第2章 解析函数习题课

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高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。

应用回归分析-第2章课后习题参考答案解析

应用回归分析-第2章课后习题参考答案解析

2.1 一元线性回归模型有哪些基本假定?答:1. 解释变量 1x , ,2x ,p x 是非随机变量,观测值,1i x ,,2 i x ip x 是常数。

2. 等方差及不相关的假定条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠=====j i n j i j i n i E j i i ,0),,2,1,(,),cov(,,2,1,0)(2 σεεε 这个条件称为高斯-马尔柯夫(Gauss-Markov)条件,简称G-M 条件。

在此条件下,便可以得到关于回归系数的最小二乘估计及误差项方差2σ估计的一些重要性质,如回归系数的最小二乘估计是回归系数的最小方差线性无偏估计等。

3. 正态分布的假定条件为⎩⎨⎧=相互独立n i ni N εεεσε,,,,,2,1),,0(~212 在此条件下便可得到关于回归系数的最小二乘估计及2σ估计的进一步结果,如它们分别是回归系数的最及2σ的最小方差无偏估计等,并且可以作回归的显著性检验及区间估计。

4. 通常为了便于数学上的处理,还要求,p n >及样本容量的个数要多于解释变量的个数。

在整个回归分析中,线性回归的统计模型最为重要。

一方面是因为线性回归的应用最广泛;另一方面是只有在回归模型为线性的假设下,才能的到比较深入和一般的结果;再就是有许多非线性的回归模型可以通过适当的转化变为线性回归问题进行处理。

因此,线性回归模型的理论和应用是本书研究的重点。

1. 如何根据样本),,2,1)(;,,,(21n i y x x x i ip i i =求出p ββββ,,,,210 及方差2σ的估计;2. 对回归方程及回归系数的种种假设进行检验;3. 如何根据回归方程进行预测和控制,以及如何进行实际问题的结构分析。

2.2 考虑过原点的线性回归模型 n i x y i i i ,,2,1,1 =+=εβ误差n εεε,,,21 仍满足基本假定。

求1β的最小二乘估计。

答:∑∑==-=-=ni ni i i i x y y E y Q 1121121)())(()(ββ∑∑∑===+-=--=∂∂n i n i ni i i i i i i x y x x x y Q111211122)(2βββ 令,01=∂∂βQ 即∑∑===-n i ni i i i x y x 11210β 解得,ˆ1211∑∑===ni ini ii xyx β即1ˆβ的最小二乘估计为.ˆ1211∑∑===ni ini ii xyx β2.3 证明: Q (β,β1)= ∑(y i-β0-β1x i )2因为Q (∧β0,∧β1)=min Q (β0,β1 )而Q (β0,β1) 非负且在R 2上可导,当Q 取得最小值时,有即-2∑(y i-∧β0-∧β1x i )=0 -2∑(y i-∧β0-∧β1x i ) x i =0又∵e i =y i-( ∧β0+∧β1x i )= y i-∧β0-∧β1x i ∴∑e i =0,∑e i x i =0(即残差的期望为0,残差以变量x 的加权平均值为零)2.4 解:参数β0,β1的最小二乘估计与最大似然估计在εi~N(0, 2 )10ˆˆQQββ∂∂==∂∂i=1,2,……n 的条件下等价。

(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式; 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立,则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ,y =3、若1231izi i,则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+,则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ,指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________,指数表示式为_________________. 9、设i z 21=,i z -=12,则)(21z z Arg = _ _____。

10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。

z11、。

方程0273=+z 的根为_________________________________。

12、一曲线的复数方程是2z i -=,则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________。

15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题(正确打√,错误打⨯)1、复数7613i i +>+. ( )2、若z 为纯虚数,则z z ≠. ( )3、若 a 为实常数,则a a = ( )4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

