巧用平移妙求面积

巧用平移妙求面积

求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解.

例1如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米？

析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）.

想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢？

例2如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD 上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少？

析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864

（平方米）.

想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样？

例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗？

析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）.

想一想：直接求小路的面积是无法求解的， 那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在？

图3-（1）

图3-（2）

坐标系中求图形的面积

图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下.

一、计算三角形的面积

例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积.

分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边.

解：因为AB=0-（-4）=4，AB 边上的高为h=1-（-3）=4，所以

三角形ABC 的面积是：21AB ·h=2

1

×4×4=8.

评注：当两点在平行于x 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.

如果三角形中有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可以直接利用三角形的面积公式求解.

例2 如图2所示，在三角形AOB 中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB 的面积.

分析：三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角系的特点，可以将三角形的面积转化为正方形EFCD 的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求出此三角形的面积.

解：如图2，作正方形EFCD ，则该正方形的面积为EF ·FC=3×3=9.

因为三角形AEB 的面积是：

21×AE ·EB=2

1

×2×1=1，三角形BFC 的面积是：21BF ·FC=21×2×3=3，三角形ACD 的面积是：

21

×AC ·AD=21×3×1=23，所以三角形ABC 的面积是：9-1-3-23=2

7

.

点评：如果三角形的三边中没有任何一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，则应将其进行转化为几个规则图形的面积和或差.

二、计算四边形的面积

E F

D

图2

例3 如图3，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （-2，2），B （-3，-3），C （3，3），D （2，1），求四边形ABCD 的面积.

分析：四边形ABCD 不是规则的四边形，要求其面积，可将该四边形的面积转化为两个直角三角形和一个梯形的面积的和来计算.

解：作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，

则四边形ABCD 的面积=三角形ABE 的面积+梯形AEFD 的面积+三角形DFC 的面积，

因为三角形ABE 的面积为：

21BE ·AE=21×1×5=25，梯形AEFD 的面积为：2

1（DF+AE ）·EF=21×（4+5）×4=18，三角形DFC 的面积为：21FC ·DF=2

1

×1×4=2，

所以四边形ABCD 的面积为：25+18+2=222

1

.

点评：解决平面直角坐标系中的四边形的面积问题，一般思路是将不规则的图形转化为规则的图形，再利用相关的图形的面积公式求解.

图3