第2章解析函数
第二章解析函数
第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
第二章 解析函数
在z0解析，若f (z)在区域D内每一点解析，则称f (z)在D
内解析，则称f (z)是D内的一个解析函数（全纯函数或 正则函数）。 如f (z)在 z0不解析, 则称z0为f (z)的奇点。
§1 解析函数的概念
f (z)在 z0解析
函数f (z)在z0的邻域内可导
f (z)在 z0解析 函数f (z)在z0可导 二元函数的微分 [例 ] 的解析性
§3 初等函数 3 乘幂ab与幂函数 [例 ] 求 、 和 的值。
幂函数：
形如：zb=ebLnz（z≠0，b为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意复常数）
的函数成为幂函数。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 计算sin(3+4i) ，cosi，sin6i
|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。 [例] 求方程cosz=0的解。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 求方程sinz+cosz=0的解。
其它复变数三角函数：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 反三角函数和反双曲函数 设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，记作： w=Arccosz
ii) f’(z) =f(z); iii) 当Im(z)=0时, f(z) =ex, 其中x=Re(z)。
§3 初等函数 1 指数函数
为整数)
加法定理
§3 初等函数 2 对数函数
主值
[例] 求Ln1, Ln(-2) 以及它们相应的主值。
§3 初等函数 1 指数函数 总结：
第二章解析函数
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
第二章解析函数演示文稿
第一节 导数
充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处
满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
第二章解析函数演示文稿
优选第二章解析函数
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某
点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为 函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
第一节 导数
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z) 在区域B内可导
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1 2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处 处不可导
可导必连续
第一节 导数
求导法则
d dz
1
2
d1
dz
d2
dz
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
第二节 解析函数
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析 函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
第2章、解析函数
第2章、解析函数第⼆章解析函数本章介绍复变函数中⼀个重要的概念：解析函数，并给出⼀个重要的判定⽅法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍⼀些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分⽀解析。
第⼀节解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数⼀般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、此定义也⽤εδ-语⾔给出。
注2、可导必连续注3、解析必可导性，在⼀个点的可导不⼀定解析，可导性是⼀个局部概念，⽽解析性是⼀个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下⾯的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平⾯上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平⾯上的区域1D 内解析，⽽且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例⼦：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平⾯解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平⾯上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
第二章 解析函数
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) [ ]' , ( g( z ) 0) 2 g( z ) g (z) 由以上讨论
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
• 2.2.2 函数解析的充要条件 • 定理１ 设函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 内有定义，则 f ( z )在 D 内解析的充分必要条 件为 u, v 在 D 内任一点 z x iy处 （1）可微； （2）满足
ex1
试用C-R条件判定下列函数在何处可导，在何处解析：
w z
2
解 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在0点可导，但处处不解析 。
2
例2: 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问 常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处 处解析。
例1 求函数 f ( z ) z 的导数（n 为正整数）.
n
解 因为
k k ( z z )n Cn z (z )nk k 0
解析函数
x
y
欲使 u v , u v , x y y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
例8 如果 f (z) 在区域 D 内处处为零 , 则 f (z) 在
区域 D 内为一常数.
证 Q f (z) u i v v i u 0, x x y y
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
2、解析函数的概念及其运算
定义2.2 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处 可导, 那末称 f (z) 在 z0 解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在 区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数 ( 全纯函数或正则函数 ) .
x iy
x iy
1 i y
1
i
x y
1 ik 1 ik
x
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim h(z0 z) h(z0 )不存在.
z0
z
因此 h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导,根据定义, 它在复平面内处处不解析.
(1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D内 的各一阶偏导数都存在、连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f (z) 在 D内解析.
