2)( ) (iy x z += 在何处连续？何处可导？何处解析？解：y v x u-== ,2，二元初等函数，处处连续，所以)(z f 处处连续． -⎪⎩⎪⎨⎧=-==-===0012x y y x v u v x u R , y x ∈-=⇒21． 故)(z f 仅在直线 21-=x 上可导，1)(-='z f ． 但直线不含邻域，所以)(z f 无处解析．§3．初 等 函 数1．指数函数： 复变数指数函数：)sin (cos exp )( y i y e e e e e z z f x y i x y i x z +=⋅====+．它等价于关系式：x z e e = 及 πk y e Arg z2)(+=． 故0≠z e ．z e z f =)( 具有性质：(1))()(z f z f ='，)(z f 在C 内解析；(2) 若0)Im(==z y ，x e z f =)(； 若 0)Re(==z x ，y i y e z f i y sin cos )(+==；(3)ze服从加法定理：2121z z z z ee e+=⋅，2121z z z z e e e -=；(4) ze以i k 2π为周期：) ( , 2 2Z k e e e ez i k z ik z ∈=⋅=+ππ．例1．计算 22πi e+． 大写整数集Z解：22222sin 2cos ie i e ei =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πππ．2．对数函数 定义：指数函数 0)( ,≠=z z e w 的反函数称为对数函数．记作) ,() ,()(y x iv y x u z f w +==， 而 θi re z =．则θi iv u re e =+， 故θ===r, v u e r u ln ,．这样，对数函数为 ) 0( , ln ≠=+=∆z z Ln iArgz z w （多值函数）．若Argz 取主值，记 z i z z arg ln ln +=， 称为 z Ln 的主值．其它分支可表为 ) 0 ( , 2ln ≠∈+=Z, z k i k z z Ln π． 称为z Ln 的单值分支．特别，当x z x z ln ln , 0=>=时 （实对数函数）．运算性质：2121 )(Lnz z Ln z z Ln +=，2121Lnz z Ln z z Ln -=．例1．求3 Ln ，)1( -Ln ，i Ln 以及相应的主值．解：i k Ln 23ln 3π+=，)(Z k ∈；主值为3ln ；i k iArg Ln )12()1(1ln )1( π+=-+=-，)(Z k ∈； 主值为i )1ln(π=-；i k iArgi i i Ln )212( ln π+=+=，)(Z k ∈；主值为i i 2ln π=． 对数函数的连续性与解析性： 对于z i z zarg ln ln +=，当 0≠z 时，z ln 连续，而z arg 则在原点与负实轴上不连续，故除原点与负实轴外，z ln 处处连续．w e z = 在区域 ππ<<-z arg 的反函数z w ln =单值，由反函数的求导法，有：ze dw de dz dw z w w11)(ln 1==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=='-．因此，在除去原点与负实轴的复平面内 z ln 解析， z ln 的每个单值分支也解析，且 zLnz 1)(='． 3．幂函数定义：)(ln z iArg z Lnz z Ln ee ez w +====αααα， （α0,≠z 为复常数）．由z Ln 的多值性，i k z Lnz e e e w 2ln απαα⋅==， )(Z k ∈． 可见，αz 也是多值函数（当α不是整数），幂函数的解析性：由于Lnz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，由复合函数的解析性知，αz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，且111 )()(---⋅=⋅=⋅='='ααααααααz z z z e e z Lnz z Ln ．例1．求21和i i )1( - 的值．解：ik iArg Ln e ee 22)1 1(ln 21221π===+，)(Z k ∈．)2ln sin 2ln (cos )1(2 4) 2ln 2 4()4i 22ln ( )1( i eeeei k i k i k i i Ln i i +====--+--+-ππππππ，)(Z k ∈．4．三角函数与双曲函数由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=---)(21sin )(21cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθi i i i i i e e i e e i e i e ， 称为Euler 公式．定义：)(21sin ),(21cos z i z i z i z i e e iz e e z ---=+=． zz z cos sin tan =；zzctg sin cos =；z z cos 1sec =； zz s i n 1c s c =．z z cos )(sin ='，z z sin )(cos -='，处处解析． 大多数三角公式对于z z cos ,sin 成立．双曲余弦：)(21cosh zz e e chz z -+==；双曲正弦：)(21sinh z ze e shz z --==； 双曲正切：zz zz e e e e chz shz thz z --+-===tanh ．以上函数均在定义域（分母不为零处）内可导并且解析． 5．反三角函数与反双曲函数 三角函数的反函数称为反三角函数．w z sin = 的反函数称为反正弦函数．下求之．由)(21sin iw iw e e iw z --==， 得 iwe 的二次方程：012)(2=--iw iw ize e ， 根为：21z iz e w i -+=， （21z - 为双值函数）． 所以)1( sin 2z iz Ln i z Arc w -+-==．反余弦函数：)1( cos 2-+-=z z Ln i z Arc ； 反正切函数：izizLn i Arctgz -+-=112．双曲函数的反函数称为反双曲函数． 它们是： 反双曲正弦：)1( 2++=z z Ln Arshz ； 反双曲余弦：)1( 2-+=z z Ln Archz ；反双曲正切：z1z 1 21-+=Ln Arthz ． 它们都是多值函数．在复变函数中，常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数、反三角函数等七类函数称为复基本初等函数．复初等函数：由复基本初等函数经过有限次加、减、乘、除和复合运算，能由一个式子表示的函数称为复初等函数． 如：ze z tgz w +=2，z e w z ln sin +=，等等．。
