2017年山东省高考数学试卷(文科)
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2017年省高考数学试卷(文科)
一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设集合M={x||x ﹣1|<1},N={x|x <2},则M ∩N=( ) A .(﹣1,1) B .(﹣1,2) C .(0,2) D .(1,2)
2.(5分)已知i 是虚数单位,若复数z 满足zi=1+i ,则z 2=( ) A .﹣2i
B .2i
C .﹣2
D .2
3.(5分)已知x ,y 满足约束条件{x −2x +5≤0x +3≥0x ≤2则z=x+2y 的最大值是( )
A .﹣3
B .﹣1
C .1
D .3
4.(5分)已知cosx=3
4
,则cos2x=( )
A .﹣14
B .14
C .﹣18
D .18
5.(5分)已知命题p :∃x ∈R ,x 2﹣x+1≥0.命题q :若a 2<b 2,则a <b ,下列命题为真命题的是( ) A .p ∧q
B .p ∧¬q
C .¬p ∧q
D .¬p ∧¬q
6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为( )
A .x >3
B .x >4
C .x ≤4
D .x ≤5
7.(5分)函数y=√3sin2x+cos2x 的最小正周期为( )
A .x 2
B .2x
3 C .π D .2π
8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为( )
A .3,5
B .5,5
C .3,7
D .5,7
9.(5分)设f (x )={√x,0<x<1
2(x −1),x ≥1若f (a )=f (a+1),则f (1x )=( )
A .2
B .4
C .6
D .8
10.(5分)若函数e x f (x )(e=2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是( ) A .f (x )=2﹣x B .f (x )=x 2 C .f (x )=3﹣x D .f (x )=cosx
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分
11.(5分)已知向量x →
=(2,6),x →
=(﹣1,λ),若x →
∥x →
,则λ= .
12.(5分)若直线x x +x
x
=1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .
13.(5分)由一个长方体和两个1
4
圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几
何体的体积为 .
14.(5分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+4)=f (x ﹣2).若当x ∈[﹣3,0]时,f (x )=6﹣x ,则f (919)= .
15.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2x 2−x 2
x 2=1(a >0,b >0)的右
支与焦点为F 的抛物线x 2=2py (p >0)交于A ,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
三、解答题
16.(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.
(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.
17.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b=3,xx →
⋅xx →
=﹣6,S △ABC =3,求A 和a .
18.(12分)由四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1﹣B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD ,
(Ⅰ)证明:A 1O ∥平面B 1CD 1;
(Ⅱ)设M 是OD 的中点,证明:平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
19.(12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3. (1)求数列{a n }通项公式;
(2){b n } 为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n ,已知S 2n+1=b n b n+1,求数列{x x
x x }
的前n 项和T n .
20.(13分)已知函数f (x )=13x 3﹣12
ax 2
,a ∈R ,
(1)当a=2时,求曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线方程;
(2)设函数g (x )=f (x )+(x ﹣a )cosx ﹣sinx ,讨论g (x )的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
21.(14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2x 2+x 2
x
2=1(a >b >0)
的离心率为√2
2
,椭圆C 截直线y=1所得线段的长度为2√2.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)动直线l :y=kx+m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO|.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.
2017年省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设集合M={x||x ﹣1|<1},N={x|x <2},则M ∩N=( ) A .(﹣1,1) B .(﹣1,2) C .(0,2) D .(1,2)
【分析】解不等式求出集合M ,结合集合的交集运算定义,可得答案. 【解答】解:集合M={x||x ﹣1|<1}=(0,2), N={x|x <2}=(﹣∞,2), ∴M ∩N=(0,2), 故选:C .
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法,集合的交集运算,难度不大,属于基础题.
2.(5分)已知i 是虚数单位,若复数z 满足zi=1+i ,则z 2
=( ) A .﹣2i
B .2i
C .﹣2
D .2
【分析】根据已知,求出z 值,进而可得答案. 【解答】解:∵复数z 满足zi=1+i ,
∴z=1+x
x
=1﹣i , ∴z 2=﹣2i , 故选:A .
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算,难度不大,属于基础题.