(3) f (z) 常数;
(4) f (z)解析;
第二章解析函数
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
例2.1.4
讨论函数 w f ( z ) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足. 根据 有
f ( z) | Im z 2 | 2 | xy | u( x, y) iv ( x, y)
u ( x, y ) 2 | xy |
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证w= z 在z平面上处处连续，但 处处不可导
可导必连续。
例 2.1.1 用导数的定义证明公式： n nz n1 （n 为正整数） (z )
【证明】设 f ( z) z ，故
n
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z n(n 1) n 2 n 1 z[nz z z (z )n 1 ] 2 f ( z z ) f ( z ) lim nz n 1 z 0 z
二、复变函数导数存在的充要条件
可导条件
分析
f ( z) f ( z) lim f ' ( z0 ) lim x x0 x x0 z z y y y y
0 0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
多项式)，除去使Q(z)=0的点外处处解析。
第二章_解析函数
基本要求：1 掌握函数在一点处（区域）可导，一点处解析（区域）的概念及相互之间的联系；2掌握函数在一点处可导的充分必要条件；3 掌握函数 解析性的判定方法，掌握解析函数与调和函数之间的关系。
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用。
本章先引入复变函数的导数的概念，然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的。
最后介绍一些常用的初等函数，并讨论它们的解析性。
§1 解析函数的概念1.1 复变函数的导数定义1.1区域D ， 0Z 为D 中一点，点0Z +z 不出D 的范围。
如果极限0+0z 0(z -(lim zf z f z ）） 存在，则称f(Z)在0Z 处可导，这个极限值称为(z)f )在0Z 处的导数，记作()00 z=z |'=d f dz z ω= 0+0z 0(z -(lim z f z f z →））， （2.1）也就是说，对于任给的ε>0,相应地有δ（ε）>0,使得当0<|Δz|<δ时，有| 0+0(z -(zf z f z ））—()0'f z | < ε. 如果()f z 在区域D 内处处可导，则称()f z 在D 内可导. 也称()df z = ()0z 'f z 或()0z 'd f z 为()f z 在0z 处的微分.例1.1 求()2=f z z 的导数.解 因为0+0z 0(z -(lim z f z f z →））=+22z 0(z -z lim zf z →）=z 0 lim (2z+z)=2z → 所以'(z)=2z f .例 1.2 问(z)f =x+2yi 是否可导？ 解 +z 0(z -(lim zf z f z →））=z 0(+- (y+y i--2yi lim zf x x f x →）） = z 0+2yilim +yi x x →若z+Δz 沿平行于x 轴的方向趋向于z ，则Δy=0，z 0+2yi lim +2yi x x →=z 0lim x x →=1.若z+Δz 沿平行于y 轴的方向趋向于z ，则Δx=0，z 0+2yi lim +yix x →= z 02lim yi yi →=2. 故(z)f = +2x yi 的导数不存在.由例1.2可见，函数(z)f = +2x yi 在复平面内处处连续但处处不可导，然而，反过来容易证明在0z 可导的函数必定在0z 连续.事实上，由(z)f 在0z 可导的定义，对于任给的ε>0,有δ>0，当0<|Δz|<δ时，有 |0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z | < ε.令()z ρ=0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z ， 则0+0(z )-(z )z f f =0+z z '(z )()z f ρ.(2.2)而z z 0lim =0ρ→（）， 所以+z 0z 0lim =(z )f f →0（z ）.即(z)f 在0z 连续.由导数的定义和极限运算法则，不难得出如下的求导公式与法则：（1） （C ）’=0，其中C 为复常数.（2） (nz )’=n n-1z ,其中n 为正常数. （3） [(z)g(z)]'='(z)g'(z).f f ±±（4） [(z)g(z)]'='(z)g(z)+(z)g'(z)f f f .（5） 2(z)1[]'=['(z)g(z)-(z)g'(z)],g(z)0.(z)g (z)f f fg ≠ （6） {[(z)]}'='()g'(z)f g f ω，其中ω=(z)g .（7） '(z)f =1'ϕω（）,其中=(z)f ω与z=ϕω（）是两个互为反函数的单值函数，且'ϕω（）≠0.1.2 解析函数的概念定义1.2 如果(z)f 在0z 及 0z 的邻域内处处可导，则称(z)f 在0z 处解析；如果(z)f 在区域D 每一点解析，则称(z)f 在D 内解析，或说(z)f 是D 内的解析函数.如果(z)f 在0z 不解析，则称0z 为(z)f 的奇点.若函数在一点解析，则一定在该点可导，但过来不一定成立.函数在一点解析和在一点可导是两个不等价的概念.但是函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.例1.2 研究函数(z)f =2z ，g(z)=+2x yi ， 2h(z)=|z |的解析性.解 例1.1知(z)f =2z 在复平面内处处解析，由例1.2知g(z)=+2x yi 处处不解析.下面研究2h(z)=|z |的解析性. .由于0+0h(z -h(z z z ））=0+220|z|-||zz z =00000+z z +z -z z =z +z+z zz z z （）（）， （i ） 若0z =0，当z →0时，上式的极限是零.（ii ） 若0z 0≠，当0+z z 沿平行于x 轴方向趋于0z 时，y =0， 0z 00z -lim =lim =lim =1z +z x x yi x x yi x →→→. 当0+z z 沿平行于y 轴方向趋于0z 时，x =0， 0z 00z --lim =lim =lim =-1z +z x x yi yi x yi yi→→→. 从而0+000z -()z =z +z+z zz z z h （）h ， 当z →0时，极限不存在.由（i ），（ii ）可知，2h(z)=|z |仅在z=0处可导，而在其他点都不可导，从而它在复平面内处处不解析。
第二章 解析函数及其判定
3.复变函数连续、可导、解析之间的关系
根据定义可知: (1)函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是, (2)函数在一点处解析与在一点处可导是不等价 的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处 解析.
