第十章方差分析
方差分析的基本思想
1
第一节 方差分析的基本思想
方差分析的基本思想是，首先将总 变异分解为几个部分，每部分与特 定的因素相联系。之后构造检验统 计量F，实现对总体均数的推断。 方差分析的应用条件是各组资料取 自正态分布，各总体方差齐同。
2
现以随机设计为例来说明方差分析基 本思想。
3
每个观察值与总均值的离均差平
,
MSTR SSTR / TR （10.5）
10
数学上可以证明
SST SSTR SSe （10.6）
，
，,
T
TR
e （10.7）
F MS TR MS e
（10.8）
11
式（10.8）反映了组间变异与组内变 异的比值，可以应用式对检验假设
H0： 1 2 c
H1： i（i=1，…，c）不全相等
不同处理组样本均数之间的差异称 为组间变异。产生组间变异的原因 一方面是个体变异，另一方面是各 组总体均数之间可能存在的实质性 差异差别。用组间离均差平方和反 映组间变异。
8
c
SSTR ni (xi x)2 （10.4） i 1
相应的自由度为 TR c 1
9
显然，组间离均差平方和的大小与自 由度有关。能够客观反映组间ST
( X ij x)2
i1 j1
（10.1）
相应的自由度为νT=N-1。
4
处理组内每个观察值之间的差异来源 于同一总体内的个体变异，称为组内
变异，可用组内离均差平方和表示：
c ni
SSe
( X ij xi ) 2 （10.2）
i1 j1
相应的自由度νe=N-c。 5
由于的大小与自由度有关，能够客观 反映组内变异的是组内均方：
医学科研中的统计方法(第十章)协方差分析
Y X
大学生 肺活量Y (ml) 身高X (cm) 3650 168.7 4300 170.8 4000 165.0 4150 169.0 4280 171.5 3450 166.5 3800 165.0 3400 165.0 4300 173.0 4050 169.0 4050 173.8 4100 174.0 3450 170.5 4300 176.0 3850 169.0 4150 176.0 3700 163.0 4100 172.5 3650 177.0 4050 173.0 3939
混 杂 因 素 ？
协 变 量 ？
处理因素 三种饲料
观察指标 体重增加量
干扰因素 实际进食量
研究男性篮球运动员与男性大学生的平均肺活 量的差异 由于肺活量与身高有一定的关系(一般来说肺活 量随身高增加而增大)，而篮球运动员的身高高于大 学生。 因此在比较两组肺活量时的差异时，必须先验 证身高是否对肺活量有影响，并且符合协变量的条 件，如果是，要把身高作为协变量做协方差分析。
分组 Model 运动员 1 (Constant) 身高 大学生 1 (Constant) 身高
F 12.023
Sig. .001
结论 p = 0.001，差异有统计学意义。即不考虑身高对肺活量 的影响，篮球运动员与大学生的肺活量之差异有统计学意义。
二、作协方差分析
但是，在本例中，我们注意到两组的平均身高水平 不同，分别为 178.09 和170.42。而一般认为身高较高者 其肺活量亦较大。本例 X1> X 2 如果 X1 = X 2 则 Y1 与 Y2 之差应小于470。因此上述直接比较 Y1 与 Y2 差的假设检 验，不太合理。应当考虑身高为协变量作方差分析。 下面对本例作协方差分析，其步骤如下： ⑴ 作肺活量与身高的线性回归，验证肺活量与身 高存在线性回归，且回归系数近 似相同，即
第10章-单因素方差分析PPT课件
（四）重复 (repeat)
在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位
上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重
复数。
.
6
第一节 单因素方差分析的基本原理
一、线性模型 二、固定线性模型 三、随机线性模型 四、多重比较 五、基本假定
.
7
一、线性模型
（一）线性模型 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有n
第10章 单因素方差分析
One-factor analysis of variance
.
1
用6种培养液培养红苜蓿，每一种培养液做5次重复，测 定5盆苜蓿的含氮量，结果如下表（单位:mg）．问用6 种不同培养液培养的红苜蓿含氮量差异是否显著？
培养方法 盆号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
1 19.4 17.7 17.0 20.7 14.3 17.3
χi2
χa2
χi3
χa3
…
…
χ2j χ3j
χij
χaj
χ2n χ3n
χin
χan
x 2
x 3
x i
x a x
x 2
x 3
2
3
x i
x a x
i
a
a2
a3
.
ai
aa
9
符号
文字表述
a
因素水平数
n
x ij n
xi
xij
j 1
xi
1 n
xi
每一水平的重复数 第i水平的第j次观察值 第i水平所有观察值的和
ij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
.
11
xiji ij ij11,,22,, an
一年多点试验资料的方差分析
区组 2 32.0 16.0 28.5
14.25 0.5
0.25
品种 3 240.0 80.0 278.25 92.75 108.0 26.0
误差 6 166.0 27.67 119.5 19.92 39.5 6.58
总变异 11 438.0
426.25
148.0
变异起源 DF
区组
2
品种
3
误差
6
总变异
II
12
10
12
15
L5
III
7
9
10
7
Tv
24
27
33
33
Tv..
168 132 231
147
Tr.
T L..