3.(5分)已知x ,y 满足约束条件{x −2x +5≤0x +3≥0x ≤2则z=x+2y 的最大值是( )
A .﹣3
B .﹣1
C .1
D .3
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.
【解答】解:x ,y 满足约束条件{x −2x +5≤0
x +3≥0x ≤2的可行域如图:目标函数z=x+2y
经过可行域的A 时,目标函数取得最大值, 由:{x =2x −2x +5=0解得A (﹣1,2),
目标函数的最大值为:﹣1+2×2=3. 故选:D .
【点评】本题考查线性规划的简单应用,确定目标函数的最优解是解题的关键,考查计算能力.
4.(5分)已知cosx=3
4
,则cos2x=( )
A .﹣14
B .14
C .﹣18
D .18
【分析】利用倍角公式即可得出.
【解答】解:∵根据余弦函数的倍角公式cos2x=2cos 2x ﹣1,且cosx=3
4
,
∴cos2x=2×(3
4)2﹣1=18
.
故选:D .
【点评】本题考查了倍角公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5.(5分)已知命题p :∃x ∈R ,x 2﹣x+1≥0.命题q :若a 2<b 2,则a <b ,下列命题为真命题的是( ) A .p ∧q
B .p ∧¬q
C .¬p ∧q
D .¬p ∧¬q
【分析】先判断命题p ,q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,可得答案. 【解答】解:命题p :∃x=0∈R ,使x 2﹣x+1≥0成立.
故命题p为真命题;
当a=1,b=﹣2时,a2<b2成立,但a<b不成立,
故命题q为假命题,
故命题p∧q,¬p∧q,¬p∧¬q均为假命题;
命题p∧¬q为真命题,
故选:B.
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,特称命题,不等式与不等关系,难度中档.
6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为()
A.x>3 B.x>4 C.x≤4 D.x≤5
x输出,需要x>4,则判【分析】方法一:由题意可知:输出y=2,则由y=log
2
断框中的条件是x>4,
方法二:采用排除法,分别进行模拟运算,即可求得答案.
x输出,需要x>4,
【解答】解:方法一:当x=4,输出y=2,则由y=log
2
故选B.
方法二:若空白判断框中的条件x>3,输入x=4,满足4>3,输出y=4+2=6,不满足,故A错误,
4=2,若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log
2
故B正确;
若空白判断框中的条件x ≤4,输入x=4,满足4=4,满足x ≤4,输出y=4+2=6,不满足,故C 错误,
若空白判断框中的条件x ≤5,输入x=4,满足4≤5,满足x ≤5,输出y=4+2=6,不满足,故D 错误, 故选B .
【点评】本题考查程序框图的应用,考查计算能力,属于基础题.
7.(5分)函数y=√3sin2x+cos2x 的最小正周期为( )
A .x 2
B .2x
3
C .π
D .2π
【分析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,进而根据ω值,可得函数的周期.
【解答】解:∵函数y=√3sin2x+cos2x=2sin (2x+x
6
),
∵ω=2, ∴T=π, 故选:C
【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法,难度不大,属于基础题.
8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为( )
A .3,5
B .5,5
C .3,7
D .5,7
【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,可得x ,y 的值.
【解答】解:由已知中甲组数据的中位数为65,
故乙组数据的中位数也为65,
即y=5,
则乙组数据的平均数为:66,
故x=3,
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是茎叶图,平均数和中位数,难度不大,属于基础题.
9.(5分)设f(x)={√x,0<x<1
2(x−1),x≥1
若f(a)=f(a+1),则f(
1
x
)=()
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】利用已知条件,求出a的值,然后求解所求的表达式的值即可.
【解答】解:当a∈(0,1)时,f(x)={√x,0<x<1
2(x−1),x≥1
,若f(a)=f(a+1),
可得√x=2a,
解得a=1
4
,则:f(
1
x
)=f(4)=2(4﹣1)=6.
当a∈[1,+∞)时.f(x)={√x,0<x<1
2(x−1),x≥1
,若f(a)=f(a+1),
可得2(a﹣1)=2a,显然无解.
故选:C.
【点评】本题考查分段函数的应用,考查转化思想以及计算能力.