函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
1313
（1）
f ( z ) 在 z 解析 0 f (z) 在 z 0
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
记作
dw f ( z0 ) z .
1010
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
特别地, 当 f ( z ) z 时, dw dz f ( z0 ) z z , dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0 （2）可导与可微的关系
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
一、复变函数的导数与微分
1.导数的概念:
（1）导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 z 不出 D 的范围, f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, z 0 z 那末就称 f ( z ) 在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
7
7
（3）.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数.
02第二章 解析函数积分
将 L 分割为 n 个弧段。 取 ζk ∈ zk−1zk ，作求和
n
∑ Sn = f (ζk ) ⋅ ∆zk , ∆zk = zk − zk−1 k =1
δ = max{| ∆ z1 |,| ∆ z2 |,...,| ∆ zn |}
∫ 定义
L
f
( z )d z
=
lim
n→∞
Sn
δ→0
ζ n−1
B zn
|z−a| = r
(连续性)
21
例1：计算
Q
=
∫C
dz z2 −1
，其中
C
为：
(1) 圆周 |z+2|=2； (2) 圆周 |z|=2
解：(1) 柯西积分公式的前提条件：
被积函数在围线内部只有一个奇点
∫ ∫ C
dz z2 −1
=
(z − 1)−1dz C z − (−1)
| z + 2 |= 2
= 2π i (z − 1)−1 |z=−1 = −π i
∫ ∫ F(z) ≡
∆
f (ζ ) dζ =
z
f (ζ ) dζ
(积分只依赖起点、终点)
Cz
z0
则 F(z) 在 D 内解析，且 F′(z) = f (z)
推论 (Newton-Leibniz 公式)：在单连通区域 D 内 解析函数 f(z) 存在原函数Ф(z) 。对A, B ∈ D，
∫B
f (z) dz = Φ(B) − Φ(A) 积分值可能与 D 有关！
(2) a 在 L 的内部区域 D ：
⋅a
γ
存在 a 的邻域 N2R (a) ⊆ D
取 γ为圆周 | z −a |= R
解析函数
第二章 解 析 函 数解析函数是复变函数研究的主要对象．本章介绍导数、解析函数的概念，并介绍一些常用初等函数的解析性．§1．解析函数的概念1．导数与微分 导数定义：设)(z f w=，D z ∈（区域），D z ∈0．若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，则称)(z f 在0z 处可导，记为)(0z f '，00 ,z z z z dz dfdz dw ==．若)(z f 在区域D 内处处可导，称 )(z f 在D 内可导．例1．求32)(2+=z z f 的导数．解：z z z zz z z z z f z z f z f z z z 4)Δ2(2 lim ]32[]3)(2[lim )()(lim )(0 220 0 =+=∆+-+∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆，)(C z ∈．（处处可导）．例2．问 yi x z f 3)(+= 是否可导 )(iy x z +=？解：z z z ∆+→，x x x ∆+→，y y y ∆+→，y i x z ∆+∆=∆．yix yix z yi x i y y x x z z f z z f z z z ∆+∆∆+∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆3 lim ]3[])(3)[(lim )()(lim0 0 0． 设z z ∆+ 沿平行于x 轴方向趋于z ，则0=∆y ，极限为 1lim 3lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x xyi x yi x x z ；设z z ∆+ 沿平行于y 轴方向趋于z ，则0=∆x ，极限为33lim 3 lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yiyi yi x yi x y z ． 所以yi x z f 3)(+= 的导数不存在，无处可导．可导与连续的关系：函数可导⇒连续； 但函数连续≠⇒可导．证：“可导⇒连续”． 设)(z f 在0z 可导， 则 0 0, >∃>∀δε，当 δ<∆<z 0 时，ερ<'-∆-∆+=∆)()()(000z f zz f z z f ． 因此，0lim 0 =→∆ρz ． 而z z z f z f z z f ∆⋅+∆'=-∆+ρ)()()(000， 所以 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆，)(z f 在0z 连续． “连续≠⇒可导”． 见例2．求导法则：复变函数的导数定义与实函数的导数定义一致，故求导法则也相同．罗列如下，应当牢记． (1) )( ,0)(C c c ∈='； (2) ) ( , )(1N n z n z n n ∈='-；(3))()(])()([z g z f z g z f '±'='±； (4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='；(5) ) 0)g( ( ,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z g z g z f z g z f z g z f ； (6))()(})]([{z g w f z g f ''='，其中)(z g w =；(7) )(1)(z f w '='ϕ， 其中)(z f w =是)(w z ϕ= 的反函数，0)(≠'z f ．