35 49 33
117 T=678
(1) L1试验点品种比较试验旳方差分析 • 分别对表10-3早稻多点试验各试验点小区产量成果（kg）
进行方差分析，计算出各试验点相应旳平方和、自由度和 均方。
F值
msr/ mse msl/ mse msv/ mse msvl/ mse
二、品种多点试验成果统计分析示例
• 设有一种早稻品种多点试验，供试品种四个（V＝
4），以V1、V2, V3, V4表达，其中V4品种为对照， 三次反复（r＝3），以I、II、III表达，随机区 组试验设计，分别在五个试验点（L＝5）同步进 行，以L1, L2, L3, L4, L5表达，小区面积为100m2， 试验小区产量成果（kg）列于表10-3。
自由度 10 4 3 12 30 59
均方 10.850 172.275 126.600 29.475 13.783
F
4.295* 2.139*
第10章单因素方差分析
第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。
试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。
已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。
(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。
(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。
(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。
本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。
自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。
图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。
在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。
Analysis of variance，方差分析。
Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。
Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。
Barlett’s test，巴特尼特检验。
统计学第十章(方差分析)
第十章方差分析一、单项选择题：1.在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异。
A.总离差平方和B.组间离差平方和C.抽样误差D.组内离差平方和2.∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛k1i 21-j ij n i i x x ——是（ ）。
A.组内平方和 B.组间平方和C.总离差平方和D.因素B 的离差平方和3.∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛k1i 21-j ij n i i x x ——是（ ）。
A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和D.总方差4.单因素方差分析中，计算F 统计量，其分子与分母的自由度各位（ ）。
A.k ，nB.k ，n-kC.k-1，n-kD.n-k ，k-15.方差分析基本原理是（ ）首先提出的。
A.费雪B.皮尔逊C.泰勒D.凯特勒6.组间离差平方和反映的是（ ）。
A.抽样误差B.系统误差C.随机误差D.总误差7.组内离差平方和反映的是（ ）。
A.抽样误差B.系统误差C.随机误差D.总误差8.单因素方差分析的对立和假设是（ ）。
A.μμμk 21===B.差距不显著，，，μμμk 21C.不是全部相等，，，μμμk 21D.全部不相等，，，μμμk 219.单因素方差分析的零假设是（ ）。
A.μμμk 21===B.差距不显著，，，μμμk 21C.不是全部相等，，，μμμk 21D.全部不相等，，，μμμk 2110.在方差分析中，若F k -n 1,-k 05.0F ）（>，则统计推论是（ ）。
A.各组间的总体均数不全相等B.各组间的总体均数都不相等C.各组间的样本均数都不相等D.各组间的总体方差不全相等11.为研究温度对菌种生产率的影响，将温度控制在三个水平上，则应该使用（ ）。
A.单因素方差分析B.双因素方差分析C.独立样本t 检验D.三因素方差分析12.为分析学历对收入的影响，调查了50个职工，按学历高低分成四组，使用单因素方差分析，则F 检验临界值为（ ）。
第10章方差分析习题解答
第10章方差分析习题解答一．选择题1. 下列关于方差分析的说法不正确的是( A ).A. 方差分析是一种检验若干个正态分布的均值和方差是否相等的一种统计方法.B. 方差分析是一种检验若干个独立正态总体均值是否相等的一种统计方法.C. 方差分析实际上是一种F 检验.D. 方差分析基于偏差平方和的分解和比较.2. 设,1,2,,;1,2,,ij i ij i X i a j n µε=+== ，2(0,)ij i N εσ ，且ij ε相互独立，进行单因子方差分析是( C ) . A . 对假设012:a H µµµ=== 作检验. B . 对假设222012:a H σσσ=== 作检验. C . 假定2(0,)ij N εσ ，2σ为未知，对假设012:a H µµµ=== 作检验. D . 假定2(0,)ij N εσ 12a µµµµ==== ，µ为未知，对假设222012:a H σσσ=== 作检验.3. 对因子A 取r 个不同的水平进行试验，每个水平观测t 次，结果,1,2,,,1,2,,ij y i r j t == .