【高中数学过关练习】过关练12 求函数的解析式

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求函数解析式(知识点+例题+习题)精编word版

求函数的解析式（1）配凑法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足等量关系间接获得其解析式．（2）换元法：已知(())()f h x g x =求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，带入()g x 进行换元，求出()f t 的解析式，再将t 替换为x 即可，注意新元t 的取值范围．（3）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．（4）解方程组法：已知关于()f x 与1()f x （或()f x -）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程，构成方程组求出()f x ．练习题：答案解析：6解析：设2()(0)f x ax bx c a=++≠，则22(1)()(1)(1)()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b+-=++++-++=++由题意可知(0)122f caa b==⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得111abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩2()1f x x x∴=-+．答案：21x x=-+7解析：13()5()21f x f xx+=+…………①用1x替换x得123()5()1f f xx x+=+……②35①-②⨯⨯得1016()62f x xx-=--即153()888xf xx=+-．答案：153()888xf xx=+-8解析：()2()31f x f x x--=-…………①用x-替换x得()2()31f x f x x--=--……②两式联立解得()1f x x=+．答案：A数学浪子整理制作，侵权必究。

高中函数解方程练习题

高中函数解方程练习题在高中数学中，函数解方程是一个重要的知识点。

解函数方程需要通过一系列的步骤和方法来得到准确的解答。

本文将为大家提供一些高中函数解方程的练习题，希望能帮助大家提高解方程的能力。

1. 解方程：2x - 5 = 7首先，我们将方程整理成一般形式：2x - 5 = 72x = 7 + 52x = 12然后，将方程两边同时除以2：x = 12/2x = 6所以，方程的解为x = 6。

2. 解方程：3(4x - 2) = 18首先，我们将方程展开并整理：3(4x - 2) = 1812x - 6 = 1812x = 18 + 612x = 24然后，将方程两边同时除以12：x = 24/12x = 2所以，方程的解为x = 2。

3. 解方程：x^2 - 4 = 0首先，我们将方程整理成标准形式：x^2 - 4 = 0然后，通过因式分解来解方程：(x + 2)(x - 2) = 0根据乘积为零的性质，得到两个方程：x + 2 = 0 或 x - 2 = 0解得：x = -2 或 x = 2所以，方程的解为x = -2或x = 2。

4. 解方程：2x^2 + 3x - 5 = 0首先，我们可以使用求根公式来解这个二次方程：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a将方程的系数代入公式，得到：x = [-3 ± √(3^2 - 4 * 2 * -5)] / (2 * 2)化简后得到：x = (-3 ± √(9 + 40)) / 4x = (-3 ± √49) / 4x = (-3 ± 7) / 4解得：x = (7 - 3) / 4 或 x = (-7 - 3) / 4x = 1 或 x = -5/2所以，方程的解为x = 1或x = -5/2。

通过以上的练习题，我们可以巩固和提高高中函数解方程的能力。

通过对方程的整理、展开、因式分解和使用求根公式等方法，我们能够准确地求解各类函数方程。

求函数解析式的方法和例题

求函数解析式的方法和例题在数学中，我们经常会遇到需要求解函数解析式的问题。

函数解析式是描述函数规律的数学式子，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

那么，如何求函数的解析式呢？接下来，我们将介绍一些常见的方法和例题，希望能帮助你更好地理解和掌握这一内容。

一、根据函数图像求解析式。

对于一些简单的函数，我们可以通过观察其图像来推导出函数的解析式。

例如，对于一次函数y=kx+b，我们可以根据函数图像上的两个点来确定k和b的值，进而得到函数的解析式。

同样地，对于二次函数、指数函数等，也可以通过观察函数图像来求解析式。

例题1，已知一次函数的图像经过点（1，3）和（2，5），求函数的解析式。

解：设函数为y=kx+b，代入已知的两个点得到方程组：3=k1+b。

5=k2+b。

解方程组得到k=2，b=1，因此函数的解析式为y=2x+1。

二、根据函数性质求解析式。

有些函数具有特定的性质，我们可以利用这些性质来求解析式。

例如，对于指数函数y=a^x，我们知道指数函数经过点（0,1），因此可以利用这一性质求解析式。

又如，对于对数函数y=loga(x)，我们知道对数函数的定义域为正实数，可以利用这一性质来确定函数的解析式。

例题2，已知指数函数经过点（1,2），求函数的解析式。

解，设函数为y=a^x，代入已知的点（1,2）得到方程a^1=2，解得a=2，因此函数的解析式为y=2^x。

三、根据函数的变化规律求解析式。

有些函数的变化规律是已知的，我们可以根据这一规律来求解析式。

例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，我们知道等差数列的通项公式是已知的，可以直接利用这一公式求解析式。

同样地，对于等比数列、等差数列等，也可以根据其变化规律来求解析式。

例题3，已知等差数列的首项为3，公差为4，求第n项的表达式。

解，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知的首项和公差得到an=3+(n-1)4，化简得到an=4n-1，因此第n项的表达式为4n-1。

高一上学期函数专题：函数的解析式求法(含答案解析)

9．（1），；（2）．
【分析】
（1）根据函数的奇偶性构造方程组可解得结果；
（2）代入解析式，换元后化为对恒成立，利用基本不等式求出的最小值可得解.
【详解】
（1），用代替得，
则，
解方程组得：，．
（2）由题意可得对任意恒成立，
令，，因为在单调递增，故
则对恒成立
因为，当且仅当时，等号成立.
A． B．
C． D．
4．函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（）
A．6B．5C．4D．3
二、填空题
5．若对于任意实数都有，则 __________.
6．若函数，满足，且，则 ________．
三、解答题
7．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）已知，求的解析式，
【详解】
解：∵ ，
∴
∴ ，故选A
【考点】
用凑配方和代入法求函数的解析式．
【点睛】
把用表示出来，是解决本题的关键．
2．C
【分析】
利用配凑法求函数的表达式.
【详解】
，
；
故选：．
3．D
【分析】
先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得 .
【详解】
是奇函数，时，．
当时，，，得．故选D．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
4．A
【分析】
由奇函数的定义域可得的值，再由解出，进而求出答案．
【详解】
函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以．