10.(5分)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2﹣x B.f(x)=x2C.f(x)=3﹣x D.f(x)=cosx
【分析】根据已知中函数f(x)具有M性质的定义,可得f(x)=2﹣x时,满足定义.
【解答】解:当f(x)=2﹣x时,函数e x f(x)=(x
2
)x在R上单调递增,函数f
(x)具有M性质,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质,难度不大,属于基础题.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分
11.(5分)已知向量x →
=(2,6),x →
=(﹣1,λ),若x →
∥x →
,则λ= ﹣3 . 【分析】利用向量共线定理即可得出.
【解答】解:∵x →
∥x →,∴﹣6﹣2λ=0,解得λ=﹣3. 故答案为:﹣3.
【点评】本题考查了向量共线定理,考查了推理能力语音计算能力,属于基础题.
12.(5分)若直线x x +x
x
=1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 8 .
【分析】将(1,2)代入直线方程,求得1x +2
x
=1,利用“1”代换,根据基本不
等式的性质,即可求得2a+b 的最小值. 【解答】解:直线
x x +x x =1(a >0,b >0)过点(1,2),则1x +2x
=1, 由2a+b=(2a+b )×(1x +2x )=2+4x x +x x +2=4+4x x +x x ≥4+2√4x x ×x
x =4+4=8,
当且仅当4x x =x x ,即a=1
2
,b=1时,取等号,
∴2a+b 的最小值为8, 故答案为:8.
【点评】本题考查基本不等式的应用,考查“1”代换,考查计算能力,属于基础题.
13.(5分)由一个长方体和两个1
4
圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几
何体的体积为 2+x
2
.
【分析】由三视图可知:长方体长为2,宽为1,高为1,圆柱的底面半径为1,
高为1圆柱的1
4
,根据长方体及圆柱的体积公式,即可求得几何体的体积.
【解答】解:由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V
1
=2×1×1=2,
圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V
2=
1
4
×π×12×1=
x
4
,
则该几何体的体积V=V
1+2V
1
=2+
x
2
,
故答案为:2+x 2
.
【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积,考查长方体及圆柱的体积公式,考查计算能力,属于基础题.
14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x﹣2).若当x ∈[﹣3,0]时,f(x)=6﹣x,则f(919)= 6 .
【分析】由题意可知:(x+6)=f(x),函数的周期性可知:f(x)周期为6,则f(919)=f(153×6+1)=f(1),由f(x)为偶函数,则f(1)=f(﹣1),即可求得答案.
【解答】解:由f(x+4)=f(x﹣2).则f(x+6)=f(x),
∴f(x)为周期为6的周期函数,
f(919)=f(153×6+1)=f(1),
由f(x)是定义在R上的偶函数,则f(1)=f(﹣1),
当x∈[﹣3,0]时,f(x)=6﹣x,
f(﹣1)=6﹣(﹣1)=6,
∴f(919)=6,
故答案为:6.
【点评】本题考查函数的周期性及奇偶性的应用,考查计算能力,属于基础题.
15.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2x 2−x 2
x 2=1(a >0,b >0)的右
支与焦点为F 的抛物线x 2=2py (p >0)交于A ,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 y=±
√2
2
x .
【分析】把x 2
=2py (p >0)代入双曲线x 2x 2−x 2
x 2=1(a >0,b >0),可得:a 2y 2
﹣2pb 2y+a 2b 2=0,利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出. 【解答】解:把x 2=2py (p >0)代入双曲线x 2x 2−x 2
x 2=1(a >0,b >0),
可得:a 2y 2﹣2pb 2y+a 2b 2=0, ∴y A +y B =
2xx 2x
2
,
∵|AF|+|BF|=4|OF|,∴y A +y B +2×x 2=4×x
2,
∴2xx 2
x 2=p ,
∴x x =√22
. ∴该双曲线的渐近线方程为:y=±√2
2
x .
故答案为:y=±
√2
2
x . 【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题
16.(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.
(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.
【分析】(Ⅰ)从这6个国家中任选2个,基本事件总数n=x 62
=15,这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=x 32
=3,由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率.