对()ij r t y ×的偏差有分解：2211111()()()ˆr t r trTijij i i E A i j i j i SS y y y y t y y SS SS ⋅⋅======−=−+−=+∑∑∑∑∑ 其中11111, r t ti i ij i j j y y y y rt t ⋅=====∑∑∑对假设012:r H µµµ=== 进行检验时，如下说法错误 的是( B ) .A .E SS 表示0H 为真时，由随机性引起的y ij 的波动.B .A SS 表示0H 为真时，所引起的由各水平间ij y 波动.C . E SS 表示各水平上随机性误差的总和.D . A SS 表示各水平之间系统误差的总和.4. 对某因素进行方差分析，由所得试验数据算得下表： 方差来源 平方和自由度F 值组间 4623.7 4 组内 4837.25 15 总和9460.9519采用F 检验法检验，且知在0.05α=时F 的临界值0.05(4,15) 3.06F =，则可以认为因素的不同水平对试验结果( B ).A. 没有影响.B. 有显著影响.C. 没有显著影响.D. 不能作出是否有显著影响的判断.5. 设在双因子A 和B 的方差分析模型：ij i j ij X µαβε=+++，10ai i α==∑，10bjj β==∑，2(0,)ij N εσ ，且ij ε相互独立，检验假设：0112:,0rH ααα==== ，和0212:,0sH βββ==== 检验时，下列结论中错误的是( D ) . A . 若拒绝域01H ，则认为因子A 的不同水平对结果有显著影响. B . 若拒绝域02H ，则认为因子B 的不同水平对结果有显著影响.C . 若不拒绝01H 和02H ，则认为因子A 与B 的不同水平的组合对结果无显著影响.D . 若不拒绝01H 或02H ，则认为因子A 与B 的不同水平组合对结果无显著影响.6. 某结果可能受因素A 及B 的影响.现对A 取4个不同的水平, B 取3个不同水平,对A 与B 每一种水平组合重复二次试验,对观测结果的双因子有交互作用的方差分析模型计算得:44.3A SS =，11.5B SS =，27.0A B SS ×=，65.0E SS =.且0.05(2,12) 3.89F =，0.05(3,12) 3.49F =，0.05(6,12) 3.00F =,则在显著性水平0.05α=时,检验的结果是( B ).A. 只有A 因素对结果有显著性影响.B. 只有B 因素对结果有显著性影响.C. 只有交互作用对结果有显著性影响.D. A 、B 及A 和B 的交互作用都对结果无显著性影响.7.设某结果可能受因素A 及B 的影响,现对A 取4个不同的水平, B 取3个不同的水平配对作试验,按双因子方差分析模型的计算结果: 5.29A SS =， 2.22B SS =，7.77T SS =.且0.05(3,6) 4.80F =，0.05(2,6) 5.10F =,则在显著性水平0.05α=时,检验的结果是（ C ). A. 只有A 因素的不同水平对结果有显著影响. B. 只有B 因素的不同水平对结果有显著影响.C. A 的不同水平及B 的不同水平都对结果有显著影响.D. A 、B 因素不同水平组合对结果没有显著影响.8. 对因子A 取r 个不同水平，因子B 取s 个不同水平，A 与B 的每种水平组合重复次试验后，对结果进行双因子有重复试验的方差分析，则以下关于各偏差平方和自由度的结论错误的是( D ).A. A 因子的偏差平方和A SS 的自由度为.B.B 因子的偏差平方和B SS 的自由度为.C. 交互作用的偏差平方和A B SS ×的自由度为(1)(1)r s −−.D. 误差平方和E SS 的自由度为(1)(1)(1)r s t −−−. 二．填空题9. 进行单因素方差分析的前提之一是要求表示r 个水平的r 个总体的方差 相等 ． 10. 进行方差分析时，将离差平方和211()in r Tiji j SS XX ===−∑∑表示为TA E SS SS SS =+，其中A SS =21()ri ii n XX =−∑，E SS =211()in riji i j XX ==−∑∑．11. 进行方差分析时，将离差平方和211()in rT iji j SS XX ===−∑∑表示为TA E SS SS SS =+，则2ESS σ~2(n r)χ−．12. 进行方差分析时，如果所有2~(,)ij X N µσ，则222111()in r T iji j SSXX σσ===−∑∑~21(1)ri i n χ=−∑．13. 进行方差分析时，选取统计量2 1211()()(1)()(1)()i ri i i A n rE ij i i j n r n X X SS r FSS n r r X X ===−−−==−−−∑∑∑，则F ~(r 1,n r)F −−．14. 在单因素方差分析中，如果因素A 有a 个水平，其中在第i 个水平下作了i n 次试验，12a n n n n +++= ，总的偏差平方和T SS 分解为A SS 和E SS ，则A SS 的自由度为1a −，E SS 的自由度为n a−，检验统计量A F =/(1)/(1)A E SS a SS n −−，若A F 大于给定的临界值水平，则说明 因素A 的a 个水平对试验指标有显著影响 ．15. 某企业准备用三种方法组装一种新的产品，为确定哪种方法每小时生产的产品数量最多，随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中一种方法．在显著水平α=0.05下，通过对每个工人生产的产品数量进行方差分析得到下面的部分结果．请完成方差分析表，由于 1.70 3.354131F =< 或P=0.245946>0.05 ，可判断不同的组装方法对产品数量的影响 不显著 （显著，不显著）． 差异源 SS df MS F P-value F crit 组 间 420 2 210 1.70 0.245946 3.354131 组 内 3836 27 142.07 — — — 总 计425629————16. 在双因素方差分析中，因素A 有三个水平，因素B 有四个水平,每个水平搭配各做一次试验．请完成下列方差分析表，在显著水平α=0.05下，由于0.05(25.7,6)508.1A F F ==>，可判断因素A 的影响 显著 （显著，不显著）；由于0.05(35.8,6)405.8B F F ==>，可判断因素B 的影响 显著 （显著，不显著）． 