第二章 习题课 与圆有关的最值问题

第二章 习题课 与圆有关的最值问题

习题课 与圆有关的最值问题学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 导语2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成,信号覆盖范围达60公里. 一艘船由于机械故障在海上遇险,想要求救,却发现手机没有信号.已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域,那么船到达信号区域的最短路程是多少呢?(引出课题:探究与圆有关的最值问题.) 一、与距离有关的最值问题1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值=d -r ,最大值=d +r .2.直线与圆相离,圆上任意一点到直线距离的最小值=d -r ,最大值=d +r .3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值=2r 2-d 2,最大值=2r .4.直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值=d 2-r 2.例1 (1)当直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R )被圆C :(x -1)2+(y -2)2=25截得的弦最短时,m 的值为________. 答案 -34解析 直线l 的方程可化为(2x +y -7)m +x +y -4=0,所以直线l 会经过定点⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -7=0,x +y -4=0, 解得定点坐标为M (3,1) ,圆心C 为(1,2),当直线l 与CM 垂直时,直线被圆截得的弦长最短,k CM =2-11-3=-12,k l =-2m +1m +1,所以k CM ×k l =⎝⎛⎭⎫-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-2m +1m +1=-1,解得m =-34. (2)已知圆C :x 2+y 2-2x +4y +1=0关于直线l :3ax +2by +4=0对称,则由点M (a ,b )向圆C 所作的切线中,切线长的最小值是( ) A .2 B. 5 C .3 D.13 答案 B解析 因为圆C :x 2+y 2-2x +4y +1=0,即圆C :(x -1)2+(y +2)2=4, 所以圆心为C (1,-2),半径R =2.因为圆C 关于直线l :3ax +2by +4=0对称,所以l :3a -4b +4=0,所以点M (a ,b )在直线l 1:3x -4y +4=0上, 所以|MC |的最小值为d =|3+8+4|5=3,切线长的最小值为d 2-R 2=9-4= 5.反思感悟 (1)形如(x -a )2+(y -b )2形式的最值问题,可转化为动点(x ,y )到定点(a ,b )的距离的平方的最值问题.(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离,然后利用数形结合确定距离的最值.跟踪训练1 (1)从点P (1,-2)向圆x 2+y 2-2mx -2y +m 2=0作切线,当切线长最短时,m 的值为( )A .-1B .1C .2D .0 答案 B解析 x 2+y 2-2mx -2y +m 2=0可化为(x -m )2+(y -1)2=1,圆心C (m ,1),半径为1, 切线长最短时,|CP |最小,|CP |=(m -1)2+9,即当m =1时,|CP |最小,切线长最短.(2)过点(3,1)作圆(x -2)2+(y -2)2=4的弦,其中最短弦长为________. 答案 2 2解析 设点A (3,1),易知圆心C (2,2),半径r =2.当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦, |CA |=(2-3)2+(2-1)2= 2.∴半弦长=r 2-|CA |2=4-2= 2.∴最短弦长为2 2.二、与面积相关的最值问题例2 已知点O (0,0),A (0,2),点M 是圆(x -3)2+(y +1)2=4上的动点,则△OAM 面积的最小值为( )A .1B .2C .3D .4 答案 A解析 根据题意,得圆(x -3)2+(y +1)2=4的圆心为(3,-1),半径r =2,O (0,0),A (0,2),OA 所在的直线是y 轴,当M 到直线AO 的距离最小时,△OAM 的面积最小, 则M 到直线AO 的距离的最小值d =3-2=1, 则△OAM 的面积最小值S =12×|OA |×d =1.反思感悟 求圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法、基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.跟踪训练2 (1)直线y =kx +3与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,则△OAB 面积的最大值为( )A .1 B.12 C.24 D.34答案 B解析 设圆心到直线的距离为d (0<d <1), 则所截得的弦长l =21-d 2,所以S △ABO =12·21-d 2·d =(1-d 2)·d 2,由基本不等式,可得S △ABO =(1-d 2)·d 2≤1-d 2+d 22=12,当且仅当d =22时,等号成立. (2)已知点P (x ,y )是直线kx +y +4=0(k >0)上一动点,P A ,PB 是圆C :x 2+y 2-2y =0的两条切线,A ,B 是切点,若四边形P ACB 的最小面积是2,则k =________. 答案 2解析 圆C :x 2+y 2-2y =0的圆心为C (0,1),半径r =1,由圆的性质可知,四边形的面积S =2S △PBC ,又四边形P ACB 的最小面积是2,则S △PBC 的最小值为S =1=12r |PB |min =12|PB |min ,则|PB |min =2, 因为|PB |=|PC |2-r 2=|PC |2-1,所以当|PC |取最小值时,|PB |最小. 又点P (x ,y )是直线kx +y +4=0上的动点,当CP 垂直于直线kx +y +4=0时,|PC |最小,即为圆心C (0,1)到直线的距离, 所以|1+4|k 2+1=22+12=5,解得k =±2,因为k >0,所以k =2.三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题例3 已知点P (x ,y )在圆C :x 2+y 2-6x -6y +14=0上. (1)求yx的最大值和最小值;(2)求x 2+y 2+2x +3的最大值与最小值; (3)求x +y 的最大值与最小值.解 方程x 2+y 2-6x -6y +14=0可化为(x -3)2+(y -3)2=4.(1)yx表示圆上的点P 与原点连线所在直线的斜率,如图(1)所示,显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时,斜率最大或最小.设切线方程为y =kx (由题意知,斜率一定存在),即kx -y =0,由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2,可得|3k -3|k 2+1=2,解得k =9±2145,所以yx 的最大值为9+2145,最小值为9-2145. (2)x 2+y 2+2x +3=(x +1)2+y 2+2,它表示圆上的点P 到E (-1,0)的距离的平方再加2,所以当点P 与点E 的距离最大或最小时,所求式子取得最大值或最小值,如图(2)所示,显然点E 在圆C 的外部,所以点P 与点E 距离的最大值为|P 1E |=|CE |+2,点P 与点E 距离的最小值为|P 2E |=|CE |-2.又|CE |=(3+1)2+32=5,所以x 2+y 2+2x +3的最大值为(5+2)2+2=51,最小值为(5-2)2+2=11.(3)设x +y =b ,则b 表示动直线y =-x +b 在y 轴上的截距,如图(3)所示,显然当动直线y =-x +b 与圆(x -3)2+(y -3)2=4相切时,b 取得最大值或最小值,此时圆心C (3,3)到切线x +y =b 的距离等于圆的半径2,则|3+3-b |12+12=2,即|b -6|=22,解得b =6±22,所以x +y的最大值为6+22,最小值为6-2 2.反思感悟 (1)形如u =y -bx -a 形式的最值问题,可转化为过点(x ,y )和(a ,b )的动直线斜率的最值问题.(2)形如l =ax +by 形式的最值问题,可转化为动直线y =-a b x +lb 的截距的最值问题.跟踪训练3 (多选)已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0,则下列说法正确的是( ) A .y -x 的最大值为6-2 B .x 2+y 2的最大值为7+4 3 C.y x 的最大值为32D .x +y 的最大值为2+ 3 答案 AB解析 对于A ,设z =y -x ,则y =x +z ,z 表示直线y =x +z 的纵截距,当直线与圆(x -2)2+y 2=3有公共点时,|2+z |2≤3,解得-6-2≤z ≤6-2,所以y -x 的最大值为6-2,故A 说法正确;对于B ,x 2+y 2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方,易知原点到圆心的距离为2,则原点到圆上的最大距离为2+3,所以x 2+y 2的最大值为(2+3)2=7+43,故B 说法正确;对于C ,设yx =k ,把y =kx 代入圆方程得(1+k 2)x 2-4x +1=0,则Δ=16-4(1+k 2)≥0,解得-3≤k ≤3,yx的最大值为3,故C 说法错误;对于D ,设m =x +y ,则y =-x +m ,m 表示直线y =-x +m 的纵截距,当直线与圆(x -2)2+y 2=3有公共点时,|-2+m |2≤3,解得-6+2≤m ≤6+2,所以x +y 的最大值为6+2,故D 说法错误.1.知识清单:(1)与距离、面积有关的最值问题(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题. 2.方法归纳:数形结合、转化思想. 3.常见误区:忽略隐含条件导致范围变大.1.圆x 2+y 2=4上的点到直线4x -3y +25=0的距离的取值范围是( ) A .[3,7] B .[1,9] C .[0,5] D .[0,3]答案 A解析 x 2+y 2=4,圆心(0,0),半径r =2, 圆心到直线4x -3y +25=0的距离d =|0-0+25|42+(-3)2=5,所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3,最大值为5+2=7,所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7].2.已知O 为坐标原点,点P 在单位圆上,过点P 作圆C :(x -4)2+(y -3)2=4的切线,切点为Q ,则|PQ |的最小值为( ) A. 3 B .2 3 C .2 D .4 答案 B解析 根据题意,圆C :(x -4)2+(y -3)2=4,其圆心C (4,3),半径r =2,过点P 作圆C :(x -4)2+(y -3)2=4的切线,切点为Q ,则|PQ |=|PC |2-4,当|PC |最小时,|PQ |最小,又由点P 在单位圆上,则|PC |的最小值为|OC |-1=9+16-1=4,则|PQ |的最小值为16-4=2 3.3.点M (x ,y )在圆x 2+(y -2)2=1上运动,则yx 的取值范围是( )A .[3,+∞) B. (-∞,-3]C. (-∞,-3]∪[3,+∞)D. [-3,3] 答案 C解析 将yx看作圆上动点(x ,y )与原点O (0,0)连线的斜率,如图,可得k ≥3或k ≤- 3.4.已知圆C 1:x 2+y 2+4x -4y =0,动点P 在圆C 2:x 2+y 2-4x -12=0上,则△PC 1C 2面积的最大值为_________. 答案 4 5解析 因为C 1(-2,2),r 1=22,C 2(2,0),r 2=4, 所以|C 1C 2|=(-2-2)2+22=25,当PC 2⊥C 1C 2时,△PC 1C 2的面积最大,其最大值为12×25×4=4 5.课时对点练1.已知过点(1,1)的直线l 与圆x 2+y 2-4x =0交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为( ) A. 2 B .2 C .2 2 D .4 答案 C解析 将圆的方程x 2+y 2-4x =0化为标准方程为(x -2)2+y 2=4, 则圆心为(2,0),半径r =2,则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为2, |AB |的最小值为222-(2)2=2 2.2.