零点极点分析

t
C
v0 (t)
T
（1）求e(t)的拉氏变换
E
(s)
1 (1 es ) esnT
s
n0
1 s
(1 es ) (1 esT )
（2）求系统函数H(s)
j
H (s)
1 Cs
1
RC
R 1
s
Cs
（3）求系统完全响应的拉氏变换V0 (s)
V0 (s)
E(s).H (s)
(1 es ) s(s )(1 esT
)
V 0(s) V0t (s) V0s (s)
暂态
稳态
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
V0t
(s)
K1
s
K1
V0 (s)(s
)
s
1 1
e eT
固定常数
v0t (t)
1 1
e eT
.e t
衰减因子
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
H
(s).E1(s)
(1 es s(s )
hi (t)
i 1
i 1
总特性
第 i个极点决定
（2） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点
j
h(t)
0 p1
t
H (s) 1 S
h(t) u(t)
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H (s) 1
S
h(t) et
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应
决定系统稳定性
系统函数的定义
• 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作系统函数， 记作H(s).
R( s) • 可以是电压传输比、电流传输比、转移阻抗、转移导纳、策动点阻抗 H (s) 或导纳 E(s)
系统函数的极零点分布
稳态响应
A
完全响应
B
暂态响应
B
A
1 1
e eT
B
1 1
e eT
§5.2 由系统函数决定系统频率特性
• 什么是系统频率响应？ 不同频率的正弦激励下系统的稳态响应一般为复数，可表示为下列两 种形式：
H ( j) R( j) jI( j) H ( j) H ( j) e j( j)
e(t) Em sin0t
j
二重极点
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋势 • 极点落在右半平面— h(t)逞增长趋势 • 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t)
等幅振荡，不能有重极点 • 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
（4） 零点的影响
H1(s)
(s
sa
a)2 2
H2 (s)
(s
s a)2
幅频特性
U1
0,
M
1 RC
U2 U1 1
1 RC
相位特性
450
1 RC
900
1 ,
RC
M 2, RC
U2 U1
1 2
450
, M , U2 U1 0
900
（2） 二阶非谐振系统的S平面分析
只考虑单极 点使系统逞 低通特性
高通
H( j)
总体是个带通
中间状态是个常数
只考虑一极点 和一零点使系 统逞高通特性
tg1( a )
多了相移
结论
• H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关 • 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零点有关，即零点影响 K i ,
K k 系数 • E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，与H(s) 无关 • 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零极点相消将使某固有频率
低通
例：
V1
R1
C1
C2
KV3
R2
V2
H (s) V2 (s) k
s
V1 (s)
R1C1
s
1 R1C1
s
1 R2C2
k
s
R1C1 (s p1 )(s p2 )
H ( j )
k R1C1
N1e j1 M1e j1 M 2e j 2
k
N1
e V e j (1 1 2 )
1 j ( )
M2 p2 2 j1
j
N1
H
(s)
(s
s )2
12
H ( j ) N1 e j(112 )
M1M 2
(f)
N1
p1 1 jM11
M2
j2 H (s) S 2 22
j
(s )2 12
N2
H ( j) N1 e j(112 ) M1M 2
j1
p2 2 j1 j2
H( j) H( j)
3 M 3 1.932 3 750
§5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的 S平面分析
• 已知该系统的H(s)的极零点在S平面的 分布，确定该系统的幅频特性和相频 特性的渐近线
（1）一阶系统
H (s) K s z1 s p1
H (s) K s s p1
H (s) k s p1
• 一零点，一在实轴的 极点
(a)
p2 2 M 2 M1
p1 1
(b)
p2 2 M 2 M1
j H (s)
`1
(s p1)(s p2 )
H ( j ) 1 e j(12 )
M1M 2
j
H(s)
s
N1
(s p1)(s p2 )
H ( j ) N1 e j(112 )
M1M 2
(c)
N1
p2 2 M 2 M1
2
z0
零点移动 到原点
z0
h(t) eat cost
h(t) eat 1 a 2 cos(t )
tg1( a )
（4） 零点的影响
• 零点的分布只影响时域函数的幅度 和相移，不影响振荡频率
幅度多了 一个因子
h(t) eat cost
h(t) eat 1 a 2 cos(t )
• 一在原点的零点，一 在实轴的极点
• 只有无穷远处的零点 一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1
—
C
+ H(s) U2(s) R s
U2 R
—
U1(s) R 1 s 1 sc RC
M N
-1/RC
H ( j) N e j( )
M
U2 U1
0,
N 0,
M
1 RC
NM 0
1 RC
1 RC
,
N
1 RC
, 450,
M
2 RC,
N M
1
2
900
450
, N 1, 0
M
例： 求一阶低通滤波器的频率特性
+
R
U1
C
_
+
H (s) U2
1 Cs
U1
R
1 Cs
U2 1 . 1
_
RC s 1
RC
j
M
H ( j ) k 1 e j(1)
M
1 RC
没有零点
U2
z1
p2
例：已知
H (s)
s3
1 2s2
2s
试求当
1
1
时的幅频和相位
H(s)
1
(s 1)(s 1 j 3 )(s 1 j 3 )
2
2
M1
1
j1
M1 1.414
450
M2 j1
2 M 2 0.517
