《二次函数》单元复习资料.doc

二次函数复习全部讲义(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。

这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。

一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例1、对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（） A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，二、求抛物线的对称轴例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线。

三、求二次函数的最值例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4m D.有最小值4m- 四、根据图象判断系数的符号例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜0五、比较函数值的大小例5、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 六、二次函数的平移例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. 2(1)3y x =---B. 2(1)3y x =-+-C. 2(1)3y x =--+D. 2(1)3y x =-++例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（）A.1)1(32---=x yB. 1)1(32-+-=x yC.1)1(32+--=x yD. 1)1(32++-=x y例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0).(1) 求该二次函数解析式;(2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.（1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式．（2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339424y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．七、求代数式的值例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（）A ．2006 B ．2007C ．2008D ．2009八、求与坐标轴的交点坐标例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为．例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是。

中考数学《二次函数》复习资料

（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（3）画出草图
（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.
14、如图，已知二次函数
的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，求点C的坐标
A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()
A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第__象限( )
A.一B.二C.三D.四
（三）、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：（，，为常数，）；
2.顶点式：（，，为常数，）；
3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.
9、二次函数的对称轴是．
10二次函数的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．
11抛物线的顶点横坐标是-2，则 =．
12、抛物线的顶Байду номын сангаас是，则、c的值是多少？

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____．【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+．【解析】正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤．故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．【答案】D ．【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ， ∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ）， ∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ．【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=，解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元（x 为正整数），每星期的利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

《二次函数》单元知识点(单元复习参考)

九数上期《二次函数》单元知识复习提纲第 1页（共 6页）第 2页（共 6页）《二次函数》单元知识点复习注：请同学们先复习后填空、填表赵化中学郑宗平第一部分二次函数的图象及其性质知识点：1.二次函数的定义：形如（a b c 、、为常数，且a 0≠）的函数. 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）.各项名称. 2.二次函数的图象：二次函数的图象是一条；是对称图形. 3.二次函数的性质： ⑴.特殊形式：①.抛物线()2y ax a 0=≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最值为；当a 0<，x 0=时，y 取最值为 .②.抛物线()2y ax k a 0=+≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最值为；当a 0<，x 0=时，y 取最值为 . ③.抛物线()()2y a x h a 0=-≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最值为；当a 0<，x h =时，y 取最值为 .⑵.配方形式（也称顶点式）：()()2y a x h k a 0=-+≠抛物线()()2y a x h k a 0=-+≠对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上：当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最值为；当a 0<，x h =时，y 取最值为 .若把抛物线()2y ax a 0=≠进行平移： ①.向平移k 个单位可以得到()2y ax k a 0=+≠；②.向平移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h a 0=-≠；③.向平移()h h 0>个单位，再移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h k a 0=-+≠.⑶.一般形式：()2y ax bx c a 0=++≠第二部分求二次函数的解析式问题知识点：1.待定系数法的一般步骤:设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式. 2.常见的求二次函数解析式的方法和途径：⑴.一般式（常用） ①.设出二次函数的一般式为：()2y ax bx c 0a 0=++=≠；②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑵.顶点式（常用）①.设出二次函数的顶点式为：()()2y a x m n a 0=++≠；九数上期《二次函数》单元知识复习提纲第 3页（共 6页）第 4页（共 6页）②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为(),a b ，则,m a n b =-=； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑶.交点式（一般掌握）①.设出二次函数的一般式为：()()()12y a x x x x a 0=--≠；这里的12x x 、是抛物线与x 轴交点的横坐标；②.代入12x x 、和另外一个条件的值； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑷. 特殊式（常用）①.设出二次函数的特殊式：若顶点为原点可设为()2y ax a 0=≠的形式；若顶点在y 轴上可设为()2y ax k a 0=+≠的形式；若顶点在x 轴上可设为()()2y a x h a 0=+≠的形式；②.代入条件构成方程或方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑸.平移式（常用）平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如()()2y a x m n a 0=++≠；②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移()k k 0>单位：向右平移则在m 数据上减去()k k 0>，向左平移则在m 数据上加上()k k 0>；若上下平移()h h 0>单位：向上平移则在n 数据上加上()h h 0>，向下平移则在n 数据上减去()h h 0>.对于配方书写式的口诀是：自变量“左加右减”，函数值“上加下减”；顶点坐标的变化规律是：横坐标“右加左减”，纵坐标是“上加下减”. ⑹.对称式（了解）①.抛物线关于x 轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.②.抛物线关于y 轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. ③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.第三部分二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1..二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠.⑴.△2b 4ac 0->（） ⇔ 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个不同的交点. ⑵.△2b 4ac 0-=（） ⇔ 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. ⑶.△2b 4ac 0-<（） ⇔ 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x 轴无交点. ⑷.△2b 4ac 0-≥（） ⇔ 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x 轴有交点. 2.二次函数与一元二次不等式的关系（本部分是拓展，作为一般掌握.）已知一元二次不等式()2ax bx c 0a 0++>≠或()2ax bx c 0a 0++<≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.⑴.当a 0>时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵. 当a 0<时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体.第四部分利用二次函数的解决实际问题利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.主要有：1.利用二次函数解决面积问题；2.利用二次函数解决利润等代数问题；题目三：利用二次函数解决抛物线形问题.关于二次函数求“最值”的应用题基本环节：找出相关的数量关系 → 构建二次函数 → 利用二次函数的最值解决实际问题.主要题型：1.求最大面积⑴.相关几何图形的面积公式，几何图形之间面积的和差关系； ⑵.注意用同一个未知数（自变量）表示相关线段的长； ⑶.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度. 2.求高度、长度的“最值”⑴.直接建立函数关系解决高度、长度的“最值”； ⑵.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度 3.求最大利润⑴.总利润=单件利润× 实际件数；⑵.注意因“涨价”、“降价”等引起的单件利润和实际件数的变化2018.10.21整理九数上期《二次函数》单元知识复习提纲第 5页（共 6页）第 6页（共 6页）。

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【最新整理，下载后即可编辑】《二次函数》复习提纲一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数，)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y = 当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=2 0=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)例：（2012泰安）二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限二、二次函数的解析式（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax 2（a 是常数，且a ≠0），x 取任意实数。

②二次二项式型：形如y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0），x 取任意实数。

③二次二项式型：形如y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0），x 取任意实数。

④二次三项式型：形如y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0），x 取任意实数。

（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a ≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。

（3）二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）交点式：12()()y a x x x x =--（a ≠0）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=（a ≠0）。

二次函数复习专题讲义全

二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。

2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。

3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。

4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

6.对称轴：为x=-b/2a。

7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。

8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。

9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。

10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。

其中，顶点式和交点式可以相互转换。

注意，a≠0，而b和c可以为零。

1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。

当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。

3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。

当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。

4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。

5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。

《二次函数(基础复习).docx

二次函数(基础复习)★二次函数知识点汇总*1.定义：一般地，如果y = ax2 +bx + c(a.b,c是常数，d H 0),那么y叫做兀的二次函数.2.二次函数y = ax~的性质⑴抛物线y = d*(°工°)的顶点是坐标原点，对称轴是).，轴.⑵函数y = a/的图像与a的符号关系.①当a〉0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；②当a < 0时o抛物线开口向H<=>顶点为其最高点3.二次函数y = ax~ +bx + c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次两数尸加+办+ c用配方法可化成：y = a(x-h)2 +k的形式，具中h二亠,k =仏一沪•2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y = ax2；②y = ax2 +k；③ y = a(x-h)2；④y = a(x - /?)2 + k；⑤y = ax2 + 加+ c .6.抛物线的三耍素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当d<0时，开口向下；问相等，抛物线的开口人小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的在线记作x = h.特别地，y轴记作直线x = 0.7.顶点决定抛物线的位置.儿个不同的二次两数，如果二次项系数d相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.&求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：y = ax2 +bx-}-c = a x + — +"，二顶点是(一-—― ),对称轴\ 2a) 4ci 2a 4ci是直线兀=丄・2ci⑵配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y = c(x-h)2+k的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是兀=h .(3)运川抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线y = ax2 + bx + c中，a,b,c的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与y - ax2中的a完全一•样.⑵b和a共同决定抛物线对称轴的位置.rtl于抛物线y+bx+c的对称轴是直线龙=,2a故：®b = 0时，对称轴为y轴；②2>o(即b同号)吋，对称轴在y轴左侧；a③ 2 V 0 (即d、b界号)时，対称轴在y轴右侧.a⑶c的人小决定抛物线y = ax2 +bx + c与y轴交点的位置.当兀=0时，y = c ,抛物线y = ax1 +bx + c与y轴有且只有一个交点(0, c)：①c = 0 ,抛物线经过原点；②c〉0,与y轴交于.正半轴；③c < 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则1<0-11.用待定系数法求二次函数的解析式根据条件确定二次西数农达式的儿种基本思路。