已知点P 是直线3x +4y +5=0上的动点,点Q 为圆(x -2)2+(y -2)2=4上的动点,则|PQ |的最小值为( ) A.195 B.95 C.59 D.295 答案 B解析 圆(x -2)2+(y -2)2=4的圆心为(2,2),半径为2, 则圆心到直线3x +4y +5=0的距离为|6+8+5|5=195,所以|PQ |的最小值为195-2=95.3.已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-4x -1=0,则y -2x 的最小值和最大值分别为( ) A .-9,1 B .-10,1 C .-9,2 D .-10,2答案 A解析 y -2x 可看作是直线y =2x +b 在y 轴上的截距,如图所示,当直线y =2x +b 与圆x 2+y 2-4x -1=0相切时,b 取得最大值或最小值,此时|2×2+b |1+22=5,解得b=-9或1,所以y-2x的最大值为1,最小值为-9.4.已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A. 2B. 3 C.1 D.3答案 A解析由题意知,圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径,即|1-1+4|12+(-1)2-2= 2.5.在平面直角坐标系xOy中,已知(x1-2)2+y21=5,x2-2y2+4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为()A.55 B.15 C.1215 D.1155答案 B解析由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为|2+4|1+4-5=55,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为15.6.已知点P是直线l:3x+4y-7=0上的动点,过点P引圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则当PM的最小值为3时,r的值为()A.2 B. 3 C. 2 D.1答案 D解析如图,由题意得|PM|2=|PC|2-r2,当PC⊥l时,|PC|最小时,|PM|最小.由题意得|PC|min=d=|3×(-1)+4×0-7|32+42=2,所以(3)2=22-r2,∴r=1.7.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________________. 答案 (x -1)2+y 2=2解析 ∵直线mx -y -2m -1=0恒过定点(2,-1), ∴圆心(1,0)到直线mx -y -2m -1=0的最大距离为d =(2-1)2+(-1)2=2,∴半径最大为2,∴半径最大的圆的标准方程为(x -1)2+y 2=2.8.已知圆C :(x -4)2+(y -3)2=4和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m >0).若圆C 上存在点M ,使得AM ⊥MB ,则m 的最小值为________. 答案 3解析 根据题意,点A (-m ,0),B (m ,0)(m >0), 则AB 的中点为(0,0),|AB |=2m ,则以AB 的中点为圆心,半径r =12×|AB |的圆为x 2+y 2=m 2,设该圆为圆O ,若圆C 上存在点M ,使得AM ⊥MB ,则圆C 与圆O 有交点,必有|m -2|≤|OC |≤m +2,即⎩⎪⎨⎪⎧|m -2|≤5,m +2≥5,又由m >0, 解得3≤m ≤7, 即m 的最小值为3.9.已知M 为圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0上任意一点,且点Q (-2,3). (1)求|MQ |的最大值和最小值;(2)若M (m ,n ),求n -3m +2的最大值和最小值.解 (1)由圆C 的方程x 2+y 2-4x -14y +45=0化为标准方程得(x -2)2+(y -7)2=8,∴圆心C 的坐标为(2,7),半径r =22,又|QC |=(2+2)2+(7-3)2=42,∴|MQ |max =42+22=62,|MQ |min =42-22=2 2.(2)由题可知n -3m +2表示直线MQ 的斜率, 设直线MQ 的方程为y -3=k (x +2),即kx -y +2k +3=0,则n -3m +2=k . 由直线MQ 与圆C 有交点,得|2k -7+2k +3|1+k2≤22, 可得2-3≤k ≤2+3,∴n -3m +2的最大值为2+3,最小值为2- 3. 10.已知直线l :3x +4y +1=0,一个圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴都相切,且圆心C 到直线l 的距离为3.(1)求圆的方程.(2)P 是直线l 上的动点,PE ,PF 是圆的两条切线,E ,F 分别为切点,求四边形PECF 的面积的最小值.解 (1)圆与x ,y 轴正半轴都相切,∴圆的方程可设为(x -a )2+(y -a )2=a 2(a >0),圆心C 到直线的距离为3,∴由点到直线的距离公式,得d =|3a +4a +1|32+42=3, 解得a =2,∴半径为2.∴圆的方程为(x -2)2+(y -2)2=4.(2)PE ,PF 是圆的两条切线,E ,F 分别为切点,∴△PCE≌△PCF,∴S四边形PECF=2S△PCE,PE是圆的切线,且E为切点,∴PE⊥CE,|CE|=2,|PE|2=|PC|2-|CE|2=|PC|2-4,∴当斜边PC取最小值时,PE也最小,即四边形PECF的面积最小.|PC|min即为C到l的距离,由(1)知|PC|min=3,∴|PE|2min=32-4=5,即|PE|min=5,∴S△PCE=12|EC|·|PE|=12×2×5=5,∴四边形PECF面积的最小值为2 5.11.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.2答案 B解析如图,圆心M(3,-1)与定直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6.又因为圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.12.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,2),则四边形ABCD面积的最大值为()A.5 B.10 C.15 D.20答案 A解析如图,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q,则|OP|2+|OQ|2=|OM|2=3,∴|AC|2+|BD|2=4(4-|OP|2)+4(4-|OQ|2)=20.又|AC|2+|BD|2≥2|AC|·|BD|,则|AC|·|BD|≤10,∴S 四边形ABCD =12|AC |·|BD |≤12×10=5,当且仅当|AC |=|BD |=10时,等号成立,∴四边形ABCD 面积的最大值为5.13.已知圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5,点B 的坐标为(0,2),设P ,Q 分别是直线l :x +y +2=0和圆C 上的动点,则|PB |+|PQ |的最小值为________.答案 2 5解析 由于点B (0,2)关于直线l :x +y +2=0的对称点为B ′(-4,-2),则|PB |+|PQ |=|PB ′|+|PQ |≥|B ′Q |,又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |-R =35-5=25,所以|PB |+|PQ |的最小值为2 5.14.已知实数x ,y 满足方程y =-x 2+4x -1,则y x的取值范围是________. 答案 [0,3]解析 方程y =-x 2+4x -1化为(x -2)2+y 2=3(y ≥0),表示的图形是一个半圆,令y x=k ,即y =kx ,如图所示,当直线与半圆相切时,k =3,所以y x的取值范围是[0,3].15.已知直线l :x -y =1与圆M :x 2+y 2-2x +2y -1=0相交于A ,C 两点,点B ,D 分别在圆M 上运动,且位于直线AC 两侧,则四边形ABCD 面积的最大值为________. 答案 30解析 把圆M :x 2+y 2-2x +2y -1=0化为标准方程为(x -1)2+(y +1)2=3,圆心M (1,-1),半径r = 3.直线l 与圆相交,由点到直线的距离公式得弦心距d =|1-(-1)-1|12+(-1)2=22,由勾股定理得半弦长=3-⎝⎛⎭⎫222=102,所以弦长|AC |=2×102=10. 又B ,D 两点在圆上,并且位于直线l 的两侧,四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和,当B ,D 为如图所示位置,即BD 为弦AC 的垂直平分线时(即为直径),两三角形的面积之和最大,即四边形ABCD 的面积最大,最大面积为S =12|AC |×|BE |+12|AC |×|DE |=12|AC |×|BD |=12×10×23=30. 16.已知圆心在x 轴上的圆C 与直线l :4x +3y -6=0切于点M ⎝⎛⎭⎫35,65.(1)求圆C 的标准方程;(2)已知N (2,1),经过原点且斜率为正数的直线l 1与圆C 交于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).①求证:1x 1+1x 2为定值; ②求|PN |2+|QN |2的最大值.(1)解 由圆心在x 轴上的圆C 与直线l :4x +3y -6=0切于点M ⎝⎛⎭⎫35,65,设C (a ,0),直线l :4x +3y -6=0的斜率为-43, 则k CM =6535-a , 所以6535-a ·⎝⎛⎭⎫-43=-1, 所以a =-1,所以C (-1,0),|CM |=⎝⎛⎭⎫-1-352+⎝⎛⎭⎫652=2, 即r =2,所以圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=4.(2)①证明 设直线l 1:y =kx (k >0),与圆联立方程组可得(1+k 2)x 2+2x -3=0,Δ=4+12(1+k 2)>0,x 1+x 2=-21+k 2,x 1x 2=-31+k 2, 则 1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=23为定值.②解 |PN |2+|QN |2=(x 1-2)2+(y 1-1)2+(x 2-2)2+(y 2-1)2=(x 1-2)2+(kx 1-1)2+(x 2-2)2+(kx 2-1)2=(1+k 2)(x 1+x 2)2-2(1+k 2)x 1x 2-(4+2k )(x 1+x 2)+10=12+4k 1+k 2+16, 令t =3+k (t >3),则k =t -3,所以12+4k 1+k 2+16=4t 1+(t -3)2+16=4t +10t-6+16≤4210-6+16=210+22, 当且仅当t =10t,即t =10时,取等号,此时k =10-3, 所以|PN |2+|QN |2的最大值为210+22.。

(陈慧南 第3版)算法设计与分析——第2章课后习题答案

(陈慧南 第3版)算法设计与分析——第2章课后习题答案

因此 T (n) (n 2 ) (3) a 28, b 3, f n cn3
nlogb a nlog3 28 n3.033 ,则 f (n) c n 2 (nlogb a - ) ,其中可取 =0.04 。符合主定理
的情况 1 ,因此 T (n) (n3.033 )
21 21 当 n n0 时, f n g n ,所以 f n = g n 2 2
(2) f n n 2 logn , g n n log 2 n
2 当 n 4 时, f n n 2 logn n 2 , g n n log 2 n n 。因此可取 n0 4, c 1 ,当
g n
(1) f n 20n logn , g n n+ log 3 n
f n 20n logn 21n , g n n+ log 3 当 n 3 时, logn n log3 n 2n n 因此
因此可取 n0 3, c
f n g n ,所以 f n = g n
2-12 将下列时间函数按增长率的非递减次序排列
3 2
n
, log n , log 2 n , n log n , n ! , log(log(n)) , 2 n , n1 log n , n 2
答: n1 log n
f ( n ) ( n m )
证明:
f (n) am nm am1nm1 a1n a0 F (n) am n m am1 n m1
a1 n a0
由 F (n) 单调性易知,存在 nt 0 ,使得 F (n) 取 n 1 ,且 nt0 nt , F (nt0 ) 0 ,则 当 n nt0 时, F (n) 0 即: f (n) am n m am1 n m1

