幂函数定义
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数与指数函数是高等数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍幂函数和指数函数的定义、性质以及它们在不同领域的应用。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。
幂函数的定义域为正实数集。
当a>0时，幂函数是严格递增的；当a<0时，幂函数是严格递减的。
特别地，当a=0时，幂函数为常函数。
幂函数的图像可以分为几种不同的情况。
当a>1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当a<0时，幂函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。
二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a为底数，x为自变量。
指数函数的定义域为实数集。
当底数a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。
特别地，当底数a=1时，指数函数为常函数。
指数函数的图像也有几种不同的情况。
当底数a>1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当底数a<0时，指数函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。
三、幂函数与指数函数的应用1. 科学领域幂函数与指数函数在科学领域的应用非常广泛。
在物理学中，幂函数与指数函数可以描述天体运动、物体的增长规律等。
在化学中，幂函数与指数函数可用于描述化学反应速率、物质的衰变等。
2. 经济领域在经济学中，幂函数与指数函数常用于描述经济增长、人口增长等问题。
其中，指数函数可以用来描述指数增长，而幂函数则可以用来描述多项式增长。
3. 网络领域在网络传输中，幂函数与指数函数可以用于描述网络带宽的分配、传输速度的控制等问题。
指数函数在网络拓扑中也有广泛的应用，如指数递增的网络节点连接数量等。
幂函数的概念与性质
幂函数的概念与性质幂函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学领域拥有广泛的应用。
本文将介绍幂函数的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。
一、幂函数的概念幂函数是指形如f(x)=ax^n的函数，其中a和n为常数，n为指数。
其中，a称为底数，n称为指数。
这里要注意的是，底数a必须大于0且不等于1，指数n可以是任意实数。
幂函数在底数和指数的选择上具有很大的灵活性。
当n为正整数时，幂函数表现为递增或递减的特点，如f(x)=2x^3，其图像为一个开口向上的曲线；当n为负整数时，幂函数则表现为递减或递增的特点，如f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}，其图像为一个开口向下的曲线；当n为小数或分数时，幂函数则表现出递增或递减的平缓特点，如f(x)=\sqrt{x}，其图像为一条从原点开始向右上方延伸的曲线。
二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集，即该幂函数对于任意实数x都有定义。
值域则根据底数a和指数n的取值情况而定。
2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数是对称于y轴的偶函数，即f(x)=f(-x)；当指数n为奇数时，幂函数则是关于原点对称的奇函数，即f(x)=-f(-x)。
3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数是递增的；当指数n为负数时，幂函数则是递减的。
4. 渐近线：当指数n为正数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正无穷，即具有一条水平渐近线y=0；当指数n为负数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正0，其图像也会具有一条水平渐近线y=0。
5. 极值点：幂函数在底数为正且指数为正偶数时，不存在极值点；在底数为正且指数为负偶数时，幂函数存在一个局部极大值点；在底数为负且指数为任意实数时，幂函数既不具有极小值也不具有极大值。
6. 对称轴：幂函数的对称轴一般位于y轴，并且是关于y轴对称的。
当指数n为奇数时，幂函数的对称轴位于原点。
7. 特殊性质：当底数a是自然常数e（约等于2.71828）时，所得到的幂函数称为自然指数函数，常用符号为f(x)=e^x。
第15讲 幂函数及其性质
第15讲幂函数及其性质【知识点梳理】（1）幂函数的定义：一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.（2）幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.（3）幂函数的图象和性质常见的幂函数图像及性质：（4对幂函数性质的综合考查，主要体现为单调性、奇偶性，处理时要以常见的具体幂函数的图象和性质1.幂函数的单调性：在区间(0,)+∞上，当0α>时，y x α=是增函数；当0α<时，y x α=是减函数.2.幂函数的奇偶性：令qpα=（其中,p q 互质，*,,1p q N p ∈>）.（1）若p 为奇数，则q py x =的奇偶性取决于q 是奇数还是偶数.当q 是奇数时，q py x =是奇函数；当q 是偶数时，q py x =是偶函数.（2）若p 为偶数，则q 必是奇数，此时qpy x =既不是奇函数，也不是偶函数.1.幂函数的凸性1.上凸函数、下凸函数的定义：设函数(x)f 在[,]a b 上有定义，若对[,]a b 中任意不同两点121212()(),,()22x x f x f x x x f ++≥都成立，则称()f x 在[,]a b 上是上凸的函数，即上凸函数.设函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对[,]a b 中任意不同两点121212()(),,()22x x f x f x x x f ++≤都成立，则称()f x 在[,]a b 上是下凸的函数，即下凸函数.这个定义从几何形式上看就是：在函数()f x 的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方，那么这个函数就是上凸函数；如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断，一般开口向下的二次函数是上凸函数，开口向上的二次函数是下凸函数.2.幂函数的凸性（1）幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，在1α>时，函数是下凸函数；（2）幂函数y x α=，(0,)x ∈+∞，在01α<<时，函数是上凸函数；（3）幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，在0α<时，函数是下凸函数.