M3 j1
2 150
1
1
H ( j1)
M1M 2M3 2
j1 (450 150 750 ) 1350
H( j) H( j) e j( j)
若0 换成 变量
系统频率 特性
幅频特性
相位特性
用几何法求系统频率特性
m
H (
j )
k
( j z j )
j 1
n
( j pi )
k
N1N2 M1M 2
Nm Mn
m
n
j ( i l )
e i1
l 1
i 1
j
j p1 M1e j1
p1
j z1 N1e j1
j
h(t)
j1 p1
0
0
t
j1 p2
H (s)
(S
1 )2
12
h(t) sin1t.u(t)
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
j
h(t)
0
t
H (s)
1 S2
h(t) t
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
1
)2
h(t) tet
j
0
p1
H (s) 1
S
h(t)
0
et t
h(t) et
（2） 几种典型的极点分布—— (d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s)
1 S 2 12
h(t) sin1t.u(t)
（2） 几种典型的极点分布—— (e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p2 j1
S
H (s) S 2 12
h(t) cos1t.u(t)
（2） 几种典型的极点分布—— (f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
h(t)
0
0
t
Fra Baidu bibliotek
p2
j1
H
(s)
(S
1 )2
12
h(t) et sin1t.u(t)
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面
M1
1 R1C1
, 1 0
M 2 N1 j , 2 1 900
1 p1 R1C1
p2
1 R2C2
k
带通
1
H( j)
R2C2
H ( j) k
N e 1
j (1 1 2 )
R1C1 M1M 2
1
R1C1 H ( j ) kej00 k
900
( j)
( j) 0
900
例：若已知H(s)零极点分布如图(a)--(h)试粗略给出它们的
H ( j )
k N1
e j (1 1 )
M1M 2 R1C1
M 2 N1 , 2 1 900
H ( j ) k e j1
M1
逐渐增加
0
1
R1C1
低通特性
( j) 450 , H( j) 1 , 1
2
R1C1
H() 0 , ( j) 900
1 1
R2C2
R1C1
, R1C1 R2C2
Em H 0e j0 2j
k j0
(s
j )R(s) s j0
Em H 0e j0 2j
稳态响应 有关的
Rw(s)
Em H 0 2j
e e j(0t0 )
j (0t 0 )
e(t) Em sin0t r(t) EmH0 sin(0t 0 )
幅度该变
相位偏移
H ( j0 ) H0e j0
丢失。
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数 • 增幅，在稳定系统的作
用下稳下来，或与系统 某零点相抵消 • 等幅，稳态
• 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0
Re[ pk ] 0 Re[ pk ] 0
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳态 响应。
e(t)
e(t) R
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
2S 2 12 )2
h(t) t sin1t
（3） 有二重极点分布——
(d)在左半平面有二重共轭极点
j
j1
h(t)
0
t
j1
H
(s)
[(
2 (S ) S )2 12
]2
h(t) tet sin1t
j
一阶极点
M1M 2 R1C1
M1
1 R1C1
, 1 0
H( j) k
高通 H( j) 0, ( j) 1 900
0
1
R2 C 2
逐渐增加
900
( j)
H ( j) 1 , 1 ,( j) 450
450
2
R2C2
0
1
H () k , ( j) 0
R2 C 2
较大时
p起1主要作用
j
M1
1
k
j
s2
H(s)
N2
(s p1)(s p2 )
H ( j ) N1N2 e j(12 12 )
M1M 2
H( j)
H( j)
H( j) H( j)
(d )
2
j
M2
M1 N1
1
H(s) s (s )(s )21
H ( j ) N1 e j(112 ) M1M 2
(e)
M1
p1 1 j1
R1C1 M1M 2
V2
M1
M2
N1
p1
1 R1C1
p2
1 R2C2
1 1
R1C1
R2C2
高通
M2
M1
低通
p2
1 R2C2
p1
1 R1C1
H ( j ) k
N1
e j (1 1 2 )
R1C1 M 1M 2
p 较小时 起作用 2 j
M2
1
R2C2
2
N1
H ( j)
k N1
e j (1 2 )
)
（7）求第一周期的稳态响应
V0s1 (s) V01(s) V0t (s)
(1 es ) s(s )
1 1
e eT
. s
1
v0 s1 (t )
[1
1 e (T 1 eT
)
.et
].u(t)
(1 e (t ) ).u(t )
Vos1(t) 1
t
0
（8）整个周期矩形信号的稳态响应
v0s (t) v0s1(t nT )[u(t nT ) u(t (n 1)T )] n0
E(s)
Em 0
s2
2 0
R(s) E(s)H (s)
k j0 k j0
n
ki
s j0 s j0 i1 s pi
由正弦激励的极点 决定的稳态响应
如系统是稳定的， 该项最后衰减为零
H ( j0 ) H 0e j0
H ( j0 ) H 0e j0
k j0
(s
j )R(s) s j0
m
k(s zj)
H (s)
j 1 n
(s pi)
i 1
j
p1
z1
p0
z0
p2
z2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性
（1）时域特性——h(t)
Ki与零点分布有关
m
k(s zj)
H(s)
j 1 n
(s pi)
i 1
反变换
h(t)
L1
n
i1
ki s pi
n
n
kie pit
H( j)
1 2
(g) p1 1 jM11
M2 p2 2 j1
j
H
(s)
(s
S )
2 2
12
H ( j) N1 e j(112 ) M1M 2
(f)
N1
j 2
H (s)
S2 s2
2 2
12
j
N2
M1
M2
j1
H
(
j
)
2 2
12