随机信号统计特性分析
医学信号处理二_随机信号统计特征分析
西安交通大学实验报告课程 医学信号处理 第 页 共 页系 别 生命学院 实 验 日 期 2017 年 3 月 31日 专业班级 医电42 实 验 报 告 日 期 2017 年 4 月 7 日 姓 名 黄横波 学号 2141201033 报 告 退 发 ( 订正 、 重做 ) 同 组 人_________________________________ 教 师 审 批 签 字实验名称 随机信号统计特征分析一、实验目的1. 理解随机信号的各种统计特征。
2. 学习用MATLAB 语言编写统计特征程序。
3. 观察不同通道脑电信号的统计特征。
二、实验内容1. 分别产生1000个点的白噪声信号x 和y ，分别计算x 和y 均值、均方值以及方差，并计算信号x 、y 自相关函数，并作图显示信号以及它们的自相关函数、互相关函数。
（产生白噪声信号的函数：randn ，相关函数：xcorr ）2. 使用1中的信号x 加上余弦信号x ’构成的随机信号z ，作图显示x ’和z 信号图形，分别计算z 、x ’的自相关函数，以及x ’与z 互相关函数，并作图显示自相关函数和互相关函数。
（其中，'()cos(1501)x t t ππ=⋅⋅+⋅，信号采样的时间间隔0:1:999t =，相关函数：xcorr ）3. 给出三个通道脑电信号FP1导联、FP2导联以及Pz 导联，分别计算脑电信号的均值、均方值、方差以及自相关函数，作图显示脑电信号信号和它们的自相关函数。
另外，计算FP1导联和FP2导联、FP1导联和Pz 导联，FP2导联和Pz 导联的互相关函数，并作图显示。
（FP1导联、FP2导联以及Pz 导联脑电信号数据：eeg1.mat 、eeg2.mat 以及eeg3.mat ，数据长度均为10000，信号采样率1000Hz ，单位：微伏(V µ)。
）4. 分析讨论（1）按照1中的方法分别产生长度不同的信号x 、y ，计算它们的均值、均方值以及方差，并计算信号x 、y 自相关函数，并作图显示自相关函数。
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告引言：随机信号是指信号在时间或空间上的其中一种特性是不确定的，不能准确地预测其未来行为的一类信号。
随机信号是一种具有随机性的信号，其值在一段时间内可能是不确定的，但是可以通过概率论和统计学的方法来描述和分析。
实验目的：通过实验，学习了解随机信号的基本概念和特性，学习了解和掌握常见的随机信号分析方法。
实验原理：随机信号可以分为离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是信号在离散时间点上，在该时间点上具有一定的随机性；而连续随机信号是信号在连续时间上具有随机性。
常见的随机信号分析方法包括概率密度函数、功率谱密度函数等。
实验器材：计算机、MATLAB软件、随机信号产生器、示波器、电缆、电阻等。
实验步骤：1.配置实验仪器：将随机信号产生器和示波器与计算机连接。
2.生成随机信号：调节随机信号产生器的参数，产生所需的随机信号。
3.采集数据：使用示波器采集随机信号的样本数据，并将数据导入MATLAB软件。
4.绘制直方图：使用MATLAB软件绘制样本数据的直方图，并计算概率密度函数。
5.计算统计特性：计算随机信号的均值、方差等统计特性。
6.绘制功率谱密度函数：使用MATLAB软件绘制随机信号的功率谱密度函数。
实验结果和讨论：我们采集了一段长度为N的随机信号样本数据，并进行了相应的分析。
通过绘制直方图和计算概率密度函数，我们可以看出随机信号的概率分布情况。
通过计算统计特性，我们可以得到随机信号的均值、方差等重要参数。
通过绘制功率谱密度函数，我们可以分析随机信号的频谱特性。
结论：本实验通过对随机信号的分析，加深了对随机信号的理解。
通过绘制直方图、计算概率密度函数、计算统计特性和绘制功率谱密度函数等方法，我们可以对随机信号进行全面的分析和描述，从而更好地理解随机信号的特性和行为。
2.王五,赵六.随机信号分析方法.物理学报,2024,30(2):120-130.。
第一章 离散随机信号统计分析基础
❖ 如果我们把对温漂电压的观察看作为一个随机试验，那么，每一次的记录，就是
随机试验的一次实现，相应的结果就是一个样本函数：
xi (t)
❖
所能有经样历本的函整数个的过x集程i (合，t)该集合就i＝是1一,个2随,…机过,N程,，N也→即随∞机，信就号构，成记了之温为漂：电压可
X(t)
物随机变理量 意义：x1 (t1 ), x2 (t1 ), , xN (t1 )
lim
M
1 2M
1
M
x(n)x(n
nM
m)
x
(m)
例1.2.3 讨论例1.2.1随机相位正弦序列的各
态遍历性。
解 对 X (n) Asin(2fnTs )，其单一的时间样本
x(n) Asin(2fnTs ) ， 为一常数，对 X (n)
作时间平均，显然
mx (n)
lim
M
2
1 M
自相关函数和自协方差函数的关系
❖ 1 X (m) X (m) mX2 XY (m) XY (m) mX mY
❖ 2当 mX 0 时
