关于积分限函数的小结----习题课选例讲解
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt=⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量在积分区间上变动。
t ],[x a （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a ，b ）上可积，而可积，则)(x f ],[b a )(x f )(x f 在上连续。
⎰=xa dt t f x F )()(],[b a 定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a ，b ）上可积。
)(x f ],[b a )(x f 定理3如果在上连续，则在上可导，而且有)(x f ],[b a ⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：)(x f 可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。
)(x f )(x f ' （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 <变上限积分改变上下限，变号。
>)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 <上限是复合函数的情况求导。
>)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 <上下限都是变的时候，用上限的减去)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰下限的。
关于积分上函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：一、在求导时，是关于x 求导，用讲义上的求导公式直接计算。
二、在求积分时，那么把x 看做常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变更。
（即在积分内的x 作为常数，能够提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1若是)(x f 在],[b a 上持续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，那么⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上持续。
定理2若是)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个中断点，那么)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3若是)(x f 在],[b a 上持续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后取得的函数，性质比原先的函数改良了一步：可积改良为持续；持续改良为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而咱们明白，可导函数)(x f 通过求导后，其导函数)(x f '乃至不必然是持续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：持续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
咱们明白，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把二者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情形求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
函数的积分知识点及例题解析
函数的积分知识点及例题解析积分是微积分的一个重要概念，它与函数的求导有密切的关系。
本文将介绍函数积分的基本知识点并通过例题解析来帮助理解。
知识点1：不定积分和定积分不定积分不定积分是对函数进行积分时不限定积分范围的积分形式。
它的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示对x的积分变量。
定积分定积分是将不定积分限定在一个区间上，求得该区间内的积分结果。
它的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中[a,b]是积分的区间，f(x)是要积分的函数。
知识点2：积分的基本方法基本积分法则基本积分法则是求各种类型函数不定积分的基本方法之一。
包括常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等常见函数的对应积分公式。
分部积分法分部积分法利用导数与积分的基本关系来求积分。
通过对被积函数进行分解然后对其中一部分求导，可以将积分转化成求导的形式。
替换变量法替换变量法是一种通过引入新的积分变量，将原积分问题转化为更易解的形式的方法。
通过选择适当的替换变量，可以简化积分计算。
解析示例例题1计算不定积分∫(3x^2 + 2x + 1)dx。
解析：根据基本积分法则，我们可以得到不定积分的结果为x^3 + x^2 + x + C，其中C为常数。
例题2计算定积分∫[0,π/2]sin(x)dx。
解析：由于sin(x)是三角函数，根据基本积分法则，对sin(x)进行积分得到-cos(x)。
将积分区间代入，得到积分结果为cos(0) - cos(π/2) = 1 - 0 = 1。
例题3计算定积分∫[1,3]e^(2x)dx。
解析：利用替换变量法，令u = 2x，可以将原积分转化为∫[2,6]e^udu。
对e^u进行积分得到e^u，将积分区间代入，得到积分结果为e^6 - e^2。
通过以上例题解析，我们可以更好地理解函数积分的知识点和求解方法。
以上是关于函数的积分知识点及例题解析的文档。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
专题辅导9 关于积分上限函数
当 x ≠ 0 时， ϕ ′( x) =
xf ( x) − ∫ f (u )du
0
x
x2
；
当 x = 0 时，由导数定义， = ϕ ′(0) lim
x →0
ϕ ( x) − ϕ (0)
= x
∫ f (u )du lim =
0 x →0
x
x
2
f ( x) A ， = lim x →0 2 x 2
xf ( x) − x f (u )du ∫0 ,x ≠ 0 x2 故 ϕ ′( x) = ， A ,x =0 2
（三）变上限积分的极限
例 9.5 [分析] 求极限 I = lim
x →0
x 2 − ∫ cos(t 2 )dt
0
x2
sin10 x
0 0
显然，此极限为 ( ) 型.先利用等价无穷小代换，将 sin10 x 替代为 x10 ，然后利用
洛必达法则求极限.