九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc

九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅰ ② . 向平移 h h 0 个单位能够获得 ya x2 a 0 ；h③ . 向平移 hh 0个单位，再移 h h0 个单位能够获得y a x2k a 0 .二次函数的图象及其性质h编写：绥阳中学何开红⑶ . 一般形式： yax 2 bx c aax2知识点：抛物线 ybx c a 0 对称轴为.极点坐标为（） . 张口方向：当．．．．．．．．．．．1、二次函数的定义：形如（ a 、 b 、c 为常数，且 a 0 ）的函数 . 注a 0，张口向上；当 a0 ，张口向下 . 增减性：当 a0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增意四个方面的特色（重点词：函数、整式、整理、二次） .．．．．．．．b2、二次函数的图象：大而；当a 0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增大而.最值：当 a 0 ，x 二次函数的图象是一条；是对称图形 .．．2a3. 二次函数的性质：时， y 取最值为；当 a0 ， xb时， y 取最值为.⑴ . 特别形式：① . 抛物线 yax 2 a0 的对称轴为. 极点坐标为（）. 张口方向：当 a 0 ， 2a．．．．．．．．．．．张口向上；当 a 0 ，张口向下 . 增减性：当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而；例题分析：．．．当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而 . 最值：当 a 0 ，x 0 时， y 取最值例 1、选择题：．．为；当 a 0 ， x 0 时， y 取最值为 . ⑴ . 对于抛物线 y 1 x 23 ，以下结论： ① . 抛物线张口向下； ② . 对称轴是直线 x 1 ；③ .1 ② . 抛物线 y ax2 k a 0 的对称轴为 . 极点坐标为（） . 张口方向：当 a 2．．．．．．．．．．．极点坐标为 1, 3 ；④ . 当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小 . 此中正确的个数为（） 0 ，张口向上；当 a 0 ，张口向下 . 增减性：当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增A.1B.2C.3D.4．．．大而；当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而. 最值：当 a 0 ， x 0 ⑵ . 在同一平面直角坐标系中，直线 y y ax b 和抛物线 y ax 2bx c 的图象可能是（）．．yyy时， y 取最值为；当 a 0 ， x 0 时， y 取最值为 .③ . 抛物线 y a x2a0 的对称轴为.极点坐标为（）. 张口方向：当 ah．．．．．．．．．．．xOx Ox，张口向上；当 a0 ，张口向下 . 增减性：当 a 0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增大xOO．．．．．．．而；当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而. 最值：当 a 0 ， x h 时，AB CD ．．y 取最值为；当 a 0 ， x h 时， y 取最值为.例 2、填空题： 2⑵ . 配方形式： y a x 2k a 0⑴ . 二次函数 y x2x 4 的图象的张口方向是，对称轴是，极点坐标是.h抛物线 y a x h 2k a 0 对称轴 .）. 张口方向：当 a⑵ . 若函数 y2m x m 2 m 4x 1 是二次函数，则 m = ，其图象的极点坐标为.为极点坐标为（m．．．．．．．．．．．x 2y0，张口向上：当 a，张口向下 . 增减性：当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大 ⑶ . 假如抛物线 y6x c 在 x 轴上，则 c 的值为.．．．而；当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而. 最值：当 a 0 ， x h 时，22．．⑷ . 如图二次函数 y2mxm 4m5 的大概图象，则 m = .y 取最值为；当 a 0 ， x h 时， y 取最值为.xOx若把抛物线 y ax 2a 0进行平移：⑸ . 已知抛物线 yx 24x 有两点 P 1 3, y 1 、P 21 , y2 ，则 y 1、 y 2 的大小关系为 y 1y 2 .ax 2① . 向平移 k 个单位能够获得 yk a 0 ；2（填“ >”、“ <”或 “ =”） .九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 1 页（共 12 页）第 2 页（共 12 页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc⑹ . 二次函数 y ax2bx c 的部分点的坐标满足右表，则该函数极点的坐标为， m.⑺ . 已知二次函数 y ax2bx c 的图象的张口方向向上，极点在第三象限，则点 A b 24ac,b在第象限 .ya3例 3、已知抛物线 y x22x32⑴.求抛物线的对称轴和极点坐标；1⑵ . 画出抛物线的大概图形，并用虚线标出对称轴；x⑶ . 察看图象，你能得出哪些结论？请起码写出三条.–3–2–1O 123例 4、已知抛物线 y24x 5 .–1 x⑴.求此抛物线极点的坐标以及抛物线与坐标轴交点的的坐标；–2⑵ . 画出抛物线的大概图形；–3⑶ . 求按序连结抛物线极点和抛物线与坐标轴交点组成的几何图形的面积.追踪练习：1. 选择题：⑴ . 如图，抛物线y1 a x21x2 1 交于点 A 1,3，过点 A 作y x轴的平行线，2 3 与y232分别交两条抛物线于B、 C 两点，则以下结论：① . a1；② . 不论 x 取何值， y2的值老是正数；③ . 2AB3AC .B A C④ . 当x0 时，y2y14；此中正确的结论是（）A. ①②B.②③C.③④D.①④O x⑵.若A 3, y1, B5, y2, C1, y3为二次函数 y x24x 5 的图象上的三点，则444y1、 y2、 y3的大小关系是（）A. y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y1y3y2⑶ . 若抛物线 y x22x c与 y 轴的交点为0, 3，则以下说法不正确的的是（）A. 抛物线的张口向上B.抛物线的对称轴是 x1C. 当x1时， y 取最大值为4D.抛物线与 x 轴的交点为1, 3 ，3,02. 填空题：⑴ . 抛物线 y4x 28x 3的张口方，对称轴为，极点坐标为.⑵ . 已知以下函数：① .y x2；② .y x2；③ .y x122 .此中，图象经过平移能够得到 y x22x 3 的图象有.（填序号） .⑶ . 在二次函数y x23x 1 的图象中，若y 随x的增大而增大，则x 的取值范围是.⑷ . 二次函数 y ax2bx c 的部分点的坐标知足右表，则该函数极点的坐标为.⑸ .已知二次函数 y ax2bx c 的图象的张口向下，极点在第一象限，则点A b,c在第a 象限 .⑹ . 已知抛物线 y2x 2m 3 x1的对称轴在 y 轴的右边，最大值为2，则 m =.⑺ . 若抛物线 y m 2 x24m2 x m 3 的极点在y轴上，则此抛物线的张口方向，y 有.2y （填最大值或最小值），写出此抛物线的分析式1⑻ . 如图两条抛物线y11x21, y21x2 1 分别经过2,0 , 2,0–3–2–1O 1 23x–122y1–2且平行于 y 轴的两条平行线围成的暗影部分的面积为.–3y2–41 x2a5 的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么⑼ . 已知函数y a3x a 的取值范.a1y围是⑽ . 二次函数y a x2n 的图象以下图，则一次函数myy mx n 的图象经过象限 .x33、已知二次函数y x2bx 3 的图象经过点3,0 .O21⑴ . 求b的值；⑵ . 求出该二次函数极点的坐标和对称轴；–3–2–1O123x⑶ . 在所给的坐标系中画出y x2bx 3 的图象；–1⑷ . 若抛物线 y x2bx 3 与坐标均有交点，恳求出按序–2连结抛物线极点和抛物线与坐标轴交点组成的几何图形的–3面积 .4、以下图，已知二次函数y x22x 1 的图象的极点为 A ,二次函数yx22y2x 1 y ax2bx 的图象与 x 轴交于原点O以及另一点C , 它的极点B在函数1y x22x 1 上的图象的对称轴上 .x ⑴. 求点A以及点C的坐标；–2–1O 123⑵ . 当四边形AOBC为菱形时，求y ax2bx 的关系式 .–1⑶ . 求四边形AOBC为菱形时的面积 .–2九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ第3页（共12页）第4页（共12页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料Ⅱ求二次函数的分析式问题知识点：1、待定系数法的一般步骤:设出分析式的形式→代入→ 解答并求出待定系数的值→ 返回写出分析式.2、常有的求二次函数分析式的方法和门路：⑴ . 一般式：① . 设出二次函数的一般式为：y ax2bx c 0 a 0；②. 代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；③ . 进行解答并求出求出待定系数的值；④ . 最后返回写解出分析式 .⑵ . 极点式：① . 设出二次函数的极点式为：y a x m 2n a 0 ；② . 代入极点坐标和另一个条件的值；注意若我们设极点坐标为a,b ，则 m a, n b ；③. 进行解答并求出求出待定系数的值；④ . 最后返回写解出分析式 .⑶ . 交点式：① . 