X (m) X (m) XY (m) XY (m)
工程实际中，当m趋于无穷大时，可以认 为不相关，存在：
lim
m
X
(m)
E[
X
*
(n)
X
自相关函数 X (n1, n2 ) 和 n1,n2 的选取无关，而仅和 n1, n之2 差有关，那么，我 们称X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号 。其具有以下的统 计特征. ❖ 1）均值为常值。
2）自相关函数和自协方差函数均只是m的函数。
目的：使问题简化，实际工程中大部分属于这种
严平稳随机信号：指概率特性不随时间的平移而变化（或说与 时间基准点无关）的随机信号。只有当X(n)是高斯随机过程 时，宽平稳才是严平稳。
课程设计一：随机数的产生及统计特性分析-实验报告
标准实验报告实验名称：随机数的产生及统计特性分析实验报告学生姓名：学号：指导教师：实验室名称：通信系统实验室实验项目名称：随机数的产生及统计特性分析实验学时：6（课外）【实验目的】随机数的产生与测量：产生瑞利分布随机数，测量它们的均值、方差、相关函数，分析其直方图、概率密度函数及分布函数。
通过本实验进一步理解随机信号的一、二阶矩特性及概率特性。
【实验原理】瑞利分布密度函数为：)0(,0,)(2222>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=-σσσxxexxfx均值与方差：EX =σπ2，V ar(X）=2)22(σπ-相关函数：⎰+∞∞--=+=)(*)()()()(txtxdttxtxrxττ均值各态历经定义：E[X(t)]以概率1等于A[X(t)],则称X(t)均值各态历经。
物理含义为：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的所有状态，因此，从任一样本函数中可以计算出其均值。
——“各态历经性”、“遍历”。
于是，实验只需在其任何一个样本函数上进行就可以了，问题得到极大简化。
【实验记录】程序执行结果：rayl_mean =3.7523 err_mean = 0.7523 rayl_var = 3.8303 err_var = 0.8303【实验分析】可以看到，统计均值、统计方差与理论值都很接近。
当序列长度为1000时候，均值误差为5.63%，方差误差为12.19%；当序列长度为10000时，均值误差为0.79%，方差误差为1.04%，可以看到随着序列长度增大，样本的统计均值与统计方差与理论值得误差明显减小，当序列长度足够大的时候，样本的统计均值与统计方差会趋近与理论均值与理论方差，可以用统计均值、统计方差来计算理论均值与方差。
通过比较样本的直方图，与理论的瑞利分布概率密度函数图，发现样本出现的频率分布趋近于理论概率值，可见，当样本足够大的时候，随机变量取值的频率趋近于其概率，可以用频率分布近似概率分布。
随机信号统计特性分析
实验一、随机信号统计特性分析学生姓名刘冰学院名称精密仪器与光电子工程专业生物医学工程学号**********一、实验目的随机信号是生物医学信号处理软件调试所必须的信号。
通过本实验，了解一种伪随机信号产生的方法，及伪随机信号的数字特征。
二、实验要求1．用同余法编制产生伪随机信号的程序。
2．检验所产生的伪随机信号是高斯分布的。
3．检验伪随机信号的自相关函数。
三、实验方法1．伪随机信号的产生用下式产生一组在[-0.5,0.5]内均匀分布的伪随机信号：()()()k i C k i M =⨯-1% (1) ()()n i k i M =-/.05(2)其中(1)表示k(i)为(())/C k i M ⨯-1的余数，n(i)为一组在[-0.5,0.5]区间的均值为0的伪随机信号。
令C =+239,M =212，i=0，1，2，…499。
通过任意给定k(0),用上式可以产生一组伪随机信号。
2．用中心极限定理产生一组服从正态分布的伪随机信号 中心极限定理：设被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的和，其中每个随机变量对总和只起微小作用，则这个随机变量是服从正态分布的。
产生一个长度为500的伪随机信号，其中每一项为L 个伪随机变量和。
检验落在[]σσ+-,内概率68%，[]-+22σσ,内概率95.4%，[]-+33σσ,内概率99.7%。
()σ2211==-∑Nni i N3．用自相关函数检验上述信号对于产生的伪随机信号，其自相关函数是δ函数，k=0时函数值取得最大。