(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,利用列举法能求出这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.
【解答】解:(Ⅰ)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.
从这6个国家中任选2个,基本事件总数n=x 62
=15, 这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=x 32=3,
∴这2个国家都是亚洲国家的概率P=x x =315=15
.
(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,包含的基本事件个数为9个,分别为:
(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2), (A 2,B 3),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,B 3),
这2个国家包括A 1但不包括B 1包含的基本事件有:(A 1,B 2),(A 1,B 3),共2个,
∴这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率P=29
.
【点评】本题考查概率的求法,涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点,考查运算求解能力,考查集合思想,是基础题.
17.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b=3,xx →
⋅xx →
=﹣6,S △ABC =3,求A 和a .
【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1,求出A 和c 的值,再根据余弦定理即可求出a .
【解答】解:由xx →
⋅xx →
=﹣6可得bccosA=﹣6,①,
由三角形的面积公式可得S △ABC =1
2
bcsinA=3,②
∴tanA=﹣1, ∵0<A <180°, ∴A=135°, ∴c=
63×√2
2
=2√2,
由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9+8+12=29 ∴a=√29
【点评】本题考查了向量的数量积公式和三角形的面积公式和余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题
18.(12分)由四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1﹣B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD ,
(Ⅰ)证明:A 1O ∥平面B 1CD 1;
(Ⅱ)设M 是OD 的中点,证明:平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
【分析】(Ⅰ)取B 1D 1中点G ,连结A 1G 、CG ,推导出A 1G ∥=
OC ,从而四边形OCGA 1
是平行四边形,进而A 1O ∥CG ,由此能证明A 1O ∥平面B 1CD 1.
(Ⅱ)推导出BD ⊥A 1E ,AO ⊥BD ,EM ⊥BD ,从而BD ⊥平面A 1EM ,再由BD ∥B 1D 1,得B 1D 1⊥平面A 1EM ,由此能证明平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1. 【解答】证明:(Ⅰ)取B 1D 1中点G ,连结A 1G 、CG , ∵四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,
∴四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1﹣B 1CD 1后,A 1G ∥=
OC ,
∴四边形
OCGA 1是平行四边形,∴A 1O ∥CG ,
∵A 1O ⊄平面B 1CD 1,CG ⊂平面B 1CD 1, ∴A 1O ∥平面B 1CD 1.
(Ⅱ)四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1﹣B 1CD 1后,BD ∥=
B 1D 1,
∵M 是OD 的中点,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , 又BD ⊂平面ABCD ,∴BD ⊥A 1E ,
∵四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点, ∴AO ⊥BD ,
∵M 是OD 的中点,E 为AD 的中点,∴EM ⊥BD , ∵A 1E ∩EM=E ,∴BD ⊥平面A 1EM , ∵BD ∥B 1D 1,∴B 1D 1⊥平面A 1EM , ∵B 1D 1⊂平面B 1CD 1, ∴平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点,考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.
19.(12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3. (1)求数列{a n }通项公式;
(2){b n } 为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n ,已知S 2n+1=b n b n+1,求数列{x x x x }
的前n 项和T n .
【分析】(1)通过首项和公比,联立a 1+a 2=6、a 1a 2=a 3,可求出a 1=q=2,进而利用等比数列的通项公式可得结论;
(2)利用等差数列的性质可知S 2n+1=(2n+1)b n+1,结合S 2n+1=b n b n+1可知b n =2n+1,
进而可知x x x x =2x +12x
,利用错位相减法计算即得结论.
【解答】解:(1)记正项等比数列{a n }的公比为q , 因为a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3,
所以(1+q )a 1=6,q x 12
=q 2a 1, 解得:a 1=q=2, 所以a n =2n ;
(2)因为{b n } 为各项非零的等差数列, 所以S 2n+1=(2n+1)b n+1, 又因为S 2n+1=b n b n+1, 所以b n =2n+1,
x x x x =2x +1
2, 所以T n =3•12+5•122+…+(2n+1)•1
2
,
12T n =3•122+5•123+…+(2n ﹣1)•12+(2n+1)•1
2
, 两式相减得:12T n =3•12+2(122+123+…+12)﹣(2n+1)•1
2
,
即12T n =3•12+(12+122+123+…+12x −1)﹣(2n+1)•1
2
x +1, 即T n =3+1+12+122+123+…+12x −2)﹣(2n+1)•12x =3+1−1
2
x −11−12﹣(2n+1)•12x =5﹣
2x +5
2
x . 【点评】本题考查数列的通项及前n 项和,考查等差数列的性质,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属于中档题.