新高中数学必修1求函数解析式基础题(含详解)

【详解】
解析：法一：(换元法)
令，则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2 ＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：(配凑法)
∵x＋2 ＝( ＋1)2－1，∴f( ＋1)＝( ＋1)2－1.
又∵ ＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
【点睛】
吧求函数的解析式，涉及换元方法和配方法，属基础题，难度较易.
A． B．
C． D．
5．设，，则等于( )
A． B． C． D．
6．已知，则的解析式为（）
A． B．
C． D．
7．定义，例如，则的范围是（）
A． B． C． D．
二、解答题
8．（1）已知是一次函数，满足，求的解析式.
（2）已知，求的解析式.
9．已知f( ＋1)＝x＋2 ，求f(x)．
新高中数学必修1求函数解析式基础题训练（含详解）
一、单选题
1．已知，则 ( )
A．36B．16C．100D．8
2．已知函数满足且，则实数的值为（）
A． B． C．7D．6
3．如果＝，则当x≠0，1时，f(x)等于（）
A． B． C． D．
4．已知是二次函数，且，，则的解析式为（）
11．或
【解析】
【分析】
由题意知，为一次函数，故可设一次函数，利用函数解析式求得，结合待定系数法列出关于，的方程，求得，．最后写出所求函数的解析式即可．
【详解】
解：设一次函数，
则，
又，
则有，得解得或，
故所求函数的解析式为：或
【点睛】
本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查待定系数法．属于基础题．

求函数的解析式高中数学必修一总复习课件

题型四
求函数的解析式
【例
4】(1)已知
f
(x
1 x
)
＝x2＋x12，求
f(x)的解析式；
(2)已知
f(2 x1)＝lgx，求
f(x)的解析式；
(3)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，
求 f(x)的解析式；
(4)已知
f(x)满足
2f(x)＋
f
(
1 x
)
＝3x，求
(2) 待定系数法：若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函
数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，
此时要注意新元的取值范围；
(4)方程思想：已知关于f(x)与
f
(
1 x
)
或f(－x)的表达式，可根
据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组
f(x)的解析式．
变式训练 4
给出下列两个条件：
(1)f( x＋1)＝x＋2 x；
(2)f(x)为二次函数且 f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2. 试分
别求出 f(x)的解析式．
探究提高
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于
g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
求出f(x)．

(精校版)高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习

二、待定系数法：（主要用于二次函数）
已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数. 【例 1】设 f (x) 是一次函数，且 f [ f (x)] 4x 3 ，求 f (x) 【解析】设 f (x) ax b (a 0) ，则
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(直打版)高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习(word 版可编辑修改)
高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习
一、定义法：
根据函数的定义求解析式用定义法。【例 1】设 f (x 1) x2 3x 2 ，求 f (x) .
f (x 1) x2 3x 2 [(x 1) 1]2 3[(x 1) 1] 2 = (x 1)2 5(x 1) 6 f (x) x2 5x 6
t
1)2
2
log
2 a
t
2 loga
t
3
f
(x)
log
2 a
x
2 loga
x
3
四、代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．
【例 1】已知：函数 y x2 x与y g(x) 的图象关于点 (2,3) 对称，求 g(x) 的解析式．
解：设 M (x, y) 为 y g(x) 上任一点，且 M (x, y) 为 M (x, y) 关于点 (2,3) 的对称点．
分析： x 2 x 可配凑成可用配凑法
解：由 f ( x 1) x 2 x ( x )2 1 令t x 1 x 0 t 1

高考求函数解析式方法及例题

学习好资料欢迎下载函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。

求函数解析式的题型有：（ 1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知 f ( x) 求 f [ g(x)] 或已知 f [ g( x)] 求 f (x) ：换元法、配凑法；（ 3）已知函数图像，求函数解析式；（ 4）外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（ 5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

一【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知 f ( x) 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 f ( x) 的表达式。

【例 1】已知函数 f(x)是一次函数，且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求 f(x)的解析式。

分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设 f(x)=ax+b(a ≠则0)f(x+1)=? ， f(x-1)=?解：设 f(x)=ax+b(a ≠，0)由条件得： 3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ，∴f(x)=2x+7【例 2】求一个一次函数 f(x) ，使得 f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设 f(x)=ax+b(a ≠则0)f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设 f(x)=ax+b （a ≠ 0)，依题意有 a[a(ax+b)+b]+b=8x+7∴ a 3 x +b( a 2 +a+1)=8x+7，∴ f(x)=2x+1【评注：】待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

待定系数法例题：设二次函数f (x)满足 f ( x2)f ( x 2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为2 2，求f ( x)的解析式。

【期中复习】12章一次函数知识点过关练习

第12章一次函数复习①有两个变量x 和y 。

②x 是自变量，y 是因变量。

③在x 允许的取值范围内，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应。

1、如图所示的图象分别给出了x 与y 的对应关系，其中y 是x 的函数的是（）(1)已知矩形的周长为10cm ，则其面积y （cm 2）与一边长x （cm ）的函数关系式为_________ ，自变量x 的取值范围是________。

(2)小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关系是______________， x 的取值范围是__________ (3)汽车从甲地驶往相距320km 的乙地，它的平均速度是40km/h ，则汽车距离乙地的路程S 与行驶时间t 的函数表达式为：________， t 的取值范围是__________ (4)汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油9升，油箱剩余油量y （升） (1)11y x =- (2)1-=x y (3)1-=x xy (4)y ＝x -2＋31-x(5)y = (6)xy -=31 (7)y =(1)当x= —2时，函数x x y 442+=的函数值等于多少？ (2)已知函数12+=x xy ，当a x =时，y = 1，则a 的值为( ) ABD1.画出函数2-x =y 的图象。