第二章解析函数
u
5
第三节 解析函数的变换性质
在解析变换下调和方程式不变的
设=f(z)是某区域B内的解析函数，它将z平面上 的区域B变为平面上的一个区域D，而将B上的 函数u(x,y)将为u(,)，则有
2u 2u 2 | f ( z ) | x 2 y 2 2u 2u 2 2
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第一节 导数
Cauchy-Riemann条件
必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内点z=x+iy可导，则有
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
A A( z) Ax ( x, y) iAy ( x, y)
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第四节 平面场
驻定平面流速场 设向量场是不可压缩的（即流体的密度是常数）定 常的理想流体的流速场 v u( x, y)i w( x, y) j 其中速度分量u(x,y)和w(x,y)具有连续的偏导数。 驻定运动的质点轨道
第三节 解析函数的变换性质
解析函数是一个保角映射
f ( z0
非解析函数：=Rez
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第三节 解析函数的变换性质
解析函数将z平面上的区域变为平面上的区域
解析函数可以将z平面上的一个区域变换为平面上的 一个区域，其中区域的边界变换为区域的边界，甚至 保持边界的方向不变；同时区域的内部变换为区域的 内部
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dF ( ) dF d dz d dz
第一节 导数
几何意义
解析函数
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
【解】由
f (z z) f (z)
即 ux v y，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不 可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可 导吗？
例2.1.4 讨论函数w f (z) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足.
1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) iv (x, y x iy
其中 令 由上式得
lim (z) 0
z 0
f (z z) f (z) u i v ,
f (z) a i b, (z) 1 i 2
u i v (a ib)(x i y) (1 i 2)(x i y) (ax by 1x 2y) i(bx ay 2x 1y)
iz z
由于沿 e方向和沿 er 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 (2.1.10)。
解析函数
第二章 解析函数2.1 基本要求和内容提要 2.1.1基本要求1. 正确理解复变函数可导与解析的概念，弄清可导与解析两概念之间的关系，弄清复变函数可导与其实部、虚部作为二元实函数可微之间的联系与差别. 2. 能运用C-R 条件判别给定函数的解析性.3. 熟练掌握解析函数的和、差、积、商、复合函数及反函数的求导公式.4. 要知道解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u 或v ，求解析函数u iv +.5. 要记住自变量取复数值时初等函数的定义和它们的一些主要性质. 2.1.2 内容提要解析函数是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用. 1. 解析函数的概念（1） 复变函数的导数定义2.1 设函数0()w f z z =在点的某领域内有定义，0z z +∆是领域内任一点，00()()w f z z f z ∆=+∆-，如果0000()()limlimz z f z z f z wz z ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在有限的极限值A ，则称0()f z z 在处可导，A 记作0()f z '或z z dwdz =，即0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆ 或 0()()(0)w f z z o z z '∆=∆+∆∆→.也称0000()()()()df z f z z f z dz f z z ''=∆或为在处的微分，故也称0()f z z 在处可微. （2） 解析函数的概念与求导法则定义2.2 如果00()f z z z 在及的邻域内处处可导，则称0()f z z 在处解析；如果()f z 在区域D 内每一点解析，则称()f z 在D 内解析，或说()f z 是D 内的解析函数；如果0()f z z 在处不解析，则称0z 为()f z 的奇点. [1]导数的四则运算设()f z 和()g z 都是区域D 上的解析函数， 则()()(),()(),(()0)()f z f zg z f z g z g z g z ±≠及在D 上解析，且有[]()()()(),f z g z f z g z '''±=±[]()()()()()()f z g z f z g z f z g z '''=+，[]2()()()()()()()f z f z g z f z g z g z g z '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. [2] 复合函数的求导法则设函数()f z ξ=在区域D 上解析，函数()w g ξ=在区域G 内解析，又()f D G ⊂(()f D 的表示函数()f z ξ=值域，也就是区域D 的像），则复合函数(())()w g f z h z ==在D 内解析，且有[]()(())(())()h z g f z g f z f z ''''==.