芝诺悖论无穷级数求解

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从极限角度解释芝诺悖论

芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列关于运动和数学的悖论。

其中最著名的是“阿基米德螺旋”和“追不上的乌龟”。

这些悖论看似矛盾，但实际上反映了古希腊哲学家对数学和物理学的深刻思考。

从极限角度解释芝诺悖论，我们可以将芝诺悖论转化为数学问题。

例如，芝诺悖论中的“追不上的乌龟”可以转化为无穷级数的形式。

这个级数收敛于0,但芝诺悖论表明它永远不会完全收敛。

这反映了芝诺悖论的本质:看似无限接近，却永远不能到达。

此外，从极限角度解释芝诺悖论还可以让我们更好地理解数学中的极限概念。

极限是数学中非常重要的一个概念，它描述了函数在趋近于某个点时的行为。

在芝诺悖论中，极限的概念被用来描述物体在趋近于无限接近的速度下，最终仍然无法追上物体的情况。

总之，从极限角度解释芝诺悖论可以帮助我们更好地理解这个著名的哲学悖论，同时也有助于我们更好地理解数学中的极限概念。

大一微积分(经管类)第八章无穷级数

n
S
如果数列{ S n } 没有极限,则称无穷级数
un 发散.
n 1
5

例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a Sn a aq aq aq ， 1 q a n 当 | q | 1 时, lim q 0 limS n 收敛 n n 1 q
2
第一节
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.
一、级数的基本概念
计算圆的面积
a1 正十二边形的面积 a1 a2 正 3 2 n 形的面积 a1 a2 an 即 A a1 a2 an

(un vn ) 收敛推出 un 、 vn
n1 n1 n1

收敛；
(2) 若
un 收敛,而 vn
n1 n1
发散,则
(u
n1

n
vn ) 必发散.
证假设
而已知
所以
(u v ) 收敛,
n1 n n

由 vn (un vn ) un ,
un 收敛,
所以级数发散.
12
级数收敛的必要条件
定理若级数证明
u
n1

n
收敛,则必有lim un 0 .
n
un Sn Sn1 ,
n
lim S n S ，
lim un lim( S n S n1 ) lim S n lim S n 1
n n

芝诺悖论

芝诺（埃利亚）（Zeno of Elea）生活在古代希腊的埃利亚城邦。

他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。

关于他的生平，缺少可靠的文字记载。

柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。

其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。

那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。

”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构。

然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。

据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护。

但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。

”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。

他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。

芝诺有一本著作《论自然》。

在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。

”公元5世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出40个各不相同的悖论。

芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯（Simplici－us）为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外只有少量零星残篇可提供佐证。

现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的，其中关于运动的4个悖论尤为著名。

直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。

英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。

之诺悖论

一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。

物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。

2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。

快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

3、飞矢不动。

任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。

4、运动场。

两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。

四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。

关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。

以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。

１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。

他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。

在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。

”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。

不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。

常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。

已知最早的批评来自亚里士多德。

关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。

第一节无穷级数

则称无穷级数发散则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 当级数收敛时称差值
为级数的余项为级数的余项. 显然余项
12
讨论等比级数又称几何级数) 例1. 讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数
( q 称为公比 ) 的敛散性的敛散性.
a −aq = 1−q a 从而 limSn = n→ ∞ 1−q a 因此级数收敛 , 其和为 ; 1−q 从而 limSn = ∞, n→ ∞
解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
23
三、级数收敛的必要条件
设收敛级数证: u = Sn − Sn−1 n 则必有
∴ limu = limSn −limSn−1 = S − S = 0 n
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
可见: 若级数的一般项不趋于0 可见若级数的一般项不趋于 , 则级数必发散 . 例如, 例如其一般项为不趋于0, 因此这个级数发散. 不趋于因此这个级数发散
6
几点结论：第三步几点结论： 1．无穷级数是以加法形式出现的极限问题是．无穷级数是以加法形式出现的极限问题, 披着羊皮的狼” 羊皮是加法─ 羊皮” “披着羊皮的狼”. “羊皮”是加法─显得很易处理, “狼”是极限─实际不易处理狼是极限─实际不易处理; 2．正由于本质是极限，故出现“极限是否存．正由于本质是极限，故出现“ 的问题，即无穷多项“相加”可能是“ 在”的问题，即无穷多项“相加”可能是“没有和”的； 3．正由于本质是极限，故加法的性质如交换．正由于本质是极限，故加法的性质(如交换结合律等)不可以无条件平移过来不可以无条件平移过来；律、结合律等不可以无条件平移过来；正式定义无穷级数、部分和、第四步正式定义无穷级数、部分和、和等概念。

