《函数的基本性质习题课》示范教学设计【高中数学人教版】.docx

《函数的基本性质习题课》教学设计

1.复习函数的基本性质一单调性、最大（小）值、奇偶性，构建函数性质的知识结构.

2.能应用数形结合、函数与方程、化归与转化的思想进行运算求解、推理论证，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

♦教学重难点

教学重点：理解函数的基本性质，应用函数的性质进行运算求解、推理论证.

教学难点：应用函数的性质进行运算求解、推理论证.

♦课前准备

用软件制作动画；PPT课件.

一、复习导入

问题1：请同学们梳理第3. 2节（课本P76〜P85）的内容，回答以下几个问题：

（1）函数的基本性质有哪些？你能依次从图象特征和代数符号的角度叙述这些性质吗？

（2）你能说说研究函数的性质的方法吗？

师生活动：学生先独立阅读思考，老师根据学生的回答补充.

预设的答案：（1）的答案见表1：

表1中，函数y=f{x)的定义域为1,区间DJ I.

(2)先观察具体函数图象，分析图象特征，形成对函数性质的感性认识；再结合解析式从代数的角度定量刻画函数性质，抽象出一般概念；最后应用概念分析解决问题.

设计意图：通过复习帮助学生梳理学习方法，构建函数基本性质的知识结构.

引语：我们在第3. 2节主要学习了三种函数性质，本节课我们一起来深入体会这些性质的作用•(板书：函数的基本性质习题课)

二、新知探究

1.单调性的应用

例1 (习题3.2 P86第8题)

9

(1)根据函数单调性的定义证明函数在区间(3, +8)上单调递增；

9

(2)讨论函数在区间(0, +°°)上的单调性；

k

(3)讨论函数>=》+?(左>0)在区间(0, +8)上的单调性.

师生活动：学生回忆单调性的探究思路，老师在学生回答的基础上进行补充.

预设的答案：

(1 )证明：Vxi,工2仁(3, + °°),且X1

yi-j2= 3+W)-(炬+自=Cri-A2)+ A1 人2 入1 人2

/ 、. 9(x2—X1) / 、9(X1—X2)/ 、/. 9 \ / 、/%1%2一

9、

—U1 —X2)十——W—X2)―—— U1 —X2)— U1 —X2)\ ~~~-)

X\X2 X\X2 X\X2 X\X2由xi,互£ (3, +8),得xi>3, X2>3,所以由尤2>9, xiX2—9>0.

—9

由Xi

9

所以，函数y=x+g在区间(3, +8)上的单调递增.

9

(2)当尤i, (0, 3)时，xiX2—9<0,则>1一、2>0,即所以y=%+?在区间

9

(0, 3)上单调递减.综上，>=尤+三在区间(0, 3)上单调递减，在区间(3, +°°)上单调递增.

(3)

函数y=x+* (^>0)在区间(0,乖］上单调递减，在区间［衣，+8)上单调递增.

追问1：判断函数尸x+*Q0)在区间(0, +8)上是否存在最值并说明理由；(根据函数y=x+~ (k>。)的单调性，可知该函数在工=寸处取到最小值，最小值为2、住，无最大值.)

k 追问2：函数(^>0)在区间［2, 3］上具有单调性，求k的取值范围；

(由该

函数的单调性可知：3Wy［lc或2R,解得：Q9或0VkW4,所以k的取值范围为(0, 4］ U ［9, +°°)・)

追问3：你还能得到函数y=x+［ (Q0)的哪些性质？(函数y=x+g (Q0)的定义域为(―°°, 0)U(0, +8),该函数为奇函数.它在区间(0,依］上单调递减，在区间［欢, + 8)上单调递增；在区间(一8,—必］上单调递增，在区间［—女，0)上单调递减.)

追问4：请你试着画出该函数(Q ；，/

0)的图象.(学生根据函数性质画出与图1类二

似的图象.)

设计意图：例1通过单调性的证明与求解单「//

I I I I I I ■， I I I I I I 、~^6~~~~~ 1 jd 1 2 3 4 5 6 X 调区间加深学生对单调性定义的理解，提升学生/当-

的逻辑推理和数学运算素养.追问1, 2训练学/彳飞-

生对函数的图象与性质(单调性、最大(小)值) / 二的理解，追问3, 4训练学生对函数性质的整体 / $

图1 把握，通过性质的探究

预测图象的大致走向，感受代数与几何的相互成就，提升学生的直观想象和数学抽象素养.

2.单调性与奇偶性的综合应用

例2 (习题3.2P86第11题)

已知函数犬X)是定义域为R的奇函数，当xNO时，»=x(l+x).画出函数必)的图象,

并求出函数的解析式.

追问1：求/(—1). (/(I) =1X(1 + 1)=2,又因为函数犬x)是奇函数，所以1)= -/ (1) =-2.)

追问2：求冷).(当心。时，ya)=r(i+f)；当io, y(—f)=-fx(1+(—分) =—z(i—/),又因为函数是奇函数，所以

师生活动：学生先独立地根据奇偶性画出函数的图象，体会该函数在定义域R内的不同范围内的对应关系不同，明确所求函数是分段函数.求解解析式对于大多数高一学生来说比较困难，老师可以适当通过追问加以引导.

预设的答案：

当xNO 时，7(x)=x(l+x)；

当x<0 时，一X>O, /(—x)=—xX (1+(—X)) = —x(l—x),又因为函数Rt)是奇函数, 所以fix) =—X—x)=x(1 —x).

|%(1—x), x<0,

综上，fi.x)=\ , 图象如图2实线部分.

［尤(1 I x)， x 0.

追问3：若函数关0是定义域为R的偶函数，其他条件不变，画出函数关0的图象，并求出函数的解析式.

(当xNO 时，J(x)—x(l+x)；

当％VO时，一工〉0,汽一x)=—xX (1+(―工))=—尤(1—0 ,又因为函数汽工)是偶函数, 所以—A—^) ——x (1 —X)=尤(工一1)・

\x(x— 1), xVO,

综上，川)= , 、八图象如图3实线部分.)

［尤(1 I x)， x 0.