微分：若)(z f 在0z 可导， 则 )()()()(000z o z z f z f Δz z f w ∆⋅+∆'=-+=∆， 定义dz z f dw )(0'=．2．解析函数 定义：(a ) 若)(z f 在0z 的某一邻域) ,(0δz U 内可导，称)(z f 在0z 处解析； (b ) 若)(z f 在区域D 内的每一点解析，称)(z f 在D 内解析；(c ) 若)(z f 在0z 不解析，称0z 为)(z f 的一个奇点．注：函数在区域内解析与可导等价．但可导与解析并不等价．函数在一点 0z 处可导，并不意味着在0z 处解析．例1．讨论32)(21+=z z f 和 yi x z f 3)(2+= 的解析性．解：)( ,4)(11z f z z f =' 在复平面上解析，称为全纯函数；)(2z f 处处不可导，无处解析． y例2．讨论函数 )1(1+=z z w 的解析性． 解：当1 0-≠≠z z 及 时， w 可导：22)1()12(++-=z z z dz dw ． x 所以，在除0=z 及1-=z 外的复平面上，)(z f w = 解析．而1 0-==z z 和 是w 的两个奇点． 称函数)(z f w = 为亚纯函数．定理．两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是解析函数；解析函数的复合函数也是解析函数． 结论：多项式在C 内处处解析；有理分式函数)()()(z Q z P z f = 在分母不为零的区域内解析．§2．函数解析的充要条件判断复函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 是否解析，有如下的充要条件．定理．函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在iy x z += 处可导的充要条件是：) ,(y x u 、) ,(y x v 在点 ) ,(y x 处可微，并且满足Riemann Cauchy－ 方程： xvy u y v x u , ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂．此时，有导数公式x y y x v i v iu u z f )(+=-='． （证略）注：(1) 若) ,(y x u 、) ,(y x v 在D 内具有一阶连续偏导数，且满足R C －方程，则)(z f 解析；(2) 将点改成区域D ，便得)(z f 在D 内解析的充要条件．例1．判断下列函数是否解析． (1)z z f =)(；(2))sin (cos )(y i y e z f x +=．解：(1)iy x z z f -==)(，y v x u -== ,． 100 ,1-====y x y x , v , v u u ．y x v u ≠，不满足R C －方程， 故z z f =)( 无处可导， 无处解析．(2)y e u x cos =，y e v x sin =． 由于⎪⎩⎪⎨⎧-=-===x x yy xx v y e u v y e u sin cos ， )(z f 处处解析，全纯函数． 例2．证明：若在区域D 内0)(='z f ，则 c z f ≡)(（复常数）．证：000 )( i v i v iu u z f x y y x +==+=-='，故0====y x y x v v u u21 c , v c u ≡≡⇒ c ic c z f Δ=+≡⇒21)( ．例3．函数 iy x z f -=2)( ) (iy x z += 在何处连续？何处可导？何处解析？解：y v x u-== ,2，二元初等函数，处处连续，所以)(z f 处处连续． -⎪⎩⎪⎨⎧=-==-===0012x y y x v u v x u R , y x ∈-=⇒21． 故)(z f 仅在直线 21-=x 上可导，1)(-='z f ． 但直线不含邻域，所以)(z f 无处解析．§3．初 等 函 数1．指数函数： 复变数指数函数：)sin (cos exp )( y i y e e e e e z z f x y i x y i x z +=⋅====+．它等价于关系式：x z e e = 及 πk y e Arg z2)(+=． 故0≠z e ．z e z f =)( 具有性质：(1))()(z f z f ='，)(z f 在C 内解析；(2) 若0)Im(==z y ，x e z f =)(； 若 0)Re(==z x ，y i y e z f i y sin cos )(+==；(3)ze服从加法定理：2121z z z z ee e+=⋅，2121z z z z e e e -=；(4) ze以i k 2π为周期：) ( , 2 2Z k e e e ez i k z ik z ∈=⋅=+ππ．例1．计算 22πi e+． 大写整数集Z解：22222sin 2cos ie i e ei =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πππ．2．对数函数 定义：指数函数 0)( ,≠=z z e w 的反函数称为对数函数．记作) ,() ,()(y x iv y x u z f w +==， 而 θi re z =．则θi iv u re e =+， 故θ===r, v u e r u ln ,．这样，对数函数为 ) 0( , ln ≠=+=∆z z Ln iArgz z w （多值函数）．若Argz 取主值，记 z i z z arg ln ln +=， 称为 z Ln 的主值．其它分支可表为 ) 0 ( , 2ln ≠∈+=Z, z k i k z z Ln π． 称为z Ln 的单值分支．特别，当x z x z ln ln , 0=>=时 （实对数函数）．运算性质：2121 )(Lnz z Ln z z Ln +=，2121Lnz z Ln z z Ln -=．例1．求3 Ln ，)1( -Ln ，i Ln 以及相应的主值．解：i k Ln 23ln 3π+=，)(Z k ∈；主值为3ln ；i k iArg Ln )12()1(1ln )1( π+=-+=-，)(Z k ∈； 主值为i )1ln(π=-；i k iArgi i i Ln )212( ln π+=+=，)(Z k ∈；主值为i i 2ln π=． 