【典型例题】题型一幂函数的概念【例1】在函数21y x=，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例2】已知()21212223m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．【题型专练】1．现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知函数()()()2211 nn f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___.3.已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．题型二：幂函数的三要素【例1】幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例2】已知幂函数()22333mm y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值可以为（）A ．5B ．1C ．2D ．4【题型专练】1.若函数()f x 是幂函数，满足(4)8(2)f f =，则1(1)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．2.已知幂函数()f x 的图象经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()4f 的值为___．3.设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3题型三：幂函数的性质【例1】幂函数()()2231mm f x m m x+-=--在x ∈（0，+∞）上是减函数，则m ＝（）A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．1【例2】幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（）A ．27B ．9C ．19D ．127【例3】已知幂函数()f x 的图象经过点()9,3，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【例4】已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（）A ．23-B ．1C ．23D ．1-【例5】若幂函数()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈在()0,∞+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p q +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【题型专练】1．若幂函数()()215m f x m m x -=+-在()0,∞+上单调递减，则m =（）A ．3-或2B ．2C ．3-D ．2-2．已知幂函数()()()224210,m m f x m x ∞-+=-+在上单调递增，则m =（）A ．0B ．13-C ．103-或D ．106-或3．已知幂函数()y f x =的图象过点24⎛ ⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞4.已知幂函数()223()pp f x x p N --*=∈的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133pp aa -<+，则a 的取值范围是_____．5．写出一个具有性质①②③的函数()f x =______．①()f x 定义域为{}0x x ≠；②()f x 在(),0∞-单调递增；③()()()f ab f a f b =⋅．题型四：幂函数的图象【例1】幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a>>>D ．b c d a>>>【例2】已知幂函数()f x 的图象为曲线C ，有下列四个性质：①()f x 为偶函数；②曲线C 不过原点O ；③曲线C 在第一象限呈上升趋势，④当1≥x 时，()1f x ≥.写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数()f x ___________.【例3】如图所示是函数m ny x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（）A ．m n 、是奇数且1m n<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m n 、是偶数，且1m n>【题型专练】1．图中1C ，2C ，3C 分别为幂函数1y x =α，2y x =α，3y x α=在第一象限内的图象，则1α，2α，3α依次可以是（）A.12，3，1-B ．1-，3，12C ．12，1-，3D ．1-，12，32.幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ． III, VII3．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．题型五：幂函数的综合运用【例1】已知幂函数()()2144m f x m m x +=+-在区间()0,+¥上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.【例2】已知幂函数()y f x =经过点14,8⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若()()232f a f a +<-，求实数a 的取值范围．【题型专练】1．若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.2．已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式（2）若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.3．已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b +∈R ）满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值．。
幂函数知识点
1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．
注意：幂函数定义的特点：
①幂底数是自变量
②指数α为常数
③αx 前面的系数为1
例题：见考点P115的考题1
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；