1、如图这是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的关系，读图填空：① 这是一次米的赛跑．② 先到终点的是_______③ 王平在赛跑中速度是__ __m/s2．（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处3．（2010江苏南京）如图，夜晚，小亮从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他的影长y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间的函数关系的图像大致为（图1）4．（2010 河北）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km /h ，水流速度为5 km/h ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t （h ），航行的路程为s （km ），则s 与t 的函数图象大致是形如y=kx(k≠0)(1)若函数y=(m ＋1)x ＋m 2－1是正比例函数，则k 的值为（）正比例函数y=kx （k≠0）的图象是一条经过( , )和（ , ）的一条直线，我们称它为直线y=kx.1.直线y=7x 经过点( , )和（ , ）2.直线y=—4x 经过点( , )和（ , ）3.直线x y3-=经过点( , )和（ , ）当k>0时，直线y=kx 过象限，从左向右，即随着x 的增大，y ；当k<0时，直线y=kx 过象限，从左向右，即随着x 的增大，y (1)函数y=－3x 的图象是一条过原点及（1，__）的直线，这条直线经过第_ 象限，当x 增大时，y 随之_______ (2)已知是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m 的值______形如y=kx ＋b(k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.1. 下列函数关系中表示一次函数的有（）①12+=x y ②xy 1=③x x y -+=21④t s 60=⑤x y 25100-=A.1个B.2个C.3个D.4个 2. 函数y=(k 2-1)x+3是一次函数,则k 的取值范围是( )A.k ≠1B.k≠-1 C.k ≠±1 D.k 为任意实数．ABCD3.已知一次函数kx k y )1(-=+3，则k = 4.当m=_______时，函数是一次函数.在一次函数y=kx ＋b(k≠0)中，当b=0时，关系式变成y=kx ，一次函数y=kx ＋b(k≠0)的图象是经过（0，）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx ＋b 的图象也称为直线y=kx ＋b. 1.直线62--=x y 经过点( , )和（ , ） 2. 直线12+=x y 经过点( , )和（ , ）一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向平移；当b<0时，向平移）.1.将函数y ＝－6x 的图象1l 向上平移5个单位得直线2l ，则直线2l 与坐标轴围成的三角形面积为 .2.把直线132+=x y 向上平移3个单位所得到的直线的解析式为．3. 将直线21y x =-+向下平移4个单位长度。

高一数学函数解析式求法_讲解例题

高中数学必修一高中数学必修一解析式的求法专题练习解析式的求法专题练习1、设函数(]()îíì+¥Î¥-Î=-,3,log 2,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为的值为。

3、若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y Î==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(Î=叫做f 和g 的复合函数。

的复合函数。

4、已知12)(),1(2)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，，[]=)(x f g 。

5、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为轴上的截距为-4-4-4，被，被x 轴截得的线段长为4，求函数)(x f y =的解析式。

的解析式。

6、已知221)1(x x x x f +=-，求)(x f 。

7、221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。

8、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有)()14()(y f x y x y x f +++=+成立，且0)1(=f 。

(1)(1)求求)0(f 的值；(2)(2)求求)(x f 的解析式。

的解析式。

9、已知：)0(,31)(2¹=÷øöçèæ+x x x f x f ，求)(x f 。

1010．已知．已知f(5x+1)=4x+3, f(5x+1)=4x+3, 求求f(x)f(x)的解析式的解析式的解析式. .11．若)()()(y f x f y x f ×=+,且3)3(=f ，求值)2004()2007()3()6()2()5()1()4(f f f f f f f f ++++ .1010．．已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f1212．．对x ∈R, )(x f 满足1)1()(=+-x f x f ,且当x ∈[－1,0]1,0]时时, 14)(2+=x x f 求当求当x ∈[7,8][7,8]时时)(x f 的表达式表达式. .。

高考数学难点突破_难点05__求解函数解析式

高考数学难点突破_难点05__求解函数解析式要求解一个函数的解析式，首先需要知道函数的性质和已知条件。

下面以一道高考数学难题为例，介绍如何求解函数的解析式。

题目描述：已知函数f(x)满足以下条件：当x>0时，f(x+1)=2f(x)-1；当x=0时，f(x)=1、求f(4)的值。

解题思路：根据已知条件，我们可以列出等式f(x+1)=2f(x)-1、把等式展开，得到f(x)+f(2)=2f(x)-1，整理得到f(2)=f(x)+1由于我们需要求解f(4)，可以先求解f(2)。

根据前面的等式，我们可以知道f(2)=f(1)+1，再进一步知道f(2)=f(0+1)+1=f(1)+1、结合已知条件f(0)=1，可得f(1)=0。

接着，我们可以继续推理得到f(3)=f(2)+1=f(1)+2=2、最终得到f(4)=f(3)+1=2+1=3所以，f(4)=3解题过程分析：这是一道典型的递推关系式题目，通过观察递推关系式，我们可以得出一般的递推公式，然后再把已知条件代入求解。