x 2 − ∫ cos(t 2 )dt 2 x − 2 x cos x 4 1 0 解 I lim = = lim = x →0 x →0 x10 10 x9 10
（七）含变上限积分的不等式的证明（见专题 10） （八）综合问题
例 9.10 设 f ( x) 连续， ϕ ( x) =
∫
1
0
f ( xt )dt ，且 lim
x →0
f ( x) ，求 ϕ ′( x) ，并 = A （A 为常数） x
讨论 ϕ ′( x) 在 x = 0 处的连续性. [分析]
ϕ ( x) 是用含参变量 x 的定积分表达的函数，其自变量 x 出现在被积函数中，需经过
专题辅导 9
关于积分上限函数
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
最全面考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)重点知识点全面超详细总结2021
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点xF ( x) f (t )dta形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间[ a, x] 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论x定理 1 如果 f ( x) 在[a,b] 上连续，则 f (x) 在（a，b）上可积，而f ( x) 可积，则F ( x) f (t)dta在[a,b] 上连续。
定理2 如果 f ( x) 在[a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f ( x) 在（a，b）上可积。
x定理 3 如果 f (x) 在[a,b] 上连续，则 F (x) f (t )dt 在[ a,b] 上可导，而且有ad dx xF ( x) [ f (t) dt] f (x).a==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对f (x) 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数 f ( x) 经过求导后，其导函数 f ( x) 甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：d dxd dx d dxb推论 1 [ f (t) dt] f ( x) <变上限积分改变上下限，变号。
>x ( x)推论 2 [ f (t )dt ] f [ ( x )] ( x ) <上限是复合函数的情况求导。
积分上限函数及应用题
积分上限函数及应用题引言在数学中，积分是一种重要的运算工具，用于求解曲线下面的面积或曲线的长度、质量等问题。
在实际应用中，我们往往需要对积分结果进行限制，以满足特定的需求。
这就引出了积分上限函数的概念和应用。
积分上限函数的定义积分上限函数是一种特殊的函数，其定义为对于一个固定的上限值，计算积分结果。
以常见的积分上限函数为例，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则积分上限函数F(x)定义为：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt其中，∫[a,x]表示对区间[a,x]上的函数进行积分操作。
积分上限函数F(x)表示计算积分结果时的上限值为x。
积分上限函数的性质积分上限函数具有以下性质：1.F(x)在[a, b]上连续。
这是因为积分操作具有连续性。
2.F(x)在[a, b]上可导。
根据微积分的基本原理，积分上限函数F(x)在[a,b]上可导，并有F’(x) = f(x)。
3.F(x)是原函数f(x)的一个不定积分。
即F’(x) = f(x)，其中F(x)表示积分上限函数，f(x)表示原函数。
积分上限函数的应用积分上限函数在实际问题中具有广泛的应用。
下面以几个典型的应用题为例，说明积分上限函数的应用。
应用题一：曲线下面的面积计算假设有一条曲线，其方程为y = f(x)，我们想要计算曲线下面的面积，即曲线与x轴所夹的区域的面积。
利用积分上限函数，我们可以使用以下公式计算：S = ∫[a,b] f(x) dx其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数f(x)求积分，S表示曲线下面的面积。
通过计算积分上限函数F(b)和F(a)的差值，我们可以得到所需的面积。
应用题二：质心的计算在物理学中，质心是描述物体重心位置的概念。
对于一维质点系，其质心的位置可以通过积分上限函数来计算。
假设质点系中每个质点的质量为m(x)，其位置为x，质心的位置为c。
利用积分上限函数，我们可以使用以下公式计算质心的位置：c = ∫[a,b] x · m(x) dx / ∫[a,b] m(x) dx其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数进行积分。
考研——积分上限的函数（变上限积分、变限积分）知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量在t 积分区间上],[x a 变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则在上连续⎰=xadt t f x F )()(],[b a 。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则在上可导⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限)(x f 积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数经)(x f 过求导后，其导函数甚)(x f '至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dxd bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
考研——积分上限的函数（变上限积分、变限积分）知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分、变限积分）知识点全⾯总结考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =?形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，⽤课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，⽽)(x f 可积，则?=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，⽽且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='? ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质⽐原来的函数改进了⼀步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
⽽我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚⾄不⼀定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的⼀个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；⽽求定积分是求⼀个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从⽽使微分学和积分学统⼀成为⼀个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=? <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c '=? <上限是复合函数的情况求导。
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推论 1 d [ b f (t)dt] f (x)
dx x
推论 2 d [ (x) f (t)dt] f [(x)] (x) dx c 推论 3
d [ (x) f (t)dt] f [ (x)] (x) f [(x)] (x)
dx ( x)
求证
(x) 0 tf (t)dt x
在 (0,) 内单调增加.
0 f (t)dt
(3) 最大最小值问题 例 8 在区间[1,e] 上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小
y
y = ln x 1
1
e
x
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和: A(x)
x
ln tdt
二 积分上限函数的几个变式
（1） 比如
F(x)
x
(x t) f (t)dt
0
(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.)