芝诺悖论无穷级数解释

芝诺悖论无穷级数解释芝诺（zenoofelea）辩论（argument）——从量子的角度能得到完善的解决。

这里用无穷级数做些解释。

阿基里斯与乌龟接力赛问题：古希腊神话中善走的英雄阿基里斯和乌龟的接力赛，如果先使乌龟跳跃1000米后，再使阿基里斯回去冲乌龟，那么阿基里斯不可能将冲上乌龟。

芝诺辩论：因为在赛跑中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。

就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！从逻辑上谈上述辩论没任何问题，但似乎不合乎现实！无穷级数分析：设立乌龟的出发点为a1,阿基里斯的起跑点为a0，两者的间距为s1，乌龟的速度为v，阿基里斯的速度就是乌龟的100倍，即为100v.因为乌龟爬行到a2的时间与阿基里斯到达a1的时间相等，所以s2ss1，即s2 1.v100v100以此类推，sn1sn2s,sn n1，所以1001001sn100阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为：n1s1s s1s2s3sn21s1s11001s11001s110031s1100n1n123111s1110010010011001n11100100s1lim s1.n991100因此，从表面来看，阿基里斯在追上乌龟的过程中总走不回去，但模型分析排序所述当阿基里斯追到离起点100s1处时，已经追赶上了乌龟。

99。

阿基里斯“悖论”里收敛的无穷级数

阿基里斯“悖论”里收敛的无穷级数
阿基里斯悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一个著名的哲学难题。

它提出了一个看似合理但实际上不可能的结论：即使世界上最快的动物阿基里斯也无法追上慢速行走的乌龟。

这个悖论在数学领域也有着深远的影响，尤其是与无穷级数的关系。

阿基里斯悖论与无穷级数的联系在于，它揭示了无穷级数求和的问题。

芝诺认为，阿基里斯在任何给定的时间间隔内，都无法追上乌龟，因为在这段时间里，乌龟已经前进了一定距离。

将这段距离看作一个无穷级数，我们可以将其表示为：
d = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
这个级数是一个收敛的无穷级数，其和可以表示为：
H = ln(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
通过对这个级数的求和，我们可以得到一个有限的值，这意味着尽管阿基里斯在每个时间间隔内都无法追上乌龟，但经过无穷多个时间间隔，他最终可以追上乌龟。

这一结果揭示了收敛无穷级数在实际问题中的重要性。

收敛的无穷级数在数学和实际问题中具有广泛的应用。

例如，在微积分中，极限和连续性概念都与收敛级数密切相关。

收敛级数还用于求解各种数学问题，如求解方程、求解积分等。

在物理学、工程学等领域，收敛级数也发挥着重要作用，例如用级数表示连续函数的值，从而简化问题求解。

总之，阿基里斯悖论揭示了收敛无穷级数在数学和实际问题中的重要性。

它让我们认识到，在某些情况下，看似不可能的问题实际上可以通过无穷级数
求和来解决。

12-1(A)无穷级数-常数项级数的审敛法

四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件: 一般项 un趋于零, 即
n1
un收
敛
lim
n
un
0.
*证设 un s, 由 un sn sn1 ,
有
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意 1. 一般项不趋于零级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
。
解an
6
cos
n
6
6
6
0 , 原式发散。
16/26
*例 7 试把循环小数2.317 2.3171717表示
成分数的形式.
解 2.317
2.3 0.017 0.00017 0.0000017
2.3
17 103
17 105
17 107
2.3
17 103
n0
1 100
n
2.3
2T (1
1 2n )
2
让 n ，上述和 2T ．(与实际经验相符！)
可见，要把无限多项之“和”＝2T 理解为前 n 项之和，当n 时的极限。
但是，如果以如下方式减速前进：
T
T
3
2
T
1
1
0 14
2
1
此时需化为 8 T T T T ？ 234
实际经验不能给我们任何启示！
若先考虑
Sn
19/26
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：