复变函数第三版习题

复变函数第三版习题

复变函数第三版习题第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续?是否一致连续? 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外,处处不可微。

3. 设函数f(z)在区域D内解析。

证明:如果对每一点z?D,有f’(z)?0,那么f(z)在D内为常数。

4. 设函数f(z)在区域D内解析。

证明:如果f(z)满足下列条件之一,那么它在D内为常数:Ref(z)或Imf(z)在D内为常数;|f(z)|在D内为常数。

5. 证明:若函数f(z)在上半平面解析,则函数f(z)在下半平面解析。

6. 试用柯西-黎曼条件,证明下列函数在复平面解析:z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析:z,e,sinz,cosz。

7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是:?u1?v?u?v。

?,??r?rr?????r2z8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一定有任意阶导数。

证明:f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数,并且满足拉普拉斯方程:22?U?x2??U?y2?0 在D内,(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。

10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数,利用对数函数求出它们的解析表达式。

11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数,证明:sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出:cosh2z?sinh2z?1,sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2,cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2,sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy,cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy,dsinhzdzdcoszdz。

第二章 第十节 函数的模型与应用 解析版-备战2022年(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习

第二章 第十节 函数的模型与应用   解析版-备战2022年(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习

第十节函数模型及其应用知识回顾1.几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt,其中N0,λ是正的常数.当N=2N0时,t=________ .ln⁡2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt,其中N0,λ是正的常数.当N= 2N0时,则N=N0eλt=2N0≠0,化为:eλt=2,ln⁡2.解得t=1λ故答案为1λln⁡2.【分析】由题意可得:N =N 0e λt =2N 0≠0,化为:e λt =2,化为对数式即可得出. 【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为________. 答案p +1q +1-1解析 设年平均增长率为x ,则(1+x )2=(1+p )(1+q ), ∴x =1+p1+q -1.3.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处. 答案 5解析 由题意得,y 1=k 1x ,y 2=k 2x ,其中x >0,当x =10时,代入两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,可得k 1=20,k 2=45,y 1+y 2=20x +45x ≥220x ·45x =8,当且仅当20x =45x ,即x =5时取等号.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x ,y 应为________. 答案 15,12解析 由三角形相似得24-y 24-8=x 20,得x =54(24-y ),∴S =xy =-54(y -12)2+180,∴当y =12时,S 有最大值,此时x =15.5.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p =at 2+bt +c (a 、b 、c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.答案 3.75解析 根据图表,把(t ,p )的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式,联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7=9a +3b +c ,0.8=16a +4b +c ,0.5=25a +5b +c ,消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a +b =0.1,9a +b =-0.3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-0.2,b =1.5,c =-2.0.所以p =-0.2t 2+1.5t -2.0=-15(t 2-152t +22516)+4516-2=-15(t -154)2+1316,所以当t =154=3.75时,p 取得最大值,即最佳加工时间为3.75分钟.6.(多选)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg 3≈0.477)( ) A .6 B .9 C .8 D .7 答案 BC解析 设经过n 次过滤,产品达到市场要求, 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000,即⎝⎛⎭⎫23n ≤120, 由n lg 23≤-lg 20,即n (lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n ≥1+lg 2lg 3-lg 2≈7.4,故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )解析:选C 小明匀速行驶时,图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.变式1.如图,四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系,其中不正确的个数为( )A.1B.2C.3 D.4解析:选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来.图①应该是匀速的,故下面的图象不正确;②中的变化率应该是越来越慢的,正确;③中的变化率是先快后慢再快,正确;④中的变化率是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的.例2.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B,故选D.变式2.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响.根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据得到下面的散点图.则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A.y=ax+b B.y=a+b xC.y=a·b x D.y=ax2+bx+c答案 B解析根据散点图可知,选择y=a+b x最适合.考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙,研究某种候鸟的专家发现,该种候鸟的飞行速度 v (单位:m ⋅s −1)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3⁡Q10(其中 a 、b 是常数).据统计,该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为个 90 单位时,飞行速度为 1m ⋅s −1.若这种候鸟为赶路程,飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1,求其耗氧量至少要多少个单位. 【答案】270 个单位【解析】由题意,知 {a +blog 3⁡3010=0a +blog 3⁡9010=1,即 {a +b =0a +2b =1,解得 {a =−1b =1,所以 v =−1+log 3⁡Q 10, 要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1,则有 v ⩾2,即 −1+log 3⁡Q 10⩾2,即 log 3⁡Q10⩾3,解得 Q10⩾27,即 Q10⩾270,所以耗氧量至少要 270 个单位.变式1.数据显示,某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示:月份 2 3 4 5 6月收入(万元)1.42.565.311121.3根据上述数据,在建立该公司 2018 年月收入 y (万元)与月份 x 的函数模型时,给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择.(1) 你认为哪个函数模型较好,并简单说明理由; 【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4);(3,2.56);(4,5.31);(5,11);(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近,因此用函数 y =2x 3这一模型较好.(2) 试用你认为较好的函数模型,分析大约从第几个月份开始,该公司的月收入会超过 100 万元?(参考数据 lg⁡2=0.3010,lg⁡3=0.4771) 【答案】大约从第 9 月份开始 【解析】当2x 3>100 时,2x >300,∴lg⁡2x >lg⁡300即 xlg⁡2>2+lg⁡3∴x >2+lg⁡3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始,该公司的月收入会超过 100 万元. 当2x 3>100 时,2x >30028=256<300;29=512>300故大约从第 9 月份开始,该公司的月收入会超过 100 万元.例2.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比;药物释放完毕后,y 与t 的函数关系式y =⎝⎛⎭⎫116t -a(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:①从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________.②据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 答案 ①y =⎩⎪⎨⎪⎧10t ,0≤t ≤0.1,⎝⎛⎭⎫116t -0.1,t >0.1②0.6解析 ①设y =kt ,由图象知y =kt 过点(0.1,1), 则1=k ×0.1,k =10,∴y =10t (0≤t ≤0.1). 由y =⎝⎛⎭⎫116t -a过点(0.1,1),得1=⎝⎛⎭⎫1160.1-a , 解得a =0.1,∴y =⎝⎛⎭⎫116t -0.1(t >0.1).②由⎝⎛⎭⎫116t -0.1≤0.25=14,得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室.变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位:元)由f (m )=1.06(0.5[m ]+1)给出,其中m >0,[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元. 答案 4.24解析 ∵m =6.5,∴[m ]=6, 则f (6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场,决定从A ,B 两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位:万美元):预计m ∈[6,8],另外,年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A ,B 两种产品的年利润y 1,y 2与生产相应产品的件数x 1,x 2之间的函数关系式,并指明定义域;(2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.[解] (1)由题意得y 1=10x 1-(20+mx 1)=(10-m )x 1-20(0≤x 1≤200且x 1∈N),y 2=18x 2-(40+8x 2)-0.05x 22=-0.05x 22+10x 2-40=-0.05(x 2-100)2+460(0≤x 2≤120且x 2∈N). (2)∵6≤m ≤8,∴10-m >0, ∴y 1=(10-m )x 1-20为增函数. 又0≤x 1≤200,x 1∈N ,∴当x 1=200时,生产A 产品的最大利润为(10-m )×200-20=1 980-200m (万美元). ∵y 2=-0.05(x 2-100)2+460(0≤x 2≤120,且x 2∈N), ∴当x 2=100时,生产B 产品的最大利润为460万美元. (y 1)max -(y 2)max =(1 980-200m )-460=1 520-200m . 易知当6≤m <7.6时,(y 1)max >(y 2)max .即当6≤m <7.6时,投资生产A 产品200件可获得最大年利润;当m =7.6时,投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件,均可获得最大年利润; 当7.6<m ≤8时,投资生产B 产品100件可获得最大年利润.变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R %(即每销售100元征税R 元),若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30-52R 万件,要使附加税不少于128万元,则R 的取值范围是( ) A .[4,8] B .[6,10] C .[4%,8%] D .[6%,10%]答案 A解析 根据题意,要使附加税不少于128万元,需⎝⎛⎭⎫30-52R ×160×R %≥128, 整理得R 2-12R +32≤0,解得4≤R ≤8,即R ∈[4,8].2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A .2018年 B .2019年 C .2020年D .2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y =e kx +b (e =2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A .16小时B .20小时C .24小时D .28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130(1+12%)n -1>200, 则lg[130(1+12%)n -1]>lg 200, ∴lg 130+(n -1)lg 1.12>lg 2+2, ∴2+lg 1.3+(n -1)lg 1.12>lg 2+2, ∴0.11+(n -1)×0.05>0.30,解得n >245,又∵n ∈N *,∴n ≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年.故选C. (2)由已知得192=e b ,① 48=e 22k +b =e 22k ·e b ,②将①代入②得e 22k =14,则e 11k =12,当x =33时,y =e 33k +b =e 33k ·e b =⎝⎛⎭⎫123×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时.故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为________.答案 5解析 根据图象求得y =-(x -6)2+11, ∴年平均利润yx=12-⎝⎛⎭⎫x +25x , ∵x +25x ≥10,当且仅当x =5时等号成立.∴要使平均利润最大,客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 3 平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x =________米.答案 2 3解析 由题意可得BC =18x -x2(2≤x <6),∴y =18x +3x 2≥218x ×3x2=6 3. 当且仅当18x =3x2(2≤x <6),即x =23时等号成立.4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元,以后每分钟 0.10 元(前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计,以后不足 1 分钟按 1 分钟计).(1) 在直角坐标系内,画出一次通话在 6 分钟内(包括 6 分钟)的话费 y (元)关于通话时间 t (分钟)的函数图象; 【答案】见解析 【解析】如下图所示.(2) 如果一次通话t分钟(t>0),写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数).【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知,话费y与时间t的关系是分段函数.当0<t⩽3时,话费y为0.2元;当t>3时,话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元.所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3.变式4.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;①该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示;①每月需各种开支2000元.(1) 当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;【答案】当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元【解析】设该店月利润余额为L元,则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26,代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时,L max=450元,此时P=19.5元;当20<P⩽26时,L max=12503元,此时P=613元.故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元.(2) 企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫,依题意有12n×450−50000−58000⩾0,解得n⩾20.即最早可望在20年后脱贫.课后习题一.单选题1.(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的()A.点M B.点NC.点P D.点Q解析:选D假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图象不符,故A选项错误;假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故B选项错误;假设这个位置在点P,则由函数图象可得,从A到C的过程中,会有一个时刻,教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离,而点P不符合这个条件,故C选项错误;经判断点Q符合函数图象,故D选项正确,选D.2.(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度,现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100,且教职工平均月评价分数在50分左右,若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元).要求绩效工资不低于500元,不设上限,且让大部分教职工绩效工资在600元左右,另外绩效工资越低或越高时,人数要越少.则下列函数最符合要求的是()A.y=(x-50)2+500 B.y=10x25+500C .y =11 000(x -50)3+625D .y =50[10+lg(2x +1)]解析:选C 由题意知,拟定函数应满足:①是单调递增函数,且增长速度先快后慢再快;②在x =50左右增长速度较慢,最小值为500.A 中,函数y =(x -50)2+500先减后增,不符合要求;B 中,函数y =10x25+500是指数型函数,增长速度是越来越快,不符合要求;D 中,函数y =50[10+lg(2x +1)]是对数型函数,增长速度是越来越慢,不符合要求;而C 中,函数y =11 000(x -50)3+625是由函数y =x 3经过平移和伸缩变换得到的,符合要求.故选C.3.(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y =1+3x x +2(x ≥0).已知生产此产品的年固定投入为4万元,每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润为( )A .30.5万元B .31.5万元C .32.5万元D .33.5万元解析:选B 由题意,产品的生产成本为(30y +4)万元,销售单价为30y +4y ×150%+xy ×50%,故年销售收入为z =⎝⎛⎭⎫30y +4y ×150%+xy ×50%·y =45y +6+12x .∴年利润W =z -(30y +4)-x =15y +2-x 2=17+45x x +2-x 2(万元).∴当广告费为1万元时,即x =1,该企业甲产品的年利润为17+451+2-12=31.5(万元).故选B. 4.一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1,已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( ) A .5.2 B .6.6 C .7.1 D .8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年, 则(1-10%)x =12,化简得0.9x =12,即x =log 0.912=lg12lg 0.9=-lg 22lg 3-1≈-0.301 02×0.477 1-1≈6.6(年).故选B. 5.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m 3的,按每立方米m 元收费;用水超过10 m 3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水为( ) A .13 m 3 B .14 m 3 C .18 m 3 D .26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时,缴纳的水费为y 元,由题意得y =⎩⎪⎨⎪⎧mx ,0<x ≤10,10m +x -10·2m ,x >10,则10m +(x -10)·2m =16m ,解得x =13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x ,y 应为( )A .x =15,y =12B .x =12,y =15C .x =14,y =10D .x =10,y =14答案 A解析 由三角形相似得24-y 24-8=x 20,得x =54(24-y ),所以S =xy =-54(y -12)2+180,所以当y =12时,S 有最大值,此时x =15.检验符合题意.二.多选题7.(多选)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位:千克)与时间x (单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A .在前三小时内,每小时的产量逐步增加B .在前三小时内,每小时的产量逐步减少C .最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D .最后两小时内,该车间没有生产该产品 答案 BD解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象,得前三小时的年产量逐步减少,故A 错误,B 正确;后两小时均没有生产,故C 错误,D 正确.三.填空题 8.(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),试问,大约使用________年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.解析:设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9x )+2.4x =14.4. 化简得x -6×0.9x =0. 令f (x )=x -6×0.9x ,易得f (x )为单调递增函数,又f (3)=-1.374<0,f (4)=0.063 4>0,所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点. 故大约使用4年后,用在该车上的费用达到14.4万元. 答案:49.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD ,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为93平方米,且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x 的取值范围为________.解析:根据题意知,93=12(AD +BC )h ,其中AD =BC +2×x 2=BC +x ,h =32x ,所以93=12(2BC +x )32x ,得BC =18x -x2,由⎩⎨⎧h =32x ≥3,BC =18x -x2>0,得2≤x <6.所以y =BC +2x =18x +3x2(2≤x <6),由y =18x +3x2≤10.5,解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6),所以腰长x 的取值范围为[3,4]. 答案:[3,4]10.(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为________. 答案 3解析 为使花钱总数最少,需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”,即每张订单打折前原金额不少于500元.由于每件原价48元,因此每张订单至少11件,又42=11×3+9,所以最少需要下的订单张数为3.11.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以v km/h 的速度直达灾区,已知某市到灾区公路线长400 km ,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ,那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h .(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ,由题意可知,t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202+400 km 所用的时间,因此,t =36×⎝⎛⎭⎫v 202+400v =36v 400+400v≥236v 400×400v=12, 当且仅当36v 400=400v ,即v =2003时取等号.故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为12 h.四.解答题12.某城市现有人口总数为 100 万,如果年自然增长率为 1.2%,试解答下面的问题: (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y (万人)与年数 x (年)的函数关系式; 【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%);2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3;…; x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗.(2) 计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万); 【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万).(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万(精确到 1 年). 【答案】16 年【解析】令 y =120,则有 100×(1+1.2%)x =120,解方程可得 15<x <16. 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万.13.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 p (千帕)是气球的体积 V (立方米)的反比例函数,其图象如图所示.(千帕是一种压强单位)(1) 写出这个函数的解析式;【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k,把点A(1.5,64)代入,解得k=96.V∴这个函数的解析式为p=96.V(2) 当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕?【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96,p=120,V当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是120千帕.(3) 当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米?立方米【答案】气球的体积应不小于23,【解析】由p=144时,V=23∴p⩽144时,V⩾2,3当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于2立方米314.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域.【答案】y=−12x+10,定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q,∴PQ=(8−y)米,EQ=(x−4)米.又△EPQ∼△EDF,∴EQPQ =EFFD,即x−48−y=42.∴y=−12x+10,定义域为[4,8].15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3⁡O100,单位是m/s,其中O表示鱼的耗氧量的单位数,(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时,它的游速是多少?【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时,它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log3⁡2700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时,它的游速是32(m/s).(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时,即v=0,则0=12log3⁡O100,解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100.。

