二次函数的期末复习资料

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二次函数的期末复习资料
知识点:1、二次函数的定义
一般地,形如 的函数叫做二次函数,其中, 是自变量,a,b,c 分别为函数解析式的 系数, 系数, ; 例1、下列函数中哪些是二次函数 (1)x
x y 12
+
= (2)、224)12(x x y --= (3)32
-+=x mx y 练习:已知函数3)2()4(2
2
+++-=x m x m y
(1)当m 为何值时,此函数是二次函数? (2)当m 何值时,此函数是一次函数?
知识点:2、二次函数的图像是一条 知识点:3、二次函数的性质 1、填表
练习:下列函数中①x y =; ②12+-=x y ;③132
+=x y ;④742
++-=x x y (1)、函数 的图像是一条直线,函数 的图像是一条抛物线; (2)、函数 中的y 随x 的增大而增大,函数 中的y 随x 的增大而减小; (3)、函数 的对称轴是y 轴,函数 有最大值,函数 有最小值; (4)、函数④的增减性为 函数③的增减性为 2、开口大小:c bx ax y ++=2

a
越 开口越
练习:已知下列函数的图像如图所示,请选择它们所对的函数解析式。

(1)2x y = ( ) (2)2
x y -= ( )
(3)2
91x y = ( ) (4)29
1x y -= ( ) (4)23x y = ( ) (5)23x y -= ( )
a>0 a<0
开口方向
增减性 开口方向 增减性 对称轴 顶 点 最 值 2ax y =
k ax y +=2
2)(h x a y -=
k h x a y +-=2)(
c bx ax y ++=2
3、增减性
例1、已知0>a 则点),3(1y -,),2(2y -,),4(3y 都在2
ax y =的图像上,则321,,y y y 的大小顺序为
练习1、已知1>a 则点),1(1y a -,),(2y a ,),1(3y a +都在2
ax y =的图像上,则321,,y y y 的大小顺序为
练习2、若2
ax y =(0<a )经过点A ),1(1y -,B ),2(2y ,C ),3(3y ,则321,,y y y 的大小顺序为
练习3、已知二次函数2
15
7212+--
=x x y ,
若自变量x 分别取321,,x x x 且,0321x x x <<< 则对应的函数值321,,y y y 的大小关系为
练习4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图像经过了A (1,2),B (3,2),C (5,7)若点M ),2(1y -,N ),1(2y -,K ),8(3y 也在二次函数
c bx ax y ++=2的图像上,则
321,,y y y 的大小顺序为
总结:二次函数c bx ax y ++=2的图像上的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,当a>0时,若
a b x a b x 2221+<+
,则1y 2y ;当a<0时,若a b
x a b x 2221+<+,则1y 2y ;若a
b
x a b x 2221+=+
,则1y 2y ; 4、函数值的取值范围
例1、在下列范围内分别求二次函数6422
++-=x x y 的函数值的取值范围; (1)、20≤≤x (2)、32≤≤x
5、平移
(1)、把抛物线642
++=x x y 向右平移3个单位长度,向上平移5个单位长度后得到的解析式为
(2)、c bx x y ++=2
向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得的函数解析式为532+-=x x y ,则b= ,c= 。

(3)、c bx x y ++=2
先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得的函数解析式为4)1(2
--=x y ,则b= ,c= 。

(4)、342
++=x x y 的图像可以由2
x y =的图像怎么平移得到。

6、观察二次函数图像确定c bx ax y ++=2中的c b a 、、及相关代数式的符号。

例1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示,给出下列结论:
;04)1(>-ac b 、 ;02)2(<+b a 、 ;024)3(=+-c b a 、 ;3:2:1::)4(-=c b a 、
其中正确的是( )
练习1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示,给出下列结论:
;4)1(2ac b >、 ;0)2(>a b c 、
;02)3(=-b a 、 ;039)4(<++c b a 、
;08)5(<+c a 、其中正确的是( )
练习2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,给出下列结论: ①2a+b >0; ②b >a >c ; ③若-1<m <n <1,则m+n <-
a
b
; ④3|a|+|c|<2|b|. 其中正确的结论是( )
练习3、函数c bx x y ++=2
与x y =的图像如图所示,有下列结论,其中正确的序号是
;04)1(2
>-c b 、 ;01)2(<++c b 、
;063)3(=++c b 、
;0)1(31)4(2
<+-+<<c x b x x 时,、 );2
3
)((4923
)5(≠+<+
m b m m a 、其中正确的是( ) 7、判断图形
(1)、在同一直角坐标系中b ax y +=与a bx y +=2
的图像正确的是( )
A、B、C、D、
(2)、在同一平面直角坐标系中c
bx
ax
y+
+
=2与c
ax
y+
=的图像正确的是()
A B C D
8、求抛物线的解析式
例1、一个二次函数的图像经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,求这个二次函数的解析式。