（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例题：考题2、3
规律1：在第一象限，作直线)1
a
x，它同各幂函数图象相交，按交点从下
(>
=a
到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x
y=对称．
例题：考题4、5。
幂函数的单调性、奇偶性及其应用-高中数学知识点讲解
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
1．幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【知识点归纳】
一、幂函数定义：
一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．
（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是 1；
（4）形式都是y＝x a，其中a 是常数．
二、幂函数与指数函数的对比
式子名称
a x y
指数函数：y＝a x 底数指数幂值幂函数：y＝x a 指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质
1
（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y =푥2；（5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x31
2y＝x
﹣1
y =푥
定义域R R R [0，+∞）{x|x≠0}
值域R [0，+∞）R [0，+∞）{y|y≠0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增x∈[0，+∞）增增x∈（0，+∞）
时，增时，减
x∈（﹣∞，0] x∈（﹣∞，
1/ 2
时，减0）时，减
公共点（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）0）0）0）0）
四、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数，当a 为偶数时，幂函数为偶函数．
2/ 2。
幂函数定义
幂函数定义幂函数定义为：在实数集上，任取实数xi，作为自变量，定义一个函数f(x)，其满足f(x)的自变量xi的n次方（n为实数）的关系式，称之为幂函数。
表示为：f(x)=xn其中：f：函数；x：自变量；n：实数，也称幂指数。
二、特点1、当n为正数时，当x>0，f(x)>0，当x=0，f(x)=0；当x<0，f(x)<0。
2、当n为负数时，当x>0，f(x)<0；当x=0，f(x)=0；当x<0，f(x)>0。
3、当n=0时，函数f(x)=1，且f(x)独立于x，也就是说，不论x为什么值，f(x)都是相同的，即f(x)=1。
三、性质1、当n为正数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化：在x轴改变正数值时，f(x)值变大；在同一轴上改变负数值时，f(x)值变小；2、当n为负数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化：在x轴改变正数值时，f(x)值变小；在同一轴上改变负数值时，f(x)值变大；3、当|x|越小，则|f(x)|值越大，而当|x|增大，则|f(x)|值越小，即图像向原点收敛；4、当n>1时，f(x)的图象与x的函数图像一致，即，它们同样的开口着向上（当x>0时）或向下（当x<0时），它们同样的单调性；5、当n<1时，f(x)的图象与x的函数图像不一致，即，它们不一样的开口着向下（当x>0时）或向上（当x<0时），它们也不一样的单调性；四、应用在数学中，幂函数在拓扑学，复变函数理论，应用函数性质等方面有重要的应用。
1、应用于拓扑学：幂函数在拓扑学中定义了一类空间变换，如压缩变换，拉伸变换有以下定义：压缩变换：f(xa)=f(x)b；拉伸变换：f(xa)=f(x)b；其中a,b为实数，a≠0，b≠0，其中a表示变换的中心，b表示变换的强度。
2、应用于复变函数理论：幂函数的几何性质在复变函数理论中有重要的应用。
当n是实数，f(z)是复变函数时，它们的极限和它们的导数十分简单：极限：ζ→∞，f(ζ∞)=∞；ζ→0，f(ζ∞)=0；导数：f′(ζ)=nf(ζ)ζn13、应用于函数性质：幂函数的几何性质在复变函数的函数性质中也有广泛的应用。
数学高考知识点幂函数
数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。
在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。
一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。
2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。
当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。
3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。
4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。
二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。
这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。
2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。
这一性质在求解极限时常常会被用到。
3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。
三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。
2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。
在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。
幂函数概念
幂函数概念
幂函数是数学中一种重要的概念，它在多种不同的科学和技术领域都有着广泛的用途。
它是一种函数，通过让数字的值经过某种算法的处理求出一个结果，或者可以把它看作是某种运算的一种快捷方法。
它的基本特征是，给定一个数字及其特定的次数和指数，它可以计算出一个结果，即次方指数。
例如，若要计算2的3次方，即2的平方，则可以把答案定义为f（x）=x^3，并将2作为x的值来求得f（2）=8，即2的3次方为8。
这就是幂函数的基本使用方法。
除了像这样简单的基本使用外，幂函数还有更复杂的用法。
它可以用来求解方程，描述函数的变化规律，计算数学表达式，以及对函数的求导等等。