极限部分例题

极限部分例题

第一章极限部分例题例2 问函数 ()zf z z=在0z =处有无极限. 解:函数()f z 在全平面除0z =外处处有定义,当0z ≠时, 取z 沿从原点出发的射线i z e θρ=趋于原点, 由于2i i i z e w e z eθθθρρ--===, 所以22000lim limlim i i i i i z z z z e z e z ezw e e z θθθθθρρρ--→→→====== 显然极限值与θ有关, 故0lim limz z zw z→→=不存在. 另解 )(z f 的定义域是全平面除去0z =的区域.当0z ≠时, 设(cos sin )z r i θθ=+则()cos(2)sin(2)f z i θθ=-+-考虑从0z =出发的方向角为0θ的射线0l θ,则有000lim ()cos(2)sin(2)z z l f z i θθθ→∈=-+-,显然对于不同的0θ,上述极限不相同, 故 函数在0z =的极限不存在.证法三:因为 2222222()z x y xyif z z x y x y -==-++,又因为222222220000lim 1,lim 1x y y x x y x y x y x y →→==--==-++, 所以 0lim Re ()z f z →不存在,故 0lim ()z f z →不存在.练习:证明函数 Re Im (),()z zf z f z z z==在0z =处无极限. 证:0000Re 1lim ()limlim lim 1z z x x y kxz x x f z z x iy x i kx ik →→→→=====+++ 极限随k 的变化而变化,所以 0lim ()z f z →不存在. 0000Im lim ()limlim lim 1z z x x y kxz y kx kf z z x iy x i kx ik →→→→=====+++ 所以 0Im limz zz→不存在.例3 讨论函数)(21)(zzz z i z f -=)0(≠z 在原点处的极限. 解 任取从原点出发的一条射线θi re z =)sin (cos θθi r +=,由于 211()()()()22z z z z z z f z i z i z z+-=-=⋅ 2sin cos sin 2θθθ==. 故)(z f 当z 沿此射线趋于零时θ2sin )(lim 0=→z f z .显然极限与射线的方向有关. 所以)(lim 0z f z →不存在.(如图1.20)法二:令,,θθi i re z re z -==则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z z i z f 21)(θθθθθ2sin 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--i i i i re re re re i 0lim ()0Z z f Z →==0arg 4lim () 1.Z z f z π→==所以f(z)在z=0无极限.法三:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z z i z f 21)(22212Re()2Im()22z z z i z i zz i z -⋅== 2222)Im()Re(2yx xyzz z +==,令z 沿直线y kx =趋于零有 222222000000222lim (,)lim lim (1)1x x x y kx y kx y kx xy kx k u x y x y x k k →→→=→=→=→===+++00lim (,)x y kx u x y →=→随 k 的变化而变化,所以 )(lim 0z f z → 不存在.第二章解析函数习题课【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,如果z wz ∆∆→∆0lim0)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数)存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微(其中D 为)(z f 的定义域).A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dwA dz ==,即 A =z w z f z ∆∆='→∆00lim)(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→. 如果zwz ∆∆→∆0lim不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微.如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微.注: 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) .例1 证明 函数2()f z z =在 0z =点可导,且导数等于0. 证明 由于 0000()()()(0)l i ml i m 0z zz f z f z f z f z z z →→--=-- 200lim lim 0z z zz z →→===,故函数2()f z z =在 0z =点可导,且导数等于0.例2 设()Re f z z =,证明 ()f z 在全平面处处不可导.证明 因为对平面上任意一点0z ,000000()()Re Re Re()f z f z z z z z z z z z z z ---==---,考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时000000Im Im Im Im ()()Re()limlim 1z z z z z z z z z zf z f z z z z z z z →→∈=∈=--==--考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时000000Re Re Re Re ()()Re()limlim 0z z z z z z z z z zf z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ;所以当0z z →时,极限000Re()lim z z z z z z →--不存在,即()f z 在0z 没有导数.由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导.结论:函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且1)(-='n n nzz (n 为正整数) .练习:试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示 2224242442000()(0)lim lim lim 01y y y x kyx kyf z f xy ky kz x y k y y k →→→==-===-+++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化,故结论成立.)(z f 在点0z 解析--------- )(z f 在点0z 的某邻域内处处可导; )(z f 在区域D 解析-------)(z f 在区域D 内内每一点可导称; )(z f 在闭区域D 上解析------ )(z f 在区域G 内解析, G D ⊂. 0z 为)(z f 的奇点-------- )(z f 在0z 处不解析.解析函数我们有如下法则:1) 四则运算:如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、 差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ;[()()]()()()f z g z f z g z f z g z '''⋅=+⋅; 2()()()()()[](()0)()()f z f zg z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠.另:(1)常数的导数为零.(2)()1n n znz-'=(n 为正整数);(3)[()]()kf z kf z ''=(k 为常数). (4)多项式函数n n na za za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n zna z p(5)而有理函数mmn n b zb a z a z R ++++= 00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的.2) 复合函数求导法则:设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析,()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅.3) 反函数求导法则:设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且()0f z '≠,又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续,则()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''. 提问:1.设41()(1)4f z z i z =-+,则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案:32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点,则()f z 在点0z 不可导.( × )3.若0z 是函数 ()f z 的解析点,则()f z 在点0z 可导. ( √ )4.0()f z '存在,则()f z 在点0z 解析. ( × ) 定理:设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上,则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微(可导)⇔),(),,(y x v v x u 在点(,)x y 可微;且满足xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,( 柯西—黎曼条件也称为C R -方程 ).如果),(),()(y x iv y x u z f +=在点iy x z +=可微, 则有导数公式yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(.(由C R -方程还可以写出其它形式)特别注意:C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如:函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+,则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x ∂∂∂∂===-=∂∂∂∂,但是由于()f z 在点0z =处不连续,所以函数在0z =处不可导.【推论】※设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上,则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数; (2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件.【定理2.2】 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上,则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微; (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,. 【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上, 则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数; (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程.提问:5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是(B )(A )不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解 由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导,在复平面上处处不 解析.6.若)(z f 在曲线C 上每点不解析,则)(z f 在C 上不可导.( ⨯ ) 7.若)(z f 在曲线C 上每点可导,则)(z f 在C 上每一点解析.( ⨯ ) 练习:(1)讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性.解 记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因 0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yvx v ,显然它们都是连续.由C —R 方程得,12-=x 即21-=x ,所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析.(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性. 解 记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v vxy y x x y ∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的. 要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导, 但在z 平面上处处不解析.例3 求函数 ()f z =Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数. 解 ()f z =2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+,则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =,1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续, 由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导,且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-.提问:“若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析”的说法正确吗?答:正确. 因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析.例4 判断函数 ()f z =232x y i +在何处可导,何处解析,并求(3),(32)f i f i ''++.解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =,22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂四个一阶偏导数连续,由C —R 方程得23x y =故 函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导,又点3z i =+在此曲线上,所以(3)f i '+存在且(3)f i '+=6,而32z i =+不在曲线上, 所以 (32)f i '+ 不存在.故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-. 例5判断函数 ()f z =322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上 的解析性;若解析,试求()f z '.解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-,2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂,6v xy x∂=∂,2233v x y y ∂=-∂,四 个一阶偏导数连续, C —R 方程恒xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立, 故函数 ()f z 在复平面上处处解析且3()1f z z =+,()f z '=23z .例6 求实数,a b ,使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-,(),v x y ax by =+,则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂ ⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a =. 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数,试确定n m l ,,的值.解:令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(,则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续,因为解析函数()f z 满足C-R 方程,即:x y u v =,y x u v =-,亦即:lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+解得:m =1, 3-==l m .例7 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明: )(z f 在区域D 内必为常数.(1) ()0f z '=.(2)Re ()f z =常数.(3))(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数.(5)c bv au =+,其中a,b,c 为不 全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y ∂∂∂∂====∂∂∂∂,故 u ,v 都是常数,从而 )(z f 在D 内必为常数.(2)因为 u =常数,故0u u x y ∂∂==∂∂,由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂=0,从而 )(z f 在D 内必为常数. (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, x v y u y v xu ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数.(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立;若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ,0,0=∂∂=∂∂yv x v ; 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在 区域D 内为常数.(5)532.4(4)P 将au bv c +=两边分别求对,x y 的偏导数得222200()000()0C R x x x x x y y x x x au bv au bv a b u au bv bu av a b v -''+='''⎧+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨''+=''-='+=⎪⎪⎩⎩⎩代入方程 当220a b +=时,00a b c ==⇒=,此与,,a b c 不同时为零矛盾,舍. 当220a b +≠时,0()0x x x x u v f z u i v '''''==⇒=+=()f z ⇒=常数.(另解)若a ≠0则有abv c u -=, 于是y y x x v ab u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 ,x y y x u v u v ==- 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴ 0y y bu v a=-= 从 而 ()0y y f z v iu '''=-=,故()f z 为常数.若 0a =,则由au bv c bv c v +=⇒=⇒是常量,利用C R -方程可推出u 也为常量,故()f z 为常数.说明:在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常 常起着关键的作用.例8 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析.证明 在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属 于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→, 从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析. 说明:在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义. 练习:1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗?答:不对,函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析,因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导.2.函数在一条曲线上可导,则函数在此曲线上解析这种说法对吗?(不对,理由同上.)3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u 和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导.综上所述, z w =在平面上处处不可导.(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导.5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析.6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=; (2) 22)(iy x z f +=;(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数 又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析.(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =.所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析.(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂, 6u v xy y x∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件. 所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析.7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++ (cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂. 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数. 证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂. 所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.易犯错误:函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数. 讲评作业522.3(2)P 确定函数 ()(,az b f z c d cz d+=+至少有一个不为零). 解 当0c ≠时,由0d cz d z c +=⇒=-为函数的奇点.解析区域为除点d z c=-的复平面.且2()()()az b ad bc f z cz d cz d +-''==++. 当0c =时,函数在整个复平面处处解析,无奇点.且()()az b a f z d d+''==. 【定理2.3 】 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析, 则()f z 的实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 都是D 内的调和函数.【义2.4】 若(,)u x y ,(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,且在D 内满足柯西—黎曼方程, 即 u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 则称(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.【定理2.4】若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.两个二元实函数(,)u x y 和(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,不一定能保证复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析.反例:易证(,)u x y x =,(,)v x y y =-都是平面上的调和函数, 但 ()f z x iy z =-=在平面上处处不解析.提问:1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析,则下列命题中错误的是( C )A 、v u ,均为调和函数B 、v 是u 的共轭调和函数C 、v u 是的共轭调和函数D 、v u 是-的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. ( × )3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. ( √ ) 例2 设),(,()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数,且已知y x y x v y x u +=-),(),(,求函数()f z .解:方程y x y x v y x u +=-),(),(两边分别对y x ,求偏导数得:110111C R x y x x x y y y x y u u u v u u v u u u -+=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩方程,由0x u =得: )(),(y g y x u = 代入1y u =得:1)(='y g , C y y g +=)((C 为任意常数)从而C y y x u +=),(,(,)(,)()v x y u x y x y x C =-+=-+,所求函数为:C i iz C x i C y iv u z f )1()()(++-=+-++=+= 练习:(1)已知调和函数y x u )1(2-=,i f -=)2(,求解析函数iv u z f +=)(.解:用不定积分法求解如下:2x u y =,22y u x =-,()2(22)2(x y f z u iu y i x i z '=-=--=--221()2(1)2(1)(1)2f z i z dz i z C i z C =--=-⨯-+=--+⎰ 由i f -=)2(得 2(21)i C i --+=-,0=C ,所以:2()(1)f z i z =--(2) 已知 22()yi f z u x y=++是解析函数,且(2)0f =,求()f z . 解:22222()x y x y u v x y -''==+,2222()y x xy u v x y ''=-=+ 对此,用偏积分求u 比较方便:2222()()()y xdy u u dy g x g x x y =+=++⎰⎰22()x g x x y=-++将积分结果求对x 的偏导数得 22(,)()x u x y g x x y=-++ 2222212(),()x x u g x x y x y -'=++++()0,()g x g x c '== 所以 2222()x yi f z c x y x y =-++++ 1(2)02f c =-+= 得12c =,11()2f z z=- . 例3 证明(,)arctan y v x y x = (0x >)在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为22v y x x y ∂-=∂+,22v x y x y∂=∂+, 则 222222()v xy x x y ∂=∂+, 222222()v xy y x y ∂-=∂+, 从而 22220v v x y ∂∂+=∂∂, 故(,)arctan y v x y x= 是右半平面内的调和函数. 下面用方法2(偏积分法)来求解析函数的实部(,)u x y .由C R -条件得 22u v x x y x y∂∂==∂∂+ -------------- (Ⅰ)2222u v y y y x x y x y∂∂-=-=-=∂∂++ -------------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 221(,)ln()()2u x y x y y ϕ=++ 代入(Ⅱ)得 2222()y y y x y x yϕ'+=++, 即()0y ϕ'=, 从而 ()y C ϕ=(常数), 221(,)ln()2u x y x y C =++. 故 所求解析函数为221()ln()arctan 2y f z x y C i x =+++ (0x >)ln arg ln z C i z z C =++=+ (Re 0z >). 例5 已知调和函数 22u x y xy =-+,求一个解析函数()f z u iv =+使()1f i i =-+. 解(不定积分法) 2u x y x∂=+∂,2u y x y ∂=-+∂ ..()2(2)2C R u v u u f z i i x y i y x z iz x x x y∂∂∂∂'⇒=+=-=++-=-∂∂∂∂, 积分得 21()(2)2f z i z C =-+,由()1f i i =-+得2i C =, 故 2()122i i f z z ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 练习: 已知 22()(4)2()u v x y x xy y x y +=-++-+,试确定解析函数 ()f z u iv =+.解 :2222(4)()(24)2(4)()(42)2,x x y y x x y xu v x xy y x y x y u v x xy y x y x y u v u v ⎧+=+++-+-⎪+=+++-+-⎨⎪==-⎩226332x yv xy v x y =⎧⎪⇒⎨=--⎪⎩ 222()332632v v f z i x y i xy z y x∂∂'⇒=+=--+=-∂∂, 积分得 3()2f z z z C ⇒=-+.例6 若()f z u iv =+为解析函数,且满足892003u v +=, 试证:()f z 必为常数.解 对892003u v +=分别求对,x y 的导数得128900890()0x x x y y y x y u v u u u C u v f z C v v v C C R ⎧+===⎧=⎧⎪⎪+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨===⎪⎩⎪⎩-⎩方程(常数). 例7 求调和函数(,)x y xy φ= 的共轭调和函数.提示 设解析函数()(,)(,),(,),(,)x y y x f z x y iv x y v x y x v x y y φφφ=+=-===2(,)()2x y v x y dy ydy g x φ===+⎰⎰,2(,)()()2x y x v x y g x x g x c φ'==-=-⇒=-+ 故 (,)x y xy φ= 的共轭调和函数221(,)()2v x y y x c =-+. 例8 证明:函数2222,yx x v y x u +=-=都是调和函数,但 iv u z f +=)(不是解析函数.证明:y u x u y x 2,2-== ,,2,2-==yy xx u u()()222222222,y x xy v y x y x v y x +-=+-=()()222322232,2y x y v y x y v yy xx +-=+=0=+∴yy xx u u 0=+yy xx v v即u 是复平面上的调和函数,v 除原点外在复平面上调和。

高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数及其性质 习题课课件 新人教A必修1

高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数及其性质 习题课课件 新人教A必修1

D.[1,+∞)
❖ [答案] A
❖ [解析] 3x>0⇒3x+1>1⇒log2(3x+1)>log21 =0,选A.
4.设函数f(x)=
21-x-1
lgx
(x<1) (x≥1)
,若f(x0)>1,则x0
的取值范围是
()
❖ A.(-∞,0)∪(10,+∞) ❖ B.(-1,+∞) ❖ C.(-∞,-2)∪(-1,10) ❖ D.(0,10) ❖ [答案] A
运算法则)和对数恒等式求解;(2)运用对 数的运算法则求解.
[解析] (1)解法一:原式=
=75.
解法二:原式=
=75.
(2) 原 式 =[(log66 - log63)2 + log62·log6(2×32)]÷log64 =
log6632+log62(log62+log632)÷log622 =[(log62)2+(log62)2+2log62×log63]÷2log62 =log62+log63=log6(2×3)=log66=1.
ax的图象,再通过关于直线y=x对称来得
到其反函数的图象.③可以通过特殊点和
单调性来选择.
❖ 4.对数函数的图象与性质是核心内容, 应重点落实图象的分布特征和单调性应 用.时刻牢记定义域的限制.
❖ [例4] 解不等式2loga(x-4)>loga(x-2). ❖ [分析] 这是对数不等式,可利用对数函
❖ [解析] (1)因为9x=32x,4x=22x,6x=2x·3x, ❖ 所以原方程可化为2·32x-5·3x·2x+2·22x=0,
❖1、纪律是集体的面貌,集体的声音,集体的动作,集体的表情,集体的信念。 ❖2、知之者不如好之者,好之者不如乐之者。 ❖3、反思自我时展示了勇气,自我反思是一切思想的源泉。 ❖4、在教师手里操着幼年人的命运,便操着民族和人类的命运。一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。 ❖5、诚实比一切智谋更好,而且它是智谋的基本条件。 ❖6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底,就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 ❖7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信,人不欺我;对事以诚信,事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 ❖8、教育者,非为已往,非为现在,而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18

人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 第二章 习题课——抛物线的综合问题

人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 第二章 习题课——抛物线的综合问题

= (-4) + 2,
2 = ,
消去 y,整理得,
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
因为 A(4,2),B(xB,yB)是上述方程的解,
由方程组
16 2 -16+4
所以 4·xB=
2
4 2 -4+1
,得 xB=
2
,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
消去
y
可得
x
1 2
2 = 4,
12
于是 y1y2=
4
22
( 1 2 )2
4
16
· =
=1,即 y1y2 为定值.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用抛物线的定义解决计算问题
例1已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)
到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.
(
16
答案:2 2
课前篇自主预习
【做一做5】 已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交
于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值.
证明:抛物线x2=4y的焦点F(0,1),
由题易知直线AB的斜率存在,设其为k,则直线AB的方程为y-1=kx.