设出二次函数的一般式为： y a x x1 x x2 a 0 ；这里的 x1、 x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标；②. 代入 x1、 x2和此外一个条件的值；③ . 进行解答并求出求出待定系数的值；④. 最后返回写解出分析式 .⑷ . 特别式：① . 设出二次函数的特别式：若极点为原点可设为 y ax2a0 的形式；若极点在y 轴上可设为y ax 2k a 0 的形式；若极点在 x 轴上可设为y a x h 2a 0 的形式；② . 代入条件组成方程或方程组；③. 进行解答并求出求出待定系数的值；④ . 最后返回写解出分析式 .⑸. 平移式平移式主假如抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求分析式的一般步骤：① . 第一把已知的二次函数的分析写成配方式，形如y a x m 2n a 0 ；② . 由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的分析式其 a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移 k k 0 单位：向右平移则在m 数据上减去k k 0 ，向左平移则在m 数据上加上 k k 0 ；若上下平移 h h 0 单位：向上平移则在n 数据上加上 h h 0，向下平移则在n 数据上减去h h 0 .一句话：左右平移决定配方式括号里m 数据的变化，口诀是“左加右减” ；上下平移决定配方式括号外后边n 数据的变化，口诀是“上加下减”.⑹. 对称式① . 抛物线对于x 轴对称：分析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.② . 抛物线对于y 轴对称：分析式对应的二次项系数及常数项同样，而一次项系数互为相反数.③ . 抛物线对于原点对称：分析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数同样.例题分析：例 1、二次函数 y ax2bx c 的图象是过点 A 1,5、B0,4、 C4,0 的一条抛物线．2⑴ . 求这个二次函数的关系式；⑵ . 求这条抛物线的极点 D 的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线；⑶ . x 为什么值时，函数有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少?⑷ . x 在什么范围内， y 跟着 x 的增大而增大 ?y⑸ .求四边形OBDC的面积．例 2、有一抛物线的拱形桥洞，桥洞顶离水面最大高度为4m ，跨度为 10m ，把它图形放在直角坐标系中（见表示图）4m⑴ . 求此抛物线所对应的函数关系式；1m⑵ . 在对称轴右边1m处桥洞离水面高是多少米？O10 mMx例 3、已知抛物线经过 A 3,0、B2,0 、 C 1, 4 ，求抛物线的极点的坐标？变式：若把上边例题中坐标“ A 3,0、B 2,0”改为“ A 1,4 、B 4, 4”其他条件不变，又该怎样求出抛物线的极点坐标呢？y例 4、已知 Rt V ABC 中， ACB90 o， AB25， AC 20 ；若以边CAB 所在的直线为x轴，Rt V ABC斜边 AB 的高 OC 所在的直线作为 y 轴成立平面直角坐标系（见图示）⑴ . 请起码用三种不一样求分析式方法求出过 A、B、C 三点的抛物A O Bx 线的分析式；⑵ . 求出⑴问中抛物线的极点的坐标和对称轴.追踪练习：九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ第5页（共12页）第6页（共12页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc1、分别写出抛物线的极点为原点，抛物线过原点，抛物线的对称轴为y 轴，物线的与 x 轴有且．．．．只有一个交点的分析式各起码两个 . （答案不独一）2、分别按条件写出平移后的分析式：⑴ . 抛物线 y 2x 24x 1 向左平移 3 个单位后的分析式是；⑵ . 抛物线 y x 26x2 向下平移 4 个单位后的分析式是； ⑶ . 抛物线 y1 x 22x 2 先右平移 2 个单位后再下平移 3 个单位的的分析式是.2y3、依据给出条件求，二次函数的分析式：⑴ . 已知二次函数图象极点在 y 轴上，且过 A 1, 6 、B 2，3 两点；1412 ⑵ . 已知二次函数图象极点在x 轴上，且过 A 2, 0 、B 0，8 两点；10⑶ . 已知二次函数图象对称轴为直线1, 4 和 5,0x 2 ，且经过点；8 ⑷ . 已知二次函数图象经过 A 1, 1 、B 0,2 、C 1,3 三点；6⑸ . 已知二次函数图象经过 A 3,0 、B2,0 、C 1,4三点； 4 ⑹ . 已知二次函数图象经过A 1,6 、B 2,6 、C 1,4 三点；2x⑺ . 与已知抛物线 yx 24x 1 对于直线 x 3 对称 .O 2 44题图4、在一幢建筑物里 10 米高的窗台处有一水管斜着向外喷水，以下图，喷出的水在垂直于墙壁的竖直平面内形成一条抛物线，其极点距离墙 1.5 米远，而且落在离墙 4 米处的地面上，求抛物线的极点比发射点高多少米？5、已知抛物线的极点 M 坐标为 - 2, 3 ，且过点 A 1，5 ，求此抛物线的分析式？y6、已知二次函数当x 1 时，函数 y 有最大值 0，且经过点 A 1，4 .A⑴ . 求该二次函数的分析式；2⑵ . 怎样平移该二次函数的图象，使平移后的抛物线的极点在B2,3 上？1 B⑶ . 写出平移后的点 A 的对应点 A' 的坐标是多少？CO12x–13 7、如图，抛物线 yax 2 bx c a 0 的极点为 A , 与坐标轴的交点–1–2分别为 B 、C . 依据图中标示：⑴ . 求此抛物线的分析式；⑵ . 请按序连结 A 、B 、 C ，试求 V ABC 的面积 .y8、如图抛物线的极点为A 3, 3 ，此抛物线交 x 轴交于 O 、B 两点 .x⑴ . 求此抛物线的分析式；-3O⑵ . 求△ AOB 的面积；-3⑶ . 若抛物线上还有一点 P 知足 S △ POB =S △ AOB , 恳求出 P 的坐标 .9、y如左图，在平面直角坐标系中，抛物线y1 x 2经过平移获得抛物 1 22y = ?2 x1212线 y2x .y =2?x 2?x2 xOx⑴ . 抛物线是怎样平移的？⑵ . 求出其对称轴与两段抛物线所围成的暗影部分的面积？（暗影部分见表示图）y3 10、如右图，一抛物线在平面直角坐标系中的地点以下图，直21角坐标系中横轴与纵轴的单位长度都是1.–5 –4 –3 –2 –1O12345x⑴ . 求援此抛物线的分析式；–1 ⑵ . 若将此抛物线先向右平移4 个单位，再向下移 2 个单位，请–2–3化出平移后的图象，并写出平移后抛物线的分析式；–4 ⑶ . 求出最先的抛物线和平移后的抛物线两个极点间的距离；–5–6⑷ . 求出最先的抛物线和平移后的抛物线两个极点所在直线的解y–7析式 .y11、如图①，已知抛物线y ax 2bxc3 AC3 AC经过 A0,3、B 3,0、C 4,3 .⑴ . 求抛物线的分析式；BB⑵.求抛物线的极点的坐标和对称轴；OxO3434 x⑶ . 把抛物线向上平移，使得极点落在x 轴上，直接写出两条两条抛物线、对称轴和①②y 轴围成的图形的面积S ( 图中暗影部分） .yADB12、如图，在矩形 OABC 中， AO 10, AB 8 , 沿直线 CD 折叠矩形 OABC的一边 BC , 使点 B 落在 OA 边上的点 E 处，抛物线 y ax 2bxc 经过EO 、D 、C 三点 . ⑴. 求 AD 的长；⑵ . 抛物线的分析式 .OC x九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 7 页（共 12 页）第 8 页（共 12 页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc二次联婚（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1. 二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0 ，设抛物线 y ax2bx c a 0 .⑴ . △24ac ） 0一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与 x 轴有两个不一样（b的交点 .⑵ . △（b 24ac ） 0 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与 x 轴有“独一” 的交点，这个交点就是抛物线的极点.⑶ . △（b 2 4ac ） 0一元二次方程方程无实数根，则抛物线与 x 轴无交点 .⑷ . △（b 2 4ac ） 0 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与 x 轴有交点 .2. 二次函数与一元二次不等式的关系：已知一元二次不等式 ax 2bx c 0 a 0 或 ax 2bx c 0 a 0 ，设抛物线 y ax 2bx c a 0 ，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的会合.⑴ . 当 a 0 时：① . 若抛物线与 x 轴有两个不一样的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间；② . 若抛物线与 x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵ . 当 a 0 时：① . 若抛物线与 x 轴有两个不一样的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ② . 若抛物线与 x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体 .例题分析：y例 1、已知二次函数 yax 2 bx c a0 的图象如图，且OA OB , 有以下结论：① . abc4acb2ab c 0 ;AOB x0；②.