来 源 平方和 自由度 均方 F 值 因素A 54 2 27 5.78 因素B 82 3 27.33 5.85 误差e 28 6 4.67 — 总 和16411——17. 在某种化工产品的生产过程中，选择3种不同的浓度：1A =2%，2A =4%，3A =6%；4种不同的温度：1B =100C ，2B =240C ，3B =380C ，4B =520C ；在每种浓度与温度配合下各做两次试验，观测产品的收取率．现由试验数据计算出如下结果：总偏差平方和147.8333T SS =，因素A （浓度）的偏差平方和44.3333A SS =，因素B （温度）的偏差平方和11.50B SS =，交互作用A B ×的偏差平方和27.00A B SS ×=，则误差平方和E SS = 65 ，检验统计量A F = 4.09 ， B F = 0.708 ，A B F ×= 0.831 ，在显著性水平0.05α=下．由于0.05(2,4.0912) 3.89A F F ==>，可判断因素A 的影响 显著 （显著，不显著）；由于0.05(30.7,12)908 3.4B F F ==<，可判断因素B 的影响 不显著 （显著，不显著）；由于0.050.831(6,12) 3.00A B F F ×==<，可判断因因素A 与因素B 的交互作用影响不显著 （显著，不显著）．18. 为了分析不同操作方法生产某种产品节约原料是否相同，在其余条件尽可能相同的情况下，安排了五种不同的操作方法生产某种产品，测量原料节约额，得到实验结果如下表所示．在显著水平α=0.05下，由于0.00410.05P =<，可判断不同操作方法生产某种产品节约原料 有 （有，无）显著差异.差异源 SS df MS F P-value F crit 操作方法55.5370 4 13.8842 6.05900.00414.8932组内 34.3725 15 2.2915总计89.90951919. 对腐乳的味道、口感等只能通过感观来确定其产品质量.为了检验专业评议员对腐乳评分标准是否存在显著差异，不同的腐乳质量是否存在显著差异，得到4位专业评议员对4种腐乳的评分结果，得到实验结果如下表所示．在显著水平α=0.05下，由于0.0005690.05P =<，可判断专业评议员对腐乳评分标准 有 （有，无）显著差异；由于 1.020.0505E P −=<，可判断不同的腐乳质量 有 （有，无）显著差异.差异源 SS df MS F P-value F crit 专业评议员54 3 18.0000 16.2 0.000569 3.8625 腐乳 148 3 49.3333 44.4 1.02E-053.8625误差 10 9 1.1111总计2121520．为了分析时段、路段以及时段与路段的交互作用对行车时间的影响，某市一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期驾车试验，共获得20个行车时间数据，得到实验结果如下表所示．在显著水平α=0.05下，由于 5.700.056E P =<−，可判断时段因素对行车时间的影响 显著 （显著，不显著）；由于0.0001.0805P =<，可判断路段因素对行车时间的影响 显著 （显著，不显著）；由于0.9118.0105P =>，可判断时段与路段因素对行车时间交互作用的影响 不显著 （显著，不显著）． 差异源SSdfMS F P-value F crit时段 174.05 1 174.05 44.0632 5.7E-06 4.49399 路段 92.45 1 92.45 23.4050 0.00018 4.49399 交互 0.05 1 0.05 0.01260.911814.49399内部 63.20 16 3.95总计329.7519三．应用计算题21．比较四种肥料1234,,,A A A A 对作物产量的影响，每一种肥料做5次试验，得产量（公斤/小区）如下表．试检验四种肥料对产量的影响有无显著差异?肥料 1A2A3A4A样 本 观 测 值5.56.5 8.0 5.5 5.0 6.0 6.5 6.5 6.07.0 7.5 6.0 4.5 6.5 7.0 5.0 7.05.56.05.5解：设使用四种不同肥料后作物的产量2~(,),1,2,3,4i i Y N i µσ=．则需检验的问题为43210:µµµµ===H ,:1H 4321,,,µµµµ不全相等.首先由样本直接计算有关值如下表作物产量计算表肥料样本观测值行和i A T1A 5.5 5.0 6.0 4.5 7.0 28 2A 6.5 6.0 7.0 6.5 5.5 31.5 3A 8.0 6.5 7.5 7.0 6.0 35 4A5.56.56.05.05.528.5 411in ij i j T x ===∑∑1232756.45T C n ==4211771.5756.4515.05in Tiji j SS xC ===−=−=∑∑22222412831.53528.5756.45 6.255555iA A i iT SS C n ==−=+++−=∑15.05 6.258.8E T A SS SS SS =−=−=列出相应的方差分析表．作物产量方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方MS F 值临界值因素A 6.25 3 2.08 3.79 0.05(3,16) 3.24F = 0.01(3,16) 5.29F =误差 8.8 16 0.55 总和15.0519由于0.053.79(3,16)A F F =>，认为四种肥料对产量有显著影响．22．取四个种系未成年雌性大白鼠各三只，每只按一种剂量注射雌激素，一月后，解剖秤其子宫重量，结果如下表．试检验不同剂量和不同白鼠种系对子宫重量有无显著影响？解设注射不同剂量的不同白鼠种系的子宫重量2~(,),1,2,3,4ij i j Y N i µαβσ++=；1,2,3j =．则需检验的问题为01234:0A H αααα==== ，11234:,,,A H αααα不全为零 0123:0B H βββ===，1123:,,B H βββ不全为零为了计算各平方和，列出如下表．