-1 = ,
2-4kx-4=0,由根与系数的关系可得 x x =-4,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)设 A(x3,y3),B(x4,y4),由抛物线的定义,

复变函数习题总汇与参考答案

复变函数习题总汇与参考答案

复变函数习题总汇与参考答案(总21页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=(a, b ),Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=(C )A (ac+bd, a )B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd )D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N (∞,R )={ z :(D )}A |z|<RB 0<|z|<RC R<|z|<+∞D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D4、若A= ,则 |A|=(C ) A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=( 2xy )2、复平面上满足Rez=4的点集为( {z=x+iy|x=4} )3、( 设E 为点集,若它是开集,且是连通的,则E )称为区域。

2zz +2z z -izz 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……),则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0,且 y n =y 0。

三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解:Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。

解:3、写出复数 的代数式。

解:4、求根式的值。

+∞→n lim +∞→n lim ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-ii i i -+-11327-解:四、证明题1、证明若 ,则a 2+b 2=1。

复变函数(32学时)教学大纲

复变函数(32学时)教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲Functions of Complex Variables and Integral Transform课程代码:课程性质:专业基础理论课/必修适用专业:总学分数:2.0课程简介(中文):《复变函数与积分变换》是高等院校理工科学生的一门基础理论课,是《高等数学》的重要后续课程。

主要内容包括:复数与复变函数,解析函数,复变函数的积分,级数,Fourier变换,Laplace变换。

课程简介(英文):Functions of complex variables is a foundation theory course of science and engineer students in the college and university. The contents include complex numbers and functions of complex variable,analytic functions,complex integrals,series,Fourier transforms and Laplace transforms.一、课程目的《复变函数与积分变换》是高等院校工科类及应用理科类有关专业的一门基础理论课.本课程旨在使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法,为学习相关专业课程、以后实际应用及进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础.二、课程教学内容及学时分配(一)教学内容第一章复数与复变函数(2学时)1.掌握复数各种表示方法及其运算(自学);2.了解区域的概念;3.理解复变函数概念;4.了解复变函数的极限和连续的概念。

第二章解析函数(6学时)1.理解复变函数的导数及复变函数解析的概念2.掌握复变函数解析的充要条件;3.了解指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质。

第三章复变函数的积分(6学时)l.了解复变函数积分的定义及性质,会利用参数法求复变函数的积分;2.掌握柯西-古萨定理,柯西积分公式,柯西积分的高阶导公式和复合闭路定理;第四章级数(6学时)1.理解复数项级数收敛,发散及绝对收敛等概念;2.了解幂级数收敛的概念,会求收敛半径和掌握其在收敛圆内的一些基本性质;3.理解泰勒展开定理(证明不作要求)和一些常见的泰勒展开式,会利用间接法求简单的解析函数的泰勒展式。

高中数学新教材同步必修第一册 第2章 习题课 不等式恒成立、能成立问题

高中数学新教材同步必修第一册 第2章 习题课 不等式恒成立、能成立问题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是
√A.{a|-4≤a≤4}
C.{a|a≤-4或a≥4}
B.{a|-4<a<4} D.{a|a<-4或a>4}
解析 由题意得,Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围为
√A.{a|-1≤a≤4}
C.{a|a≥4或a≤-1}
B.{a|-1<a<4} D.{a|-4≤a≤1}
解析 由题意知,-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解, ∴a2-3a≤4,即(a-4)(a+1)≤0,∴-1≤a≤4.
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9.∀x∈{x|2≤x≤3},不等式mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围.
解 由不等式mx2-mx-1<0,得m(x2-x)<1,
因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>;x2-1 x,
1234
4.定义运算ac
db=ad-bc,则不等式a1x
1 x+1<0
对任意
x∈R
恒成立,
则实数 a 的取值范围是_-__4_<_a_≤__0__.
解析 原不等式为ax(x+1)-1<0, 即ax2+ax-1<0,a=0时,不等式为-1<0,符合题意, 当 a≠0 时,有aΔ<=0,a2+4a<0 ⇒-4<a<0, 综上所述,a的取值范围是-4<a≤0.

复变函数教学大纲(工科)(2)

复变函数教学大纲(工科)(2)

课程编号:×××课程名称:复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法,对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。

通过本课程的教学,使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法,培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。

为了贯彻“少而精”的原则,本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法,本大纲内容,重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。

对于初等多值解析函数和解析开拓,要求只作初步介绍。

本课程总时数为36学时左右,其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。

二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的:1、通过本课程的教学,使学生掌握复变函数论的基本理论和方法,获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。

为进一步学习其他课程,并为其他实际工作打好基础。

2、通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,使学生受到严格的思维训练,为初步掌握数学思维方法打下基础。

基本要求:掌握解析函数的基本性质,并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容:复数的有关概念,复数点集的概念,复数的运算。

要求:1、理解复数的下列概念:实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根,熟练掌握相应的运算。

)2、理解平面点集(复数集)的下列概念:区域、单连通区域,边界、闭区域。

3、了解Jordan曲线概念,复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算,知道复球面与无穷远点的关系。

重点: 复变函数的概念,极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容:解析概念与初步运算性质,Cauchy——Riemann 条件,初等解析函数与初等多值函数。

要求:1、了解复函数的可导与微分的概念,理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。

2、熟练掌握初等解析函数的运算。

一轮复习北师大版第2章第2节 函数的单调性与最值课件(59张)

一轮复习北师大版第2章第2节 函数的单调性与最值课件(59张)

考点二 函数单调性的判断与证明 1.定义法证明函数单调性的步骤
2.判断函数单调性的四种方法 (1)图像法;(2)性质法;(3)导数法;(4)定义法. 3.证明函数单调性的两种方法 (1)定义法;(2)导数法.
[典例 2] 试讨论函数 f (x)=x-ax1(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 【四字解题】
3.若函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围是 ________.
-∞,-12 [因为函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数,所以 2k+1<0,即 k<-12.]
4.已知函数 f (x)=x-2 1,x∈[2,6],则 f (x)的最大值为________, 最小值为________.
前提 设函数 y=f (x)的定义域为 D,如果存在实数 M 满 足
①对于任意的 x∈D,都 ①对于任意的 x∈D,都
条件 结论
有__f _(x_)_≤_M____;
②存在 x0∈D,使得 _f_(_x_0_)=__M___
M 为 y=f (x)的最大值
有_f_(_x_)≥__M____;
②存在 x0∈D,使得 __f _(x_0_)_=__M__
A [函数 y=e-x 定义域为 R 且为减函数.y=x3 定义域为 R 且为 增函数.函数 y=ln x 定义域为(0,+∞).函数 y=|x|定义域为 R, 但在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,故选 A.]
2.函数 f (x)=x2-2x 的单调递增区间是________. [1,+∞) [f (x)=x2-2x=(x-1)2-1,因此函数 f (x)的单调递 增区间为[1,+∞).]
2.函数 f (x)=x-x 1的单调递减区间为________. (-∞,1)和(1,+∞) [由 x-1≠0 得 x≠1, 即函数 f (x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), 又 f (x)=x-x 1=x-x-11+1=1+x-1 1,其图像 如图所示,由图像知,函数 f (x)的单调递减区间为(-∞,1)和(1,+ ∞).]

