几种特殊类型行列式及其计算

1 行列式的定义及性质

1.1 定义[3] n 级行列式

1112121

22

212

n n n n nn

a a a a a a a a a

等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12

12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12

n j j j 是

1,2,

,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当

12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成

()

()

121212

1112121

22

21212

1n n n

n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

这里

12

n

j j j ∑

表示对所有n 级排列求和.

1.2 性质[4]

性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.

性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.

性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.

性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.

性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.

2 行列式的分类及其计算方法

2.1 箭形（爪形）行列式

这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.

例1 计算n 阶行列式

()123231111001

0001

n n n

a a D a a a a a =≠.

解 将第一列减去第二列的

21a 倍，第三列的3

1a 倍第n 列的

1

n

a 倍，得

1

223

111110

000000

n n n

a a a a D a a ⎛⎫

--- ⎪⎝

⎭

=

1221n

n

i i i i a a a ==⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

∑

∏. 2.2 两三角型行列式

这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当

b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算.

例2 计算行列式

123n n a c c c b a c c D b

b a

c b

b

b

a =. 解 当

b

c =时

123n n

a b b b b a b b D b

b a b b

b

b

a =. 将第2行到第行n 都减去第1行，则n D 化为以上所述的爪形，即

112131

0000

n n a b b b

b a a b D b a a b

b a a b

--=----.

用上述特征1的方法，则有

()112

12131

100000000

n

i i n n a b b

a

a b

b a a b D b a a b b a a b

=-----=

----∑

()()

()()()1111

1

n n

i i i n i i a b b a b a b a b a b -+===-+----∑∏.

当b c ≠时，用拆行(列)法[9]，则

112233000n n

n x a a a x a a a b x a a

b

x a a D b

b x a b b x a b

b

b

x b

b

b

b x b

++==++-

1

12233000n

x

a a x a a a

b x a b x a a

b b x b b x a b

b b

x b

b b

b

b

=+-

()121100

0n n n x a a b a x a a

x b D a b a b a x a a b

-----=+----.

化简得

()()()()1211n n n n D b x a x a x a x b D --=---+-. ()1

而若一开始将n x 拆为n a x a +-，则得

()()()()1211n n n n D a x b x b x b x a D --=---+-. ()2

由()()()()12n n x b x a ⨯--⨯-，得

()()111n

n n i

j i j D a x b b x a a b ==⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦

∏∏. 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.

例 3 计算行列式

()2n d

b

b b

c x a a

D n c

a x a c

a

a

x

=≥. 解 将第一行a b ⨯，第一列a

c

⨯，得

22

n a d a a a bc a x a a bc D a

a x a a a

a

a

x

=.