幂函数的表达式可以用公式表示：y=x^n，其中x为自变量，y
为因变量，n为指数，表示x的n次方。
换句话说，当x的值改变时，以指数n的幂级数表示的y的值也会改变。
指数n可以为正数、负数或者零。
当n为正数时，表示x的正指数，乘积指数越大，函数值越大；当n为负数时，表示x的负指数，乘积指数越大，函数值越小；当n为零时，函数值始终为1，表示x
的无穷指数。
此外，幂函数的求导也是一个重要的概念。
一般形式的幂函数求导是：y=nx^(n-1)，其中y为导数，n为指数。
根据求导的准则，对nx^(n-1)求导得：n(n-1)x^(n-2)，即导数系数乘以函数下一次幂数，
直至函数次数为1。
最后，幂函数有着广泛的应用。
它可以用来解决多种不同的方程，表达多种数学表达式，描述函数的变化规律，以及对函数的求导。
因此，它是一种非常有用的概念，值得研究。
幂函数的性质与变化规律
幂函数的性质与变化规律幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。
本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。
一、幂函数的定义和图像特点幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。
特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。
幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面：1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律：（1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。
（2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律：幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。
在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。
二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。
对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。
2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。
3. 单调性：当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。
4. 渐近线：当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。
只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴正半轴，即有水平渐近线。
幂函数的概念与计算
幂函数的概念与计算幂函数是数学中常见且重要的一类函数，具有形如f(x) = ax^m的特点。
其中，a是实数，而m是自然数或正整数。
幂函数的特点是自变量x的指数是恒定不变的，而系数a可以是任意实数。
一、幂函数的定义和性质幂函数是由实数到实数的映射，在定义域内具有以下特点：1. 幂函数的定义域是实数集R，即幂函数对任意实数都有定义。
2. 幂函数的值域则取决于指数m的奇偶性。
当m为奇数时，值域为全体实数；当m为偶数时，值域为非负实数。
3. 当指数m为正整数时，幂函数是递增函数；当指数m为负整数时，幂函数是递减函数。
4. 当指数m为正偶数时，幂函数的图像呈现上升的开口向上的形状；当指数m为正奇数时，幂函数的图像呈现上升的开口向下的形状。
5. 幂函数在x轴上有一个零点x=0，其它的零点则取决于指数m的取值。
二、幂函数的计算方法在实际问题中，我们需要具体计算幂函数的值。
根据幂函数的特性，我们可以采用以下方法进行计算：1. 零点计算：对于幂函数f(x) = ax^m，我们可以令f(x) = 0，然后求解方程ax^m = 0，从而得到幂函数的零点。
2. 极值计算：当幂函数为单调函数时，可以通过求解f'(x) = 0来得到极值点。
3. 特殊值计算：根据幂函数的定义和性质，我们可以计算一些特殊值，例如当x=1时，f(x) = a；当x=-1时，f(x) = a(-1)^m。
三、幂函数的应用举例幂函数在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 功率函数：电路中的功率由电流和电压的乘积决定，而功率函数可以表示为P = U^2/R，其中U表示电压，R表示电阻。
这个功率函数就是一个幂函数，其中指数m为2。
2. 面积与体积计算：许多几何图形的面积和体积可以用幂函数来表示。
例如，正方形的面积函数可以表示为A = s^2，其中s表示正方形的边长；球体的体积函数可以表示为V = (4/3)πr^3，其中r表示球体的半径。
高中幂函数知识点
高中幂函数知识点高中幂函数学问点幂函数定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为任意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根[据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域幂函数性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来商量各自的特性：首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=k，则x=1/(x^k)，明显x≠0，函数的定义域是(∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排解了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数;排解了为0这种可能，即对于x排解了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。
〔总结〕起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为任意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
幂函数知识点
幂函数知识点幂函数是数学中常见的一类函数，它的定义形式为y = ax^b，其中a和b是常数，x是自变量，y是因变量。
幂函数的定义域可以是实数集的任意一个非空子集。
幂函数的特点有以下几个方面：1. 幂函数的图像通常呈现出一种曲线，它的形状和斜率与指数b的大小有关。
当指数b大于0时，图像从左下方无穷逼近x轴并逐渐向上弯曲，当b小于0时，图像从左上方无穷逼近x轴并逐渐向下弯曲。
当指数b为0时，函数变为常数函数y=a。
2. 幂函数在x轴的正负两侧可以有不同的表现。
当x取正值时，若底数a为正，那么y的值与指数b的奇偶性有关；若底数a为负，那么y的值与指数b的奇偶性相反。