=- 1；③ . –1C 124ay④ . b 4ac 0 ；⑤ . 4a 2b c 0 ；⑥ . b 2a1 ；⑦ . ac b1 0 .–1此中正确的有（填序号） .例 1图x 2例 2、已知二次函数 y2x m 的部分图象以下图 .⑴ . 求对于 x 的一元二次方程 x 2 2x m 0 的解；⑵ . 依据图象写出不等式 x22xm0的解集 .O13x例 3、已知二次函数 y 2x 2mx 2m⑴ .求证：对于随意实数m ，该二次函数的图象与x 轴总有公共交点；例 2图y⑵ . 若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点 A 、B ，且点 A 坐标为3 1, 0 ，求点 B 的坐标 .2例 4、二次函数 y ax2bx c a的图象以下图，依据图象解答：1x九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ第 9 页（共 12 页） –1O1 2 3–1–2⑴ . 写出方程 ax 2bx c 0 的两根；⑵ . 写出不等式 ax 2bx c 0 的解集；⑶ . 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量的取值范围；⑷ . 若方程 ax 2 bx ck 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围 .追踪练习： 1、选择题：⑴ . 已知二次函数 yx 2bx 2 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为1, 0，则它与 x 轴的另一个交点的坐标为（） A. 1,0B.2, 0 C. 2, 0D.1, 0 ⑵ . 已知函数 y k 3 x 22x 1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（）A. k 4B.k 4C.k 4 且k 3 D. k 4 且 k 3⑶ . 已知二次函数 y ax 2bx c 的 x 与 y 的部分对应值如右表，则以下判断正确的选项是（）A. 当 x 0 时，B.抛物线与 y 轴交于负半轴yC. y 0 抛物线张口向上D.方程 ax 2bx c 0 的正根在3 和4 之间 .2、填空题：⑴ . 已知抛物线 y ax 22axc 与 x 轴一个交点的坐标为1, 0 ，则一-6O 1x元二次方程 ax 22ax c0 的根为.⑵ . 如图是二次函数y ax 2bx c a0 的图象，则 ax 2bx c 0 时 x =； ax 2 bx c 0 时 x 的取值范围是； ax 2bx c 0时 x 的取值范围是 .⑶ . 若 y2x 2 m 2 x 1 在 x 轴上截得的线段长为6 ，则 m =.x1yax 23⑷ . 如图是二次函数ybx c a 0 的图象，有以下结论：① . ab 0 ；② . a b c 0 ；③ . b 2c0；④. a 2b 4c 0 ；⑤ . a3b . 此中正确的有（填序号） .–2–1O 1x2x 23、已知二次函数y 2x m 1 .⑴ . 若该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值；⑵ . 若该二次函数的图象与一次函数 y x 2m 的图象只有一个交点，求m 的值 .4、已知二次函数y x2kx k 5y⑴ . 求证：不论 k 取何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个交点； AOB x⑵ . 若此二次函数图象的对称轴为 x 1，求它的分析式；⑶ . 若⑵中的二次函数的图象与x 轴交于 A 、B ，与 y 轴交于点 C ；HDD 是第四象限函数图象上的点，且ODBC 于 H , 求点 D 的坐标．C第 10 页（共12页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc5、已知二次函数y x2m28 x 2 m26.⑴ . 求证：不论 m 取何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴 .⑵ . 设函数的图象与x 轴交于B、C两点，与y 轴交于 A 点，若△ ABC 的面积为48，求m的值.]利用二次函数的解决实质问题举例利用二次函数解决实质问题，在本册各种题中从几何面积、商品收益、抛物线形等切入的居多；主要经过成立二次函数关系式，为解决实质中的最大面积、最高收益、抛物线形等问题牵线搭桥；实质上就是数学上一种建模思想的又一详细运用. 下边我就本专题作简单的分类举例：题目一：利用二次函数解决面积问题例 1、如图，在矩形ABCD中， AB6cm, BC12cm ；点P从点A点开始沿AB边向点B一每秒的速度运动；点 Q 从点B点开始沿BC边向点C一每秒2cm的速度运动；若P、 Q 分别同1cmA D时从 A、 B 同时出发，设S表示V PDQ的面积, x 表示运动时间 .P⑴. 求出S与 x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；⑵. 求出S的最大值或最小值，并说明原因.B CQ, 10例 2、如图，抛物线经过,、B 5,0、C三点，设 E x, y 是抛物线上一动点，且在 xA 1 03y轴的下方，四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形.C⑴. 求抛物线的分析式；⑵. 当 E x, y 运动时，试求平行四边形OEBF 的面积 A 与x之间F的函数关系式，并求出最大面积；O A B x ⑶. 能否存在着样的点E，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求 E 点和 F 的坐标；若不存在，请说明原因.E题目二：利用二次函数解决收益等代数问题例 1、某商场一商场某产品每件成本10 元，试销阶段发现每件产品的销售价x （元）与产品销售量 y （件）之间的关系以下表，且日销售量y （件）与是偶家x （元）是一次函数.⑴ . 求出日销售量y （件）与是偶家x （元）的函数函数关系式.⑵. 要使每天的收益最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大收益是多少？例 2、千年古镇赵化的某旅馆有50 个房间供游住宿，当每个房间的房价为每天180 元，房间会所有住满；当每个房间每天的房价每增添10 元时，就会有一个房间安闲，旅馆需对游旅居住的每个房间每天支出20 元各样花费，依据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元，设每个房间的房价每天增添x 元（ x 为 10 的正整数倍）.⑴ . 设一天的房间数为y ，直接写出y 与x的函数关系式及自变量x 的取值范围；⑵ . 设旅馆一天的收益为W 元，求 W 与x的函数关系式；⑶ . 一天订住多少房间时旅馆的收益最大？最大收益是多少？题目三：利用二次函数解决抛物线形问题例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在AB 时，拱桥顶离水面 2 米（见图示），水面AB 宽为4米；若水面降落 1 米，水面CD宽度增添多少米？追踪练习：1、某店经营文具用品，已知成批购进时的单价是20 元 . 检查发现：销售单价是30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上升 1 元，月销售量就减少10 件，但每件文具售价不可以高于40元 . 设每件文具的销售单价上升x 元时（ x 为正整数），月销售收益为y 元.⑴ . 求y与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；⑵ . 每件文具的售价定为多少元时，月销售收益恰巧是2520 元？⑶ . 每件文具的售价定为多少元时辰使月销售收益最大？最大月收益是多少？2、某田户计划现有的一面墙再修四周墙，建成如所示的长方体水池，培养不一样品种鱼苗. 他已备足能够修高 1.5m、长 18 m 的墙的资料准备施工，设图中与现有一面墙垂直于的三面墙的长度都为 x m ，即AD EF BC x m ( 不考虑墙的厚度 )D F C⑴ . 若想水池的总容积为36 m3， x 的值应为多少？⑵ . 求水池的容积V与 x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围 .A E B⑶ . 若想使水池的容积V最大， x 应为多少？最大容积是多少？3、如图是一个抛物线的桥拱表示图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10 米（不考虑立柱的粗细），此中距 A 点10米处的立柱C FE 的高度为3.6 米.⑴ . 求正中间的立柱OC 的高度；E⑵ . 能否存在一根立柱，其高度恰巧是OCAF OB 的高度的一半？请说明原因 .4、身高为 1.8 m 的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为 3.05 m ，小王站在与篮圈中心的水平距离 4 m 的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线；当球运转的水平距离为 2.5 m 时，球达到距离地面 3.5 m 的最高点 .，运转一段时间后篮球最后恰巧落入篮圈.⑴ .请成立适合的坐标系，并以此求出球的运动路线的分析式；⑵ . 若篮球在小王的头顶上方0.25 m 出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少米？⑶ . 假如身高 2.26 m 的姚明练习定点投篮，球的运动路线也 3. 5m 3.05 m和此题的同样，球在姚明头顶上方0.34 m 处出手，则姚明应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮 2.5m4 m球正确落入篮圈？九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ第11页（共12页）第12页（共12页）。