()()()R k Nn i n i k n i N k =*+=-∑1四．实验流程框图 按照实验方法用matlab 实现流程图如下产生伪随机信号（用给出的公式的产生均匀分布）用中心极限定理产生一组服从正态分布的伪随机信号（对100个伪随机数据求和，重复500次）检验得到的正太分布（用3sigma原则并画出直方图）自相关检验上述信号Matlab程序如下：clcclear allclose all%**同余法编制产生伪随机信号，用中心极限定理产生一组服从正态分布的伪随机信号***** C = 2^9 + 3;M = 2^12;a=500; %设置信号数据量L=100; %求和长度for j=1:a %循环500次k(1) = rand() ;%n(1)=k(1)./M-0.5;for i=1:1:Lk(i+1)=mod(C*k(i),M);n(i)=k(i)./M-0.5;ends(j)=sum(n); %对长度为L的伪随机信号求和得到正态分布的伪随机信号endfigureplot(s);title('中心极限法产生的500的伪随机信号');%******************检验所产生的伪随机信号是高斯分布的*************figure,hist(s);title('正态分布直方图');d= sqrt( mean(s.*s) ); % 求标准差D1 = find( -d<s & s<d ); %找出在正负sigma之间的数据P1 = length(D1) / a; %求该范围内的概率D2 = find( -d*2<s& s<d*2 ); P2 = length(D2) / a; D3 = find( -d*3<s & s<d*3 ); P3 = length(D3) / a;%***********用自相关函数检验上述信号******************** for k=0:a-1; ss=0; for j=1:(a-k)ss=ss+s(j).*s(j+k);%依次求和 endRs(k+1)=ss./a; %取平均值 endfigure,plot(Rs);title('随机信号的自相关函数');%*************用自带函数检验并作对比***************************** figureplot(xcorr(s));tilte('自带函数求得的自相关函数');运行结果：050100150200250300350400450500-8-6-4-20246810中心极限法产生的500的伪随机信号1.得到的结果基本符合正态分布图 以下是3sigma 原则得到的结果：P1，P2，P31分别是[]-+σσ,，[]-+22σσ,，[]-+33σσ,，范围内的概率，与标准的[]-+σσ,内概率68%，[]-+22σσ,内概率95.4%，[]-+33σσ,内概率99.7%相对比，也基本符合。
《随机信号分析》课件
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析课件第5章
100%
计算方法
通过计算随机信号各个时刻取值 小于或等于某个值的概率，然后 绘制成函数图像。
80%
应用
用于分析随机信号的统计特性， 如均值、方差等。
数字特征
01
02
03
定义
数字特征是一组描述随机 信号统计特性的数值，如 均值、方差、偏度、峰度 等。
计算方法
通过计算随机信号的各个 数字特征，得到一组数值。
随机信号的特点
不确定性
随机信号的值是不确定的，无法准确预测。
统计特性
随机信号具有特定的统计特性，如均值、方差、概 率分布等。
时间变化性
随机信号的值随时间变化，但遵循一定的统计规律 。
随机信号的应用场景
01
02
03
04
通信系统
在通信系统中，随机信号可用 于模拟噪声和干扰，以测试系 统的抗干扰性能。
高通滤波器
允许高频信号通过，抑制低频信号。
滤波器分类与设计
带通滤波器
允许某一频段的信号通过，抑制其他 频段信号。
带阻滤波器
允许某一频段以外的信号通过，抑制 该频段信号。
滤波器分类与设计
模拟滤波器设计
使用电阻、电容、电感等元件实现。
数字滤波器设计
使用数字信号处理算法实现。
滤波器性能评估
01
02
03
频域分析
02
01
03
定义
频域分析是对随机信号在频率域上的表现形式进行的 研究。
主要内容
包括信号的功率谱密度、频率特性等。
目的
通过频域分析，可以了解信号的长期行为和变化规律 。
时频分析方法
1 2 3
短时傅里叶变换
随机信号平稳特性分析
fy =0.0459*6^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-y^2/8)
代码：
clc,clear,close all
x=-5.0:0.1:5;
y=-5.0:0.5:5;
%[x y]=meshgrid(-5:0.1:5);
N(0,3)
均值：0.0119
均方根：2.9445
方差8.6702
时域图、概率密度、频谱：
功率谱密度、自相关函数：
N(2,3)
均值：1.9509
均方根：2.9494
方差8.6989
时域图、概率密度、频谱：
功率谱密度、自相关函数：
代码略。
3.统计分布：二维正态分布（X,Y），N（0,1；0,4；0.5）的联合概率密度为 ，求二维正态分布 ，并用波形图来表示。
4.对N（0,1）正态分布随机数取几个不同的样本值，计算它们的数字特征，分析是否满足平稳性和遍历性。
选取了四个不同的样本值X1、X2、X3、X4，每一个பைடு நூலகம்本的长度为1000，均值分别为0.0385、-0.0144、-0.0249、0.0314，都约为0，所以X(n)均值可近似看作常数0。
自相关函数R仅跟m有关且Rx(0)<∞。
%syms y x z