在这个题目中，我们观察到f(x+1)=2f(x)-1，可以得出f(x)=2f(x-1)-1的一般递推公式。

然后我们再根据已知条件f(0)=1，依次带入递推公式，得到各个f(x)的值。

题目求解过程中，我们直接通过代入已知条件不断递推得到f(4)的解析式。

但实际上，对于更复杂的题目，往往需要进行更多的代入与推导，才能得到最终的解析式。

这就需要我们熟练掌握函数的性质和运算方法，灵活运用各种解题技巧。

总结：求解函数的解析式需要根据已知条件观察递推关系，得出递推公式，再通过代入和运算推导得到最终的解析式。

这个过程需要我们灵活运用函数性质和解题技巧，希望通过以上的介绍能够帮助大家更好地理解和掌握求解函数解析式的方法。

【高中数学过关练习】过关练13-二次函数在闭区间上的最值问题

过关练13 二次函数在闭区间上的最值问题一、单选题1．（2022·山西运城·高一期末）已知二次函数()()2f x ax x c x =-+∈R 的值域为[)0,∞+，则41a c+的最小值为（） A ．16 B ．12 C ．10 D ．8【解析】由题意知0a >，140ac ∆=-=， ∴14ac =且0c >， ∴4148a c ac+≥=，当且仅当41a c=，即1a =，14c =时取等号.故选：D.2．（2022·全国·高一期末）若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为（）A ．-1，-7B ．0，-8C ．1，-1D ．1，-7【解析】220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<， 2∴-，1是方程220ax bx ++=的根，且0a <，∴21221b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，1a ∴=-，1b =-，则二次函数2224241y bx x a x x =++=-+-开口向下，对称轴1x =，在区间[]0,3上，当1x =时，函数取得最大值1，当3x =时，函数取得最小值7- 故选：D ．3．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））函数()(||1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（） A ．52B ．522+C ．32D ．2【解析】当x ≥0时，()()221111()244f x x x x x x ==-=--≥-﹣，当x ＜0时，()()22111()24f x x x x x x =-=--=-++，作出函数()f x 的图象如图：当0x ≥时，由()f x =22x x -=，解得x =2．当12x =时，()1124f =-．当x ＜0时，由21()4f x x x =--=-,即24410x x +=﹣，解得x 2444443244212-±+⨯-±-±-±===∴此时x 12-- ∵[,m n ]上的最小值为14-，最大值为2，∴n =21212m --≤≤， ∴n m -的最大值为1252222--=+，故选：B ．4．（2022·重庆巫山·高一期末）若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（） A ．(]0,4 B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】234y x x =--为开口方向向上，对称轴为32x =的二次函数 min 99254424y ∴=--=- 令2344x x --=-，解得：10x =，23x = 332m ∴≤≤即实数m 的取值范围为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C5．（2022·浙江台州·高一期末）已知函数()22f x ax x =+的定义域为区间[m ，n ]，其中,,a m n R ∈，若f （x ）的值域为[-4，4]，则n m -的取值范围是（）A ．[4，42]B ．[22，82]C ．[4，82]D ．[42，8]【解析】若0a =，()2f x x =，函数为增函数，[,]x m n ∈时，则()24,()24f m m f n n ==-==，所以2(2)4n m -=--=，当0a >时，作图如下，为使n m -取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时14a =，由22()424()424f n am m f m an n =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，即2240ax x +-=，所以24,m n mn a a+=-=-，所以()22416482n m m n mn a a-=+-=+=82n m -≤ 当14a -<-时，即104a <<时，此时,m n 在对称轴同侧时n m -最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在对称轴右侧，则由22()24,()24f n an n f m am m =+==+=-，解得24162416a an m -++-+-==416416141441414141422a a a a n m a aa a+--+--∴-===++-++-，当且仅当1414a a +=- ,即0a =时取等号，但0a >，等号取不到，4n m ∴->，0a <时，同理，当14a =-时，max ()82n m -=14a >-时，()min 4n m ->，综上，n m -的取值范围是[4,82]，故选：C6．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数2,02()34,23x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，若存在实数1x ，2x （12x x <）满足12()()f x f x =，则21x x -的最小值为（） A ．712B ．22C ．23D ．1【解析】当0≤x ≤2时，0≤x 2≤4，当2<x ≤3时，2<3x －4≤5，则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令12()()f x f x ==t ∈(2，4]，则1x t 243t x +=， ∴2214143333t x x t tt -==， 32t ，即94t =时，21x x -有最小值712，故选：A.二、多选题7．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（）A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-【解析】由题可知，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，已知()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则当0x >时，0x -<，则()()()1f x x x f x -=--=-，所以当[)0,x ∈+∞时，()()2211124f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，可知()00f =，()10f =，且最大值为14，无最小值，所以()f x 在[)0,∞+上正确的结论是ABC. 故选：ABC.8．（2022·贵州遵义·高一期末）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（）A ．2B ．-1C ．0D ．1【解析】当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值，若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值，若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数，则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.三、填空题9．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______【解析】因为22()25(1)4f x x x x =-+=-+，所以当1x =时，min ()(1)4f x f ==，当5x =时，2max ()(5)(51)420f x f ==-+=，所以最大值和最小值之积为42080⨯=.故答案为：8010．（2022·广东汕头·高一期末）函数()()()2f x x a bx a =++是偶函数，且它的值域为(],2-∞，则2a b +=__________．【解析】()()()()22222f x x a bx a bx a ab x a =++=+++为偶函数，所以20a ab +=，即0a =或2b =-，当0a =时，()2f x bx =值域不符合(],2-∞，所以0a =不成立；当2b =-时，()2222f x x a =-+，若值域为(],2-∞，则21a =，所以21a b +=-.故答案为：1-.11．（2022·广东·华南师大附中高一期末）对x ∀∈R ，不等式2430mx x m ++->恒成立，则m 的取值范围是___________；若2430mx x m ++->在()1,1-上有解，则m 的取值范围是___________.【解析】（1）关于x 的不等式函数2430mx x m ++->对于任意实数x 恒成立，则()204430m m m >⎧⎨∆=--<⎩，解得m 的取值范围是()4,+∞.（2）若2430mx x m ++->在()1,1-上有解，则2341x m x ->+在()1,1-上有解，易知当314x -<≤时23401xx -≥+，当314x <<时23401x x -<+，此时记34t x =-，则104t <<，()244253311624t g t t t t --==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()12g t >-，综上可知，234112x x ->-+，故m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()4,+∞；1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭四、解答题12．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的值域. 【解析】（1）解：由()02f =可得2c =，()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++，由()()121f x f x x +-=-得221ax a b x ++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()222f x x x =-+.（2）解：由（1）可得：()()222211f x x x x =-+=-+，则()f x 的图象的对称轴方程为1x =，()11f =，又因为()15f -=，()22f =，所以，()f x 在区间[]1,2-上的值域为[]1,5.13．（2022·广东潮州·高一期末）()2f x x bx c =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3．(1)求实数b ，c 的值；(2)[]0,3x ∈时，求()f x 的值域．【解析】(1)解：由题意，1和3是方程20x bx c ++=的两根，所以1313b c +=-⎧⎨⨯=⎩，解得4,3b c =-=；(2)解：由（1）知，22()43(2)1f x x x x =-+=--，所以当[]0,2x ∈时，()f x 单调递减，当[]2,3x ∈时，()f x 单调递增，所以min ()(2)1f x f ==-，max ()(0)3f x f ==，所以()f x 的值域为[1,3]-.14．