对数函数的连续性与解析性： 对于z i z zarg ln ln +=，当 0≠z 时，z ln 连续，而z arg 则在原点与负实轴上不连续，故除原点与负实轴外，z ln 处处连续．w e z = 在区域 ππ<<-z arg 的反函数z w ln =单值，由反函数的求导法，有：ze dw de dz dw z w w11)(ln 1==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=='-．因此，在除去原点与负实轴的复平面内 z ln 解析， z ln 的每个单值分支也解析，且 zLnz 1)(='． 3．幂函数定义：)(ln z iArg z Lnz z Ln ee ez w +====αααα， （α0,≠z 为复常数）．由z Ln 的多值性，i k z Lnz e e e w 2ln απαα⋅==， )(Z k ∈． 可见，αz 也是多值函数（当α不是整数），幂函数的解析性：由于Lnz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，由复合函数的解析性知，αz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，且111 )()(---⋅=⋅=⋅='='ααααααααz z z z e e z Lnz z Ln ．例1．求21和i i )1( - 的值．解：ik iArg Ln e ee 22)1 1(ln 21221π===+，)(Z k ∈．)2ln sin 2ln (cos )1(2 4) 2ln 2 4()4i 22ln ( )1( i eeeei k i k i k i i Ln i i +====--+--+-ππππππ，)(Z k ∈．4．三角函数与双曲函数由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=---)(21sin )(21cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθi i i i i i e e i e e i e i e ， 称为Euler 公式．定义：)(21sin ),(21cos z i z i z i z i e e iz e e z ---=+=． zz z cos sin tan =；zzctg sin cos =；z z cos 1sec =； zz s i n 1c s c =．z z cos )(sin ='，z z sin )(cos -='，处处解析． 大多数三角公式对于z z cos ,sin 成立．双曲余弦：)(21cosh zz e e chz z -+==；双曲正弦：)(21sinh z ze e shz z --==； 双曲正切：zz zz e e e e chz shz thz z --+-===tanh ．以上函数均在定义域（分母不为零处）内可导并且解析． 5．反三角函数与反双曲函数 三角函数的反函数称为反三角函数．w z sin = 的反函数称为反正弦函数．下求之．由)(21sin iw iw e e iw z --==， 得 iwe 的二次方程：012)(2=--iw iw ize e ， 根为：21z iz e w i -+=， （21z - 为双值函数）． 所以)1( sin 2z iz Ln i z Arc w -+-==．反余弦函数：)1( cos 2-+-=z z Ln i z Arc ； 反正切函数：izizLn i Arctgz -+-=112．双曲函数的反函数称为反双曲函数． 它们是： 反双曲正弦：)1( 2++=z z Ln Arshz ； 反双曲余弦：)1( 2-+=z z Ln Archz ；反双曲正切：z1z 1 21-+=Ln Arthz ． 它们都是多值函数．在复变函数中，常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数、反三角函数等七类函数称为复基本初等函数．复初等函数：由复基本初等函数经过有限次加、减、乘、除和复合运算，能由一个式子表示的函数称为复初等函数． 如：ze z tgz w +=2，z e w z ln sin +=，等等．。
复变函数：第2章 解析函数
• 知 zlim f ( z ) = f ( z 0 )，故 →z
0
f (z )在点 z 0 处连续.
• 2.1.3 复变函数的微分 • 定义2 称函数 f (z)的改变量 ∆w的线性部分 定义 f ′( z0 )∆z 为函数 f (z)在点 z 0 处的微分，记作
n
k ( z + ∆z ) n = ∑ C n z k ( ∆ z ) n − k = n k =0
1 2 n ( ∆z ) n + C n (∆z ) n −1 z + C n ( ∆z ) n − 2 z 2 + ⋯ + C n ( ∆z ) n − n z n
所以，由导数定义有
n
( z + ∆z ) − z f ′( z ) = ( z )′ = lim ∆z →0 ∆z
n
n
= lim [(∆z )
∆z →0
n −1
+ C (∆z )
1 n
n−2
z +⋯+ C
n −1 n −1 n
z
]
= nz
n −1
• 例2 求 f ( z ) = • 解 由例1
z 的导数.
2
df f ′( z ) = = 2z dz
• 2.1.2 可导与连续的关系 • 若函数 w = f (z )在点 z 0处可导，则 点 z 0 处必连续. • 证 因为
dw 或 dz
，即
z = z0
dw f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆z →0 ∆z
解析函数
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
【解】由
f (z z) f (z)
即 ux v y，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不 可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可 导吗？
例2.1.4 讨论函数w f (z) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足.