%z = 1/(2*pi*sqrt(3)).*exp(-2*(x.^2-0.5*x*y+0.25*y.^2)/3);
fy=(6621238954613787*6^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-y.^2/8))/144115188075855872;
fx=(6621238954613787*6^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-x.^2/2))/72057594037927936;
随机信号分析李晓峰
随机信号分析李晓峰引言随机信号分析是一门研究信号及其性质的学科，其在现代通信、图像处理、生物医学工程等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍随机信号分析的基本概念、常见的分析方法以及李晓峰教授在随机信号分析领域的研究成果。
随机信号的定义随机信号是指在某个时间段内具有随机性质的信号。
其特点是信号的取值在时间和幅度上都是不确定的，只能通过概率统计的方法来描述。
一个随机信号可以用一个概率密度函数来描述其取值的分布情况。
随机信号有两种基本的分类方式：离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是在离散的时间点上进行取样的信号，连续随机信号则是在连续的时间上变化的信号。
随机信号分析方法统计特性分析统计特性分析是随机信号分析的基本方法之一，它通过对信号进行统计分析，从而得到信号的数学特性。
常见的统计特性包括均值、方差、自相关函数和谱密度等。
均值是衡量随机信号集中程度的一个指标，它表示信号的中心位置。
方差则用来衡量信号的离散程度，方差越大表示信号的波动性越大。
自相关函数描述了信号在不同时间点之间的相关性，而谱密度则表示信号在不同频率上的能量分布情况。
概率密度函数分析随机信号的概率密度函数描述了信号取值的概率分布情况。
常见的概率密度函数包括高斯分布、均匀分布和指数分布等。
高斯分布是最常用的概率密度函数之一，其形状呈钟型曲线，具有对称性。
均匀分布则表示信号的取值在一个区间上是均匀分布的，而指数分布则表示信号的取值在一个时间段内的分布服从指数规律。
谱分析谱分析是通过对随机信号进行频域分析来研究其频率成分的分析方法。
常见的谱分析方法有功率谱密度分析和相关函数分析。
功率谱密度分析可以用来分析信号在不同频率上的能量分布情况，通过功率谱密度分析可以得到信号的频谱图。
相关函数分析则是通过对信号进行自相关操作，得到信号的相关函数，从而分析信号在不同频率上的相关性。
李晓峰教授的研究成果李晓峰教授是我国著名的随机信号分析专家，他在随机信号分析领域做出了许多重要的研究成果。
随机信号分析
随机信号分析随机信号是在时间或空间上具有随机性质的信号，其数学模型采用随机过程来描述。
随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其应用广泛涉及通信、控制、电力系统等领域。
本文将从随机信号的基本特性、常见的随机过程以及随机信号分析的方法等方面进行阐述。
随机信号的基本特性包括：平均性、相关性和功率谱密度。
首先，平均性是指随机信号的统计平均等于其数学期望值。
随机信号的平均性是通过计算信号在一定时间或空间范围内的平均值来描述的。
其次，相关性是指随机信号在不同时刻或不同空间位置上的取值之间存在一定程度的相关性。
相关性可以描述信号之间的相似度和相关程度，常用相关函数来表示。
最后，功率谱密度是用来描述信号在频域上的分布特性，它表示了随机信号在不同频率上所占的功率份额。
随机信号的常见模型主要有白噪声、随机行走、随机震荡等。
其中，白噪声是指功率谱密度在整个频率范围内均匀分布的信号，其在通信领域中应用广泛。
随机行走模型是一种随机过程，它描述了随机信号在不同时刻之间的步长是独立同分布的。
随机震荡模型是一种具有振荡特性的随机过程，常用于描述具有周期性或周期性变化的信号。
对于随机信号的分析方法，主要包括时间域分析和频域分析两种。
时间域分析是通过观察信号在时间上的波形和变化规律来分析随机信号的特性，常用的方法有自相关函数和互相关函数等。
频域分析是将信号转换为频率域上的功率谱密度来分析信号的频谱特性，常用的方法有傅里叶变换和功率谱估计等。
在实际应用中，随机信号的分析对于信号处理和系统设计具有重要意义。
在通信系统中，随机信号的噪声特性是衡量系统性能的关键因素之一，因此通过对随机信号的分析可以有效地优化通信系统的传输质量。
此外，在控制系统和电力系统中，随机信号的分析也能帮助我们进行系统建模和性能预测，从而实现系统的稳定性和可靠性。
综上所述，随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其对于各个领域的应用具有重要的意义。
通过对随机信号的基本特性、常见的随机过程以及分析方法的了解，可以为我们深入理解和应用随机信号提供帮助。
随机信号分析
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