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九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 1页（共 12页）第 2页（共 12页）九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅰ二次函数的图象及其性质编写：绥阳中学何开红知识点：1、二次函数的定义：形如（a b c 、、为常数，且a 0≠）的函数. 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）. 2、二次函数的图象：二次函数的图象是一条；是对称图形. 3.二次函数的性质： ⑴.特殊形式：①.抛物线()2y ax a 0=≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最值为；当a 0<，x 0=时，y 取最值为 .②.抛物线()2y ax k a 0=+≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最值为；当a 0<，x 0=时，y 取最值为 . ③.抛物线()()2y a x h a 0=-≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最值为；当a 0<，x h =时，y 取最值为 .⑵.配方形式：()()2y a x h k a 0=-+≠抛物线()()2y a x h k a 0=-+≠对称轴．．．为 .顶点．．坐标．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上：当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最值为；当a 0<，x h =时，y 取最值为 . 若把抛物线()2y ax a 0=≠进行平移： ①. 向平移k 个单位可以得到()2y ax k a 0=+≠；②.向平移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h a 0=-≠；③.向平移()h h 0>个单位，再移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h k a 0=-+≠.⑶.一般形式：()2y ax bx c a 0=++≠抛物线()2y ax bx c a 0=++≠对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，bx 2a=-时，y 取最值为；当a 0<，bx 2a=-时，y 取最值为 .例题解析：例1、选择题：⑴.对于抛物线()21y x 132=-++，下列结论：①.抛物线开口向下；②.对称轴是直线x 1=；③.顶点坐标为(),13-；④.当x 1>时，y 随x 的增大而减小.其中正确的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4⑵.b2c例2、填空题：⑴.二次函数2y x 2x 4=+-的图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标是 .⑵.若函数()22m m y m m x 4x 1-=++-是二次函数，则m = ，其图象的顶点坐标为 . ⑶.如果抛物线2y x 6x c =++在x 轴上，则c 的值为 .⑷.如图二次函数22y x 2mx m 4m 5=-+--的大致图象，则m = .⑸.已知抛物线2y x 4x =-有两点(),,11221P 3y P y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭、，则12y y 、的大小关系为1y 2y .（填“>”、“<”或 “=”）.九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 3页（共 12页）第 4页（共 12页）⑹. 二次函数2y ax bx c =++的部分点的坐标满足右表，则该函数顶点的坐标为，m = . ⑺.已知二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向向上，顶点在第三象限，则点,2b A b 4ac a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第象限.例3、已知抛物线2y x 2x 3=--+ ⑴. 求抛物线的对称轴和顶点坐标；⑵.画出抛物线的大致图形，并用虚线标出对称轴；⑶.观察图象，你能得出哪些结论？请至少写出三条.例4、已知抛物线2y x 4x 5=-++.⑴. 求此抛物线顶点的坐标以及抛物线与坐标轴交点的的坐标； ⑵.画出抛物线的大致图形；⑶.求顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.追踪练习：1.选择题：⑴.如图，抛物线()21y a x 23=+-与()221y x 312=-+交于点(),A 13，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B C 、两点，则以下结论：①.a 1= ；②.无论x 取何值，2y 的值总是正数；③.2AB 3AC =. ④.当x 0=时，21y y 4-=；其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.③④D.①④⑵.若,,,,,123351A y B y C y 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是（） A.123y y y << B.213y y y << C.312y y y << D.132y y y << ⑶.若抛物线2y x 2x c =-+与y 轴的交点为(),03，则下列说法不正确的的是（）A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是x 1=C.当x 1=时，y 取最大值为4-D.抛物线与x 轴的交点为()(),,1330-， 2.填空题：⑴.抛物线2y 4x 8x 3=-+-的开口方，对称轴为，顶点坐标为 . ⑵.已知下列函数：①.2y x =；②. 2y x =-；③. ()2y x 12=-+.其中，图象通过平移可以得到2y x 2x 3=-+-的图象有 .（填序号）.⑶.在二次函数2y x 3x 1=-++的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 .⑷.二次函数2y ax bx c =++的部分点的坐标满足右表，则该函数顶点的坐标为 .⑸. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象的开口向下，顶点在第一象限，则点,c A b a ⎛⎫⎪⎝⎭在第象限.⑹.已知抛物线()2y 2x m 3x 1=-+++的对称轴在y 轴的右侧，最大值为2，则m = .⑺.若抛物线()()22y m 2x 4m x m 3=-+--+的顶点在y 轴上，则此抛物线的开口方向，y 有（填最大值或最小值），写出此抛物线的解析式 .⑻.如图两条抛物线,221211y x 1y x 122=-+=--分别经过()(),,,2020- 且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .⑼.已知函数()2a 5y a 1x 3x a 1+=-++-的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值范围是 .⑽.二次函数()2y a x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过象限.3、已知二次函数2y x bx 3=++的图象经过点(),30.⑴.求b 的值；⑵.求出该二次函数顶点的坐标和对称轴； ⑶.在所给的坐标系中画出2y x bx 3=++的图象；⑷.若抛物线2y x bx 3=++与坐标均有交点，请求出顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.4、如图所示，已知二次函数2y x 2x 1=--的图象的顶点为A ,二次函数 2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 以及另一点C ,它的顶点B 在函数 2y x 2x 1=--上的图象的对称轴上.⑴.求点A 以及点C 的坐标；⑵.当四边形AOBC 为菱形时，求2y ax bx =+的关系式.⑶.求四边形AOBC 为菱形时的面积.xy–1–2–3123–1–2–3123Ox y CB A O xy–1–2–3123–1–2–3123Oxy–1–2123–1–212O2y x 2x 1=--xy Ox y y 2y 1–1–2–3123–1–2–3–412O九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 5页（共 12页）第 6页（共 12页）九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅱ求二次函数的解析式问题知识点：1、待定系数法的一般步骤:设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式. 2、常见的求二次函数解析式的方法和途径： ⑴.一般式：①.设出二次函数的一般式为：()2y ax bx c 0a 0=++=≠； ②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑵.顶点式：①.设出二次函数的顶点式为：()()2y a x m n a 0=++≠；②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为(),a b ，则,m a n b =-=； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑶.交点式：①.设出二次函数的一般式为：()()()12y a x x x x a 0=--≠；这里的12x x 、是抛物线与x 轴交点的横坐标；②.代入12x x 、和另外一个条件的值； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑷. 特殊式：①.设出二次函数的特殊式：若顶点为原点可设为()2y ax a 0=≠的形式；若顶点在y 轴上可设为()2y ax k a 0=+≠的形式；若顶点在x 轴上可设为()()2y a x h a 0=+≠的形式；②.代入条件构成方程或方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑸.平移式平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如()()2y a x m n a 0=++≠；②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移()k k 0>单位：向右平移则在m 数据上减去()k k 0>，向左平移则在m 数据上加上()k k 0>；若上下平移()h h 0>单位：向上平移则在n 数据上加上()h h 0>，向下平移则在n 数据上减去()h h 0>.一句话：左右平移决定配方式括号里m 数据的变化，口诀是“左加右减”；上下平移决定配方式括号外后面n 数据的变化，口诀是“上加下减”. ⑹.对称式①.抛物线关于x 轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.②.抛物线关于y 轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. ③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.例题解析：例1、二次函数2y ax bx c =++的图象是过点()(),,,5A 1B 04C 402⎛⎫--- ⎪⎝⎭、、的一条抛物线．⑴.求这个二次函数的关系式；⑵.求这条抛物线的顶点D 的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线； ⑶.x 为何值时，函数有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少? ⑷.x 在什么范围内，y 随着x 的增大而增大?⑸.求四边形OBDC 的面积．例2、有一抛物线的拱形桥洞，桥洞顶离水面最大高度为4m ，跨度为10m⑴.求此抛物线所对应的函数关系式；⑵.在对称轴右边1m 处桥洞离水面高是多少米？例3、已知抛物线经过()()(),,,A 30B 20C 14、、，求抛物线的顶点的坐标？变式：若把上面例题中坐标“()(),,A 30B 20、”改为“()(),,A 14B 44、”其余条件不变，又该如何求出抛物线的顶点坐标呢？例4、已知Rt ABC V 中，ACB 90AB 25AC 20∠===o ，， AB 所在的直线为x 轴，Rt ABC V 斜边AB 的高OC 为y 轴建立平面直角坐标系（见图示）⑴.请至少用三种不同求解析式方法求出过A B C 、、三点的抛物线的解析式；⑵.求出⑴问中抛物线的顶点的坐标和对称轴.追踪练习：九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 7页（共 12页）第 8页（共 12页）1、分别写出．．．．抛物线的顶点为原点，抛物线过原点，抛物线的对称轴为y 轴，物线的与x 轴有且只有一个交点的解析式各至少两个.（答案不唯一）2、分别按条件写出平移后的解析式：⑴.抛物线2y 2x 4x 1=-+-向左平移3个单位后的解析式是； ⑵.抛物线2y x 6x 2=+-向下平移4个单位后的解析式是；⑶.抛物线21y x 2x 22=-+-先右平移2个单位后再下平移3个单位的的解析式是 .3、根据给出条件求，二次函数的解析式：⑴.已知二次函数图象顶点在y 轴上，且过()(),A 16B 23-、，两点； ⑵.已知二次函数图象顶点在x 轴上，且过()(),A 20B 08、，两点； ⑶.已知二次函数图象对称轴为直线x 2=，且经过点(),14和(),50； ⑷.已知二次函数图象经过()()(),,,A 11B 02C 13--、、三点； ⑸.已知二次函数图象经过()()(),,,A 30B 20C 14、、三点； ⑹.