子宫重量计算表本题中4,3,12a b n ab ====22109810046712T C n ===4321111354210046713075Tiji j SS xC ===−=−=∑∑242222.11(367225314192)1004676457.66733i Ai T SS C ==−=+++−=∑ 23.22211(260358480)100467607444j Bj T SS C==−=++−=∑130756457.6676074543.33E T A B SS SS SS SS =−−=−−=得到相应的无交互作用双因素方差分析表．子宫重量双因素方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方MS F 值 临界值因素A（种系） 6457.6732152.5623.770.05(3,6) 4.76F =0.01(3,6)9.78F =因素B60742303733.540.05(2,6) 5.14F =（剂量）0.01(2,6)10.92F =误差E 543.33 6 90.56 总和1307511因为0.0123.77(3,6)A F F =>，认为种系对子宫重量有极显著影响；0.0133.54(2,6)B F F =>，认为剂量对子宫重量有极显著影响．由此可知，种系和剂量对子宫重量都有极显著影响．23．为检验广告媒体和广告方案对产品销售量的影响，一家营销公司做了一项试验，考察三种广告方案和两种广告媒体，获得的销售量数据如下表．试检验广告方案.广告媒体或其交互作用对销售量的影响是否显著．广告方案广告媒体报纸电视 A8,12 12,8 B22,14 26,30 C10,1818,14解 设不同广告方案和广告媒体的产品销售量2~(,)ij i j ij Y N µαβγσ+++，1,2i =,3；1,2j =．则需检验的问题为0111221223132:0A B H γγγγγγ×======，1111221223132:,,,,,A B H γγγγγγ×不全为零. 0123:0A H ααα===，1123:,,A H ααα不全为零, 012:0B H ββ==，112:,B H ββ不全为零, 本题计算过程如下表：销售量数据方差分析计算表2A22,14 (36) 26, 30(56) 9284643A10,18 (28)18, 14(32)603600 列和..j x84 108 154 136642..j x705611664 1872032221113616ijti j t x====∑∑∑32221111()307212ijt i j t x ====∑∑∑ 322.117040ij i j x===∑∑36163072544T SS =−=11336430723444A SS =×−=1187203072486B SS =×−=17040307234448562A B SS ×=×−−−=得如下方差分析表：销售量数据双因素方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 广告方案A 344 2 172 10.75 广告媒体B 48 1 48 3 交互效应A B ×56 2 28 1.75 误差 96 6 16 总和54411查表得0.05(2,6) 5.14F =，0.05(1,6) 5.99F =，因此，广告方案对产品销售量的影响显著；广告媒体对产品销售量的影响不显著；广告方案和广告媒体对产品销售量没有交互作用．。
最新人大版_贾俊平_第五版_统计学_第10章_方差分析PPT课件
பைடு நூலகம்
10.1.3 方差分析中的基本假定 1.每个总体都应服从正态分布
• 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态 分布总体的简单随机样本。
• 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2.各个总体的方差必须相同
• 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽 取的
10.2 单因素方差分析
10.2.1 数据结构
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1
x11 x21 : : xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平Ak
x1k x2k : : xnk
10.2.2 分析步骤
1.提出假设
• 一般提法 H0: m1 = m2 =…= mk (因素有k个水平） H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的， 称为系统误差
2.两类方差 （1）组内方差（误差平方和 、残差平方和、 SSE）
– 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 – 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 – 组内方差只包含随机误差
（2）组间方差（因素平方和、SSA）
– 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 – 比如，四种颜色饮料销售量之间的方差 – 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
水平A ( i ) 粉色(A2) 橘黄色(A3)
绿色(A4)
1
26.5
31.2
27.9
30.8
第十章协方差分析
第十章协方差分析协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种多元统计方法，用于在考虑一个或多个共变量（covariates）的情况下，评估一个或多个自变量（independent variables）对于因变量（dependent variable）的影响。
在实际研究中，常常会遇到一些与因变量相关但未被考虑的其他变量，而这些变量可能会对因变量与自变量之间的关系产生干扰。
ANCOVA通过引入共变量来修正这种干扰，从而提高自变量对因变量的解释效果。
ANCOVA的基本思想是通过构建一个线性回归模型，将自变量、共变量以及其交互项作为预测变量，将因变量作为被预测变量，进而评估自变量对因变量的影响。
