山东大学网络教育《线性代数(1-3)》

线性代数模拟题(一)

一．单选题.

1.下列（ A ）是4级偶排列．

（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果

133

32

31

232221

131211

==a a a a a a a a a D ，33

32

3131

23222121

131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，

那么=1D （ D ）．

（A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D ) 24-． 3. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．

（A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+；

（C ）0=A 或0=B ； （D ）0=+B A ．

4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*

kA 等于（ B ）．

（A ）*kA ； （B ）*1A k n -； （C ）*A k n ； （D ）*1A k -． 5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ） （A ）s ααα,....,,21中有一零向量

(B) s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例 (C ) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合

6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2

)(2

121211ββααα-+

++k k ; (B ) 2

)(2

121211ββααα++

-+k k

(C) 2

)(2

121211ββββα-+

++k k ; (D) 2

)(2

121211ββββα++

++k k

7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－

1的一个特征值是（B ）

(a)4/3 (b )3/4 (c)1/2 (d)1/4

8. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1

-I|=(B)

(a)0 (b )24 (c)60 (d)120

9. 若A 是（ A ），则A 必有A A ='．

（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确． （A ）()A A '='

22； (B) ()11

22--=A A ；

(C) [

][]

1

1

1)()

(---''='A A ； (D) []

[]

'

=''---111

)()(A A ．

二．计算题或证明题

1. 设矩阵

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛----=324122

3k k

A (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1

AP 为对角矩阵？

(2)求出P 及相应的对角矩阵。

参考答案：

2. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为λ，A *是A 的伴随矩阵，设|A|=d ，证明：d/λ是A *的一个特征值。

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++2

321

3213211a ax x x a x ax x x x ax

参考答案：

. 当1,2a ≠-时有唯一解：2

12311(1),,222

a a x x x a a a ++=-==+++ 当1a =时，有无穷多解：112

213

21x k k x k x k

=++⎧⎪

=⎨⎪=⎩

当2a =-时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211,6512,14703,2130,421154321ααααα

参考答案：

5. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，试证：BA AB -是对称矩阵．

参考答案：

线性代数模拟题（二）

一．单选题. 1. 若)

541()1(l k N -55443211a a a a a l k 是五阶行列式ij a 的一项，则k 、l 的值及该项符号为

（ A ）．

（A ）2=k ，3=l ，符号为负； (B) 2=k ，3=l 符号为正； (C) 3=k ，2=l ，符号为负； (D) 1=k ，2=l ，符号为正． 2. 下列行列式（ A ）的值必为零．

(A )

n 阶行列式中，零元素个数多于n n -2

个； (B) n 阶行列式中，零元素个数小于n n -2个； (C) n 阶行列式中，零元素个数多于n 个； (D) n 阶行列式中，零元素的个数小于n 个．

3. 设A ，B 均为n 阶方阵，若()()2

2

B A B A B A -=-+，则必有（ D ）．

（A ）I A =； (B)O B =； (C)B A =； (D )BA AB =． 4. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，则必有（ C ）．

（A ）B A B A +=+；（B ）BA AB =；（C ）BA AB =；（D ）

()111

---+=+B A B A ．

5. 如果向量β可由向量组s ααα,....,,21线性表出，则（ D/A ）

(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立 (C) 对β的线性表示式不唯一 (D ) 向量组s αααβ,....,,,21线性相关

6. 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是（ C ） (A)系数矩阵A 的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A 的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合

7. 设n 阶矩阵A 的一个特征值为λ，则(λA －

1)2＋I 必有特征值（B ）

(a)λ2+1 (b )λ2

-1 (c)2 (d)-2

8. 已知

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=00000123a A 与对角矩阵相似，则a ＝（ A ）

(a ) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2

9. 设A ，B ，C 均为n 阶方阵，下面（ D ）不是运算律．