[3] 反函数的求导法则设函数()w f z =在区域D 内解析且()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则()11()()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''. (3) 函数解析的一个充分必要条件定理 2.1 函数()(,)(,)f z u x y i v x y z x iy =+=+在处可导的充要条件是，(,),(,)(,)u x y v x y x y 在点处可微，而且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）方程（简称C-R 方程）：u v x y ∂∂=∂∂，u vy x∂∂=∂∂. 当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算()f z '： ()u v v v u u v u f z i i i i x x y x x y y y∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=+=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂. 注意，C-R 条件只是函数()f z 可导的必要条件而并非充分条件. 如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论.定理2.2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析（即在D 内可导）的充要条件是，(,)(,)u x y v x y 和在D 内处处可微，而且满足C-R 方程.推论 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，如果在D 内(,)(,)u x y v x y 和的四个偏导数,,,x y x y u u v v ''''存在且连续，并且满足C-R 方程，则()f z 在D 内解析.2. 解析函数和调和函数的关系（1） 调和函数的概念定义2.3 如果二元实函数(,)x y ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace ）方程22220x yϕϕ∂∂+=∂∂， 则称(,)x y ϕ为区域D 内的调和函数，或说函数(,)x y ϕ在区域D 内调和.定理 2.3 设函数()(,)(,)f z u x y i x y =+在区域D 内解析，则()f z 的实部(,)(,)u x y v x y 和虚部都是区域D 内的调和函数.（2） 共轭调和函数定义2.4 设函数(,)x y ϕ及(,)x y ψ均为区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程,x y x yϕψψϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 则称ψ是ϕ的共轭调和函数.显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理回答了这个问题.定理2.4 复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充分必要条件是：在区域D 内，()f z 的虚部(,)v x y 是实部(,)u x y 的共轭调和函数.根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数.（3） 解析函数和调和函数的关系由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中一个，则可根据C-R 方程求出另一个，通常有两种方法：偏积分法和线积分法. 3. 初等函数指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数、幂函数、反三角函数以及反双曲函数. 当初等实变函数推广到初等复变函数时，揭示出了许多重要性质. 如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性.2.2 典型例题与解题方法例1 试讨论函数()Im f z z =的可导性. 解一 用导数定义来讨论.()()Im()Im w f z z f z z z zz z z∆+∆-+∆-==∆∆∆ Im Im Im Im z z z zz z+∆-∆==∆∆ Im ()x i y yx i y x i y∆+∆∆==∆+∆∆+∆.当点沿平行于实轴的方向()0=∆y 而使0→∆z 时， 00lim lim lim0000=∆=∆+∆∆=∆∆→∆=∆→∆→∆xy i x y z w x y x z ，当点沿平行于虚轴的方向()0=∆x 而使0→∆z 时， i y i y y i x y z w y y x z 1lim lim lim0000=∆∆=∆+∆∆=∆∆→∆→∆=∆→∆.因此，当点沿不同方向而使0→∆z 时，zw ∆∆的极限不同. 所以z wz ∆∆→∆0lim 不存在. 而z 是复平面上任意点，所以z z f Im )(=在复平面上处处不可导，自然也处处不解析.显然z z f Im )(=在复平面处处连续. 解二 用C-R 条件来研究.设iy x z +=，则y z z f ==Im )(，所以0,==v y u ..0,0,1,0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yvx v y ux u 因xvy u ∂∂-≠∂∂，故函数z z f Im )(=在复平面上处处不可导. 例2 讨论函数iy x z f 2)(+=的可导性. 解 因为0()()limz f z z f z z∆→+∆-∆02()2lim z x x i y y x iy z ∆→+∆++∆--=∆ yi x yix z ∆+∆∆+∆=→∆2lim0.先令z z ∆+沿着平行于x 轴的方向趋近于z （图 2.1），此时0=∆y ，因而1lim 2lim00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x xy i x yi x x z .再令z z ∆+沿着平行于y 轴的方向趋近于z ，此时0=∆x ，故极限22lim 2lim00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yi yiy i x yi x y z ，所以函数()2f z x yi =+在复平面上处处可导. 例3 证明2(1);(2);(3)sin zz e z 在复平面上不解析.