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()223f x x ax =++，[]4,6x ∈-．(1)当2a =-时，求()f x 的最值；(2)若()f x 在区间[]4,6-上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当2a =-时，()()224321f x x x x =-+=--， ∴()f x 在[]4,2-上单凋递减，在2,6上单调递增，∴()()min 21f x f ==-，()()()()2max 4444335f x f =-=--⨯-+=.（2）()()222233f x x ax x a a =++=++-，∴要使()f x 在[]4,6-上为单调函数，只需4a -≤-或6a -≥，解得4a ≥或6a ≤-． ∴实数a 的取值范围为(][),64,-∞-+∞．15．（2022·北京通州·高一期末）已知二次函数2()21f x ax ax =-+. (1)求()f x 的对称轴；(2)若(1)7f -=，求a 的值及()f x 的最值.【解析】(1)解：因为二次函数2()21f x ax ax =-+，所以对称轴212ax a-=-=． (2)解：因为(1)7f -=，所以217a a ++=. 所以2a =.所以2()241f x x x =-+．因为20a =>，所以()f x 开口向上，又2()241f x x x =-+对称轴为1x =，所以最小值为(1)1f =-，无最大值. 16．（2022·陕西·长安一中高一期末）函数2()22f x x x =-- (1)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的值域； (2)当[,1]x t t ∈+时，求函数()f x 的最小值．【解析】(1)解：由题意，函数()22()2213f x x x x =--=--，可得函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]12，上单调递增，所以函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为(2)6f -=，最小值为(1)3f -=-，综上函数()f x 在上的值域为[]3,6-.(2)解：①当0t ≤时，函数在区间[],1t t +上单调递减，最小值为2(1)3f t t +=-； ②当01t <<时，函数在区间[],1t 上单调递减，在区间[]1,+1t 上单调递增，最小值为(1)3f =-；③当1t ≥时，函数在区间[],1t t +上单调递增，最小值为2()22f t t t =--，综上可得：当0t ≤时，函数()f x 的最小值为23t -；当01t <<，函数()f x 的最小值为3-；当1t ≥时，函数()f x 的最小值为222t t --.17．（2022·福建泉州·高一期末）已知函数2()4(0)f x ax ax b a =-+>在[0,3]上的最大值为3，最小值为1-． (1)求()f x 的解析式；(2)若(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，求实数m 的取值范围．【解析】（1）()f x 的开口向上，对称轴为2x =，所以在区间[]0,3上有：()()()()min max 2,0f x f f x f ==，即481133a a b a b b -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以()243f x x x =-+.（2）依题意(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，即2343,4x x mx m x x-+<>+-，由于1x >，33424234x x x x+-≥⋅=，当且仅当33x x x=⇒=. 所以234m >.18．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()()220f x mx mx n m =-+<在区间[]0,3上的最大值为5，最小值为1．(1)求m ，n 的值；(2)若正实数a ，b 满足2na mb -=，求114a b+的最小值．【解析】(1)由()()220f x mx mx n m =-+<，可得其对称轴方程为212mx m-=-=，所以由题意有(1)25(3)961f m m n f m m n =-+=⎧⎨=-+=⎩，解得1,4m n =-=.(2)由（1）2na mb -=为42a b +=，则111111171171725()()()(2)14242424848b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=+=，（当且仅当25a b ==时等号成立）. 所以114a b +的最小值为258.19．（2022·山东日照·高一期末）已知函数()223f x x ax =--.(1)若1a =，求不等式()0f x ≥的解集；(2)已知()f x 在[)3,+∞上单调递增，求a 的取值范围； (3)求()f x 在[]1,2-上的最小值.【解析】（1）当1a =时，函数()223f x x x =--，不等式()0f x ≥，即223(1)(3)0x x x x --=+-≥，解得1x ≤-或3x ≥，即不等式()0f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞.（2）由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，要使得()f x 在[)3,+∞上单调递增，则满足3a ≤，所以a 的取值范围为(,3]-∞.（3）由函数()223f x x ax =--，可得()f x 的图象开口向上，且对称轴为x a =，当1a <-时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，所以()f x 最小值为()122f a -=-；当12a -≤≤时，函数()f x 在[]1,a -递减，在[],2a 上递增，所以()f x 最小值为()23f a a =--；当2a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，所以()f x 最小值为()214f a =-，综上可得，()f x 在[]1,2-上的最小值为()2min22,13,1214,2a a f x a a a a -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩. 20．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值. 【解析】(1)因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣0）＝﹣f （0），所以f （0）＝0，即n ＝0，所以f （x ）＝x |x ﹣m |，又f （﹣1）＝﹣f （1），所以|1﹣m |＝|1＋m |，解得m ＝0，此时f （x ）＝x |x |，对∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ），所以f （x ）为奇函数,故m ＝0.(2)f （x ）＝x |x ﹣1|＋n ＝22,1,1x x n x x x n x ⎧-++⎨-+>⎩所以f （x ）在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1，n ]上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其中211(),()24f n f n n =+=，2111212()()()24f n f n n n n +--=--=，令214n n >+得，12n +>12n +>1()()2f n f >，2max ()f x n =.121n +<≤时1()()2f n f ≤，所以max 1()4f x n =+，因此y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值为2112,14212,n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪⎪⎩. 21．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．【解析】（1）∵()f x 的图象过点()1,1-， ∴21m n ++=-① 又()()23f f -=， ∴82183m n m n -+=++② 由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；（2）()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+，当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦；当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min 221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦．综上，()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．（3）设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >． 22．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数()22f x x mx =--.(1)若0m >且()f x 的最小值为3-，求不等式()1f x <的解集； (2)若当21x ≤时，不等式()20f x x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）解：()f x 的图象是对称轴为2mx =，开口向上的抛物线，所以，()222min2232424m m mm f x f ⎛⎫==--=--=- ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =，由()1f x <得2230x x --<，即()()310x x -+<，得13x ，因此，不等式()1f x <的解集为()1,3-.（2）解：由21x ≤得11x -≤≤，设函数()()()2222g x f x x x m x =-=-+-，因为函数()g x 的图象是开口向上的抛物线，要使当21x ≤时，不等式()20f x x -<恒成立，即()0g x <在[]1,1-上恒成立，则()()1010g g⎧<⎪⎨-<⎪⎩，可得122010m m ---<⎧⎨+<⎩，解得3<1m -<-. 23．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．24．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知函数()2623f x ax x b =+-+（,a b 为常数），在1x =时取得最大值2. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在3,2上的单调区间和最小值.【解析】（1）由题意知6126232a ab ⎧-=⎪⎨⎪+-+=⎩,∴32a b =-⎧⎨=⎩ , ∴ ()2361f x x x =-+-.（2）∵()()()22321312f x x x x =---=--+，∴当[]3,2x ∈-时，()f x 的单调增区间为[]3,1-，单调减区间为[]1,2，又()()32718146,2121211f f -=---=-=-+-=-， ∴ ()f x 最小值为46-.25．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知函数()22f x x mx =-+．