无穷级数

無窮數列與無窮級數 (Infinite Sequences and Series)前言：在公元前五世紀，希臘哲學家雷諾(Zeno)曾經提出兩個很有趣的悖論(paradox ；又譯詭論)。

第一個悖論是敘述一個古希臘英雄阿奇禮(Achilles)與一隻烏龜賽跑的故事，他說如果阿奇禮禮烏龜先走一段距離，則阿奇禮永遠也無法超烏龜，它的論點是這樣的：當阿奇禮從點1a 出發烏龜從點1b 出發(如下圖一)，當阿奇禮到達點12b a =時烏龜也從點1b 前進到2b ，當阿奇禮再到達23b a =時烏龜也再從點2b 前進到點3b 。

這種情況無窮延續下去，而似烏龜永遠都在阿奇禮的前面。

阿奇禮1a 2a 3a 4a 5a . . . .烏龜 1b 2b 3b 4b . . . .(圖一)這個悖論牽涉到數學的一個東西，那就是無窮數列，阿奇禮連續的位置,...),,(321a a a 烏龜的連續位置,...),,(321b b b 就是本單位所要研究的無窮數列，雖然對每一個正整數n 而言，n nb a <，但在極限單元我們知道nn n n b a ∞→∞→=lim lim (設此數為C)，也就是說在點C 時阿奇禮將趕烏龜。

另外一個悖論是與無窮級數有關。

這一個悖論是經過希臘先哲亞里斯多德(Aristotle)傳下來的，這個悖論說有一個站在房間的人，他永遠無法走到牆壁，他的論証時是這樣的：首先他必須走離牆壁一半的距離，然後再走剩下距離的一半，接著再走剩下的一半距離，這個動作可以連續不斷地進行，而且永不停止，當然我們都知道這個人是可以達到牆壁的，這其實就是無窮級數++++++n21161814121的和，而這個無窮級數的和就是1，雷諾的論証是因為無窮項的數字和是沒有意義的，在當時的知識中，無窮的概念還沒有完全發展出來，其實在數學中有許多數都可以表成無窮級數的和。

例如333.031=為一循環無窮小數，而 ++++=0003.0003.003.03.03333.0++++=100003100031003103即31可以表成一個無窮級數的和。

0.999……等于1么？

0.999…………等于1么？0.999 (1)说到无穷数谜，大多数人第一次遇到的就是：0.999…………无限重复下去，最后会等于1么？在芝诺悖论中，一个人如果要过街，他首先走完总程的1/2，接着走完剩下1/2的1/2，以此类推，无穷尽也……理论上这个人永远无法到达街对面，但在现实中这却花不了多长时间。

从魔兽世界游戏中的留言板到安·德兰论坛，大家对这个问题的争论非常火爆。

对于芝诺悖论，大多数人都觉得题中人最后会到达街对过。

可同样的情形放到循环小数里，直觉就会告诉你0.999……怎么也不会等于1啊。

光是看就知道0.999……比1小，但是差的却不多……大家都认为0.999……这个数只是不断接近目标，却永远也不会达到。

不过，他们的老师(包括我在内)，会说：错，0.999……就是1。

想要说服人们站到我这边，我就要用下面的方法：众所周知， 0.33333……=1/3两边同时乘以3得到0.999…… = 3 / 3 = 1如果这还不足以让你动摇，试试把0.999……乘上10，也就是将小数点向右挪了一位，所以我们得到了10 x (0.999……) = 9.999……现在把两边的烦人小数都去掉，我们在等式两边同时减去0.999…………10 x (0.999……) - 1 x (0.999……) = 9.999…… - 0.999………………得到了9 x (0.999……) = 9.什么数乘以9会等于9？自然是1。

对于大部分人，这种证明方法就足够了。

但是老实说，这套证明体系缺了点什么，也没有真正解决0.999……=1的不确定。

事实上这种手段只是用了些代数上的小把戏，你不会真的以为1/3=0.333…………吧？比起相信1/3=0.333……，其实还有更可怕的：1 +2 + 4 + 8 + 16 + ……?省略号在这里的意思是相加过程会永远持续下去，每次相加的数字大小都是上一次的两倍。