分析 一般证明函数在复平面处处不可导或不解析多用函数不满足C-R 条件来证明. 证 （1）因2222z x y i xy =--，所以 xy y x v y x y x u 2),(,),(22-=-=..2,2,2,2x yvy x vy y ux xu-=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂ 由此可知，2w z =仅在点（0，0）处C-R 条件成立，所以2w z =仅在点（0，0）处可导，而在整个复平面上不解析. （2）因()cos sin zxe ey i y =-，所以,sin ,cos y e v y e u xx-==,cos ,cos y e yv y e x u x x -=∂∂=∂∂ 所以只有当)2,1,0(2Λ±±=±=k k y ππ时，才有yvx u ∂∂=∂∂. 由此可见：ze 在复平面上不解析. （3）因sin sin cos z x ch y i x sh y =-，所以 sin ,cos u x ch y v x sh y ==-，cos ,cos u v x ch y x ch y x y∂∂==-∂∂，因此，只有当)2,1,0(2Λ±±=±=k k x ππ时，才有yv x u ∂∂=∂∂， 可见sin z 在复平面上不解析. 例4 证明2222yx yi y x x w +-+=在0≠z 处解析，并求导函数. 分析 这种类型的题目在证明了解析性之后，求导数只要求出沿x 方向的导数xvi x u ∂∂+∂∂ 或沿y 方向的导数yui y v ∂∂-∂∂即可，这是因为，w 可导意味着沿任何方向的导数都相等. 证 因为2222,x yu v x y x y==-++.所以 ()()()()2222222222222222,2,2,y x x y y v y x xy x v y x xy y u y x x y x u +-=∂∂+=∂∂+-=∂∂+-=∂∂. 以上是四个偏导数在除去原点外的平面上连续，所以u v 、除0=z 外可微，且满足C-R 条件，因此w u iv =+除0z =外解析.()()222222222y x xyi y x x y x v i x u w +++-=∂∂+∂∂='. 例5 下列函数在复平面上何处可导？何处解析？（1）1z； （2）()()2222y xy i x y x -+--. 解 （1） 222211yx y i y x x iy x z +++=-=. 所以,,2222y x yv y x x u +=+=()(),2,22222222y x xy y u y x x y x u +-==∂∂+-=∂∂()()222222222,v xy v x y x y x y x y ∂-∂-==∂∂++. 对于0≠z ，处处不满足C-R 条件（z=0时函数无定义），所以函数1z处处不可导，从而处处不解析.（2） ()()2222yxy i x y x w -+--=.，，2222y xy v x y x u -=--=,2,12y yux x u -=∂∂-=∂∂.22,2y x yv y x v -=∂∂=∂∂ 这四个偏导数处处连续，所以),(,),(y x v y x u 处处可微.要C-R 条件成立, 必须满足y x x 2212-=-，从而21=y . 所以()()2222y xy i x y x w -+--=仅在直线21=y 上可导，而在复平面上处处不解析. 例6求证函数()f z =0z =满足C-R 条件，但它在0=z 处没有导数.证 0),(,),(==y x v xy y x u .(0,0)0x u x →∂==∂，(0,0)0y u y→∂==∂，且0=∂∂=∂∂yv x v ，所以在（0，0）满足C-R 条件. 但是 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<+-→>+=+-=--→=→.00,11,00,11)1(0lim 00lim00x x i x x i i x x z y x x yx z 且且所以，0)(==z xy z f 在处不可导.注：此题说明C-R 条件是可导的必要条件，而非充分条件. 例7 函数i y x y x z f 22332)(+-=是不是解析函数？并求其导数. 解 22332),(,),(y x y x v y x y x u =-=.y x yvxy x v y y u x x u 22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂ 均连续.要满足C-R 条件，必须要222234,43y xy y x x ==成立.即仅当0==y x 和43==y x 时才成立，所以)(z f 不是解析函数. 0)0()0,0()0,0(=∂∂+∂∂='x vixu f ，)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv i xu i f +=∂∂+∂∂=+'. 例9 设)(z f 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的（即互为充要条件）： （1）常数≡)(z f ； （2）0)(≡'z f ； （3）常数≡)(Re z f ； （4）常数≡)(Im z f ； （5）解析)(z f ； （6）常数≡)(z f . 证 按)1()6()5()4()3()2()1(⇒⇒⇒⇒⇒⇒的顺序证明. )2()1(⇒ 显然，0)()(='⇒=z f C z f .)3()2(⇒ 设D z z f ∈=',0)(.因为)(z f 在D 内解析，对任意D z ∈， 0)(=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='yui y v x v i x u z f . 于是对任意D z ∈，有0=∂∂=∂∂yu x u . 所以C y x u =),(（常数），即=)(Re z f 常数.)4()3(⇒ 设C z f iv u z f =+=)(Re ,)(（常数）. 即C u =，因为)(z f 在D 内解析，所以0=∂∂=∂∂x u y v ，0=∂∂-=∂∂yux v ， 因此C y x v =),(，即C z f =)(Im （常数）.)5()4(⇒ 若iC u z f iC u z f C z f -=+==)(,)(,)(Im 11，因为)(z f 在D 内解析，所以0=∂∂=∂∂=∂∂y C y v x u ，0=∂∂-=∂∂-=∂∂xC x v y u . 即xv y u y v x u ∂-∂-=∂∂∂-∂=∂∂)(,)(. 