（1）若()f x 在区间(],1-∞上有最小值为1-，求实数m 的值；（2）若4m ≥时，对任意的12,1,12m x x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有()()21244mf x f x -≤-，求实数m 的取值范围．【解析】（1）可知()f x 的对称轴为2m，开口向上，当12m ≤，即2m ≤时，()2min 2124m m f x f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得23m =-23，∴23m =- 当12m>，即2m >时，()()min 131f x f m ==-=-，解得4m =，∴4m =．综上，23m =-4m =．（2）由题意得，对1,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，()()2max min 44m f x f x -≤-． ∵1,122m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，11222m m m⎛⎫-≥+- ⎪⎝⎭，∴()2min224m m f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()max 13f x f m ==-．∴()()22max min1444m m f x f x m -=-+≤-，解得5m ≥，∴5m ≥．26．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.(1)求函数()f x 在区间[]1,1-上的值域；(2)当x ∈R 时，函数y a =-与()3y f x x =-的图像没有公共点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)解：设()()20f x ax bx c a =++≠､∴()1()22f x f x ax a b x +-=++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴1a =，1b =-，又()01f =，∴1c =，∴()21f x x x =-+.∵对称轴为直线12x =，11x -≤≤，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f -=， ∴函数的值域3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)解：由（1）可得：()2341y f x x x x =-=-+∵直线y a =-与函数()3y f x x =-的图像没有公共点∴()2min 41a x x -<-+，当2x =时，()2min 41=3x x -+-∴3a -<-，∴3a >.27．（2022·陕西安康·高一期末）已知二次函数()[]21,1,2f x x ax x =++∈-．(1)当1a =时，求()f x 的最大值和最小值，并指出此时x 的取值； (2)求()f x 的最小值，并表示为关于a 的函数()H a ．【解析】(1)当1a =时，()21f x x x =++，对称轴为12x =-，开口向上，所以()f x 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()2min111312224f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2max 22217f x f ==++=.所以当12x =-时，()f x 的最小值为34，当2x =时()f x 的最大值为7.(2)()21f x x ax =++的对称轴为2a x =-，开口向上，当12a-≤-即2a ≥时，()21f x x ax =++在[]1,2-上单调递增， ()()()2min 1112f x f a a =-=--+=-，当122a -<-<即42a -<<时，()21f x x ax =++在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时()22min 112224a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当22a-≥即4a ≤-时，()21f x x ax =++在[]1,2-上单调递减， ()()2min 222152f x f a a ==++=+，所以252,4()1,4242,2a a a H a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.28．（2022·北京平谷·高一期末）已知二次函数()()211f x ax a x =-++.(1)当对称轴为1x =-时，（i ）求实数a 的值；（ii ）求f （x ）在区间[]22-,上的值域. (2)解不等式()0f x ≥. 【解析】(1)解：（i ）由题得(1)(1)11,12,223a a a a a a a -++-==-∴+=-∴=-；（ii ）()212133f x x x =--+，对称轴为1x =-，所以当[]2,2x ∈-时，max 124()(1)1333f x f =-=-++=.min 445()(2)1333f x f ==--+=-.所以f （x ）在区间[]22-,上的值域为54[,]33-. (2)解：()2110ax a x -++≥，当0a =时，10,1x x -+≥∴≤；当0a >时，121(1)(1)0,0,1ax x x x a--≥∴=>=，当01a <<时，不等式的解集为1{|x x a≥或1}x ≤；当1a =时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为{|1x x ≥或1}x a≤；当0a <时，121(1)(1)0,0,1ax x x x a--+≤∴=<=，所以不等式的解集为1{|1}x x a≤≤. 综上，当0a =时，不等式的解集为{|1}x x ≤；当01a <<时，不等式的解集为1{|x x a≥或1}x ≤；当1a =时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为{|1x x ≥或1}x a≤；当0a <时，不等式的解集为1{|1}x x a≤≤. 29．（2022·重庆·高一期末）已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围．【解析】(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2ax =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当02a<时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解；当>12a时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =；当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解，综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()()2+91010+1+22+12102+1+1+1g x x x x x x x ==-≥⋅=，当且仅当10+1+1x x =，即101x =， ()2+9+1x g x x =在(101⎤-⎦，上递减，在)101,⎡+∞⎣递增，而21013<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =，所以a 的取值范围为13932⎛⎤⎥⎝⎦，．30．（2022·河北秦皇岛·高一期末）已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-． (1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．(2)证明：对任意[]11,2x ∈，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立．【解析】(1)解：因为()g x 的值域为[)0,∞+，所以()()222414420a a a a a ∆=--=-+=-=，解得2a =．(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得()1111f x x x =+在[]1,2上单调递增，所以()152,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．设()21g x x ax a =-+-在[]1,3-上的值域为M ，当12a≤-，即2a -时，()g x 在[1,3]-上单调递增，因为max ()(3)8212g x g a =-=，min ()(1)24g x g a -==-，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当32a，即6a 时，()g x 在[1,3]-上单调递减，因为max ()(1)212g x g a -==，min ()(3) 824g x g a =--=，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当132a -<<，即26a -<<时，22min 11()1(2)(4,0]244a g x g a a a ⎛⎫==-+-=--∈- ⎪⎝⎭，max ()max{2, 82}[4,12)g x a a =-∈，所以52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；综上，52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在[1,2]上的值域是()g x 在[1,3]-上值域的子集恒成立，所以对任意1[1,2]x ∈总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立.31．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由于0a >，当[1,2]x ∈时，2211()212124f x ax x a a x a a a ⎛⎫=-+-=-+-- ⎪⎝⎭①若1012a <<，即12a >，则()f x 在[1,2]为增函数，()(1)32g a f a ==-； ②若1122a ≤≤，即1142a ≤≤时，11()2124g a f a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；③若122a >，即104a <<时，()f x 在[1,2]上是减函数，()(2)63g a f a ==-；综上可得163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（2）21()1a h x ax x-=+-在区间[1,2]上任取1212x x ≤<≤， ()()()212121211221212111a a a h x h x ax ax x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=+--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]211212(21)x x ax x a x x -=--（*） ()h x 在[1,2]上是增函数 ()()210h x h x ∴->∴（*）可转化为12(21)0ax x a -->对任意12,[1,2]x x ∈且12x x <都成立，即1221ax x a >- ①当0a =时，上式显然成立 ②12210,a a x x a ->>，由1214x x <<得211a a-≤，解得01a <≤； ③12210,a a x x a-<<，由1214x x <<得，214a a -≥，得102a -≤<，所以实数a 的取值范围是1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。