1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) iv (x, y x iy
其中 令 由上式得
lim (z) 0
z 0
f (z z) f (z) u i v ,
f (z) a i b, (z) 1 i 2
u i v (a ib)(x i y) (1 i 2)(x i y) (ax by 1x 2y) i(bx ay 2x 1y)
iz z
由于沿 e方向和沿 er 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 (2.1.10)。
解析函数
求函数的奇点
求函数的奇点，方法有：
第二章 解析函数
(1) f (z) 的不连续点为函数的奇点；
(2) f (z) = u + iv ， u ，v不可微的点为函数的奇点；
(3) f (z) 的不可导的点为函数的奇点；
(4) 不满足C-R条件的点为函数的奇点；
(5) 不满足解析定义的点为函数的奇点.
0
函数f (z) 在z0可导
函数f (z) 在z0连续
3.求导法则
第二章 解析函数
复变函数的求导法则完全类似于实变函数的求导法则. 如果f (z)和g(z)在区域D内可导，则： (1) ( f (z) g(z))' f '(z) g'(z)
(2) [ f (z)g(z)]' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
vx 2cx dy , vy dx 2 y
由C-R方程： ux
v
，
y
uy
vx
2x ay dx 2y
ax 2by (2cx dy) a 2 , b 1, c 1, d 2
所以当 a 2 , b 1, c 1, d 2 时， f (z)在复平面内处处解析.
第二章 解析函数
第二章 解析函数
解析函数是复变函数研究的主要对象. 介绍复变函数导数概念和求导法则. 重点介绍解析函数的概念及判别方法. 介绍一些常用的初等函数及其解析性. 第一节 解析函数的概念
本章内容 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数
第二章 解析函数
第一节 解析函数
• 一．复变函数的导数和微分 • 二．解析函数的概念
则f (z) 在D内为常数.
[理学]第二章 解析函数的积分
![[理学]第二章 解析函数的积分](https://img.taocdn.com/s3/m/2ade3f1c0912a216147929d9.png)
即：
c
f ( z ) d z lim f ( k )( zk zk 1 )
0
k 1
n
若c为围线, 则记为
c
f ( z )dz .
如果不加说明, 总是沿围线 c 的正方向积分.
三. 复积分的性质
1. 若 f ( z ) u iv 在c上连续, 则
c
f ( z )dz 存在, 并且
例2.1 计算
c
zdz , c 是从点 1 + i 到原点的直线段
2 0
解一: 在此直线段上, 可令 x = t, y = t , t∈[0, 1],
z dz
c
0
1
( t it )(1 i )dt
0
1
t (1 i ) tdt 2i i 21
2
解二：
z dz ( x iy)(dx idy) ( xdx ydy ) i ( xdy ydx )
江苏师范大学 物理与电子工程学院 定理 2.4 若 f (z) 在单连通区域 D内解析, 且 蔡俊 制作
G'(z)= f (z) , 则有
z1 z0
f ( z )dz G ( z1 ) G ( z0 )
定理2.2 (复连通区域柯西积分定理) 设 f (z) 是复
连通区域 D 内的解析, D 的边界围线c2含于围
线c1的内部, 则：
c1
f ( z )dz
c2
f ( z )dz
证明：作割线a b连接 c1 和 c2 , 则
D 变为单连通区域.
由定理2.1, 在围线 c c1 ab c2 ba 上
解析函数
z = z0
= f ' ( z0 ) ± g ' ( z0 )
= f ' ( z0 ) g ( z0 ) + f ( z0 ) g ' ( z0 ) = f ' ( z0 ) g ( z0 ) − f ( z 0 ) g ' ( z0 ) g 2 ( z0 )
∆w = f ' ( z0 ) ∆z + o(| ∆z |) (∆z → 0)
（即f (z) =
z2 在复平面处处可导。）
(2) f ' ( z ) =
更一般地， 求 f (z) = zn 的导数：
f ′( z ) = ( z n )′ = lim
∆z → 0
( z + ∆z ) n − z n ∆z → 0 ∆z n −1 1 n −1 n −1 = lim [(∆z ) + C n (∆z ) n − 2 z + L + C n z ]
= nz n −1
2 所以 f ′( −i ) = 2[(−i ) − 2(−i) + 4] ⋅ [2 ⋅ (−i ) − 2]
复变函数的导数具有与实变函数同样的求导法则.
2013/3/28 4 2013/3/28
= −4(3 + 2i )(1 + i ) = −4 − 20i
8
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2013/3/28 6
2 复变函数导数的运算法则
函数f(z)在z0处可导也可记作 f ' ( z0 ) = lim 或 或
∆z → 0
复变函数课件02章 解析函数
试求： f (i)
答案：－3
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
定理2.3（解析的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是： u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
和、差、积、商（除z 去0 分母为0点）仍为解析函数；
由解析函数构成的复合函数也是解析函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
§2.2 复变函数可导与 解析的充要条件
定理2.2（可导的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的 充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足柯 西——黎曼方程。
u v , v u x y x y 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。
定理2.6
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内是解析的函数的充 要条件为：虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
例2.12 试求一解析函数f(z) ，使其实部为 u(x,y)=x2+y2-2xy.