这么大的和毋庸置疑应该是无穷大了。

芝诺悖论的极限分析

芝诺悖论的极限分析学生姓名：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。

其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。

在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。

在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。

同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。

关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断引言：数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。

芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。

芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。

在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。

这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。

运动只是假象，不动不变才是真实。

假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。

因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。

芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。

本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。

1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。

简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。

“芝诺悖论”的悖谬实质透视

“芝诺悖论”的悖谬实质透视龙叶先【摘要】芝诺论辩之所以悖谬,实质在于他的论证逻辑以割裂时空的统一性为前提.因此,只要从时空割裂角度就可清楚地阐明芝诺论辩的悖谬所在.【期刊名称】《贵阳学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2017(012)001【总页数】4页(P61-64)【关键词】芝诺悖论;悖论实质;时空割裂【作者】龙叶先【作者单位】贵阳学院马克思主义学院,贵州贵阳550005【正文语种】中文【中图分类】G412物质运动是马克主义哲学中最为基本的原理。

在马克思主义哲学教学中，物质运动原理是否得到清晰、正确的阐述，势将影响到学生能否正确地理解、掌握马克思主义。

为阐明物质运动原理，《马克思主义基本原理概论》将芝诺悖论作为教学的典型实例，但除指出芝诺悖论是“承认静止、否认运动”的诡辩之外，并没有对其加以深究，这使得部分教师在教学中未能充分阐述它的悖谬性，结果就是影响了马克思主义哲学教学的成效性。

因此，深入透视、清楚阐述芝诺悖论是使学生能正确理解、把握马克思主义哲学的重要基础和前提。

古希腊埃利亚学派哲学家芝诺（Zeno of Elea）认为，所谓的“运动”，实际上只是假象。

为证明运动的不可能性，他提出了四个对后世产生深远影响的“芝诺悖论”论辩。

他如何论辩不得而知，人们对他的论辩的了解几乎都来自于亚里士多德在《物理学》中的记述。

亚里士多德在《物理学》中记述说：“第一个说，运动不存在。

理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处。

”［1］191黑格尔则在他的名著《哲学史讲演录》（第1卷）中做如下转述：“运动者必须到达某一目的地；这一途程是一个全体。

为了要走完这全部途程，运动者首先必须走完一半。

现在这一半途程的终点就是他的目的地。

但这一半又是一个全体，这一段空间或途程也还是有它的一半；因此这运动者首先又须达到这一半的一半，如此递进，以至无穷。

”［2］282芝诺的这个论辩被称为“二分法”。

第二个论辩即众所周知的“阿基里斯永远追不上乌龟”。

数学模型怎么解决芝诺悖论

数学模型怎么解决芝诺悖论
芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺所提出的一系列悖论，其中最著名的是阿喀琉斯与乌龟悖论。

该悖论描述了阿喀琉斯与乌龟进行赛跑的情境，即阿喀琉斯给乌龟一个领先的起点，但当阿喀琉斯到达乌龟原先所在的地方时，乌龟已经向前移动了一定的距离，再当阿喀琉斯到达这个地方时，乌龟又向前移动了一定的距离，如此循环下去，阿喀琉斯永远也追不上乌龟，因为每次阿喀琉斯到达乌龟原先所在的地方时，乌龟已经向前移动了一段距离，所以阿喀琉斯只能越来越接近乌龟，但永远也无法追上它。