高中数学求解函数解析式方法(附例题)

求解函数解析式基本方法（附例题）一、求解函数解析式 1、换元法汇总，切记定义域综上所述：新元代换旧元可化作：则取值范围换元，立刻确定新元的则令变形由解：由题意可知：的解析式求已知11,1)(f t 1f(t)①1t 1,cos t 1sin cos ①cos 1)(cos )(f ,sin )(cos f 222222≤≤--=-=≤≤-==+-==x x x x x x x x f x x x 练习一：）的解析式（答案见文末求已知)(,2)1(2x f x x x f -=+2、凑配法汇总，切记定义域求解定义域又运用完全平方公式解：的解析式求已知2,2)(21,02)1()1()(,0,1)1(2222≥-=∴≥+∴>-+=+>+=+x x x f xx x xx x x f x f x x x x x f练习二：解析式求已知)(,45)2(2x f x x x f ++=+换元法和凑配法在实际运用过程中，以计算简单、准确为原则，根据题目恰当选择。

3、待定系数法5)1(5)(505)10()0(0,05)1()(5,15,1)()()(5,1)(2222+--=-==+-=∴+-===+-=x x f a a f x a x f h k hk x a x f x f x f 综上所述，解得：）点，代入计算图像过（图像过原点又故值根据物理意义，直接赋）可得，由顶点为（数顶点式根据题意，选择二次函解：由题意可设：的解析式），且经过原点，求（是二次函数，其顶点为已知练习三：的解析式（求且是二次函数，已知),3)0(,12)()1()(x f f x x f x f x f =+=-+4、构造方程组法：），（联立方程组，求解：）式联立方程组，解得）、（将（合适替换元得：替换用注意定义域，选取），（，且解：的解析式（求满足）上的函数，定义在（∞+∈--==-∴∞+∈=-=-∞+0,323)(21)2(1)(2)1(,10)1()1(2)(),)1(2)()(0x xx x f x x f x f x xx x xf x f x f x xf x f x f 练习四：的解析式求满足）上的函数定义在（)(,1)1(2)()(,0x f x xf x f x f -⋅=+∞求解函数解析式，一般出填空题，或者大题的第一小问。

高中数学：求函数解析式的10种常见方法

求函数解析式的几种常用方法一、配凑法：例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .练1：设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，求()g x 。

练2：设21)]([++=x x x f f ，求)(x f .练3：设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图象经过点(1,2)-，那么这个反比例函数的解析式为。

练1：在反比例函数k y x=的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程2420t t --=的两个根，求反比例解析式。