换言之，随机信号是指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。
其统计特性：概率分布函数、概率密度函数。
统计平均：均值、方差、相关。
随机信号分为平稳和非平稳两大类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
1） 各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。
2） 平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。
注：各态历经信号一定是随机信号，反之不然。
工程上的随机信号通常都按各态历经平稳随机信号来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
平稳随机信号在时间上的无限的，故其能量是无限的，只能用功率谱密度来描述随机信号的频域特性。
1. 随机信号的数字特征 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)的均值可表示为：⎰→∞==TT x dt t x Tt x E 0)(1lim)]([μ均值描述了随机信号的静态分量（直流）。
随机信号x(t)的均方值表达式为：dt t x TTT x)(1lim22⎰→∞=ψ2xψ表示信号的强度或功率。
随机信号x(t)的均方根值表示为：⎰→∞=T T x dt t x T 02)(1limψ x ψ也是信号能量的一种描述。
随机信号x(t)的方差表达式为：⎰-==-→∞Tx T x x dx t x Tx E 0222])([1lim])[(μσμ2xσ是信号的幅值相对于均值分散程度的一种表示，也是信号纯波动分量（交流）大小的反映。
随机信号x(t)的均方差（标准差）可表示为⎰-=→∞T x T x dx t x T 02])([1limμσ 它和2x σ意义相同。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(t)无限长，而实际上只能用一个样本即有限长序列来计算。
第2章 随机信号及其时域统计特性
③可在噪声的自相关函数中发现隐藏的周期分量，从
而判断机器是否异常。
41
自相关分析诊断的实例
汽车车身振动信号
x (t )
t
(a)
R x ( )
0
(b )
0.15s
42
自相关分析诊断的实例
自相关分析识别车床变速箱运行状态， 确定存在缺陷轴的位置
R x( ) R x( )
0
0
( a ) 正常状态变速箱噪声信号的自相关函数 ( b ) 异常状态变速箱噪声信号的自相关函数
1. 一维概率分布函数与一维概率密度函数
随机信号X(t)在任意ti T的取值X(ti)是一维随机 变量。记为Fx(xi；ti)=P{X(ti)≤xi}为随机信号 X(t)的 一维概率分布函数。
若 FX ( x, t ) 的偏导数存在，则有
FX ( xi , ti ) 一维概率密度函数 f X ( xi , ti ) xi
23
4. 概率分布函数和概率密度函数的性质 定义 取值范围： 单调递增性
概率分布与概率密度之间的关系：
随机序列
24
25
概率密度函数与概率分布函数的应用
5V 幅值
产品质量控制(生产 设备的工作稳定性) 图(a)：一批零件的 加工尺寸 图 (b)、图 (c)可判 断加工过程的质量 高低，进而可评价 或判断机床工具是 否应该调整
31
2. 均方值（二阶原点矩）和方差 （二阶中心矩）
均方值：E[ X (t )] x 2 f X ( x; t )dx
2
方差： (t ) E[( X (t ) mX (t )) ] [ X (t ) mX (t )]2 f X ( x; t )dx
实验二 系统对随机信号响应的统计特性分析、功率谱分析及应用实验
大连理工大学实验预习报告学院（系）：信息与通信工程学院 专业： 电子信息工程 班级： 电子1401 姓 名： ****** 学号： ****** 实验时间： 2016.11.4 实验室： c221 指导教师： 郭 成 安实验II ：系统对随机信号响应的统计特性分析、功率谱分析及应用实验一、 实验目的和要求掌握直接法估计随机信号功率谱的原理和实现方法；掌握间接法估计随机信号功率谱的原理和实现方法；掌握系统对随机信号响应的统计特性分析及仿真实现方法。
熟悉MATLAB 信号处理软件包的使用。
二、 实验原理和内容（一）实验原理：1. 直接法估计随机信号功率谱原理直接法又称为周期图法，它是把随机信号 x(n)的N 点观察数据xN(n)视为一能量有限信号， 直接取 xN(n)的傅里叶变换，得到 XN(ej ω)，然后取其模值的平方，并除以 N ，作为对 x(n)真实 的功率谱 P(ej ω)的估计。
工程上，常使用离散 Fourier变换（DFT ，编程上使用其快速算法 FFT ），即 PX(k)=2|)k (|1N X N进行计算。
2. 间接法估计随机信号功率谱间接法的理论基础是 Wiener-Khintchine 定理，具体的实现方法是先由 xN(n)估计出自相关函数(m)rˆ，然后对(m)r ˆ求傅里叶变换得到 xN(n)的功率谱，记之为 XN(ej ω)，并以此作为对真实功率谱 P(ej ω)的估计。
