第2章 解析函数习题课

性质：
(1) e z定义在全平面上，且 e z 0 ( ex 0, eiy cos y i sin y 0 ez 0) z z z (2) e 在全平面解析，且 e e ——参见例2.9
(3)加法定理：e e e
z1 z2
z1 z2
z1, z2
§2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
1 复变函数的导数与微分 1.1复变函数导数的定义：
定义1: 函数w f ( z ), z D; z0 , z0 z D
w 极限 lim lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) z 0 z z 0 z
因此 z0 0, 不是根式函数的支点，所以根式函数仅以 0，
y
z
z0
为支点。

x
arg z
O
1．3 根式函数 n z 的支点与支割线
从上面的讨论可以看出，判断一点 z0 是否为根式函数的支 点，关键是看当变点
z 从 上一点出发，绕 连续变动一周而
回到其出发点时， z z0 的辐角是否发生变化，以及根式函数的 像点是否能回到其初始位置 （而根式函数的像点是否可回到初始 位置与像点的辐角是否发生变化密切相关） 。如果能回到初始位 置，则 z0 不是支点，否则 z0 为根式函数的支点。
(4) 除去原点与负实轴, Ln z在复平面内处处解析： 1 1 d ln z 1 1 ' ' (ln z ) , ( Lnz ) w dz z z z de ( lim arg z , lim arg z π.) d w
y 0 y 0
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去 原点及负实轴的平面内的某一单值分支.
第二章
解析函数习题课
2 初等解析函数
1) 指数函数 2) 三角函数与双曲函数
熟练掌握 指数函数、三角函数的定义、性质、计算及 它们与实变量函数的异同。 了解 双曲函数
§2.2 初等解析函数
2.1 指数函数
e z e x iy e x (cos y i sin y) 定义： z x 0 y 0: e e ,e 1 x 0 : e z eiy cos y i sin y ——欧拉公式
存在, 则说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的
应该注意：上述定义中 z
dw 导数，记作 f ( z0 )或 . dz z z0
0 的方式是任意的。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
1.2 可导与连续的关系 若函数 w f (z)在点 z 0 处可导，则 f (z ) 在点 z 0处必连续.
2．4 对数函数 Ln z 的单值解析分支
假设从原点割破负实轴， 相应地 z 平面记为区域 G。 C 是 G 内任意一条简单闭曲线，它的内部不包含原点， 则 当 z 从 z0 起绕 C 一周时，z 的像点 k (Ln z) k ln r( z) i( ( z) 2k ) 各画出一条闭曲线 Tk 而各回到原来的位置 k(0) 。因此它有无 穷多个解析分支。
定理1 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要 条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足CauchyRiemann方程(p55定理2.4). 定理2 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)在区域D内一点z =x+iy 可 导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点 满足Cauchy-Riemann方程(p54定理2.2) 。
1 y y e e 2
(| z1 z 2 || z1 | | z 2 |)
可见，当y无限增大时，cosz趋于无穷大， 同理可知，sinz也是无界的.
(7)定义其他的三角函数：
sin z cos z tg z , ctg z , cos z sin z 1 1 sec z , csc z . cos z sin z
解析可导 u , v 可微且满足C-R方程
f ( z z ) f ( z ) u v f ( z ) lim i . z 0 z x x
则f ( z) u iv在 z x iy 处可导. (p55推论2.3)
若 推论 ： u, v在( x, y)处一阶偏导数连续且满足C R方程,
• 当 f ( z ) z时， = dz z ，所以 f (z )在点 dw z 0处的微分又可记为
dw
• 亦即
z z0
f ( z0 )d z
dw f ( z0 ) dz z z0
• 由此可知，函数 w f (z)在点 z 0处可导与可 微是等价的.
2. 解析函数的概念 定义
因此判断一点是否为根式函数的支点，关键是看像点的辐 角是否发生变化。如果像点的辐角变化不是 2 的整数倍，则该 点为支点。如果像点的辐角变化为 2 的整数倍，则该点不是支 点。
二、对数函数
2．1 对数函数的定义
定义 3：规定复对数函数为复指数函数的反函数。即： 如果 e z( z 0, ) ，则称复数 为复数 z 的对数，记为
f f ( z)在z0解析： ( z)在z0的某邻域内可导.
z 0 称为解析点，否则称为奇点 。
f f ( z)在区域D内解析： ( z)在D内处处解析.
f ( z)在闭域D内上解析：f ( z)在包含D 的某区域内解析
函数在一点解析
在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导.
解析函数的性质：
2．5 对数函数 Ln z 的支点与支割线
因此 z0 0, 不是对数函数的支点，所以对数函数也仅以
y
z
z0
0， 为支点。