20.(13分)已知函数f (x )=13x 3﹣12
ax 2
,a ∈R ,
(1)当a=2时,求曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线方程;
(2)设函数g (x )=f (x )+(x ﹣a )cosx ﹣sinx ,讨论g (x )的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【分析】(1)根据导数的几何意义即可求出曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线方程,
(2)先求导,再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值
【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=1
3
x3﹣x2,
∴f′(x)=x2﹣2x,
∴k=f′(3)=9﹣6=3,f(3)=1
3
×27﹣9=0,
∴曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程y=3(x﹣3),即3x﹣y﹣9=0
(2)函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx=1
3
x3﹣
1
2
ax2+(x﹣a)cosx﹣sinx,
∴g′(x)=(x﹣a)(x﹣sinx),
令g′(x)=0,解得x=a,或x=0,
①若a>0时,当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,
当x>a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(a,+∞)上单调递增,
当0<x<a时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(0,a)上单调递减,
∴当x=a时,函数有极小值,极小值为g(a)=﹣1
6
a3﹣sina
当x=0时,有极大值,极大值为g(0)=﹣a,
②若a<0时,当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,
当x<a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,a)上单调递增,
当a<x<0时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(a,0)上单调递减,
∴当x=a时,函数有极大值,极大值为g(a)=﹣1
6
a3﹣sina
当x=0时,有极小值,极小值为g(0)=﹣a
③当a=0时,g′(x)=x(x+sinx),
当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,
∴g(x)在R上单调递增,无极值.
【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系,关键是分类讨论,考查了学生的运算能力和转化能力,属于难题
21.(14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2x 2+x 2
x
2=1(a >b >0)
的离心率为√2
2
,椭圆C 截直线y=1所得线段的长度为2√2.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)动直线l :y=kx+m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO|.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.
【分析】(Ⅰ)首先根据题息可得椭圆C 过点(√2,1),然后结合离心率可得椭圆方程;
(Ⅱ)可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值,结合题目信息可求得D 、N 坐标及⊙N 半径,进而将DN 长度表示出来,可求∠EDF 最小值. 【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆C 的离心率为
√2
2
,
∴x 2−x 2x
2=12,a 2=2b 2,
∵椭圆C 截直线y=1所得线段的长度为2√2, ∴椭圆C 过点(√2,1), ∴2x 2+1
x
2=1, ∴b 2=2,a 2=4,
∴椭圆C 的方程为x 24+x 2
2
=1.
(Ⅱ)设A ,B 的横坐标为x 1,x 2, 则A (x 1,kx 1+m ),B (x 2,kx 2+m ),D (
x 1+x 22,x
2
(x 1+x 2)+m ), 联立{x 2
4+x
2
2=1x =xx +x
可得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2﹣4=0,
∴x 1+x 2=﹣4xx
1+2x 2,
∴D (﹣2xx 1+2x 2,x
1+2x
2)
, ∵M (0,m ),则N (0,﹣m ), ∴⊙N 的半径为|m|, |DN|=√(
x 1+2x 2+x )2+(−2xx 1+2x
2
)2=|2x |1+2x 2√x 4+3x 2
+1, 设∠EDF=α,
∴sin x 2=xx xx =xx xx =x 2x
1+2x
2
√x 4+3x 2+1=1+2x 2
2√x 4+3x 2+1,
令y=1+2x 2
2√x 4+3x 2+1,则y′=12x (4x 2√x 4+3x 2+1(x 4+3x 2+1),
当k=0时,sin x 2取得最小值,最小值为1
2
.
∴∠EDF 的最小值是60°.
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,重要的是能将角度的最小值进行转化求解.。