工程上，常使用离散 Fourier 变换（DFT ，编程上使用其快速算法FFT ），即122)(ˆ)(+--=∑=M km j M M m X e m r k P π，1||-≤N M ，进行计算。
因为由这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以又称为间接法或 Blackman-Tuckey(BT)法，该方法是 FFT 出现之前 常用的谱估计方法。
3. 时域中系统对随机信号响应的统计特性分析及仿真根据系统卷积性质，计算系统输出信号的统计特性。
通信原理——随机信号分析
x(fx)dxE(X)
称为随机变量X的数学期望，又称均值。用E(X)表 示。 ▪ 方差 设X为一随机变量，则：
E{[X-E(X)]2}＝D(X) 称为随机变量X的方差，用D(X)表示。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ 协方差 设X，Y为两随机变量，则： E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 二维概率分布函数及概率密度函数 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成 一个二维随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，则 F2(x1,x2; t1,t2)=P[ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2] 称为随机过程ξ(t)的二维概率分布函数。
f(x) dF(x) dx
( 导数关系 )
则函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ ▪ 设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设X和 Y是定义在S上的两个随机变量，则由X和Y构成的 向量(X, Y)，叫做二维随机变量/向量。 ▪ 设 (X, Y) 是二维随机变量，对于任意实数x, y，二 元函数： F(x,y)= P{X≤x ,Y≤y} 称为二维随机变量(X, Y) 的概率分布函数。
▪ 相关系数 设X，Y为两随机变量，则： covX(,Y) XY D(X) D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数。
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 随机过程： 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间 波形(称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现 的结果的总体 {x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机 过程，记作ξ(t)。 简言之，无穷多 个样本函数的总 体叫做随机过程， 如图所示。
随机信号统计特性的测试
随机信号统计特性的测试实验⼀随机信号统计特性的测试１．实验⽬的⑴了解随机信号⾃⾝的特性，包括均值（数学期望）、⽅差、相关函数、频谱及功率谱密度等。
⑵掌握随机信号的分析⽅法。
⒉实验原理在信号系统中，我们可以把信号可以分成两⼤类——确知信号和随机信号。
确知信号具有⼀定的变化规律，因⽽容易分析，⽽随机信号⽆确知的变化规律，需要⽤统计特性进⾏分析。
我们在这⾥引⼊了随机过程的概念。
所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的⼀个取样序列。
随机过程可分为平稳的和⾮平稳的、遍历的和⾮遍历的。
如果随机信号的统计特性不随时间的推移⽽变化，则随机信号是平稳的。
如果⼀个平稳的随机过程它的任意⼀个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。
我们下⾯讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的⼀个样本来描述随机过程的统计特性。
随机过程的统计特性⼀般采⽤随机过程的分部函数和概率密度来描述，它们能够对随机过程作完整的描述。
但是由于在实践中难以求得，在⼯程技术中，⼀般采⽤描述随机过程的主要平均统计特性的⼏个函数，包括均值、⽅差、相关函数、频谱及功率谱密度等来描述它们。
以下算法都是⼀种估计算法，条件是N 要⾜够⼤。
①随机过程的均值（数学期望）：均值E[x(t)]表⽰集合平均值或数学期望值。
基于随机过程的各态历经性，可⽤时间间隔T 内的幅值平均值表⽰，即：∑-==1/)()]([N t Nt x t x E均值表达了信号变化的中⼼趋势，或称之为直流分量。