在这个过程中，共变量的作用是控制或削弱对因变量的影响，从而更准确地评估自变量的效果。
在进行ANCOVA分析之前，需要满足一些前提条件。
首先，因变量和自变量之间应该存在线性关系。
其次，各个共变量与自变量和因变量之间也应该存在线性关系。
最后，自变量与因变量之间的差异不能完全由共变量解释。
在进行ANCOVA分析时，需要进行一些统计检验来评估因变量与自变量、共变量之间的关系。
例如，可以计算自变量和因变量之间的相关系数，使用方差分析来比较组间差异，以及计算共变量与因变量的相关系数等。
ANCOVA的优势在于可以更准确地评估自变量对因变量的影响，同时控制其他可能干扰的因素。
此外，ANCOVA还可以用于提高实验的统计效力，减少研究中可能出现的偏差。
然而，ANCOVA也存在一些局限性。
首先，ANCOVA要求共变量与自变量和因变量之间存在线性关系，因此如果数据不符合线性假设，则ANCOVA可能不适用。
其次，ANCOVA要求样本量足够大，才能保证结果的可信度。
此外，ANCOVA对于共变量和自变量之间的交互作用也存在敏感性。
总结来说，协方差分析是一种有效的多元统计方法，可以用于控制共变量的干扰，评估自变量对因变量的影响。
第十章方差分析-精选文档
X X 2 X X X X X X t t
2
X X 2 X X X X X X t
2 t
X X X X X X
1、离差平方和的计算
定义式
对每一X有： X X X X X X t t 对某一组n个数则有：
t
XX XX X X X X X X X X
n n
n
t 2
n
2
t
t
对k个组，又有：
组间变异 实验因素 随机误差
组间变异 ? 组内变异
XX
t
总变异
X X
i t
XX
i
组内变异
随机误差 实验误差 个体差异
二、基本过程
• 总变异： – 总方差、变异数（V）或均方（MS）
S
2 t
XX X X
2 t
2
t
N
dft
（一）总变异的分解
10 10
9
可 能 性 二
Xt 7
2
3
3 3 一 4 5 6 7 三 8 9 10 11 12 五
2
1 2
A＜B
① 组间差异：大 ② 组内差异：小
A＞B
（一）什么是方差分析
• 含义
– 对实验中总变异进行分解的方法。 – 将总变异分解为各变异原因组成部分的数学 方法。
（二）各变异的原因
• 例10-1：9名学生不同学习方法的结果。 学习方法 A B C X 6 5 7 11 9 10 5 4 6
第十章方差分析重复测量资料的方差分析
第十章方差分析重复测量资料的方差分析重复测量设计是一种常用的实验设计方法，特指对同一组被试在不同时间点或不同条件下进行多次测量的实验。
在这种实验设计中，同一组被试的多次测量数据间存在相关性，因此不能简单地使用传统的方差分析方法来分析数据。
为了解决这个问题，可以使用重复测量方差分析方法。
重复测量的方差分析方法可以分为两种：一元重复测量方差分析和多元重复测量方差分析。
一元重复测量方差分析是指只有一个自变量的重复测量设计，而多元重复测量方差分析是指有两个及以上自变量的重复测量设计。
一元重复测量方差分析的基本模型是：Yij = μ + αi + βj + (αβ)ij + εij其中，Yij是第i组第j次测量的观察值，μ是总均值，αi是第i 组的效应，βj是第j次测量的效应，(αβ)ij是第i组第j次测量的交互效应，εij是误差项。
在这个模型中，我们要检验的主要效应是组效应，即是否存在组间差异。
同时，还可以检验时间效应、组内差异以及组间×时间的交互效应。
检验组效应的方法可以使用F检验或t检验。
F检验是比较组间均值之间的差异是否显著，而t检验则是比较每个组的均值与总体均值之间的差异是否显著。
另外，还可以使用Levene检验来检验组间方差的齐性。
如果数据满足方差齐性的假设，则可以使用传统的重复测量方差分析方法进行分析；如果不满足方差齐性的假设，则可以使用非参数的方法，如Friedman检验。
多元重复测量方差分析的基本模型是：Yijk = μ + αi + βj + γk + (αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijk其中，Yijk是第i组第j次第k条件下的观察值，μ是总均值，αi 是第i组的效应，βj是第j次测量的效应，γk是第k条件的效应，(αβ)ij、(αγ)ik、(βγ)jk和(αβγ)ijk是交互效应，εijk是误差项。
多元重复测量方差分析的检验方法与一元重复测量方差分析类似，可以使用F检验或t检验来检验各个主要效应的显著性。
方差分析介绍课件
03 方差分析可以应用于各种 类型的数据，包括定量数 据和定性数据。
04 方差分析的结果可以提供 关于数据分布和差异的详 细信息，从而帮助研究人 员更好地理解数据。
方差分析的应用场景
比较不同组别的均值差异 检验多个总体的方差是否相等 研究因素对结果的影响程度 评估实验结果的可靠性和准确性
方差分析的假设条件
02
方差齐性：各组方差相等
03
独立性：数据点之间相互独立
04
线性关系：因变量与自变量之间存在线性关系
3
方差分析的结果解释
方差分析的结论
01
01
方差分析可以检验不同组别之 间的差异是否显著
02
02
方差分析可以确定哪些组别之 间的差异是显著的
03
03
方差分析可以帮助我们确定哪 些因素对结果有显著影响
04
04
方差分析可以帮助我们确定哪 些因素对结果的影响程度最大
方差分析的局限性
假设条件：方差分析需要满 足一系列假设条件，如正态 性、方差齐性等，不满足假 设条件可能导致结果不准确。
线性关系：方差分析只能 处理线性关系，对于非线 性关系，需要进行适当的 数据转换。
多重比较：方差分析只能 比较各组间的平均差异， 无法进行多重比较，需要 进一步进行事后检验。
混杂因素：方差分析无法 控制混杂因素的影响，可 能导致结果不准确。
方差分析的实际应用
比较不同组别的 平均数差异
检验不同组别的 方差是否相等
确定影响因素的 主次顺序
预测和控制实验 结果
优化生产过程和 改进产品质量
评估市场调研结果 和制定营销策略
谢谢
02ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
计算组内方差： 将各组数据分别 进行平方和计算， 然后除以组内数 据个数，得到组 内方差。