练习:1、一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=—1,当2
-
=
x与
2
1
时,y=0,求这个
二次函数的解析式。

解析式类型字母表达式适用情况
顶点式
)0
(2≠
=a
ax
y
已知顶点坐标为(0,0),又知另一任意点
)0
(
2≠
+
=a
k
ax
y
已知顶坐标为(0,k),又知另一任意点
)0
(
)
(2≠
-
=a
h
x
a
y
已知顶点坐标为(h,0),又知另一任意点
)0
(
)
(2≠
+
-
=a
k
h
x
a
y
已知顶点坐标为(h,k),又知另一任意点
一般式
c
bx
ax
y+
+
=2
已知图像上三个任意点的坐标
交点式
)
)(
(
2
1
x
x
x
x
a
y-
-
=已知图像与x轴的两个交点(
1
x,0),(
2
x,
0),又知另一个任意点
练习2、已知二次函数图像的顶点是)3,1(-,且经过点)0,2(M ,求这个函数的解析式。

知识点:4、、二次函数与一元二次方程的关系
一般地,从二次函数c bx ax y ++=2
的图像可得如下结论:
(1)、如果抛物线c bx ax y ++=2与X 轴有公共点,公共点的横坐标是0x ,那么当0
x x =时,函数值是0,因此0x x =是方程02
=++c bx ax 的一个根。

(2)二次函数c bx ax y ++=2
的图像与
X 轴的位置关系有三
种: 、 、 。

这对应着一元二次方程
02=++c bx ax 的根的三种情况: 、 、 。

例1、已知函数12)3(2
++-=x x k y 的图像与X 轴有交点,则K 的取值范围是( ) A 、4<k B 、4≤k C 、34≠<k k 且 D 、34≠≤k k 且
练习1、如图所示,图中抛物线的解析式为c bx ax y ++=2.根据图像判断下列方程根的情况。

(1)、方程02=++c bx ax 的两根分别为 (2)、方程032
=-++c bx ax 的两根为 (3)、方程22
=++c bx ax 的根的情况是
(5)、方程52=++c bx ax 的根的情况是 知识点:5、二次函数的实际问题
1、某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的整数倍)。

(1)、设一天订住的房间数为y ,直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围; (2)、设宾馆一天的利润为W 元,求W 与x 的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少?
2、如图是抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加多少?
知识点:6、二次函数的综合应用
例1、(绵阳2014中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(﹣2,),顶点坐标为N(﹣1,),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?若存
在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
A B C
D O
x
y l
练习:1、(绵阳2013中考)如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点C 的坐标为(0,-2),交x 轴于A 、B 两点,其中A (-1,0),直线l :x =m (m >1)与x 轴交于D 。

(1)求二次函数的解析式和B 的坐标;
(2)在直线l 上找点P (P 在第一象限),使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似,求点P 的坐标(用含m 的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ,使△BP Q 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由。

练习2、如图已知直线12
1
+=
x y 与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线c bx x y ++=
2
2
1与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B ,C 两点,且B 点的坐标为(1,0)。

(1)、求抛物线对应的函数解析式
(2)在抛物线的对称轴上找一点M ,使MC AM -的值最大,求出点M 的坐标。

练习3、.如图14所示,在直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 在y 轴正半轴上,二次函数
c x
ax y ++
=6
2的图象F 交x 轴于B 、C 两点,交y 轴于M 点,其中B (-3,0),M (0,-1)。

已知AM=BC 。

(1)、求二次函数的解析式;
(2)、证明:在抛物线F 上存在点D ,使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边 形,并请求出直线BD 的解析式;
(3)、在[2]的条件下,设直线l 过D 且分别交直线BA 、BC 于不同的P 、Q 两点,AC 、BD
相交于N 。

①若直线l ⊥BD ,如图14所示,试求BQ
BP 1
1+
的值; ②若l 为满足条件的任意直线。

如图15所示,①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例。

图14 图15。

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