②随机过程的均⽅值：信号x(t)的均⽅值E[x 2(t)]()，或称为平均功率，其表达式为：Nt x t x E N t /)()]([(1022∑-==均⽅值表达了信号的强度，其正平⽅根值，⼜称为有效值，也是信号的平均能量的⼀种表达。
③随机信号的⽅差：信号x(t)的⽅差定义为：Nt x E t x N t x/)]]([]{[122∑-=-=σ称为均⽅差或标准差。
随机信号分析第一章
02
随机信号的统计描
述
概率密度函数
定义
概率密度函数（PDF） 是描述随机信号在各个 时刻取值概率分布的函 数。
性质
概率密度函数具有非负 性、归一化性质，即概 率密度函数在全域上的 积分等于1。
计算方法
可以通过直方图法、核 密度估计法等方法计算 概率密度函数。
概率分布函数
定义
概率分布函数（CDF）是描述随机信号取值小于或等 于某个值的概率的函数。
随机信号的特性
统计特性
随机信号的统计特性包括均值、 方差、概率分布等，这些特性描 述了信号的平均行为和不确定性 。
时间特性
随机信号的时间特性包括自相关 函数、互相关函数、功率谱密度 等，这些特性描述了信号在不同 时间点的相关性以及频率成分。
随机信号的应用
通信
在通信领域，随机信号可用 于扩频通信、无线通信等领 域，以提高通信的抗干扰能 力和保密性。
05
随机信号的采样定
理
采样定理的内容
采样定理定义
对于一个时间连续的模拟信号，如果以不高于其最高频率分量的频 率进行采样，则可以无失真地恢复原始信号。
采样定理的数学表达式
如果信号的最高频率为Fmax，则采样频率应不小于2Fmax。
采样定理的意义
采样定理是数字信号处理的基础，它确保了从离散样本中能够准确 重建原始信号。
雷达与声呐
在雷达与声呐领域，随机信 号可用于目标检测、测距、 定位等方面，以提高探测的 精度和可靠性。
地球物理学
在地球物理学领域，随机信 号可用于地震勘探、矿产资 源探测等方面，以揭示地球 内部结构和物质分布。
金融与经济
在金融与经济领域，随机信 号可用于股票价格分析、市 场预测等方面，以揭示市场 动态和经济发展趋势。
随机信号分析课件
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
随机信号大作业
随机信号大作业
大作业建议如下：
1. 随机信号的统计分析：选择一个随机信号，对其进行统计分析。
可以计算平均值、
方差、自相关函数、互相关函数等指标，了解信号的基本统计特性。
2. 随机信号的功率谱密度估计：选择一个随机信号，通过频谱估计方法（如傅里叶变换、周期图法、自相关法等），对其功率谱密度进行估计。
比较不同方法的估计结果，并讨论其优缺点。
3. 高斯白噪声的产生及检测：了解高斯白噪声的定义及特性，编程实现高斯白噪声的
产生，并通过相关统计检验（如卡方检验、Kolmogorov-Smirnov检验），对生成的噪声进行检测。
4. 随机过程的模拟及识别：选择一种随机过程（如马尔可夫过程、线性时不变过程等），编程实现其模拟，并通过识别方法（如自回归模型、卡尔曼滤波器等），对实
际观察到的随机过程进行识别和模型拟合。
5. 随机信号的滤波：选择一个随机信号，设计一个滤波器，对信号进行滤波处理。
可
以比较不同滤波器设计方法（如IIR滤波器、FIR滤波器等）的效果并进行评估。
6. 随机信号的压缩与重构：选择一个随机信号，使用信号压缩算法（如小波变换、奇
异值分解等），对信号进行压缩，并通过信号重构方法，将压缩后的信号进行恢复。
比较不同压缩和重构方法的效果及开销。
以上是一些建议的大作业题目，你可以根据自己的兴趣和能力选择其中一个或结合多
个进行深入研究。
希望对你有帮助！。
0201随机信号分析资料
零均值平稳窄带高斯过程
f
(a
)
a
2
exp
a2
2 2
,
a 0
f ( ) 1 2 , 0 2
f (a , ) f (a ) f ( )
a
2
2
exp
a2
2 2
,
a 0
0 2
随机过程的基本概念
随机变量与随机过程二者最大的区 别在于：随机变量的样本空间是一 个实数集合，而随机过程的样本空 间是一个时间函数的集合或是一个 随机变量的集合。
分布函数与概率密度函数
随机过程 (t) 的一维分布函数：
F1(x1, t1) P (t1) x1
随机过程 (t) 的一维概率密度函数：
x2
f1 ( x,
t)dx
a(t )2
反映了随机过程在任意时刻 t 相对于 均值的偏离程度；
它由随机过程的一维概率分布决定；
随机过程的方差
表征了随机信号的交流平均功率；
随机过程的数学期望（均值）和方差 仅描述了各孤立时刻的统计特性，无 法反映不同时刻之间的联系，为此引 入了自相关函数和自协方差函数，用 来衡量随机过程在任意两个时刻上获 得的随机变量的统计相关特性；
有关，即：
f1(x,t) f1(x)
f2 (x1, x2;t1,t1 ) f2 (x1, x2; )
广义平稳随机过程
平稳随机过程的数学期望与时间 t 无关，自相关函数仅与时间间
隔 有关，即：
E (t) a ; R(t1,t1 ) R( )
除特别声明，本课程所讨论的均 为广义平稳随机过程。
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实验一、随机信号统计特性分析
学生姓名刘冰
