资产组合的风险与收益

《资产组合的风险与收益》微课设计

一、教学目标

主要帮助学生掌握马克维茨资产组合中资产组合的概念以及两者关系，风险与收益计算，绘制风险—收益组合曲线，投资组合的有效边界。

二、教学方法与手段

通过视频教学，结合对一个实例的精讲，运用PPT 、写字板等教学工具来展示教学内容，推导计算过程。

三、教学内容与设计 大家好，今天我给大家讲解马克维茨资产组合理论中关于资产组合的风险与收益计算相关的问题

第一步：引入，简要介绍现代资产组合理论（Modern Portfolio Theory ，简称MPT ）

1952年3月，美国纽约市立大学巴鲁克学院的经济学教授马柯维茨在题为《资产选择：有效的多样化》论文中，首次应用资产组合报酬的均值和方差来定义其收益与风险，并推导出了关于证券组合的上凸的“有效边界”。

第二步：给出资产组合的收益与风险的计算公式 在这一理论中，马克维茨给出了关于如何刻画资产组合风险与收益的两个重要的指标：用资产组合报酬的期望值去刻画组合的收益，用组合报酬的方差（或标准差）刻画其风险，其中

资产组合期望收益和标准差的计算公式分别如下：

1

()N

p i i i E R W R ==⨯∑

22

21

11

N N N

p

i i

i j ij i j i i j i j

W WW σσρσσ===≠=+∑∑∑，开根号得到组合的风险p σ

其中：

第三步：实例讲解

为了帮助大家更好的理解上述两个计算公式，下面我结合一个简单的实例来加以介绍

假定现在有证券组合包含两只股票，股票1和股票2，该组合中两只股票的资金权重分别为股票1占40%，股票2占60%，股票1和2的期望收益分别为10%和12%，标准差为0.980和0.857，股票1和2收益的相关系数为-0.84，下面我们用上述资产组合的期望收益和标准

期望收益

1

()0.410%0.612%0.112N

p i i i E R W R ==⨯=⨯+⨯=∑

资产组合的风险

22

21

11

N N N

p

i i

i j ij i j

i i j i j

W WW σσρσσ===≠=+∑∑∑22220.40.0980.60.85720.40.6(0.84)0.9800.857=⨯+⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯

0.079524=

0.282p σ=

这样便得到了关于上述证券组合的收益和风险值。

第四步：绘制资产组合的收益—风险组合曲线

从上述计算可以发现，当调整组合的资金分配比例，即权重时，将可以得到不同的收益—风险组合结果，如果我们以组合的期望收益为纵轴，以组合的风险（标准差）为横轴，绘制坐标平面，然后将不同权重下的组合点在坐标平面上标识，并用光滑的曲线链接，便可以得到组合的风险—收益曲线。

可以发现，这是一条开口向右的曲线。那么思考下，曲线的形状与什么有关呢？

答案是资产之间的相关性，即相关系数会影响曲线的形状。当相关系数等于-1时，曲线的形状是AMB 这样的，当相关系数等于1时，曲线是AB 的连线，当相关系数介于-1和1之间时，便可以得到开口向右的曲线。这样不难发现，绝大多数资产组合风险与收益曲线的形状都是向右开口的，例如本例中相关系数为-0.84。

第五步：最小方差点与投资组合有效边界

在上述曲线中，如果作一条与X 轴垂直并与曲线相切的切线L ，使得切线L 与组合曲线相

切与点M ，其中的M 点是所有组合中方差最小的点，因此称为最小方差点，最小方差点将组合曲线分割为MA 和MB 两段，组合的有效边界为其中的MA 段。 怎么来理解MA 才是有效边界，而MB 不是呢？

可以在曲线中作一条垂线，使之相交于组合曲线，交点分别为O 和P ，O 和P 代表不同权重下投资组合风险与收益的结果，显然，O 和P 的风险是相同的，均是0.8，但O 点的收益高于P 点，因此，理性的投资者必然选择O 点组合进行投资。同理，可知，在同等风险下MA 段的收益高于MB 段，投资者的投资组合一定在MA 段中选择。

下面介绍下如何计算最小方差点，显然，这个问题相当于“在什么样的权重分配下可以使得组合的风险最小化”，其最小方差点下的权重计算公式（以两只股票组合为例）为：

2

21,212

*1

2

2

121,2122W σρσσσσρσσ-⨯⨯=+-⨯⨯⨯，**

211W W =- 以本实例为例，可得

2*1

22

0.857(0.84)0.9800.857 1.4060.4630.9800.8572(0.84)0.9800.857 3.039

W --⨯⨯===+-⨯-⨯⨯，*

20.537W = 1*2222

2

[0.4630.9800.5370.85720.4630.537(0.84)0.9800.857]0.259

p

σ=⨯+⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯≈

第六步：总结与课后习题

本部分主要讲解了马克维茨资产组合理论中如何刻画资产组合的风险与收益及两者关系的，

**

1

()0.46310%0.53712%0.111

p n

i

i i E R W

R ==⨯=⨯+⨯=∑

用资产组合报酬的均值计算收益，用组合的方差刻画其风险，并推导出投资组合的有效边界，需要掌握三个重要的计算公式，一是组合期望收益的计算公式，二是组合风险（方差或标准差）的计算公式，三是最小方差点下权重的计算公式。

本次课程的课后练习题为：

某证券投资组合有如下特征：

（1）该证券组合的期望收益与风险；

（2）如果将上述组合的投资比重调整为0.5 ：0.5，组合的收益与风险有何变化；

（3）什么情况下的组合，可以有最小的风险，此时风险和收益各是多少？

（4）绘制上述组合的“风险—收益曲线”，并指出马考维茨(Markowitz)投资组合有效边界

本次讲解到此结束，谢谢大家！