因此，)(z f 在D 内解析.)6()5(⇒ 设)()(z f z g =在D 内解析，iv u z f -=)(，由C-R 条件，xvy u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,. （1） 又因为)(z f 在D 内解析，所以xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,. （2） 由（1）、（2）得x v x v y v y v ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂-,，所以0=∂∂=∂∂yvx v ，因此2C v =. 由（1）0=∂∂=∂∂yu x u ，因此1C u =. 所以 i C C z f 21)(+==常数.)1()6(⇒ 设D z C z f ∈=,)(，所以在D 内，C v u =+22. 若0=C ，则0)(,0===z f v u ，结论成立.若0≠C ，将C v u =+22的两边分别对,x y 求偏导数，得022=∂∂+∂∂xvv x u u，（3） 022=∂∂+∂∂y v v y u u. （4） 由于)(z f 在D 内解析，故有xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,. 代入（4）式，得 022=∂∂-∂∂xv u x u v. （5） 联立（3）、（5）解方程组，因为04)(4222222≠-=+-=-C v u uv vu ，所以方程组有唯一解0,0=∂∂=∂∂xv x u ， 由此立即可得0=∂∂=∂∂yvy u ， 所以12,u C v C ==(12,C C 都是常数). 即 21)(iC C z f +=.例10 证明)(z f 在上半平面解析的充要条件是)(z f 在下半平面解析.分析 由上例知，当)(z f 和)(z f 都解析时，)(z f 必为常数. 故当)(z f 不是常数时，)(z f 和)(z f 不可能同时解析. 但本例却指出：当)(z f 解析时，不论)(z f 是否为常数，)(z f 必解析；反过来也成立.证 设),(),()(y x v i y x u z f +=，则),(),()(y x v i y x u z f ---=.先证必要性.因为)(z f 解析，故有xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,， 因此y y x v y y x v x y x u ∂--∂=-∂-∂=∂-∂)],([)(),(),(，xy x v x y x v y y x u ∂--∂=∂-∂-=-∂-∂)],([),()(),(.两式表明)(z f 的实部与虚部满足C-R 条件，又显然),(),(y x v y x u ---与可微，所以)(z f 在下半平面可微.再证充分性.若已知)(z f 在下半平面解析，则由必要性中推出之等式，)(z f 必于上半平面解析，亦即)(z f 于上半平面解析.例11 设D 是关于实轴对称的区域，证明函数)(z f 与)(z f 在D 内是同时解析的.分析 由于区域D 关于实轴对称，则D z D z ∈⇔∈.我们可分别利用函数解析的充要条件与定义给出两种证明.证一 设),(),()(y x v i y x u z f +=，则),(),()(y x v i y x u z f ---=， )(z f 在D 内解析),(,),(y x v y x u ⇔在D 内可微，且 ),(),(,),(),(y x v y x u y x v y x u x y y x -==.记(,)(,),(,)(,)x y u x y x y v x y ϕψ=-=--，则),,(),,(y x u y y x u x y x --=∂∂-=∂∂ϕϕ(,),(,).x y v x y v x y x yψψ∂∂=--=-∂∂ 不难推知，当)(z f 在D 内解析时，(,),(,)x y x y ϕψ在D 内可微且,,x y y xϕψϕψ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 即)(z f 在D 内解析.反之亦然. 证二 令)()(z f z g =，则 0000)()(lim)()(lim00z z z f z f z z z g z g z z z z --=--→→ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=→00)()(lim 0z z z f z f z z .若)(z f 在点0z 可导，则由上式可知)()(z f z g =在点0z 可导并且00()()g z f z ''=. 反之，若)(z g 在点0z 可导，则)()(z g z f =在点0z 可导.再利用解析函数的定义可知)(z f 与)(z f 在D 内是同时解析的. 例12 试求下列函数值：（1）32i e π-；（2）)5cos(i +π.解一 （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--3sin 3cos 3233232ππππi e eeii23cos sin 33e i ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i e 232132()i e 31232-=. （2）2)5cos()5()5(i i i i e e i +-++=+πππ255ii e e ππ-+-+=255ii e e e e ππ--+=()()[]ππππsin cos sin cos 2155i e i e -++=- [])1()1(2155-+-=-e e5255ch e e -=+-=-. 解二 ()i i i 5sin sin 5cos cos 5cos πππ-=+ 55cos ch i -=-=.例13试求下列函数值及其主值：（1）()i 33ln - ；（2）)3(-Ln . 解（1）()()()πk i i i i 233arg 33ln 33ln +-+-=- i k i π233arctan32ln +-+= .2,1,0,6232ln Λ±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=k k i ππ（2）()()).2,1,0(123ln 2)3arg(3ln )3(Λ±±=++=+-+=-k k i k i Ln ππ令0=k ，得主值()i i i ππ+-=-3ln 632ln 33ln 和.注意：在微积分中所见到的初等函数都有相应的复形式，并且在复形式下这些函数之间的关系更为清楚统一，但是实的初等函数的某些性质在复形式下时不再成立.