x
arg z
O
对数函数的支点仍以连接函数的各个支点的曲 线形成支割线，一般地以负实轴为支割线。
三、一般幂函数与一般指数函数
3．1 一般幂函数
z eLn z ( z 0, ; 为复常数 ) 定义 4：规定 为复数 z 的一般幂函数。
Ln z
二、对数函数
2．1．１ 对数函数的表示
Ln z ln | z | i (arg z 2k ) ln z 2ki (k 0,1,2, )
其 中 ln z ln | z | i arg z 表 示 对 数 函 数 的 主 值 支
( arg z )
复变函数的导数具有与实变函数同样的求导法则 。
• 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假 设可导）： （1） (C ) 0, 其中 C 为复常数； （2） z n） nz n1 , 其中 n为正整数； （ （3） f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) ； （4） f ( z ) g ( z )
e iy e iy e iy e iy 所以： y sin , cos y 2i 2
2.2 三角函数
2.2.1 三角函数的定义
e e 定义：sin z 2i
iz
iz
e e , cos z 2
iz
iz
,
2.2.2 三角函数的性质 性质：
e cos z i sin z (2)全平面解析函数， sin z cos z , cos z sin z 且
2．2 对数函数的基本性质
(1) Ln z 的定义域为 z : 0 z ,
(2) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差2π i的整数倍 ，
(3) z1 , z2 0：Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2 , z1 Ln( ) Ln z1 Ln z2 . 问题： z2
n
1．2 根式函数 n z 的单值解析分支
于是，在区域 G 内可以得到根式函数的 n 个单 值连续解析分支函数：
wk ( n z ) k n z e
i arg z 2 k n
wk.baidu.com
n re
i
( z ) 2 k
n
(k 0,1,, n 1)
1．3 根式函数 n z 的支点与支割线
1 ，其中w f ( z )和z ( w) （7）f ( z ) ( w)
） . 是两个互为反函数的单值函数，且 （w 0
.
1.3 复变函数的微分
定理： f在点z 0 处可微的充要条件是： f在点 z 0 处 可导，且可微定义中的 A f ' ( z 0 )。
(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数；
(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所有解析点的集合必为开集。
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？ 换句话说：
f ( z)的解析可导 与u, v的偏导数之间有什么关系？
(4) e 是以2 i为基本周期的周期函数
z
(5) lim e z不存在.
z
( lim e , lim e 0 )
z z z x z x
由e z e x iy e x (cos y i sin y)知：当 x 0时， e iy cos y i sin y，e iy cos y i sin y
2 2

2
) cos z
(4)sin z为奇函数，cos z为偶函数
(5) 以2 为基本周期的周期函数： sin z 2k sin z ,cos z 2k sin z.(k Z )
(6)sin z与cos z的模可以大于1甚至无界.
因为
ei ( x iy ) e i ( x iy ) 1 e y eix e y e ix cos z 2 2
(1)Euler 公式仍然成立：
iz
(3)各种三角恒等式仍然成立.
sin(z1 z 2 ) sin z1 cos z 2 cos z1 sin z 2 cos(z1 z 2 ) cos z1 cos z 2 sin z1 sin z 2 sin z cos z 1, sin(z
第二章
3初等多值函数
解析函数习题课
1)根式函数 2)对数函数 3)一般幂函数与指数函数
熟练掌握 根式函数、对数函数的定义、多值性、支点与 支割线、解析分支的判定与函数值的计算； 掌握 一般幂函数与一般指数函数的值的计算 了解 反三角函数与反双曲函数
一 根式函数
定义 2：规定根式函数 （ n 是大于 1 的整数）.
第二章
一、知识点复习
解析函数习题课
1解析函数的概念与柯西-黎曼方程 1)复变函数的导数与微分； 2) 解析函数及其简单性质； 3) 柯西-黎曼方程。 熟练掌握 可导与连续，可导与可微，可导与解析的关系； 导数与解析的性质，导数的运算法则； 判定函数可导与解析的方法（定义、C—R方程）， 用C—R关系计算函数的导数。
由定义可得：
w n z n ze
i arg z 2 k n
n
z 为幂函数 z n 的反函数
n re
i
2 k
n
(k 0,1,, n 1)
于是，每一个非 0 和非 的 z ，在 平面上有 n 个 原象，且此 n 个原象分布在以原点为心的正 n 边形 的顶点上，从而根式函数 z 就是 n 值的。


；
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
( g ( z ) 0)
f ( z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) （5） g ( z) [ g ( z )]2
（6）{ f [ ( z)]} f (w) ( z), 其中w ( z) ；