练2：已知二次函数()x f 满足()00=f ，()()821++=+x x f x f ，求()x f 的解析式。

练3：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .三、换元（或代换）法：例1：已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式练1：已知1)f x =+()f x 及2()f x ；练2：已知22111(),x x f x x x++=+求()f x ．四、消去法：例1：设函数()f x 满足()x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+12，()0≠x ，求()f x ．练1：已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x ．练2：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12+=+-x x f x f ，()0≠x ，求()f x ．练3：已知()3()21f x f x x +-=+，求()f x .练4：设函数()f x 满足1()()af x bf cx x+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．五、反函数法：例1：已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .练1：已知函数1ln +=x y ,()0>x ,求它的反函数六：函数性质法例1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．练1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()13-=x x f ，求()f x 的解析式．例1：设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .练1：设定义在R 上的函数)(x f ，且满足()10=f ，并且对于任意实数y x ,均有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求)(x f .练2：设定义在R 上的函数)(x f ，对于任意实数y x ,均有()()()()1232++-+=-y x x y f x f y x f ，求)(x f .练3：已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.例1：已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f .综合运用例1：（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。

重点高中高考数学天冲刺大闯关题：函数与方程12Word版含解析.docx

函数与方程1236.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .37.已知函数2()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'()f x ≤()f x 。

（Ⅰ）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值。

解析：38.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

39.（Ⅰ）已知函数3(x)=x -x f ，其图象记为曲线C 。

（i ）求函数(x)f 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111P (x ,f(x ))处的切线交于另一点 222P (x ,f(x ))，曲线C 与其在点222P (x ,f(x ))处的切线交于另一点333P (x ,f(x ))，线段11223122P P ,P P ,S ,S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S 则为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数32g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。

版高中数学 2122求函数的解析式同步训练苏教版必修1

【创新设计】2013-2014版高中数学 2.1.2.2求函数的解析式同步训练苏教版必修1双基达标限时15分钟 1．若f (3x )＝2x 2－1，则f (x )的解析式为________．解析用换元法，令3x ＝t ，则x ＝t 3，所以f (t )＝2(t 3)2－1＝29t 2－1，即f (x )的解析式为f (x )＝29x 2－1. 答案 f (x )＝29x 2－1 2．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )______．解析设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2.答案 3x －23．已知二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，图象过原点，则g (x )的解析式是________．解析用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1a －b ＋c ＝5c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－2c ＝0 ∴g (x )＝3x 2－2x . 答案 g (x )＝3x 2－2x4．已知f (x )＝3x －1，g (x )＝2x ＋3，则f [g (x )]＝________，g [f (x )]＝________. 解析 f [g (x )]＝3g (x )－1＝3(2x ＋3)－1＝6x ＋8，g [f (x )]＝2f (x )＋3＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.答案 6x ＋8 6x ＋15．二次函数f (x )的图象与x 轴的两交点为(2,0)，(5,0)，且f (0)＝10；则f (x )的解析式是________．解析由题意可设二次函数f (x )＝a (x －2)(x －5)(a ≠0)，则f (0)＝a (－2)(－5)＝10，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2－7x ＋10.答案 f (x )＝x 2－7x ＋106．(1)已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求f (x ＋1)；(2)已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，求f (x )．解 (1)f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x ；(2)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，故f (x )＝x 2－4x ＋3.综合提高限时30分钟 7．已知一次函数f (x )对一切实数x 满足f [f (x )]＝4x －3，则函数f (x )的解析式为________．解析设函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －3对一切实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4ab ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －1或f (x )＝－2x ＋3.答案 f (x )＝2x －1或f (x )＝－2x ＋38．已知f (1x)＝3x －1，则f (x )的解析式为________．解析令1x ＝t ，则x ＝1t ，所以f (t )＝3×1t －1＝3t －1，故f (x )＝3x－1. 答案 f (x )＝3x－1 9．若f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )的解析式为________．解析令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，所以f (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故f (x )的解析式为f (x )＝2x －1.答案 f (x )＝2x －110．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2＋1，则函数f (x )的解析式为________．解析因为f (x －1x )＝(x －1x)2＋3，所以f (x )＝x 2＋3. 答案 f (x )＝x 2＋311．(1)已知一次函数f (x )满足f (0)＝5，图象过点(－2,1)，求f (x )；(2)已知二次函数h (x )与x 轴的两交点为(－2,0)，(3,0)，且h (0)＝－3，求h (x )；(3)已知二次函数F (x )，其图象的顶点是(－1,2)，且经过原点，求F (x )．解 (1)由题意设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (0)＝5且图象过点(－2,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5－2a ＋b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝5，∴f (x )＝2x ＋5.(2)由题意设h (x )＝a (x ＋2)(x －3)，又∵h (0)＝－3，∴－6a ＝－3得a ＝12， ∴h (x )＝12x 2－12x －3. (3)由题意设F (x )＝a (x ＋1)2＋2，又∵图象经过原点，∴F (0)＝0，∴a ＋2＝0，得a ＝－2，∴F (x )＝－2x 2－4x .12．求下列各题中f (x )的解析式．(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )；(2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6.∴f (x )＝x 2－5x ＋6.(2)法一 ∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)，∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2或x ≥2)．法二设x ＋4＝t (t ≥4)，则x ＝(t －4)2，∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)，∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2或x ≥2)．(3)由2f (x )＋f (1x)＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f (1x )＋f (x )＝2x，② ①×2－②，得3f (x )＝4x －2x， ∴f (x )＝43x －23x. 13．(创新拓展)如图，曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回到家，根据这个曲线图，回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别为多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解题中图的特点在于：横轴表示的时间不是从0开始的，而从9时开始的；横、纵轴上的数值代表着截然不同的实际含义，图线上每一点的坐标(t，s)中，t表示时间，s表示离家的距离．(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半个小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进并休息用午餐.。