例如上例中，负数也有对数，还有z e 可以取负值，正弦、余弦函数不再是有界的，等等.这些地方我们应加以注意. 例14 求()ii -+11的值及其主值.解 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--==+ππk i i i Ln i iee i 242ln1)1(111⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2ln 24242ln ππππk i k e).2,1,0(2ln 4sin 2ln 4cos 224Λ±±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+k i ek ππππ当0=k 时，主值为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-2ln 4sin 2ln 4cos 2141πππi e i i.例15 解下列方程：（1）2cos sin =-z z ；（2）i z sh =；（3）1=z th .解（1）由于⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin cos 4cos sin 2cos sin ππz z z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πz ，所以方程2cos sin =-z z 等价于24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πz 或2sin 4Arc z =-π.再由()21sin z iz Ln i z Arc -+-=可知 ()i i i Arc z ±-=+=2ln42sin 4ππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++±-=πππk i i 2212ln 4 ())2,1,0(12ln 243Λ±±=±-+=k i k ππ. 故方程2cos sin =-z z 的解为()Λ2,1,012ln 243±±=±-+=k i k z ππ.（2）方程i z sh =等价于()01222=--=--z z zz ie e i e e 或，它的根为)2,1,0(22Λ±±=⎪⎭⎫⎝⎛+===k i k i Ln z i e z ππ或.故方程i z sh =的解为Λ2,1,022±±=⎪⎭⎫⎝⎛+=k i k z ππ（3）由双曲正切函数的定义1122+-=+-==--z z z z z z e e e e e e z ch z sh z th ， 于是方程1=z th 等价于1122+=-zz e e .两边平方并令iv u e z +=2，可知()()222211v u v u ++=+-， 则推出 0=u因()[]z e e u z z Im 2cos Re Re 22==，所以 []24Im 0Im 2cos 0ππk z z u +=⇔=⇔=，其中Λ2,1,0±±=k . 故方程1=z th 的解为满足24Im ππk z +=()Λ2,1,0±±=k 的所有复数z. 例16 已知),(,y x y x φϕ）与（都是区域D 内的调和函数，试证明),(),(y x b y x a φϕ+也是区域D 内的调和函数，其中,a b 为常数.证 如果令φϕb a u +=，那么 y y y x x x b a u b a u φϕφϕ+=+=,， yx yx yx xy xy xy b a u b a u φϕφϕ+=+=,， yy yy yy xx xx xx b a u b a u φϕφϕ+=+=,，由于ϕ与φ是D 内的调和函数，则ϕ与φ的二阶偏导数在D 内均连续，且有00=+=+yy xx yy xx φφϕϕ，.从而,,,,yy yx xy xx u u u u 在D 内也连续，且有()()0=+++=+yy xx yy xx yy xx b a u u φφϕϕ， 因此，u 即φϕb a +是区域D 内的调和函数.例26 试证：22yx yu +=是在不包含原点的复平面所成的区域D 内的调和函数； 并求一个以u 为实部的解析函数iv u z f +=)(. 证 先证明u 是调和函数. ()()(),62,2623222332232222yxxy x u yxy y x u yxxyu xy xx x ++-=+-=+-=，()()().62,26322233223222222yxxy x u yxy y x u yxy x u yx yy y ++-=++-=+-=，显然，当()()0,0,≠y x 时，u 的二阶偏导数均连续，且满足Laplace 方程，所以在不包含原点的复平面所成的区域D 内u 是调和函数. 下面来求一个解析函数iv u z f +=)(. 解一（用偏积分法） 因为x y u v =，所以()2222yxxyv y +-=，从而 ())(222222x g yx xdy y xxyv ++=+-=⎰. 由此得 ()()2222222222)(yxy x u x g yxx y v y x +--=-='++-=，故 C x g x g ==')(,0)(. 因此 22xv C x y=++，而2222()y xf z u i v i iC x y x y =+=++++()22i x iy i iC iC x y z-=+=++. 解二（用线积分法）取()00,x y 为()1,0，积分路线如图2.4，就有 ()()00,,x y y x x y v u dx u dy C =-++⎰()()()()22,221,022222x y x y xydx dy C xyxy--=-++++⎰()22102212xy ydx x dy C x x y =---++⎰⎰ 22xC x y=++.以下做法与解一同.注：上面求v 的方法，理论上只适于0x >的情形（否则在积分过程中x 要取得零值，而这时被积函数无意义）.但可以直接验证所求得的22xv C x y =++（在除去原点所得区域内）符合题中要求.最后再指出一点：既然任给一个调和函数(,)x y ϕ，我们一定能够找到一个以(,)x y ϕ为实部或虚部的解析函数，而解析函数实部与虚部的任意阶偏导数是调和函数.因此，(,)x y ϕ的任意阶偏导数也是调和函数.换句话说，调和函数的任意阶偏导数仍然是调和函数.例27 已知22(,),(,),()(,)(,)u x y x y v x y f z u x y i v x y =-=+求使函数在复平面上解析.