已知二次函数图象经过()()(),,,A 16B 26C 14、、三点；⑺.与已知抛物线2y x 4x 1=-+-关于直线x 3=对称.4、在一幢建筑物里10米高的窗台处有一水管斜着向外喷水，如图所示，喷出的水在垂直于墙壁的竖直平面内形成一条抛物线，其顶点距离墙1.5米远，并且落在离墙4米处的地面上，求抛物线的顶点比喷射点高多少米？5、已知抛物线的顶点M 坐标为(),-23，且过点()A 15-，，求此抛物线的解析式？ 6、已知二次函数当x 1=时，函数y 有最大值0，且经过点()A 14--，. ⑴.求该二次函数的解析式；⑵.如何平移该二次函数的图象，使平移后的抛物线的顶点在(),B 23-上？⑶.写出平移后的点A 的对应点'A 的坐标是多少？7、如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠的顶点为A ,与坐标轴的交点分别为B C 、.根据图中标示： ⑴.求此抛物线的解析式；⑵.请顺次连结A B C 、、，试求ABC V 的面积.8、如图抛物线的顶点为(),A 33--，此抛物线交x 轴交于O B 、两点⑴.求此抛物线的解析式； ⑵.求△AOB 的面积；⑶.若抛物线上另有一点P 满足S △POB =S △AOB ,请求出P 的坐标9、如左图，在平面直角坐标系中，抛物线21y x 2=经过平移得到抛物线21y x 2x 2=-. ⑴.抛物线是如何平移的？⑵.求出其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积？（阴影部分见示意图）10、如右图，一抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角坐标系中横轴与纵轴的单位长度都是1. ⑴.求助此抛物线的解析式；⑵.若将此抛物线先向右平移4个单位，再向下移2个单位，请化出平移后的图象，并写出平移后抛物线的解析式；⑶.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点间的距离； ⑷.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点所在直线的解析式.11、如图①，已知抛物线2y ax bx c =++ 经过()()(),,,A 03B 30C 43、、.⑴.求抛物线的解析式；⑵. 求抛物线的顶点的坐标和对称轴； ⑶.把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积S (图中阴影部分）.12、如图，在矩形OABC 中，,AO 10AB 8==,沿直线CD折叠矩形OABC 的一边BC ,使点B 落在OA 边上的点E 处，抛物线2y ax bx c =++经过O D C、、三点. ⑴.求AD 的长； ⑵.抛物线的解析式.∙x ①②九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 9页（共 12页）第 10页（共 12页）二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1. 二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠.⑴.△2b 4ac 0->（） ⇔ 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个不同的交点. ⑵.△2b 4ac 0-=（） ⇔ 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. ⑶.△2b 4ac 0-<（） ⇔ 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x 轴无交点. ⑷.△2b 4ac 0-≥（） ⇔ 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x 轴有交点. 2.二次函数与一元二次不等式的关系：已知一元二次不等式()2ax bx c 0a 0++>≠或()2ax bx c 0a 0++<≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.⑴.当a 0>时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵. 当a 0<时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体. 例题解析：例1、已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图，且OA OB =,有以下结论：①.abc 0>；②.=-24ac b 14a-；③. a b c 0->; ④.2b 4ac 0-<；⑤.4a 2b c 0-+<；⑥.b 2a 1+>；⑦.ac b 10++. 其中正确的有（填序号）.例2、已知二次函数2y x 2x m =-++的部分图象如图所示.⑴.求关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-++=的解；⑵.根据图象写出不等式2x 2x m 0-++<的解集.例3、已知二次函数22y 2x mx m =--⑴.求证：对于任意实数m ，该二次函数的图象与x 轴总有公共交点； ⑵.若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A B 、，且点A 坐标为 (),10，求点B 的坐标.例4、二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，根据图象解答：⑴.写出方程2ax bx c 0++=的两根；⑵.写出不等式2ax bx c 0++>的解集；⑶.写出y 随x 的增大而减小的自变量的取值范围；⑷.若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 追踪练习： 1、选择题：⑴.已知二次函数2y x bx 2=+-的图象与x 轴的一个交点的坐标为(),10，则它与x 轴的另一个交点的坐标为（） A.(),10 B.(),20 C.(),20- D.(),10- ⑵.已知函数()2y k 3x 2x 1=-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A.k 4<B.k 4≤C.k 4<且 k 3≠D.k 4≤且k 3≠⑶.已知二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如右表，则下列判断正确的是（） A.当x 0>时， B.抛物线与y 轴交于负半轴C.y 0>抛物线开口向上D.方程2ax bx c 0++=的正根在3和4 之间2、填空题：⑴.已知抛物线2y ax 2ax c =-+与x 轴一个交点的坐标为(),10-，则一元二次方程2ax 2ax c 0-+=的根为 .⑵. 如图是二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象，则2ax bx c 0++= 时x = ；2ax bx c 0++>时x 的取值范围是；2ax bx c 0++< 时x 的取值范围是 .⑶.若()2y 2x m 2x 1=-+-+在x 轴上截得的线段长为6，则m = . ⑷.如图是二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象，有以下结论：①.ab 0>；②.a b c 0++<；③.b 2c 0+<；④.a 2b 4c 0-+>；⑤.3a b 2=. 其中正确的有（填序号）. 3、已知二次函数2y x 2x m 1=++-.⑴.若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值；⑵.若该二次函数的图象与一次函数y x 2m =+的图象只有一个交点，求m 的值.4、已知二次函数2y x kx k 5=-+-⑴.求证：无论k 取何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个交点；⑵.若此二次函数图象的对称轴为x 1=，求它的解析式；⑶.若⑵中的二次函数的图象与x 轴交于A B 、，与y 轴交于点C ； D 是第四象限函数图象上的点，且OD BC ⊥于H ,求点D 的坐标． 1x 3=-xy–1–21Oxy–1123–1–2123O xy1-6Oxy 31O例2图xyH D B A CO 例1图xy –11–1BACO九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 11页（共 12页）第 12页（共 12页）5、已知二次函数()()222y x m 8x 2m 6=-+++.⑴.求证：不论m 取何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴. ⑵.设函数的图象与x 轴交于B C 、两点，与y 轴交于A 点，若△ABC 的面积为48，求m 的值.]利用二次函数的解决实际问题举例利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.下面我就本专题作简单的分类举例：题目一：利用二次函数解决面积问题例1、如图，在矩形ABCD 中，,AB 6cm BC 12cm ==；点P 从点A 点开始沿AB 边向点B 一每秒1cm 的速度运动；点Q 从点B 点开始沿BC 边向点C 一每秒2cm 的速度运动；若P Q 、分别同时从A B 、同时出发，设S 表示PDQ V 的面积,x 表示运动时间. ⑴.求出S 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； ⑵.求出S 的最大值或最小值，并说明理由.例2、如图，抛物线经过()(),,,10A 10B 50C 03⎛⎫⎪⎝⎭、、三点，设(),E x y 是抛物线上一动点，且在x轴的下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形.⑴.求抛物线的解析式；⑵.当(),E x y 运动时，试求平行四边形OEBF 的面积A 与x 之间的函数关系式，并求出最大面积； ⑶.是否存在着样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求E 点和F 的坐标；若不存在，请说明理由.题目二：利用二次函数解决利润等代数问题例1、某商场一商场某产品每件成本10元，试销阶段发现每件产品的销售价x （元）与产品销售量y （件）之间的关系如下表，且日销售量y （件）与是偶家x （元）是一次函数. ⑴.求出日销售量y （件）与是偶家x （元）的函数函数关系式.⑵.要使每日的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大利润是多少？例2、千年古镇赵化的某宾馆有50个房间供游住宿，当每个房间的房价为每天180元，房间会全部住满；当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的正整数倍）.⑴.设一天的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； ⑵.设宾馆一天的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式； ⑶.一天订住多少房间时宾馆的利润最大？最大利润是多少？题目三：利用二次函数解决抛物线形问题例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在AB 时，拱桥顶离水面2米（见图示），水面AB 宽为4米；若水面下降1米，水面CD 宽度增加多少米？追踪练习：1、某店经营文具用品，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件文具售价不能高于40元.设每件文具的销售单价上涨x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元. ⑴.求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； ⑵.每件文具的售价定为多少元时，月销售利润恰好是2520元？⑶.每件文具的售价定为多少元时刻使月销售利润最大？最大月利润是多少？2、某农户计划现有的一面墙再修四面墙，建成如所示的长方体水池，培育不同品种鱼苗.他已备足可以修高.15m 、长18m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直于的三面墙的长度都为x m ，即AD EF BC x m ===(不考虑墙的厚度)⑴.若想水池的总容积为336m ，x 的值应为多少？⑵.求水池的容积V 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围. ⑶.若想使水池的容积V 最大，x 应为多少？最大容积是多少？3、如图是一个抛物线的桥拱示意图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A 点10米处的立柱FE 的高度为3.6米.⑴.求正中间的立柱OC 的高度； ⑵.是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的高度的一半？请说明理由.4、身高为.18m 的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为.305m ，小王站在与篮圈中心的水平距离4m 的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线；当球运行的水平距离为.25m 时，球达到距离地面.35m 的最高点.，运行一段时间后篮球最后恰好落入篮圈. ⑴.请建立适当的坐标系，并以此求出球的运动路线的解析式；⑵.若篮球在小王的头顶上方.025m 出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少米？⑶.若是身高.226m 的姚明练习定点投篮，球的运动路线也和本题的一样，球在姚明头顶上方.034m 处出手，则姚明应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮球准确落入篮圈？D AB C P Qx yFB A CO EA B F CO E CFDB A E .25m 4m.35m .305m。