在求 F (x) 时，先将右端化为
x
xf (t)dt
x
tf (t)dt x
x
f (t)dt
x tf (t)dt 的形式，再对 x 求导。
在求 F (x) 时，先对右端的定积分做变量代换 u xt（把 x 看作常数），此时，
dt du ，t 0 时，u 0；t 1时，u x ，于是， F(x) 就化成了以 u 作为 x
积分变量的积分上限函数： F(x) 1 x f (u)du ，然后再对 x 求导。 x0
这样， F (x) 就化成了以 u 作为积分变量的积分下限函数：
F(x)
0
0
(x u) f (u)du x
f (u)du
0 uf (u)du ，然后再
x
x
x
对 x 求导。
( 3 ) 比如
F(x)
1
f (xt)dt
0
(这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)
注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对
f (x) 作变上限积分后得到的函数，性
质比原来的函数改进了一步：可积改进 为连续；连续改进为可导。这是积分上 限函数的良好性质。而我们知道，可导
函数 f (x) 经过求导后，其导函数 f (x)
甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。 它说明：连续函数必存在原函数，并通过 定积分的形式给出了它的一个原函数。我 们知道，求原函数是求导运算的逆运算， 本质上是微分学的问题；而求定积分是求 一个特定和式的极限，是积分学的问题。 定理（2）把两者联系了起来，从而使微分 学和积分学统一成为一个整体，有重要意 义。
关于积分限函数的小结 ----习题课选例
积分上限函数（或变上限定积分）
F (x) x f (t)dt 的自变量是上限变量 x ， a
在求导时，是关于 x 求导，但在求积分时， 则把 x 看作常数，积分变量 t 在积分区间
[a, x] 上变动。弄清上限变量和积分变量的
区别是对积分限函数进行正确运算的前 提。
例 5 已知 y et dt xy costdt 0. 求 dy . (答: y cos(xy) )
0
0
dx
e y x cos(xy)
例 6 求 d x sin(x t)2 dt dx 0 (答: sin x2 )
x
例 7 设 f (x) 在 (,) 内连续且 f (x) 0,
三 有积分限函数参与的题型举例
（1） 极限问题：
例1
x2
3
sin 2 tdt
lim 0
x0
x
t(t sin t)dt
0
（答：12）
x
例 2 lim 0 sin t dt （提示：本题用洛必达法则求不出结果，
x
x
可用夹逼准则求。 答： 2 ）
例 3
已知极限 lim x0
x
xu
0 f (u)( x u)du 0 [0 f (t)dt]du.
(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)
x 0 x 1, 例 12 设 f (x) 2 x 1 x 2,
0 x 0 , x 2.
求 (x) x f (t)dt 在 (,) 内的表达式. 0
0
0
0
0
（2）比如
F(x)
x
tf (t x)dt
0
( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面
来)
在求 F (x) 时，先对右端的定积分做变量代换 u t x（把 x
看作常数），此时，dt du ，t 0 时，u x ；t x 时，u 0 ，
ex
1 bx
a
x 0
sin t dt 1，试确定其中的非 tc
零常数 a, b, c.
（答： a 1, b 1, c 1. ）
(2) 求导问题
例 4
已知
x
t
0 (1 cosu)du, 求 dy .
(答:
sin t
)
y
t
sin udu.
0
dx
2 t (1 cost)
(4) 积分问题
例 10 计算
1 xf (x)dx ，其中 f (x)
x2 sin t dt .
0
1t
(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时,
总是用分部积分法求解, 且取 u(x) 为积分上限函数. 答: 1 (cos1 1).) 2
例 11 设 f (x) 在 (,) 内连续, 证明
e
(1 ln t)dt ,
1
x
然后求出 A(x),再求出其驻点. 答: e .)
例 9 设 x 0， n 为正整数. 证明 f (x) x (t t 2 ) sin 2n tdt 0
的最大值不超过
1
.
(2n 2)(2n 3)
(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)
一 关于积分限函数的理论
定理 1 如果 f (x) 在 [a,b] 上可积，则
F ( x)
x
a
f
(t)dt
在[a,b] 上连续.
定 理 2 如 果 f (x) 在 [a,b] 上连续，则
x
F (x) a f (t)dt
在
[a, b]
上
可导
，且
F (x) d [ x f (t)dt] f (x). dx a