解 因 22222,2;2,2;u u u ux y x x y y ∂∂∂∂===-=-∂∂∂∂ 因此 2222220u ux y∂∂+=-=∂∂.从而u 是全平面上的调和函数. 方法一 取()()00,0,0x y =，则()0,022xyv x y dx xdy C xy C =++=+⎰⎰.方法二 由C-R 条件22(2)u udv dx dy ydx xdy d xy y x∂∂=-+=+=∂∂， 所以 2v xy C =+. 方法三 因为2v uy x y∂∂=-=∂∂， 两边对x 积分，得2()v xy y ϕ=+， 两边对y 求导，得v2()yx y ϕ∂'=+∂. 但2,()0,(),v u x y y C y xϕϕ∂∂'====∂∂所以故2v xy C =+.于是 2222()(2)()f z x y i xy C x iy iC z iC =-++=++=+.它在复平面上解析.例28 已知23(,)3v x y xy x =-+，求以v 为虚部的解析函数()f z u i v =+. 解 显然，v 是调和函数.由C-R 条件，2233,6v u v u y x xy x y y x∂∂∂∂=-+=-=-=∂∂∂∂. 由第一式得：323()u y x y x ϕ=-+，代入第二式，则有6()6.xy x xy ϕ'-+=- 于是()0,()x x C ϕϕ'==.因此32(,)3u x y y x y C =-+，()3223()33f z u i v y x y C i xy x =+=-++-+3i z C =+.例29 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求其共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+. 解一（偏积分法） 利用C-R 方程，(2)2v uy x y x x y∂∂=-=--+=-∂∂ 所以 2(2)2()2x v y x dx xy g y =-=-+⎰.有2()vx g y y∂'=+∂. 又2v u x y y x∂∂==+∂∂ 比较两式可得：2()2,()x g y x y g y y ''+=+=故，有2()2y g y ydy C ==+⎰. 因此 222()22x y v xy C C =-++为任意常数. 因而得到解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+()2222222x y x y xy i xy iC ⎛⎫=-++-++ ⎪⎝⎭()()2222242i x i xy y x i xy y iC =+--+-+ ()22z z i iC =•-+.解二（线积分法）因为 ()(),0,0(,)(,)x y v x y dv x y C =+⎰()(),0,0x y vvdx dy C xy∂∂=++∂∂⎰()(),0,0x y u udx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰, 所以()()()(),0,0(,)22x y v x y y x dx x y dy C =-+++⎰，于是由图2.5，()()()()()(),,0,00,0(,)22x y x y v x y y x dx x y dy C =-+++⎰⎰()()()()()(),0,0,0,022x x y x y x dx x y dy C =-+++⎰⎰()()()()22xyy x xy x dxx y dy C ===-+++⎰⎰()()002x yx dx x y dy C =-+++⎰⎰22222x y xy C =-+++ （C 为任意常数），从而可得解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+()22z z i iC -=+. 例30 已知()()()2242u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数()f z u i v =+ 解 因为()()()224242x x u v x xy y x y x y +=+++-+- ()()()224422y y u v x xy y x y x y +=-+++-+-且,x y y x u v u v ==-，所以上面两式分别相加减，可得 22332y v x y =--， （1） 6x v xy =. （2） 由（1）式得()222333232()v x y dy x y y y g x =--=--+⎰. 代入（2）式，得6()6xy g x xy '+= ，可推出()g x C =（实常数）. 因此 23(,)32v x y x y y y C =--+，()()()22(,)42(,)u x y x y x xy y x y v x y =-++-+-， 所确定的解析函数()f z u i v =+为()()3223()3232f z x xy x C i x y y y C =---+--+ 32,(1),z z k k i C C =-+=-+为任意常数.。
解析函数
3.不定积分与原函数 不定积分与原函数 • 这两个概念类同以往定义。
11
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g ( z ) 的 和、差、积、商 (除去分母为零的点 )在 D 内解析 .
( 2) 设函数 h = g ( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析 , 函数 w = f ( h) 在 h 平面上的区域 G 内解析 . 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g ( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w = f [ g ( z )] 在 D 内解析 .
6
4.微分的概念 微分的概念: 微分的概念 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 函数的微分概念完全一致 定义 设函数w = f (z), 如果
∆w = f (z0 +∆z) − f (z0 ) = f ′(z0 ) ⋅∆z + ρ(∆z)∆z, 式中 lim ρ(∆z) = 0, ρ(∆z)∆z 是 ∆z 的 高阶无穷
∆z→
小 f ′(z0 ) ⋅∆z 是函 w = f (z) 的改 , 数 变量 ∆w 的 线性部 . 分 f ′( z0 ) ⋅ ∆z 称为函数 w = f ( z )在点 z0 的微分,
记作 dw = f ′( z0 ) ⋅ ∆z .