【管理】方差分析-教案
方差分析教案章节一：方差分析简介1.1 方差分析的概念方差分析的定义方差分析的应用场景1.2 方差分析的数学原理方差的定义离差平方和与总平方和的计算1.3 方差分析的假设条件随机样本的独立性正态分布同方差性章节二：单因素方差分析2.1 单因素方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算总平方和、组内平方和和组间平方和计算F统计量和P值2.2 单因素方差分析的判断标准F统计量的分布P值的含义拒绝原假设的条件2.3 单因素方差分析的应用案例比较不同品牌的广告效果分析不同地区的销售数据章节三：多因素方差分析3.1 多因素方差分析的类型完全随机设计方差分析随机区组设计方差分析析因设计方差分析3.2 多因素方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算总平方和、组内平方和和组间平方和计算F统计量和P值3.3 多因素方差分析的判断标准F统计量的分布P值的含义拒绝原假设的条件章节四：协方差分析4.1 协方差分析的概念协方差的定义协方差分析的目的4.2 协方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算协方差计算F统计量和P值4.3 协方差分析的应用案例分析不同年龄段、性别的销售数据研究不同治疗方法的疗效差异章节五：方差分析的软件操作5.1 SPSS软件进行方差分析SPSS软件的安装与操作界面数据导入与变量设置方差分析操作步骤5.2 R软件进行方差分析R软件的安装与操作界面数据导入与变量设置方差分析函数与步骤章节六：重复测量的方差分析6.1 重复测量方差分析的概念重复测量设计的定义重复测量方差分析的目的6.2 重复测量方差分析的步骤数据收集与整理计算各时间点的均值和方差计算重复测量误差方差计算组间平方和和组内平方和计算F统计量和P值6.3 重复测量方差分析的应用案例研究药物在不间点的疗效差异分析学生在不同学期间的学业成绩变化章节七：非参数方差分析7.1 非参数方差分析的概念非参数方差分析的定义非参数方差分析的适用场景7.2 非参数方差分析的方法秩和检验中位数比较非参数方差分析软件操作7.3 非参数方差分析的应用案例比较两个独立样本的成绩分布章节八：方差分析的扩展8.1 方差分析的衍生方法协方差结构分析多维方差分析混合效应模型分析8.2 方差分析的改进方法加权最小二乘法广义估计方程贝叶斯方差分析8.3 方差分析在实际应用中的挑战数据不符合正态分布样本量较小缺失数据处理章节九：方差分析的实践应用9.1 方差分析在市场营销中的应用产品定价策略分析广告投放效果评估客户满意度调查分析9.2 方差分析在医学研究中的应用临床试验疗效分析疾病危险因素分析医疗质量评估9.3 方差分析在其他领域的应用教育领域：比较不同教学方法的成效农业领域：分析不同种植方法的产量差异章节十：方差分析的评估与报告10.1 方差分析的结果评估统计显著性判断效应大小评估结果稳定性分析报告结构与内容结果呈现与解释局限性与建议重点和难点解析重点环节一：方差分析的假设条件方差分析的假设条件是正态分布、同方差性和随机样本独立性。
语言统计第十章 F分布及其应用
为了计算方便，一般用下面的公式
第五步： 求组内平方和 。由于总平方和是组 内和组间平方和之和， 所以计算出 和 之后，两者相减，就可得出
当然， 也可以用公式求出 另一个简单一些的公式是
， 公式为 〔10.6〕
〔10.7〕
第六步：在组间和组内平方和的根底上， 计算总体的组间和组内方差估计值。 组间均方为
第二节 F分布的应用——方差的同质性检验
分布的应用主要有两类：一是检验两个样本所来自
的总体的方差是否相等，即检验方差的同质性；二
是方差分析。
F检验，其过程如下：
第一步： 陈述零假设 和备择假设 。在F检验中，
零假设为
，而备择假设的形式那么要视所
预测的差异的方向来定：如果是无方向的， 那么为
〔即双尾检验〕 ； 如果是有方向的， 那么
为
或
〔即单尾检验〕 。
第二步： 设定显著水平 。
第三步：分别计算两个样本的方差
第四步：计算检验统计值，即两样本方差的比值
F ，计算F值时，用较大的方差作分子，用较小的方差作 分母，因而F值总是大于1。
第五步：根据自由度 〔
〕 以及所设定的显著水
平， 从F分布中查出临界值。
第六步：比较检验统计值和临界值。如果检验统计值等于
3.双因素方差分析的条件 双因素方差分析仅是单因素方差分析的扩 展，其应用条件是一样的，即：
〔1〕样本为独立样本； 〔2〕总体分布为正态；
4.双因素实验的数据结构 双因素实验的典型数据结构如图10.1所示：
5.双因素方差分析步骤 第一步： 陈述零假设
双因素方差分析的零假设就要涉及两个自变量及其交 互作用三个方面：
F分布与方差有关。假设我们从一个正态总体中， 或者从两个方差相同的正态总休中， 抽取两个样
第10章单因素方差分析
第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。
试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。
已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。
(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。
(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。
(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。
本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。
自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。
图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。
在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。
Analysis of variance，方差分析。
Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。
Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。
Barlett’s test，巴特尼特检验。
第十章 方差分析
表中每个水平的平均值与 总均值之间差距的平方和
构造检验的统计量
(三个平方和的关系)
总离差平方和(SST)、组间平方和 (SSA)、
组内平方和(SSE)之间的关系：
x
k i1 j1
3;xji xi
2 k 2 k i1 i1 j1
第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k 相应的 临界值 Fa ； 若F>Fa ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的 差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著 影响； 若F<Fa ，则不能拒绝原假设H0 ，表明所检验 的因素对观察值没有显著影响 ；
统计决策
（标准二）
如果概率P值小于显著性水平α，则拒绝零 假设，认为控制变量不同水平下观测变量 各总体均值存在显著差异，表明控制变量 对观测变量有显著影响； 如果概率P值大于显著性水平α，则不能拒 绝零假设，认为控制变量不同水平下观测 变量各总体均值不存在显著差异，表明控 制变量对观测变量没有显著影响；
方差分析的基本思想和原理
(两类方差)
数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为 方差 组内方差(within groups)
因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，采用报纸广告时产品销量的方差 组内方差只包含随机误差 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，四种广告形式之间的产品销售量的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
如果组间均方显著大于组内均方，说明各水平(总
体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差； 表明观测变量的变动主要是由控制变量引起的。
构造检验的统计量
(计算检验统计量 F )
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第十章
多组数值变量比较北京大学公共卫生学院
流行病学与卫生统计学系
2015-4
完全随机设计（单因素实验设计）
（一）分组方式
完全随机设计有两种分组方式：
1将受试对象随机分配到各处理组中； 2分别从不同总体中进行随机抽样，获取代表各不同总体的随机样本。
（二）应用
根据试验效应（指标）的不同
均数的比较
率的比较
构成比（分布）的比较
危险度的比较
生存资料的比较
可以是多个效应(指标)的比较。
（三）特点
实验设计和统计分析比较简单；
只能分析比较一个因素的实验效应。
受试对象有相同的机会被分配
到不同的处理水平中。
实验的误差通常表现为组内误
差（个体差异）。
实施方案
1.确定处理水平。
2.随机选择一定数量的受试对象。
3.将选定的受试对象随机地分配到不同处理水平和不同处理因素水平的组合（处理组）。
假设检验两组数值变量比较●正态性、等方差假设
t-检验
●正态性假设成立、不等方差
调整的t-检验
●正态性、等方差假设不成立
Wilcoxon秩和检验●在正态性、等方差假设成立时t-检验的效
率是好的。
假设检验多组数值变量比较●正态性、等方差假设
方差分析
●正态性、等方差假设不成立
Kruskal-Wallis秩和检验
例9.1为研究铅对儿童神经行为的影响，研究者在某铅矿区对儿童的血铅水平及神经行为评价指标手指敲击测验进行了测定，第一年和第二年儿童的血铅水平均大于等于40 mg/dl的17名，为暴露组(group=2)，第一年儿童的血铅水平均大于等于40mg/dl、第
二年儿童的血铅水平小于40mg/dl的15名，
为既往暴露组(group=3)，第一年和第二年儿童的血铅水平均小于40mg/dl的15名，为对
照组(group=1)，神经行为评价指标为第二年的手指敲击测验得分。
例9.1
●单因素完全随机设计
●一个处理因素 包括三水平●效应指标为一个数值变量
●用单因素方差分析的方法进行
三个组均数的比较
第一节
方差分析的基本思想
假定
一、离均差平方和的分解
离均差平方和
自由度
均方
F统计量
F分布
二、 方差分析的步骤 ●提出检验假设及规定检验水平α的大小。
H 0: µ1=µ2=…=µa ，各组所代表的总体均数相等； H 1: µi ≠µh ，至少有一个不等式成立。
i ,h ＝1,2,…,a 。
i ≠h 。
＝0.05。
●
计算各种离均差平方和、自由度及均方。
计算F 统计量。
●
确定P 值并作出统计学推断。
●结合专业知识和统计学推断给出专业的解释。
第二节
单因素方差分析
一、条件
●单因素完全随机设计
●效应指标为一个数值变量●独立性
●正态性
●等方差
单因素方差分析步骤
单因素方差分析步骤
单因素方差分析步骤
3．根据组间和组内的自由度查附表3 F临界值表，确定P值并作出统计学推断。
4. 专业结论
二、方差齐性检验
方差齐性检验
例9.1的方差齐性检验
数据格式
SPSS统计分析软件
在统计软件输出结果中，P值一栏经常会出现0.000，实际上这是由于软件取小数点的为数和四舍五入的原因造成的，当遇到这样的情况时，应将其写为<0.001。
第三节
均数之间的多重比较
多重比较
提供了很多统计方法
●实际上这反映了目前还没有一种可以在任
何条件下都有很好效果的方法
●从不同的角度上控制多重比较时发生Ⅰ类
错误发生概率的方法。
分类
●从使用的原理分类
多重两两比较的检验
对极差进行亚组同质性的检验●从比较的目的分类
各组均数间任意两组间的比较
一个对照组与其它组之间的比较
SNK法
SNK法
SNK法
SNK法
Bonferroni 法
Bonferroni 法
Tukey法
Dunnett-t检验处理组与对照组的比较。