第2章 解析函数
例2.1 求函数 f (z) zn 的导数(n为正
整数)。
f (z) (zn ) lim (z z)n zn nzn1
z 0
z
例2.2 求函数 f (z) z2 的导数(n为正
整数)。
(z2 ) 2z
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
某点可导
该点连续
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第2章 解析函数2．1 单项选择题2-1 函数)(z f w =在0z 点可导是可微的（ ）。
（A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件 2-2 复变函数)(z f w =在0z 点可导是连续的（ ）。
（A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件2-3 设),,(),()(y x iv y x u z f +=则在),(00y x 点，v u ,均可微是)(z f 在000iy x z +=点可微的（ ）。
（A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非必要条件，也非充分条件 2-4 )(z f 在000iy x z +=点可导的充分必要条件是（ ）。
（A ） 在),(00y x 点v u ,可导，且满足C-R 条件，既xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,在),(00y x 成立（B ） ）点的一个邻域内可导在（00,)(y x z f（C ）条件可微，且满足）点在（R C v u y x -,,00（D ） 条件满足具有连续的偏导数，且）点在（R C v u y x -,,002-5 设那么（）。
,2)(2ix xy z f -=（A ）处处可微)(z f （ B ）处处不可导)(z f（C ）仅在原点可导)(z f （D ）轴上可导仅在x z f )(2-6则若,)( xy,y)(x, v ,0x ,00 x ),(2222220iv u z f y y y x xy y x u o +===⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=函数)(z f （ ）。
（A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导（C ）除原点处处可导 （D ）处处可微 2-7 若 ). )((,)(z f z z f 则=）仅在虚轴上可导（）处处解析（）仅在原点可导（处处不可导D C B )(A2-8若f(z)=(by ax y x +++22)+)23(y x cxy i ++处处解析，则(),,(=c b a ) (A) (3,2,2) (B) (-2,-3,2) (C) (2,-2,2)(D) (-2,3,2)2-9 u(x,y)与v(x,y)在（00,y x ）点可且满足C-R 条件是)(z f 在000iy x z +=点可导的（ ）（A ）充分条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件（D ）既非必要也非充分条件2-10 u, v 在),(00y x 点具有连续的偏导数，且满足C-R 条件是)(z f 在000iy x z +=点可导的（ ）（A ）充要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件 （D ）既非必要也非充分条件2-11 函数)Im()Re()(z z z f ⋅=在原点（ ）（A ）可导且连续 （B ）连续但不可导（C ）可导但不连续（D ）既不连续也不可导2-12 若y ix xy z f 22)(+=则)(z f （ ）（A ）仅在直线x y =上可导 （B ）仅在直线x y -=上可导（C ）仅在)0,0(点解析 （D ）仅在点可导)0,0(2-13 若)(,)(22z f iy x z f 则+=（ ） （A ）在全平面上解析（B ）仅在直线上可导y x =(C) 仅在直线上可导y x -= （D ）仅在）点可导，（00 2-14 设)()3(3)(2223z f y y x i xyx z f 则-+-=（）（A ）处处解析 （B ）仅在实轴上可导 (C) 仅在直线上可导32=y （D ）仅在直线上可导或320==y y2-15 若的导数问题是则关于发)(),3(3)(3223z f y y x i xy x z f -+-=（（A ）0)0()(='f z f 仅在原点可导且（B ）xy i y x z f z f 633)()(22+-='处处解析，且（C ）xy i y x z f z f 633)()(22--='处处解析，且（D ）xy i x y z f z f 633)()(22+-='处处解析，且2-16 方程,1-=z e 则此方程解为（） （A ）空集（B ）)12(-=k z π（k 为整数）（C ）I K Z π)12(-= （D ）πI Z = 2-17 若21z z e e =，则( )(A) =2z (B)π 1z =2z +2k π (C) 1z =2z +ik π (D) 1z =2z -2ik π ２-18关于复数的对数函数，下面公式正确的是（）（A ）Ln (1z 2z )=Ln 1z + Ln 2z (B) Ln (1z 2z )=Ln 1z + Ln 2z (C) Ln =2z 2Ln z (D) Ln =2z 2Ln z 2-19Ln(-1)和它的主值分别是（）（A ） Ln(-1)=(k+1/2)πi,(k 为整数)主值Ln(-1)＝０ （B ） Ln(-1)＝(２k-1)πi, 主值Ln(-1)＝πi （C ） Ln(-1)＝(２k-1)πi, 主值Ln(-1)=-πi （D ） Ln(-1)=Ln1+iArg(-1), 主值Ln(-1)=πi 2-20 下面等式正确的是（）(A) Ln(i)=(2k π-2π)i,Ln I=2πi(B) Ln(i)=(2k π+2π)i,Ln I=-2πi(C) Ln(i)=(2k π-2π)i,Ln I=2πi (D) Ln(i)=(2k π+2π)i,Ln I=2πi2-21 下面等式正确的是（）(A) Ln(-2)=Ln2+i (2k-1) πi,Ln(-2)=Ln2 (B) Ln(-2)=Ln2+i (2k+1) πi,Ln(-2)=Ln2 (C) Ln(-2)=Ln2+i (2k-1) πi,Ln(-2)=Ln2+i π (D) Ln(-2)=Ln2+i (2k-1) πi,Ln(-2)=Ln2-i π 2-22设k 为整数，则方程sin z=0的根是（） （A ） z=k πi （B ） z=2k π （C ） z=k π （D ） z=2k π2-23 若k 为整数，则cos z =0的根是（）(A) 2k π+2π(B) k π+2π(C) k π+i2π(D) 2k π+i2π2-24 若k 为整数,则的根是0=shz ( )(A) πk 2 (B) πk (C) πik 2 (D) πik 2-25 若k 为整数，则的根是0=chz （ ）（A ）i k π2 （B ）i k π （C ）i k π)12(- （D ）π)12(-k 2-26 设=++)2(,12i w z 则（ ） （A ）822πie （B ）822πie± （C ）8452πie（D ）8452πie±2-27 设421-=z ω，并规定21)0(i -=ω，则ω（0）=（ ）。
A. i 43-B.i 43C.43D.43-2-28 k 为整数，i i =( ). A. )22(ππk i e +- B )21(k e+-π C )21(k i e+-π D )41(2k e+-π2-29 k 为整数，i)1(-=( ). A π)12(--k eB )2(ππ+-k eC ππ--i k e2 D 22ππ+-k i e2-30 下面说明：1. 函数)(z f =ω在点z 0解析，即)(z f 在点z 0可导。
2. )(z f 在点z 0可导即)(z f 在z 0可微。
3. )(z f 在某区域内可导即)(z f 在此区域内解析，那么（ ）。
A 1.2.3.都正确B 只有2.正确C 只有2.3.正确D 只有3.正确 2-31 设k 是整数，则函数Lnz 在ie z =点的值为（ ）。
A i k )12(+π B i k π2 C i k )12(-π D i k π)12(+2-32 i )1(-的主值是（）。
A 2πe B 2π-eC πeD π-e2-33 在区域内解析，则对于命题 1 若f(z)恒取f(z)是常数2 若)(z f 在G 内解析，则f(z)是常数3 )(z f 在G 内是常数，则f(z)是常数4 f (z)=0 则f(z)是常数 正确的有（）A 4个B 3个C 2个D 1个 2-34 函数z z z f =)(( ).A 在全平面解析B 仅在原点解析C 在原点可导但不解析D 处处不可导2_35 若)(z f 在区域D 内解析，且arg )(z f 在G 内是常数，则（ ）。
A 这样的 函数不存在B f(z)=u(x,y)+),(y x u i θ,u 是任意二阶可导函数，θ是常实数C f(z)是不取0值的常数D , ),(),()(x y iu y x u z f +=,u(x,y)是任一具有二阶导数的实数 2-36 设34)(-='z z f ，且i i f 3)1(-=+，则=)(z f ( ). A i z z --322B i z z 3322-- C i z z 43322+-+ D i z z 43322-+- 2-37 函数z z f =)(的解析区域是（ ）。
A 全复平面B 除原点外的复平面C 除实轴外的全平面D 除原点和负实轴外的全平面2-38 设),(),()(y x iv y x u z f +=是平面流速场),(),(y x i y x v θρ+=的复势函数，则（ ）。
A )(z f v '=B )(z v f '=C )(z v f '=D )(z f v '= 2-39 设)(z f 为平面静电场的复势函数，E 为该电场的场强，则（ ）。
A )(z f i E '=B )(z f E '=C )(z f i E '-=D )(z fE '-=2.2 非客观题 2.2.1解析函数的概念及条件2-40 用导数的定义证明下列公式： （1） 1)(-='n n nz z （n 是正整数） (2) 21)1(zz -=' (0≠z )2-41 用定义证明：若在可导，则在点连续，反之不一定成立。
2-42 证明：函数),(),()(y x iv y x u z f +=可导（在iy x z +=点）的必要条件是u,v的一阶导数存在，且满足C-R 条件：.,y ux v y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 2-43 证明()iv u z f +=，在iy x z +=点可导的充要条件是u ，v 在()y x ,点可微，且满足C-R 条件。