学院名称 精密仪器与光电子工程 专 业 生物医学工程 学 号 3010202286
一、实验目的
随机信号是生物医学信号处理软件调试所必须的信号。
通过本实验，了解一种伪随机信号产生的方法，及伪随机信号的数字特征。
二、实验要求
1．用同余法编制产生伪随机信号的程序。
2．检验所产生的伪随机信号是高斯分布的。
3．检验伪随机信号的自相关函数。
三、实验方法
1．伪随机信号的产生
用下式产生一组在[-0.5,0.5]内均匀分布的伪随机信号：
()()()
k i C k i M =⨯-1% (1) ()()n i k i M =-/.05
(2)
其中(1)表示k(i)为(())/C k i M ⨯-1的余数，n(i)为一组在[-0.5,0.5]区间的均值为0的伪随机信号。
令C =+239,M =212，i=0，1，2，…499。
通过任意给定k(0),用上式可以产生一组伪随机信号。
2．用中心极限定理产生一组服从正态分布的伪随机信号
中心极限定理：设被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的和，其中每个随机变量对总和只起微小作用，则这个随机变量是服从正态分布的。
产生一个长度为500的伪随机信号，其中每一项为L 个伪随机变量和。
检验落在
[]σσ+-,内概率68%，[]-+22σσ,内概率95.4%，[]-+33σσ,内概率99.7%。
()
σ2
2
1
1=
=-∑N
n
i i N
3．用自相关函数检验上述信号
对于产生的伪随机信号，其自相关函数是δ函数，k=0时函数值取得最大。
()()()
R k N
n i n i k n i N k =
*+=-∑1
四．实验流程框图 按照实验方法用matlab 实现
流程图如下
产生伪随机信号
（用给出的公式的产生均匀分布）
用中心极限定理产生一组服从正态
分布的伪随机信号
（对100个伪随机数据求和，重复500次）
检验得到的正太分布
（用3sigma原则并画出直方图）
自相关检验上述信号
Matlab程序如下：
clc
clear all
close all
%**同余法编制产生伪随机信号，用中心极限定理产生一组服从正态分布的伪随机信号***** C = 2^9 + 3;
M = 2^12;
a=500; %设置信号数据量
L=100; %求和长度
for j=1:a %循环500次
k(1) = rand() ;%
n(1)=k(1)./M-0.5;
for i=1:1:L
k(i+1)=mod(C*k(i),M);
n(i)=k(i)./M-0.5;
end
s(j)=sum(n); %对长度为L的伪随机信号求和得到正态分布的伪随机信号end
figure
plot(s);title('中心极限法产生的500的伪随机信号');
%******************检验所产生的伪随机信号是高斯分布的************* figure,hist(s);title('正态分布直方图');
d= sqrt( mean(s.*s) ); % 求标准差
D1 = find( -d<s & s<d ); %找出在正负sigma之间的数据
P1 = length(D1) / a; %求该范围内的概率
D2 = find( -d*2<s& s<d*2 );
P2 = length(D2) / a;
D3 = find( -d*3<s & s<d*3 );
P3 = length(D3) / a;
%***********用自相关函数检验上述信号********************
for k=0:a-1;
ss=0;
for j=1:(a-k)
ss=ss+s(j).*s(j+k);%依次求和
end
Rs(k+1)=ss./a; %取平均值 end
figure,plot(Rs);title('随机信号的自相关函数');
%*************用自带函数检验并作对比***************************** figure
plot(xcorr(s));tilte('自带函数求得的自相关函数');
运行结果：
050100150200250300350400450500
-8
-6-4-202468
10中心极限法产生的500的伪随机信号
1.得到的结果基本符合正态分布图 以下是3sigma 原则得到的结果：
P1，P2，P31分别是[]-+σσ,，[]-+22σσ,，[]-+33σσ,，范围内的概率，与标准的[]-+σσ,内概率68%，[]-+22σσ,内概率95.4%，[]-+33σσ,内概率99.7%相对比，也基本符合。
正态分布直方图
2.
()()()
R k N
n i n i k n i N k =
*+=-∑1
公式检验伪随机信号结果如上图，
对于产生的伪随机信号，其自相关函数是δ函数，k=0时函数值取得最大。
3.采用再带公式检验结果：
随机信号的自相关函数
01002003004005006007008009001000
-1000
1000
2000
3000
4000
5000
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