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九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 1页（共 12页）第 2页（共 12页）九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅰ二次函数的图象及其性质编写：绥阳中学何开红知识点：1、二次函数的定义：形如（a b c 、、为常数，且a 0≠）的函数. 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）. 2、二次函数的图象：二次函数的图象是一条；是对称图形. 3.二次函数的性质： ⑴.特殊形式：①.抛物线()2y ax a 0=≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最值为；当a 0<，x 0=时，y 取最值为 .②.抛物线()2y ax k a 0=+≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最值为；当a 0<，x 0=时，y 取最值为 . ③.抛物线()()2y a x h a 0=-≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最值为；当a 0<，x h =时，y 取最值为 .⑵.配方形式：()()2y a x h k a 0=-+≠抛物线()()2y a x h k a 0=-+≠对称轴．．．为 .顶点．．坐标．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上：当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最值为；当a 0<，x h =时，y 取最值为 . 若把抛物线()2y ax a 0=≠进行平移： ①. 向平移k 个单位可以得到()2y ax k a 0=+≠；②.向平移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h a 0=-≠；③.向平移()h h 0>个单位，再移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h k a 0=-+≠.⑶.一般形式：()2y ax bx c a 0=++≠抛物线()2y ax bx c a 0=++≠对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为（）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，bx 2a=-时，y 取最值为；当a 0<，bx 2a=-时，y 取最值为 .例题解析：例1、选择题：⑴.对于抛物线()21y x 132=-++，下列结论：①.抛物线开口向下；②.对称轴是直线x 1=；③.顶点坐标为(),13-；④.当x 1>时，y 随x 的增大而减小.其中正确的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4⑵.b2c例2、填空题：⑴.二次函数2y x 2x 4=+-的图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标是 .⑵.若函数()22m m y m m x 4x 1-=++-是二次函数，则m = ，其图象的顶点坐标为 . ⑶.如果抛物线2y x 6x c =++在x 轴上，则c 的值为 .⑷.如图二次函数22y x 2mx m 4m 5=-+--的大致图象，则m = .⑸.已知抛物线2y x 4x =-有两点(),,11221P 3y P y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭、，则12y y 、的大小关系为1y 2y .（填“>”、“<”或 “=”）.九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 3页（共 12页）第 4页（共 12页）⑹. 二次函数2y ax bx c =++的部分点的坐标满足右表，则该函数顶点的坐标为，m = . ⑺.已知二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向向上，顶点在第三象限，则点,2b A b 4ac a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第象限.例3、已知抛物线2y x 2x 3=--+ ⑴. 求抛物线的对称轴和顶点坐标；⑵.画出抛物线的大致图形，并用虚线标出对称轴；⑶.观察图象，你能得出哪些结论？请至少写出三条.例4、已知抛物线2y x 4x 5=-++.⑴. 求此抛物线顶点的坐标以及抛物线与坐标轴交点的的坐标； ⑵.画出抛物线的大致图形；⑶.求顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.追踪练习：1.选择题：⑴.如图，抛物线()21y a x 23=+-与()221y x 312=-+交于点(),A 13，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B C 、两点，则以下结论：①.a 1= ；②.无论x 取何值，2y 的值总是正数；③.2AB 3AC =. ④.当x 0=时，21y y 4-=；其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.③④D.①④⑵.若,,,,,123351A y B y C y 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是（） A.123y y y << B.213y y y << C.312y y y << D.132y y y << ⑶.若抛物线2y x 2x c =-+与y 轴的交点为(),03，则下列说法不正确的的是（）A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是x 1=C.当x 1=时，y 取最大值为4-D.抛物线与x 轴的交点为()(),,1330-， 2.填空题：⑴.抛物线2y 4x 8x 3=-+-的开口方，对称轴为，顶点坐标为 . ⑵.已知下列函数：①.2y x =；②. 2y x =-；③. ()2y x 12=-+.其中，图象通过平移可以得到2y x 2x 3=-+-的图象有 .（填序号）.⑶.在二次函数2y x 3x 1=-++的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 .⑷.二次函数2y ax bx c =++的部分点的坐标满足右表，则该函数顶点的坐标为 .⑸. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象的开口向下，顶点在第一象限，则点,c A b a ⎛⎫⎪⎝⎭在第象限.⑹.已知抛物线()2y 2x m 3x 1=-+++的对称轴在y 轴的右侧，最大值为2，则m = .⑺.若抛物线()()22y m 2x 4m x m 3=-+--+的顶点在y 轴上，则此抛物线的开口方向，y 有（填最大值或最小值），写出此抛物线的解析式 .⑻.如图两条抛物线,221211y x 1y x 122=-+=--分别经过()(),,,2020- 且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .⑼.已知函数()2a 5y a 1x 3x a 1+=-++-的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值范围是 .⑽.二次函数()2y a x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过象限.3、已知二次函数2y x bx 3=++的图象经过点(),30.⑴.求b 的值；⑵.求出该二次函数顶点的坐标和对称轴； ⑶.在所给的坐标系中画出2y x bx 3=++的图象；⑷.若抛物线2y x bx 3=++与坐标均有交点，请求出顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.4、如图所示，已知二次函数2y x 2x 1=--的图象的顶点为A ,二次函数 2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 以及另一点C ,它的顶点B 在函数 2y x 2x 1=--上的图象的对称轴上.⑴.求点A 以及点C 的坐标；⑵.当四边形AOBC 为菱形时，求2y ax bx =+的关系式.⑶.求四边形AOBC 为菱形时的面积.xy–1–2–3123–1–2–3123Ox y CB A O xy–1–2–3123–1–2–3123Oxy–1–2123–1–212O2y x 2x 1=--xy Ox y y 2y 1–1–2–3123–1–2–3–412O九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 5页（共 12页）第 6页（共 12页）九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅱ求二次函数的解析式问题知识点：1、待定系数法的一般步骤:设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式. 2、常见的求二次函数解析式的方法和途径： ⑴.一般式：①.设出二次函数的一般式为：()2y ax bx c 0a 0=++=≠； ②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑵.顶点式：①.设出二次函数的顶点式为：()()2y a x m n a 0=++≠；②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为(),a b ，则,m a n b =-=； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑶.交点式：①.设出二次函数的一般式为：()()()12y a x x x x a 0=--≠；这里的12x x 、是抛物线与x 轴交点的横坐标；②.代入12x x 、和另外一个条件的值； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑷. 特殊式：①.设出二次函数的特殊式：若顶点为原点可设为()2y ax a 0=≠的形式；若顶点在y 轴上可设为()2y ax k a 0=+≠的形式；若顶点在x 轴上可设为()()2y a x h a 0=+≠的形式；②.代入条件构成方程或方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑸.平移式平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如()()2y a x m n a 0=++≠；②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移()k k 0>单位：向右平移则在m 数据上减去()k k 0>，向左平移则在m 数据上加上()k k 0>；若上下平移()h h 0>单位：向上平移则在n 数据上加上()h h 0>，向下平移则在n 数据上减去()h h 0>.一句话：左右平移决定配方式括号里m 数据的变化，口诀是“左加右减”；上下平移决定配方式括号外后面n 数据的变化，口诀是“上加下减”. ⑹.对称式①.抛物线关于x 轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.②.抛物线关于y 轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. ③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.例题解析：例1、二次函数2y ax bx c =++的图象是过点()(),,,5A 1B 04C 402⎛⎫--- ⎪⎝⎭、、的一条抛物线．⑴.求这个二次函数的关系式；⑵.求这条抛物线的顶点D 的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线； ⑶.x 为何值时，函数有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少? ⑷.x 在什么范围内，y 随着x 的增大而增大?⑸.求四边形OBDC 的面积．例2、有一抛物线的拱形桥洞，桥洞顶离水面最大高度为4m ，跨度为10m⑴.求此抛物线所对应的函数关系式；⑵.在对称轴右边1m 处桥洞离水面高是多少米？例3、已知抛物线经过()()(),,,A 30B 20C 14、、，求抛物线的顶点的坐标？变式：若把上面例题中坐标“()(),,A 30B 20、”改为“()(),,A 14B 44、”其余条件不变，又该如何求出抛物线的顶点坐标呢？例4、已知Rt ABC V 中，ACB 90AB 25AC 20∠===o ，， AB 所在的直线为x 轴，Rt ABC V 斜边AB 的高OC 为y 轴建立平面直角坐标系（见图示）⑴.请至少用三种不同求解析式方法求出过A B C 、、三点的抛物线的解析式；⑵.求出⑴问中抛物线的顶点的坐标和对称轴.追踪练习：九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 7页（共 12页）第 8页（共 12页）1、分别写出．．．．抛物线的顶点为原点，抛物线过原点，抛物线的对称轴为y 轴，物线的与x 轴有且只有一个交点的解析式各至少两个.（答案不唯一）2、分别按条件写出平移后的解析式：⑴.抛物线2y 2x 4x 1=-+-向左平移3个单位后的解析式是； ⑵.抛物线2y x 6x 2=+-向下平移4个单位后的解析式是；⑶.抛物线21y x 2x 22=-+-先右平移2个单位后再下平移3个单位的的解析式是 .3、根据给出条件求，二次函数的解析式：⑴.已知二次函数图象顶点在y 轴上，且过()(),A 16B 23-、，两点； ⑵.已知二次函数图象顶点在x 轴上，且过()(),A 20B 08、，两点； ⑶.已知二次函数图象对称轴为直线x 2=，且经过点(),14和(),50； ⑷.已知二次函数图象经过()()(),,,A 11B 02C 13--、、三点； ⑸.已知二次函数图象经过()()(),,,A 30B 20C 14、、三点； ⑹.