2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十六)含答案

△S

ABC = bc sin A = bc ， 从 而 △ABC 面 积 的 最 大 值 可 得 ；（ 2 ） 由 正 弦 定 理 得

sin C = sin A = ，从而 cos C = ，又 sin B = sin + C ⎪ ，故可求得 sin B 的值．

△S

ABC = bc sin A = ，故 △ABC 面积的最大值为 ．

bc ≤ ，又因为 c = ，所以 c < a ，所以 C < A ，故 C 为锐角，

2019 年高考理科数学考前 30 天--计算题专训（十六）

17．

（10 分） △ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , A = π

． 3

（1）若 a = 3 ，求 △ABC 面积的最大值；

（2）若 c = a 2

，求 sin B 的值．

【答案】（1） △ABC 面积的最大值为 3 3 4 39 + 3

；（2） ．

8

【解析】 试题分析：（ 1 ）有余弦定理易得 3 = b 2 + c 2 - bc ，结合均值不等式得： bc ≤3 ，又

1 3

2 4

c 3 13 ⎛ π ⎫ a 4 4 ⎝ 3 ⎭

试题解析：

（1）由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，即 3 = b 2 + c 2 - bc ，所以 b 2 + c 2 = 3 + bc ，

因为 b 2 + c 2≥2bc ，所以 3 + bc ≥2bc ，即 bc ≤3 （当且仅当 b = c 时，等号成立），

1 3 3 3 3 3 所以

2 4 4 4

（2）由正弦定理得， a c c 1 π 3

= ，所以 sin C = sin A = sin = ，

sin A sin C a 2 3 4

所以 cos C = ±

13

4

a 2

所以sin B=sin⎡⎣π-(A+C)⎤⎦=sin(A+C)=sin +C⎪=sin cos C+cos sin C

，满足2S= a+⎪n∈N*

)．

1⎫2(

2⎭

⎝n

n+1，求数列

{b}前n项和T的值．

a2a2

【答案】（1）a=n-；（2）

24n2+4n+1

【解析】试题分析：（1）由2S= a+⎪推得(a+a)(a-a

2⎭

⎝

（1）当n=1时，即2S= a+⎪，解得a=，

2⎭2

⎝

2S= a+⎪⇒2S=a2+a+①

2⎭4

⎝n

所以cos C=

13

，

4

⎛π⎫ππ

⎝3⎭33

3131339+3

⨯+⨯=．

=

24248

18．（12分）已知正项数列{a}的前n项和为S

n

（1）求数列{a}的通项公式；

n

n n

⎛

（2）设数列b=

n

n

a+a

n

n

n

n n+1

1

16n2+16n

．

⎛

1⎫2

n n n n-1n n-1

-1)=0，即a-a

n n-1

=1，其

中n≥2，故而得到数列{a}的通项公式；（2）利用裂项相消法求和．

n

试题解析：

⎛1⎫21

111

⎛1⎫21

n n n n

⇒2S

n-1

=a

n-1

2+a n

-1

+

1

4②

①－②：2a=a2-a2

n n n-1

+a-a

n n-1

，所以a2-a2

n n-1

-a-a

n n-1

=0，

1

1

( 所以 {a }是以

为首项，1 为公差的等差数列，所以 a =

+ n - 1)1 = n - ．

2

2

2

2 2

n + ⎪ - n - ⎪ = ⎝

n - ⎪ n + ⎪ n - ⎪ n + ⎪ n - ⎪ n + ⎪ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 1 ⎢⎣ (2n - 1) (2n + 1) ⎥⎦

⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ 1 1 ⎪ + 4 2 - 2 ⎪ + ⋅⋅⋅+ 4 ⎢ ( 所以 T = b + b + ⋅⋅⋅+ b = 4 3 5 ⎭ ⎢⎣ 2n - 1)2 (2n + 1)2 ⎥⎦ 12

32 ⎭ ⎝ ⎝ ⎤ 16n 2 + 16n 1 ⎢⎣ (2n + 1)2 ⎥⎦ 4n 2 + 4n + 1

即 (a + a

n

n -1

)(a n

- a

n -1

-1) = 0 ，

因为 {a }是正项数列，所以 a - a n

n

n -1

-1 ，即 a - a

n n -1

= 1 ，其中 n ≥2 ，

1

n

n

（2）因为 a = n - n 1 1

，所以 a = n + ，

n +1

所以 b = n

2n 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 1

⎛ ⎛

⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2

⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭

⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2 = -

⎡ ⎤ = 4 ⎢ - ⎥ ，

2 2

⎡ ⎤

- - ⎥

n

1 2 n

⎡ = 4 ⎢1 -

⎥ =

．

19．（12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD 为梯形， AB ∥CD ，

AD = CD = BC = 1 2

AB ， △PAD 为等边三角形， PA ⊥ BD ．