第2章 习题课 对数函数

第2章 习题课 对数函数

习题课 对数函数学习目标 1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题.知识点一 对数概念及其运算1.由指数式对数式互化可得恒等式:⎭⎪⎬⎪⎫a b =Nlog a N =b ⇒log a N a =N (a >0,且a ≠1). 2.对数log a N (a >0,且a ≠1)具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即N >0; (2)log a 1=0; (3)log a a =1. 3.运算公式已知a >0,且a ≠1,M ,N >0. (1)log a M +log a N =log a (MN ); (2)log a M -log a N =log a MN ;(3)log n m a M =mnlog a M ;(4)log a M =log c Mlog c a =1log Ma(c >0,且c ≠1,M ≠1).知识点二 对数函数及其图象、性质 函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫做对数函数.(1)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的定义域为(0,+∞);值域为R ; (2)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过点(1,0); (3)当a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递增; 当0<a <1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递减;(4)直线y =1与函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象交点为(a,1). (5)y =log a x 与y =a x 的图象关于y =x 对称. y =log a x 与y =1log ax 的图象关于x 轴对称.1.y =x 与y =log a xa是相等函数.( × )2.log a b =12log a b .( × )3.若a x >b ,则x >log a b .( × ) 4.y =log a (x +1)恒过定点(0,0).( √ )类型一 对数式的化简与求值 例1 (1)计算:(23)log (23)+-;(2)已知2lg x -y2=lg x +lg y ,求(322)log .x y- 考点 对数的运算 题点 对数的运算性质解 (1)方法一 利用对数定义求值: 设(23)log (23)x +-=,则(2+3)x =2-3=12+3=(2+3)-1,∴x =-1.方法二 利用对数的运算性质求解:1(2(2(23)3)3)log (23)log log (23) 1.23-==+=-++++- (2)由已知得lg ⎝⎛⎭⎪⎫x -y 22=lg xy , ∴⎝⎛⎭⎪⎫x -y 22=xy ,即x 2-6xy +y 2=0. ∴⎝⎛⎭⎫x y 2-6⎝⎛⎭⎫x y +1=0. ∴xy=3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x -y >0,x >0,y >0,∴x y >1,∴xy =3+22,∴(3(3(3log log (3log 1.xy=+==---- 反思与感悟 在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底,指数与对数互化. 跟踪训练1 (1)(lg 3)2-lg 9+1(lg 27+lg 8-lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2=________.(2)已知函数f (x )=lg x ,若f (ab )=1,则f (a 2)+f (b 2)=________. 考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算 答案 (1)-32 (2)2解析 (1)∵(lg 3)2-lg 9+1=(lg 3)2-2lg 3+1=1-lg 3,lg 27+lg 8-lg 1 000=32lg 3+3lg 2-32=32(lg 3-1)+3lg 2=32(lg 3+2lg 2-1), lg 0.3·lg 1.2=lg310·lg 1210=(lg 3-1)(lg 12-1) =(lg 3-1)(lg 3+2lg 2-1), ∴原式=-32.(2)∵f (ab )=lg(ab )=1,∴f (a 2)+f (b 2)=lg a 2+lg b 2=lg(a 2b 2)=2lg(ab )=2. 类型二 对数函数图象的应用例2 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |,0<x ≤e ,2-ln x ,x >e ,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),求abc 的取值范围.考点 对数函数的图象题点 指数、对数函数图象的应用 解 f (x )的图象如图:设f (a )=f (b )=f (c )=m , 不妨设a <b <c ,则直线y =m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ,b ,c , 由图象易知0<a <1<b <e<c <e 2, ∴f (a )=|ln a |=-ln a ,f (b )=|ln b |=ln b .∴-ln a =ln b ,ln a +ln b =0,ln ab =ln 1,∴ab =1. ∴abc =c ∈(e ,e 2).反思与感悟 函数的图象直观形象地显示了函数的性质,因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决,即利用数形结合思想,使问题简单化. 跟踪训练2 已知f (x )=log a x (a >0且a ≠1),如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13,2都有|f (x )|≤1成立,试求a 的取值范围. 考点 对数函数的图象题点 指数、对数函数图象的应用 解 ∵f (x )=log a x ,则y =|f (x )|的图象如图.由图知,要使x ∈⎣⎡⎦⎤13,2时恒有|f (x )|≤1,只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1,即-1≤log a 13≤1,即log a a -1≤log a 13≤log a a ,亦当a >1时,得a -1≤13≤a ,即a ≥3;当0<a <1时,a -1≥13≥a ,得0<a ≤13.综上所述,a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,13∪[3,+∞). 类型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )=log a (x +1)(a >1),若函数y =g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上. (1)写出函数g (x )的解析式;(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )+g (x )≥m 成立,求m 的取值范围. 考点 对数函数的综合问题题点 与最值有关的对数函数综合问题 解 (1)设P (x ,y )为g (x )图象上任意一点, 则Q (-x ,-y )是点P 关于原点的对称点, ∵Q (-x ,-y )在f (x )的图象上, ∴-y =log a (-x +1), 即y =g (x )=-log a (1-x ). (2)f (x )+g (x )≥m ,即log a x +11-x≥m .设F (x )=log a 1+x 1-x =log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+21-x ,x ∈[0,1),由题意知,只要F (x )min ≥m 即可.∵F (x )在[0,1)上是增函数,∴F (x )min =F (0)=0. 故m ≤0即为所求.反思与感悟 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点,最值,解不等式的工具,所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、伸缩,对称、翻折等变换.跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是(-1,1),对于任意的x ,y ∈(-1,1),有f (x )+f (y )=f ⎝⎛⎭⎪⎫x +y 1+xy ,且当x <0时,f (x )>0.(1)验证函数g (x )=ln 1-x1+x,x ∈(-1,1)是否满足上述这些条件;(2)你发现这样的函数f (x )还具有其他什么样的性质?试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来,并加以证明. 考点 对数函数的综合问题题点 与奇偶性有关的对数函数的综合问题 解 (1)因为g (x )+g (y )=ln 1-x 1+x +ln 1-y1+y=ln ⎝⎛⎭⎪⎫1-x 1+x ·1-y 1+y =ln 1-x -y +xy1+x +y +xy , g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 1+xy =ln 1-x +y1+xy 1+x +y 1+xy=ln 1-x -y +xy1+x +y +xy , 所以g (x )+g (y )=g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 1+xy 成立.又当x <0时,1-x >1+x >0,所以1-x1+x >1,所以g (x )=ln 1-x1+x >0成立,综上g (x )=ln 1-x1+x满足这些条件.(2)发现这样的函数f (x )在(-1,1)上是奇函数. 将x =y =0代入条件,得f (0)+f (0)=f (0), 所以f (0)=0.将y =-x 代入条件得f (x )+f (-x )=f (0)=0⇒f (-x )=-f (x ), 所以函数f (x )在(-1,1)上是奇函数. 又发现这样的函数f (x )在(-1,1)上是减函数.因为f (x )-f (y )=f (x )+f (-y )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -y 1-xy ,当-1<x <y <1时,x -y1-xy <0,由条件知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -y 1-xy >0,即f (x )-f (y )>0⇒f (x )>f (y ), 所以函数f (x )在(-1,1)上是减函数.1.若log x 7y =z ,则( ) A .y 7=x z B .y =x 7z C .y =7x zD .y =z 7x考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 B解析 由log x 7y =z ,得x z =7y ,∴⎝⎛⎭⎫7y 7=(x z )7,即y =x 7z .2.当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0,22 B.⎝⎛⎭⎫22,1 C .(1,2) D .(2,2) 考点 对数函数的图象题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象 答案 B解析 当a >1,0<x ≤12时,log a x <0,不合题意.当0<a <1时,只需1214log 2a <,即log a a 2<log a 12,解得a >22,又a ∈(0,1),∴a ∈⎝⎛⎭⎫22,1.3.已知函数y =f (2x )的定义域为[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域为( ) A .[-1,1] B.⎣⎡⎦⎤12,2 C .[1,2] D .[2,4] 考点 对数函数的定义域题点 与对数函数有关的抽象函数的定义域 答案 D解析 ∵-1≤x ≤1,∴2-1≤2x ≤2,即12≤2x ≤2.∴y =f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12,2,即12≤log 2x ≤2, ∴2≤x ≤4.4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x -1),x ≥2,⎝⎛⎭⎫12x -1,x <2,若f (x 0)>1,则x 0的取值范围是________.考点 对数不等式 题点 解对数不等式答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)解析 当x 0≥2时,由log 2(x 0-1)>1,得log 2(x 0-1)>log 22,所以x 0-1>2,得x 0>3;当x 0<2时,由01112x ⎛⎫> ⎪⎝⎭-,得011122x -⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以x 0<-1,所以x 0的取值范围是(-∞,-1)∪ (3,+∞). 5.已知()2340,9a a >=则23log a =________. 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式与指数式的互化 答案 3解析 设23log a x =,则a =⎝⎛⎭⎫23x,又22233422,,933xa ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=即22322,33x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴23x =2,解得x =3.1.指数式a b =N 与对数式log a N =b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键. 2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算,对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式;对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式log m n a b =n m ·log a b ,log a b =1log b a 在解题中的灵活应用.4.在运用性质log a M n =n log a M 时,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M n =n log a |M |(n ∈N *,且n 为偶数).5.同底的指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.一、选择题1.已知a =log 0.60.5,b =ln 0.5,c =0.60.5,则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .c >a >b D .c >b >a 考点 对数值大小比较 题点 指数、对数值大小比较 答案 B解析 ∵y =log 0.6x 在(0,+∞)上为减函数, ∴log 0.60.6<log 0.60.5,即a >1. 同理,ln 0.5<ln 1=0,即b <0. ∵0<0.60.5<0.60,即0<c <1,∴a >c >b .2.函数f (x )=ln(x 2+1)的图象大致是( )考点 对数函数的图象题点 同一坐标系下的对数函数与其他函数图象 答案 A解析 由函数解析式可知f (x )=f (-x ),即函数为偶函数,排除C ;由函数过(0,0)点,排除B ,D.3.已知a >0,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A .(a -1)(b -1)<0 B .(a -1)(a -b )>0 C .(b -1)(b -a )<0 D .(b -1)(b -a )>0考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 由a >0,b >0且a ≠1,b ≠1,及log a b >1=log a a 可得: 当a >1时,b >a >1,当0<a <1时,0<b <a <1, 代入验证只有D 满足题意.4.已知x ,y ,z 都是大于1的正数,m >0,且log x m =24,log y m =40,log xyz m =12,则log z m 的值为( )A.160 B .60 C.2003 D.3200 考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数 答案 B解析 由已知得log m (xyz )=log m x +log m y +log m z =112,而log m x =124,log m y =140,故log m z =112-log m x -log m y =112-124-140=160,即log z m =60.5.函数f (x )=log a [(a -1)x +1]在定义域上( ) A .是增函数 B .是减函数 C .先增后减D .先减后增考点 对数函数的单调性题点 对数型复合函数的单调区间答案 A解析 ∵当a >1时,y =log a u ,u =(a -1)x +1都是增函数,当0<a <1时,y =log a u ,u =(a -1)x +1都是减函数,∴f (x )在定义域上为增函数.6.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧21-x ,x ≤1,1-log 2x ,x >1,则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A .[-1,2] B .[0,2] C .[1,+∞) D .[0,+∞)考点 对数不等式题点 解对数不等式答案 D解析 f (x )≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1,21-x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1,1-log 2x ≤2,解得0≤x ≤1或x >1.∴x 的取值范围是[0,+∞).7.(2017·西安模拟)已知函数f (x )=log a (2x +b -1)(a >0,a ≠1)的图象如图所示,则a ,b 满足的关系是( )A .0<a -1<b <1B .0<b <a -1<1C .0<b -1<a <1D .0<a -1<b -1<1考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围答案 A解析 由函数图象可知,f (x )在R 上单调递增,故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0,log a b ),由函数图象可知-1<log a b <0,解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1. 8.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四个函数:f 1(x )=2log 2(x +1),f 2(x )=log 2(x +2),f 3(x )=log 2x 2,f 4(x )=log 2(2x ),则是“同形”函数的是( )A .f 2(x )与f 4(x )B .f 1(x )与f 3(x )C .f 1(x )与f 4(x )D .f 3(x )与f 4(x )考点 对数函数的图象题点 对数函数的图象答案 A解析 因为f 4(x )=log 2(2x )=1+log 2x ,所以f 2(x )=log 2(x +2),沿着x 轴先向右平移2个单位得到y =log 2x 的图象,然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )=log 2(2x )=1+log 2x ,根据“同形”函数的定义,f 2(x )与f 4(x )为“同形”函数.f 3(x )=log 2x 2=2log 2|x |与f 1(x )=2log 2(x +1)不“同形”,故选A.二、填空题9.函数f (x )=|log 3x |在区间[a ,b ]上的值域为[0,1],则b -a 的最小值为________. 考点 对数函数的图象题点 指数、对数函数图象的应用答案 23解析 由题意可知求b -a 的最小值即求区间[a ,b ]的长度的最小值,当f (x )=0时,x =1,当f (x )=1时,x =3或13,所以区间[a ,b ]的最短长度为1-13=23, 所以b -a 的最小值为23. 10.已知实数a ,b 满足log 12a =log 13b ,下列五个关系式:①a >b >1;②0<b <a <1;③b >a >1;④0<a <b <1;⑤a =b .其中可能成立的关系式序号为________.考点 对数函数的图象题点 指数、对数函数图象的应用答案 ②③⑤解析 由图易知,log 12a =log 13b 有且仅有3种情形:0<b <a <1或1<a <b 或a =b =1.11.已知0<a <1,0<b <1,若alog (3)b x -<1,则x 的取值范围是__________. 考点 对数不等式题点 解对数不等式答案 (3,4)解析 ∵0<a <1,∴a log (3)b x -<1=a 0等价于log b (x -3)>0=log b 1.∵0<b <1,∴⎩⎪⎨⎪⎧x -3>0,x -3<1,解得3<x <4. 三、解答题12.已知函数f (x )=2+log 2x ,x ∈[1,4].(1)求函数f (x )的值域;(2)设g (x )=[f (x )]2-f (x 2),求g (x )的最值及相应的x 的值.考点 对数函数的综合问题题点 与定义域、值域有关的对数函数综合问题解 (1)∵f (x )=2+log 2x 在[1,4]上是增函数,又f (1)=2+log 21=2,f (4)=2+log 24=2+2=4,∴函数f (x )的值域是[2,4].(2)g (x )=[f (x )]2-f (x 2)=4+4log 2x +(log 2x )2-(2+log 2x 2)=(log 2x )2+2log 2x +2=(log 2x +1)2+1. 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4,1≤x 2≤4,得1≤x ≤2, ∴g (x )的定义域是[1,2].∴0≤log 2x ≤1.∴当log 2x =0,即x =1时,g (x )有最小值g (1)=2;当log 2x =1,即x =2时,g (x )有最大值g (2)=5.13.已知函数f (x )=lg(a x -b x )(a >1>b >0).(1)求y =f (x )的定义域;(2)在函数y =f (x )的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x 轴;(3)当a ,b 满足什么条件时,f (x )在(1,+∞)上恒取正值.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题解 (1)由a x -b x >0,得⎝⎛⎭⎫a b x >1,且a >1>b >0,得a b>1,所以x >0, 即f (x )的定义域为(0,+∞).(2)任取x 1>x 2>0,a >1>b >0,则a 1x >a2x >1,0<b 1x <b 2x <1, 所以a 1x -b 1x >a2x -b 2x >0, 即lg(a 1x -b 1x )>lg(a2x -b 2x ).故f (x 1)>f (x 2). 所以f (x )在(0,+∞)上为增函数.假设函数y =f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),使直线平行于x 轴,则x 1≠x 2,y 1=y 2,这与f (x )是增函数矛盾.故函数y =f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴.(3)因为f (x )是增函数,所以当x ∈(1,+∞)时,f (x )>f (1),这样只需f (1)=lg(a -b )≥0,即当a ≥b +1时,f (x )在(1,+∞)上恒取正值.四、探究与拓展14.已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上是单调减函数,若f (1)>f ⎝⎛⎭⎫lg 1x ,求x 的取值范围.考点 对数不等式题点 解对数不等式解 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间[0,+∞)上是单调减函数,所以f (x )在区间(-∞,0)上是单调增函数,所以不等式f (1)>f ⎝⎛⎭⎫lg 1x 可化为 lg 1x >1或lg 1x<-1, 所以lg 1x >lg 10或lg 1x <lg 110, 所以1x >10或0<1x <110, 所以0<x <110或x >10. 所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0,110∪(10,+∞). 15.已知函数f (x )=log 2(2x +1).(1)求证:函数f (x )在(-∞,+∞)内单调递增;(2)若g (x )=log 2(2x -1)(x >0),且关于x 的方程g (x )=m +f (x )在[1,2]上有解,求m 的取值范围. 考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题(1)证明 因为函数f (x )=log 2(2x +1), 任取x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=log 2(21x +1)-log 2(22x +1) =log 221x +122x +1, 因为x 1<x 2,所以0<21x +122x +1<1, 所以log 221x +122x +1<0, 所以f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在(-∞,+∞)内单调递增.(2)解 g (x )=m +f (x ),即g (x )-f (x )=m . 设h (x )=g (x )-f (x )=log 2(2x -1)-log 2(2x +1)=log 22x -12x +1=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22x +1. 设1≤x 1<x 2≤2,则3≤21x +1<22x +1≤5, 13≥121x +1>122x +1≥15, -23≤-221x +1<-222x +1≤-25, 所以13≤1-221x +1<1-222x +1≤35, 所以log 213≤h (x 1)<h (x 2)≤log 235, 即h (x )在[1,2]上为增函数且值域为⎣⎡⎦⎤log 213,log 235. 要使g (x )-f (x )=m 有解,需m ∈⎣⎡⎦⎤log 213,log 235.。