已知二次函数图象经过()()(),,,A 16B 26C 14、、三点；⑺.与已知抛物线2y x 4x 1=-+-关于直线x 3=对称.4、在一幢建筑物里10米高的窗台处有一水管斜着向外喷水，如图所示，喷出的水在垂直于墙壁的竖直平面内形成一条抛物线，其顶点距离墙1.5米远，并且落在离墙4米处的地面上，求抛物线的顶点比喷射点高多少米？5、已知抛物线的顶点M 坐标为(),-23，且过点()A 15-，，求此抛物线的解析式？ 6、已知二次函数当x 1=时，函数y 有最大值0，且经过点()A 14--，. ⑴.求该二次函数的解析式；⑵.如何平移该二次函数的图象，使平移后的抛物线的顶点在(),B 23-上？⑶.写出平移后的点A 的对应点'A 的坐标是多少？7、如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠的顶点为A ,与坐标轴的交点分别为B C 、.根据图中标示： ⑴.求此抛物线的解析式；⑵.请顺次连结A B C 、、，试求ABC V 的面积.8、如图抛物线的顶点为(),A 33--，此抛物线交x 轴交于O B 、两点⑴.求此抛物线的解析式； ⑵.求△AOB 的面积；⑶.若抛物线上另有一点P 满足S △POB =S △AOB ,请求出P 的坐标9、如左图，在平面直角坐标系中，抛物线21y x 2=经过平移得到抛物线21y x 2x 2=-. ⑴.抛物线是如何平移的？⑵.求出其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积？（阴影部分见示意图）10、如右图，一抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角坐标系中横轴与纵轴的单位长度都是1. ⑴.求助此抛物线的解析式；⑵.若将此抛物线先向右平移4个单位，再向下移2个单位，请化出平移后的图象，并写出平移后抛物线的解析式；⑶.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点间的距离； ⑷.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点所在直线的解析式.11、如图①，已知抛物线2y ax bx c =++ 经过()()(),,,A 03B 30C 43、、.⑴.求抛物线的解析式；⑵. 求抛物线的顶点的坐标和对称轴； ⑶.把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积S (图中阴影部分）.12、如图，在矩形OABC 中，,AO 10AB 8==,沿直线CD折叠矩形OABC 的一边BC ,使点B 落在OA 边上的点E 处，抛物线2y ax bx c =++经过O D C、、三点. ⑴.求AD 的长； ⑵.抛物线的解析式.∙x ①②九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 9页（共 12页）第 10页（共 12页）二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1. 二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠.⑴.△2b 4ac 0->（） ⇔ 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个不同的交点. ⑵.△2b 4ac 0-=（） ⇔ 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. ⑶.△2b 4ac 0-<（） ⇔ 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x 轴无交点. ⑷.△2b 4ac 0-≥（） ⇔ 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x 轴有交点. 2.二次函数与一元二次不等式的关系：已知一元二次不等式()2ax bx c 0a 0++>≠或()2ax bx c 0a 0++<≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.⑴.当a 0>时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵. 当a 0<时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体. 例题解析：例1、已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图，且OA OB =,有以下结论：①.abc 0>；②.=-24ac b 14a-；③. a b c 0->; ④.2b 4ac 0-<；⑤.4a 2b c 0-+<；⑥.b 2a 1+>；⑦.ac b 10++. 其中正确的有（填序号）.例2、已知二次函数2y x 2x m =-++的部分图象如图所示.⑴.求关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-++=的解；⑵.根据图象写出不等式2x 2x m 0-++<的解集.例3、已知二次函数22y 2x mx m =--⑴.求证：对于任意实数m ，该二次函数的图象与x 轴总有公共交点； ⑵.若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A B 、，且点A 坐标为 (),10，求点B 的坐标.例4、二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，根据图象解答：⑴.写出方程2ax bx c 0++=的两根；⑵.写出不等式2ax bx c 0++>的解集；⑶.写出y 随x 的增大而减小的自变量的取值范围；⑷.若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 追踪练习： 1、选择题：⑴.已知二次函数2y x bx 2=+-的图象与x 轴的一个交点的坐标为(),10，则它与x 轴的另一个交点的坐标为（） A.(),10 B.(),20 C.(),20- D.(),10- ⑵.已知函数()2y k 3x 2x 1=-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A.k 4<B.k 4≤C.k 4<且 k 3≠D.k 4≤且k 3≠⑶.已知二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如右表，则下列判断正确的是（） A.当x 0>时， B.抛物线与y 轴交于负半轴C.y 0>抛物线开口向上D.方程2ax bx c 0++=的正根在3和4 之间2、填空题：⑴.已知抛物线2y ax 2ax c =-+与x 轴一个交点的坐标为(),10-，则一元二次方程2ax 2ax c 0-+=的根为 .⑵. 如图是二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象，则2ax bx c 0++= 时x = ；2ax bx c 0++>时x 的取值范围是；2ax bx c 0++< 时x 的取值范围是 .⑶.若()2y 2x m 2x 1=-+-+在x 轴上截得的线段长为6，则m = . ⑷.如图是二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象，有以下结论：①.ab 0>；②.a b c 0++<；③.b 2c 0+<；④.a 2b 4c 0-+>；⑤.3a b 2=. 其中正确的有（填序号）. 3、已知二次函数2y x 2x m 1=++-.⑴.若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值；⑵.若该二次函数的图象与一次函数y x 2m =+的图象只有一个交点，求m 的值.4、已知二次函数2y x kx k 5=-+-⑴.求证：无论k 取何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个交点；⑵.若此二次函数图象的对称轴为x 1=，求它的解析式；⑶.若⑵中的二次函数的图象与x 轴交于A B 、，与y 轴交于点C ； D 是第四象限函数图象上的点，且OD BC ⊥于H ,求点D 的坐标． 1x 3=-xy–1–21Oxy–1123–1–2123O xy1-6Oxy 31O例2图xyH D B A CO 例1图xy –11–1BACO九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 11页（共 12页）第 12页（共 12页）5、已知二次函数()()222y x m 8x 2m 6=-+++.⑴.求证：不论m 取何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴. ⑵.设函数的图象与x 轴交于B C 、两点，与y 轴交于A 点，若△ABC 的面积为48，求m 的值.]利用二次函数的解决实际问题举例利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.下面我就本专题作简单的分类举例：题目一：利用二次函数解决面积问题例1、如图，在矩形ABCD 中，,AB 6cm BC 12cm ==；点P 从点A 点开始沿AB 边向点B 一每秒1cm 的速度运动；点Q 从点B 点开始沿BC 边向点C 一每秒2cm 的速度运动；若P Q 、分别同时从A B 、同时出发，设S 表示PDQ V 的面积,x 表示运动时间. ⑴.求出S 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； ⑵.求出S 的最大值或最小值，并说明理由.例2、如图，抛物线经过()(),,,10A 10B 50C 03⎛⎫⎪⎝⎭、、三点，设(),E x y 是抛物线上一动点，且在x轴的下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形.⑴.求抛物线的解析式；⑵.当(),E x y 运动时，试求平行四边形OEBF 的面积A 与x 之间的函数关系式，并求出最大面积； ⑶.是否存在着样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求E 点和F 的坐标；若不存在，请说明理由.题目二：利用二次函数解决利润等代数问题例1、某商场一商场某产品每件成本10元，试销阶段发现每件产品的销售价x （元）与产品销售量y （件）之间的关系如下表，且日销售量y （件）与是偶家x （元）是一次函数. ⑴.求出日销售量y （件）与是偶家x （元）的函数函数关系式.⑵.要使每日的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大利润是多少？例2、千年古镇赵化的某宾馆有50个房间供游住宿，当每个房间的房价为每天180元，房间会全部住满；当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的正整数倍）.⑴.设一天的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； ⑵.设宾馆一天的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式； ⑶.一天订住多少房间时宾馆的利润最大？最大利润是多少？题目三：利用二次函数解决抛物线形问题例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在AB 时，拱桥顶离水面2米（见图示），水面AB 宽为4米；若水面下降1米，水面CD 宽度增加多少米？追踪练习：1、某店经营文具用品，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件文具售价不能高于40元.设每件文具的销售单价上涨x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元. ⑴.求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； ⑵.每件文具的售价定为多少元时，月销售利润恰好是2520元？⑶.每件文具的售价定为多少元时刻使月销售利润最大？最大月利润是多少？2、某农户计划现有的一面墙再修四面墙，建成如所示的长方体水池，培育不同品种鱼苗.他已备足可以修高.15m 、长18m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直于的三面墙的长度都为x m ，即AD EF BC x m ===(不考虑墙的厚度)⑴.若想水池的总容积为336m ，x 的值应为多少？⑵.求水池的容积V 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围. ⑶.若想使水池的容积V 最大，x 应为多少？最大容积是多少？3、如图是一个抛物线的桥拱示意图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A 点10米处的立柱FE 的高度为3.6米.⑴.求正中间的立柱OC 的高度； ⑵.是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的高度的一半？请说明理由.4、身高为.18m 的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为.305m ，小王站在与篮圈中心的水平距离4m 的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线；当球运行的水平距离为.25m 时，球达到距离地面.35m 的最高点.，运行一段时间后篮球最后恰好落入篮圈. ⑴.请建立适当的坐标系，并以此求出球的运动路线的解析式；⑵.若篮球在小王的头顶上方.025m 出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少米？⑶.若是身高.226m 的姚明练习定点投篮，球的运动路线也和本题的一样，球在姚明头顶上方.034m 处出手，则姚明应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮球准确落入篮圈？D AB C P Qx yFB A CO EA B F CO E CFDB A E .25m 4m.35m .305m。

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