7
如果函数在 z0 的微分存在 , 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
23
二、典型例题
判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 例1 判定下列函数在何处可导 在何处解析
(1) w = z;
解 (1) w = z ,
( 2) f ( z ) = e x (cos y + i sin y );
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z0
z
可导与连续 f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导。
连续
可导
求导法则
(1)[ f ( z) g ( z)] f ( z) g( z);
(2)[ f ( z) g ( z)] f ( z)g ( z) f ( z) g ( z);
(3)[ f ( z) ] 1 [ f ( z)g ( z) f ( z) g ( z)];
g(z)
g 2 (z)
(4){ f [ g ( z)]} f (w) g( z), 其中w g ( z);
(5) f ( z) 1 , 其中w f ( z)与z (w)是两个 (w)
互为反函数的单值函数，且 (w) 0；
解析函数的概念
定义：如果函数 f(z) 在z0及其z0 的邻域内处处可导，那么 称 f(z) 在z0解析。
第二章 解析函数
2.1复变函数的概念 2.2解析函数的充要条件 2.3初等解析函数
2.1复变函数的导数与微分
导数的定义2.1.1
设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在，那么就说f (z)在z0处可导。这个极限值称为f (z)在z0 处的导数，记作
u v x y
u v y x
复变类的一元函数
可导
可微
连续
有定义
有限存在
例 如果 f (z) 在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数。 证明： f (z) u i v v i u 0
x x y y u v u v 0 x x y y
即u(x, y) C,v(x, y) C
故f (z) 在D内恒为常数。
2.3初等解析函数
1.指数函数
定义2.3.1对任意的复数z=x+yi，规定函数
w ex (cos y i sin y)
为z的指数函数，记做
w ez e(cos y i sin y) 或exp( z) ex (cos y i sin y)
2.对数函数
对数函数定义为指数函数的反函数。我们把满足方程
由于eiz cos z i sin z, eiz cos z i sin z,
于是正弦函数
sin z eiz eiz
2i
余弦函数 cos z eiz eiz
2
双曲正弦函数
sh z e z ez
2
当z为实变数时， 左边的定义余初等 微积分中的三角函 数的定义一致
双曲余弦函数
ch z e z ez
2
例 2.3.2 求1 2 和 i i 的值。
i i eiLn i ei(ln ii2k )
e e i(i
i
2k
)
2
( 2k )
2
k 0,1,
1 2 e 2Ln1 e 2(ln1i2k ) ei2 2k
k 0,1,
由此可见， i i 的值全为正实数，它的
主值是
e2
0.208.
4.三角函数与双曲函数
f (z0 )
dw dz
z z0
lim z0
f (z0
z) z
f (z0)
定义： 如果f(z) 在区域D内处处可导，则称f(z)
在D内可导。
例： 求 f (z) z3 的导数
lim
z0
f
(z
z) z
f
(z)
lim (z z)3
z 0
z
z3
lim ( z3 3z2 • z 3z • z z3 z3 ) 3z2
解：因为w在复平面内除 z=0外处处可导，且 dw 1 dz z 2
所以在除原点外的复平面内，该函数处处解析， 而原点是它的奇点。
定理 （1）在区域 D 内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、 积、商（除去分母为零的点）在D内解析。
从此定理可以知道， 所有z的多项式在复平面内是处处解析的；
ew z(z 0) 的函数w = f (z)称为对数函数，记作 w Ln z.
设 w u iv, z rei , 那么 euiv rei
u ln r ln z , v 2k Arg z,
w Ln z ln z iArg z.
由于Arg z 是多值的，所以对于每个非零 z，复对数 Ln z 也是多值的。
P(z) 任何一个有理分式函数 Q(z) 在不含分母为零的点的区域内 是解析函数，使分母为零的点是它的奇点。
2.2解析函数的充要条件
复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析 的充要条件是二元函数u(x,y), v(x,y)在D内任意 一点Z=x+iy可微且在该点满足柯西-黎曼方程 （C-R方程）。
如果 f(z) 在区域 D 内每一点处解析，那么称 f(z) 在D内解析。 如果 f(z) 在z0处不解析，那么称z0等价的。函数在一点处解析与在一点处可导是两个不等价的。
函数在一点处可导未必在该点处解析。
例：研究函数 w 1 的解析性。 z
3.幂函数
定义： 设 z为不为零的复变数， 为任意一个复数，我们定义
乘幂
z e Ln z .
当z 为正实变数、为整数时，上式与微积分中的乘幂的定义一致
当z 为复变数、为复数时，
z e e
Ln z
[ln z i arg zi2k ]
e [ln zi2k ] e ln z ei 2k （k为整数）