复变函数大纲

复变函数大纲

《复变函数》教学大纲数学与应用数学(师范类)专业用一、说明部分(一)课程的性质、目的和教学任务复变函数是数学专业的一门专业必修课,又是数学分析的后继课。

通过本课程的讲授和学习,使学生了解和掌握解析函数的一般理论,接受严密的复分析训练,并为将来从事教学,科研及其它实际工作打好基础。

(二)课程的教学原则和方法1.教学原则:理论课与习题课并重的原则;单项训练与综合训练相互结合的原则;经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则;直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。

2.教学方法:教师课堂讲授为主。

(三)课程的教学内容与学时分配1.教学内容:本课程主要讲述解析函数的分析理论,级数理论和几何理论;主要内容为复平面和复变函数,解析函数的初等函数及多值性问题,复函数的积分和调和函数,级数,留数理论及应用等。

2.学时分配本课程共6章,总学时为72学时,其中包括习题课。

第一章复数及复变函数10学时第二章复变函数14学时第三章复变函数的积分12学时第四章解析函数的幂级数表示10学时第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点10学时第六章留数理论及其应用16学时(四)本课程大纲编写的执笔人执笔人沈奇黑河学院数学系函数论教研室审定。

二、正文部分第一章复数与复变函数(一)教学目的和要求通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念,掌握区域和复数的各种表示方法及其运算,了解复球面的建立与球极投影,和复变函数的定义与二元实函数的关系。

使学生掌握复数各种表示方法及其运算。

(二)教学重点复变函数及其极限与连续。

(三)教学难点无穷远点及无穷远点邻域。

(四)课程的主要内容及学时安排1.复数2学时2.复平面上点集2学时3.复变函数2学时4.复球面和无穷远点2学时5.习题课2学时第二章解析函数(一)教学目的和要求1.理解复变函数可导与解析的概念,弄清这两个概念之间的关系。

2.熟练掌握解析函数的C-R条件,能运用C-R条件判定函数的解析性。

(word完整版)复变函数教案第二章

(word完整版)复变函数教案第二章

章节名称:第二章 解析函数 学时安排:4学时教学要求:使学生熟悉复变函数导数与解析函数的概念;掌握判断复变函数可导与解析的方法;熟悉复变量初等函数的定义和主要性质教学内容:1,复变函数导数与解析函数的概念以及可导与解析的判别方法;2,复变初等函数定义及其主要性质教学重点:复变函数的导数与解析函数等基本概念,判断复变函数可导与解析的方法;复变量初等函数的定义和主要性质教学难点:函数解析的概念及判定方法 教学手段:课堂讲授 教学过程:一、第二章 解析函数 §1、解析函数的概念 1,复变函数的导数与微分: (1)导数的定义;设函数)(z f =ω定义在区域D 内,0z 为D 中的一点,点z z ∆+0不出D 的范围。

如果极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在,那么就说)(z f =ω在0z 可导。

这个极限值称为)(z f =ω在0z 的导数,记作zz f z z f dzd z f z z z ∆-∆+==→∆=)()(lim)(0000'0ω注意:1)定义中的)0(00→∆→∆+z z z z 即的方向是任意的;2)如果)(z f =ω在区域D 内处处可导,就说)(z f =ω在D 内可导。

例1,求2)(z z f =的导数解 因为=∆-∆+→∆zz f z z f z )()(lim 0z z z z z z z z z 2)2(lim )(lim0220=∆+=∆-∆+→∆→∆ 所以 z z f 2)('= 思考题,问yi x z f 2)(+=是否可导? (2)可导与连续1)连续不一定可导。

(解答上述思考题可得这一结论) 2)可导一定连续。

由函数)(z f =ω在0z 可导,则zz f z z f z f z ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'即对于任给的0>ε,相应有一个0>δ,使得当δ<∆<z 0时,有ε<-∆-∆+)()()(0'00z f zz f z z f令 )()()()(0'00z f zz f z z f z -∆-∆+=∆ρ那么 0)(lim 0=∆→∆z z ρ 由此得z z z z f z f z z f ∆∆+∆=-∆+)()()()(0'00ρ所以 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆即函数)(z f =ω在0z 连续。

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2.2 对数函数的基本性质
(1) Ln z 的定义域为 z : 0 z ,
(2) Ln z为无穷多值函数,每两个值相差2π i的整数倍 ,
(3) z1 , z2 0:Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2 , z1 Ln( ) Ln z1 Ln z2 . 问题: z2



f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
( g ( z ) 0)
f ( z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) (5) g ( z) [ g ( z )]2
(6){ f [ ( z)]} f (w) ( z), 其中w ( z) ;
2.5 对数函数 Ln z 的支点与支割线
因此 z0 0, 不是对数函数的支点,所以对数函数也仅以
y
z
z0
0, 为支点。

x
arg z
O
对数函数的支点仍以连接函数的各个支点的曲 线形成支割线,一般地以负实轴为支割线。
三、一般幂函数与一般指数函数
3.1 一般幂函数
z eLn z ( z 0, ; 为复常数 ) 定义 4:规定 为复数 z 的一般幂函数。
(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数; (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数;
(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析; 所有解析点的集合必为开集。
问题:对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y),
如何判别其解析(可导)性? 换句话说:
f ( z)的解析可导 与u, v的偏导数之间有什么关系?
1 ,其中w f ( z )和z ( w) (7)f ( z ) ( w)
) . 是两个互为反函数的单值函数,且 (w 0
.
1.3 复变函数的微分
定理: f在点z 0 处可微的充要条件是: f在点 z 0 处 可导,且可微定义中的 A f ' ( z 0 )。
2 2

2
) cos z
(4)sin z为奇函数,cos z为偶函数
(5) 以2 为基本周期的周期函数: sin z 2k sin z ,cos z 2k sin z.(k Z )
(6)sin z与cos z的模可以大于1甚至无界.
因为
ei ( x iy ) e i ( x iy ) 1 e y eix e y e ix cos z 2 2
1 y y e e 2
(| z1 z 2 || z1 | | z 2 |)
可见,当y无限增大时,cosz趋于无穷大, 同理可知,sinz也是无界的.
(7)定义其他的三角函数:
sin z cos z tg z , ctg z , cos z sin z 1 1 sec z , csc z . cos z sin z
§2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
1 复变函数的导数与微分 1.1复变函数导数的定义:
定义1: 函数w f ( z ), z D; z0 , z0 z D
w 极限 lim lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) z 0 z z 0 z
第二章
解析函数习题课
2 初等解析函数
1) 指数函数 2) 三角函数与双曲函数
熟练掌握 指数函数、三角函数的定义、性质、计算及 它们与实变量函数的异同。 了解 双曲函数
§2.2 初等解析函数
2.1 指数函数
e z e x iy e x (cos y i sin y) 定义: z x 0 y 0: e e ,e 1 x 0 : e z eiy cos y i sin y ——欧拉公式
n
1.2 根式函数 n z 的单值解析分支
于是,在区域 G 内可以得到根式函数的 n 个单 值连续解析分支函数:
wk ( n z ) k n z e
i arg z 2 k n
n re
i
( z ) 2 k
n
(k 0,1,, n 1)
1.3 根式函数 n z 的支点与支割线
因此 z0 0, 不是根式函数的支点,所以根式函数仅以 0,
y
z
z0
为支点。
n z 的支点与支割线
从上面的讨论可以看出,判断一点 z0 是否为根式函数的支 点,关键是看当变点
z 从 上一点出发,绕 连续变动一周而
回到其出发点时, z z0 的辐角是否发生变化,以及根式函数的 像点是否能回到其初始位置 (而根式函数的像点是否可回到初始 位置与像点的辐角是否发生变化密切相关) 。如果能回到初始位 置,则 z0 不是支点,否则 z0 为根式函数的支点。
因此判断一点是否为根式函数的支点,关键是看像点的辐 角是否发生变化。如果像点的辐角变化不是 2 的整数倍,则该 点为支点。如果像点的辐角变化为 2 的整数倍,则该点不是支 点。
二、对数函数
2.1 对数函数的定义
定义 3:规定复对数函数为复指数函数的反函数。即: 如果 e z( z 0, ) ,则称复数 为复数 z 的对数,记为
Ln z
二、对数函数
2.1.1 对数函数的表示
Ln z ln | z | i (arg z 2k ) ln z 2ki (k 0,1,2, )
其 中 ln z ln | z | i arg z 表 示 对 数 函 数 的 主 值 支
( arg z )
e iy e iy e iy e iy 所以: y sin , cos y 2i 2
2.2 三角函数
2.2.1 三角函数的定义
e e 定义:sin z 2i
iz
iz
e e , cos z 2
iz
iz
,
2.2.2 三角函数的性质 性质:
e cos z i sin z (2)全平面解析函数, sin z cos z , cos z sin z 且
定理1 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要 条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足CauchyRiemann方程(p55定理2.4). 定理2 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)在区域D内一点z =x+iy 可 导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点 满足Cauchy-Riemann方程(p54定理2.2) 。
存在, 则说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的
应该注意:上述定义中 z
dw 导数,记作 f ( z0 )或 . dz z z0
0 的方式是任意的。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在D内可导.
1.2 可导与连续的关系 若函数 w f (z)在点 z 0 处可导,则 f (z ) 在点 z 0处必连续.
(4) 除去原点与负实轴, Ln z在复平面内处处解析: 1 1 d ln z 1 1 ' ' (ln z ) , ( Lnz ) w dz z z z de ( lim arg z , lim arg z π.) d w
y 0 y 0
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去 原点及负实轴的平面内的某一单值分支.
• 当 f ( z ) z时, = dz z ,所以 f (z )在点 dw z 0处的微分又可记为
dw
• 亦即
z z0
f ( z0 )d z
dw f ( z0 ) dz z z0
• 由此可知,函数 w f (z)在点 z 0处可导与可 微是等价的.
2. 解析函数的概念 定义
解析可导 u , v 可微且满足C-R方程
f ( z z ) f ( z ) u v f ( z ) lim i . z 0 z x x
则f ( z) u iv在 z x iy 处可导. (p55推论2.3)
若 推论 : u, v在( x, y)处一阶偏导数连续且满足C R方程,
(4) e 是以2 i为基本周期的周期函数
z
(5) lim e z不存在.
z
( lim e , lim e 0 )
z z z x z x
由e z e x iy e x (cos y i sin y)知:当 x 0时, e iy cos y i sin y,e iy cos y i sin y
复变函数的导数具有与实变函数同样的求导法则 。
• 复变函数的求导法则(以下出现的函数均假 设可导): (1) (C ) 0, 其中 C 为复常数; (2) z n) nz n1 , 其中 n为正整数; ( (3) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) ; (4) f ( z ) g ( z )
第二章
3初等多值函数
解析函数习题课
1)根式函数 2)对数函数 3)一般幂函数与指数函数
熟练掌握 根式函数、对数函数的定义、多值性、支点与 支割线、解析分支的判定与函数值的计算; 掌握 一般幂函数与一般指数函数的值的计算 了解 反三角函数与反双曲函数
一 根式函数
定义 2:规定根式函数 ( n 是大于 1 的整数).
第二章
一、知识点复习
解析函数习题课
1解析函数的概念与柯西-黎曼方程 1)复变函数的导数与微分; 2) 解析函数及其简单性质; 3) 柯西-黎曼方程。 熟练掌握 可导与连续,可导与可微,可导与解析的关系; 导数与解析的性质,导数的运算法则; 判定函数可导与解析的方法(定义、C—R方程), 用C—R关系计算函数的导数。
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