导数练习题(含答案)

导数练习题

1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．

(1)求f (x )的解析式；

(2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪

⎧

f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，

f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，

f ′(0)＝c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1，

b ＝0，

c ＝－3.

所以f (x )＝x 3－3x .

(2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )．

又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3＋6t 2－6. 设g (t )＝－2t 3＋6t 2－6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2.

当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表：

作出函数草图(图略)，由图可知：

①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6

(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1

e

，e]上的最大值；

(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，3

2

]，x ∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取

值范围．

解 (1)由题意知，f (x )＝2ln x －12x 2，f ′(x )＝2

x －x ＝2－x 2x ，

当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1

e

≤x <2；令f ′(x )<0，得2

e

，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.

(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，3

2]，x ∈(1，e 2]都成立，则

a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，3

2]，x ∈(1，

e 2]都成立，令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min .∵x ∈(1，e 2]，∴ln x >0， ∴h (a )在[0，3

2]上单调递增，∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2]都成立．

∵1

(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x

1＋x

(x ≥0)．

(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x

1＋nx .

下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，g 1(x )＝x

1＋x

，结论成立．

②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x

1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，

g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x

1＋(k ＋1)x

，即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N *成立．

(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x

(x ≥0)， 则φ′(x )＝11＋x －a

(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2

，

当a ≤1时，φ′(x )≥0(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax

1＋x

恒成立(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)．

当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0，∴φ(x )在(0，a －1)上单调递减∴φ(a －1)<φ(0)＝0. 即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax

1＋x

不恒成立， 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．

(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n

n ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)

＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：

方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则1

n ＋1

下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，1

2

②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1

k ＋1

那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2

k ＋2

即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N *成立．

方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1