然而，数学模型为我们提供了解决这个悖论的方法。

我们可以将阿喀琉斯和乌龟的赛跑看作是两个物体在不断移动，而移动过程可以用数学上的无穷级数来描述。

具体来说，我们可以将乌龟的移动看作是一条无限级数，而阿喀琉斯的移动看作是另一条无限级数，两条级数的和即为阿喀琉斯和乌龟的总移动距离。

由于数学上无穷级数的特殊性质，阿喀琉斯可以在有限时间内追上乌龟，从而解决了芝诺悖论。

总之，数学模型为我们提供了解决芝诺悖论的一种优雅而有效的方法。

通过对物体移动过程的数学建模，我们可以轻松解决其所带来的哲学难题，从而更好地理解和应用数学。

- 1 -。

级数概念的引入和用级数分析芝诺悖论

ｊ
Ａ
（）３现在我们已得到：病人如果长期服用药物，么体那内药量维持在０２ｇ的水平．们是否可以这样想，设．５ｍ我假
中００是第二天服用的，０ ÷ 是第一天的药量排除了．５０５・．
）
２％后留在体内的．０
●
高教视野
・
・
壤躲
●
缀鑫引
【要】级数教学中，以通过解决实际问题引出级摘在可
数的概念，样学生理解和接受起来都比较自然．用级数这再知识来分析芝诺悖论，以让学生领会到级数的魅力．可
，
再过三排２￣Ｊ。 ‘ ），过通第天除０Ｙ．（２再第％。 ÷，通５ … ｎ排２￣Ｊ０・）的量天除０Ｙ．（一药．％５ ÷ ０
利用等比数列求和，得Ｓ可
３Ｚｎ（．ｅｏ芝诺）出的“ ｃｉｅ（提Ａｈｌｓ阿基里斯）ｌ追赶乌龟”
Ｓ＝ｎ＋。＋则称列｛｝级数 ∑ 的。＋ …＋ …，数Ｓ为
定如级 ∑ ａ的分数Ｓ｝敛于限义果数ｎ部和列｛收有
数Ｓ那么就称级数 ∑ 。，收敛，且称它的和为＿记作Ｓ，Ｓ＝∑ 。．
天的药量Ｏ０．５通过第二天排除了２％￣＠Ｔ．５・４０ＯＯ０了
掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的水平？解：用第一天，人体内药量为Ｓ＝．５ｍ（面单服病，００ｇ下

数学史上三个著名数学悖论与三次数学危机

数学史上三个著名数学悖论与三次数学危机关键词：数学悖论，数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。

因此，我们从勾股定理谈起。

勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。

天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。

它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。

在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。

不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。

一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。

只能说中国是最早发现这一问题的，但没有最早给出证明。

也是一个遗憾啊。

在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。

因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。

并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。

因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

71无穷级数的概念与性质

前n项和
sn
1 2 3
n
n(n 1) 2
而
lim
n
sn
n(n 1)
lim
n 2
所以, 级数发散.
8
常数项级数的概念
例讨论等比级数(几何级数)
(重要)
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的收敛性.
n0
解如果q 1 时
sn
a aq aq2
a aqn
aqn1
23
n
ln
2
3 2
4 3
n n
1
ln(1
n)
由
lim
n
Sn
lim ln(n
n
1)
22
常数项级数的概念
例判别下列级数的敛散性
1
n3 2n 5
n1(2n 1)(2n 1)(2n 3)
2
3nn
n1(1
n)n
3
n1
1 3n
lnn 3 3n
常用于判别级数发散.
解题思路
级数收敛的必要条件
u1+u2+ …+un+…为常数项级数,又无穷级数,简称级数.
un u1 u2 u3 un
n1
(1)
如
3 10
3 100
3 10n
;
通项
1 1 1 1 (1)n1 1 ;
234
n
1 1 1 1 (1)n1 .
均为(常)数项级数.
4
常数项级数的概念
调和级数
1 1 1 23
1 n
有 lim n
un
0
但级数是否收敛?
21

两个与无穷级数有关的悖论

两个与无穷级数有关的悖论我们想要计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n+1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ...。

首先我们需要说明，这个无穷级数是收敛的。

注意到，从1的后面开始，每减去一个数后紧接着都会加上一个比它小的数，因此不管你加到哪儿，它的和始终不会超过1；另外，从1-1/2之后开始，每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数，因此无论加到什么位置，整个和始终大于1/2。

这说明，这个级数是收敛的，并且它收敛到1/2和1之间的某个数（事实上这个数是ln(2) ）。

好了，令这个无穷级数为S，现在对S进行这样的变换：S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) - 2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) - (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)= 0但刚才不是说了S是大于1/2的么？这怎么可能呢？刚看到这个问题后，立即想起Eagle Fantasy也提到过一个类似的问题。

同样令S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... ①①式两边同时乘以1/2，有S/2 = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - ... ②①式和②式相加有：(3/2)*S = 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... ③比较①式和③式，它们的项竟是完全相同的，①中的所有项在③里都有，③里的每一个项也在①中出现过。

芝诺悖论今昔谈

芝诺悖论今昔谈爱利亚的芝诺为了捍卫他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说，提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。

他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。

不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨（Argument）最为合适。