同理，当x取负值时，y的表现也与指数b的奇偶性有关。
3. 当指数b为整数时，幂函数在原点处有一个分界点，当x大于该分界点时，函数值为正；当x小于该分界点时，函数值为负。
当指数b为分数时，函数值的正负与底数a有关，需要根据具体数值进行分析。
4. 幂函数的增减性与指数b有关。
当指数b大于0时，幂函数在整个定义域上是递增的；当指数b小于0时，幂函数在整个定义域上是递减的。
当指数b为0时，幂函数是一个常函数，函数值保持不变。
5. 幂函数的奇偶性与指数b有关。
当指数b为偶数时，幂函数是一个偶函数，即关于y轴对称；当指数b为奇数时，幂函数是一个奇函数，即关于原点对称。
6. 幂函数的性质还包括定义域的确定、连续性、导数和极限的计算等，这些内容可以通过数学分析方法进行探讨。
综上所述，幂函数是具有一定特点和性质的特殊函数。
它在数学中的应用十分广泛，既可以用于建模描述自然界的规律，也可以用于解决实际问题中的数学运算。
掌握幂函数的知识和性质，对于学习数学和应用数学都有重要意义。
在学习中，我们可以通过观察幂函数的图像、推导幂函数的性质和应用幂函数解决问题等方式，深入理解幂函数的内涵和外延。
幂函数与根函数的定义与性质
幂函数与根函数的定义与性质幂函数和根函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学和实际问题中有广泛的应用。
本文将重点讨论幂函数和根函数的定义和性质，并通过例子来进一步说明它们的特点和使用。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如$f(x) = x^a$的函数，其中$a$为常数。
幂函数的定义域为实数集，当$a$为正数时，幂函数在定义域上是递增的；当$a$为负数时，幂函数在定义域上是递减的。
当$a$为0时，幂函数在定义域上恒为1，即$f(x) = 1$。
幂函数的性质如下：1. 幂函数的图像与参数$a$的取值有关。
当$a>1$时，幂函数的图像呈现出增长迅速的特点，图像向上开口；当$0<a<1$时，幂函数的图像呈现出增长缓慢的特点，图像向下开口。
2. 幂函数在$x=0$处通常有一个特殊点。
当$a>0$时，幂函数在$x=0$处的值为0；当$a<0$时，并不存在$x=0$处的点。
3. 幂函数可以通过变换（平移、伸缩）来得到新的函数。
如$f(x) =2x^3$，在幂函数$x^3$的基础上，将所有点的横坐标伸缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标伸缩为原来的2倍。
4. 幂函数的零点和极限。
当$a>0$时，幂函数的零点只有$x=0$；当$a<0$时，幂函数没有零点。
当$x$趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大；当$x$趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于0。
例子1：考虑幂函数$f(x) = x^2$，它的图像呈现出开口向上的抛物线形状。
对于任意正数$x_1$和$x_2$，若$x_1 > x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$，说明该幂函数是递增的。
在$x=0$处，该幂函数取到最小值0。
当$x$趋近于正无穷大时，$f(x)$也趋近于正无穷大。
二、根函数的定义与性质根函数是指形如$f(x) = \sqrt[a]{x}$的函数，其中$a$为正整数且$a\geq 2$。
幂函数的概念及其图像
3.3幂函数知识点一、幂函数的定义一般地，形如函数 (α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数．知识点二、幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数x y =，2x y =，3x y =，x y =，1-=x y 的图象分别如下．知识点三、幂函数的性质： （1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限； （3）当0>α时，幂函数的图象过 ．知识点四、幂函数的图象在第一象限的分布规律（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于 对称．一、幂函数的定义例1、幂函数352)1(----=m x m m y 在0(，)∞+上为减函数，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1- C ．1-或2 D ．251±≠m【举一反三】1、已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．(1,1)y2、已知12)2()(-++=m m x m m x f ，m 为何值时，)(x f 是：（1）正比例函数； （2）反比例函数； （3）二次函数；（4）幂函数.二、幂函数的图像例2、幂函数αx y =，当α取不同的正数时，在区间0[，]1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A 1(，)0，B 0(，)1，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数αx y =，βx y =的图象三等分，即有|BM |＝|MN |＝|NA |，那么=αβ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定例3、已知幂函数)(x f 的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2,41) （1）求)(x f ，)(x g 的解析式；（2）当x 为何值时，①)()(x g x f >；②)()(x g x f =；③)()(x g x f <．三、幂函数的性质【考题】比较下列各组数的大小： （1）13(0.95)- 13(0.96)-； （2）138-- 1319⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）30.830.7（4）122 131.8；例5、已知幂函数=)(x f 223m m x --(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是单调减函数，试求满足3(1)ma -+<3(32)ma --的a 的取值范围.【举一反三】已知幂函数y ＝243m m x --(m ∈Z )的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象.【课后巩固】1．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4-2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y3．函数3x y =和31x y =图象关于（ ）对称 A ．原点B ．x 轴C ．y 轴D ．直线x y =4．下列函数中既是偶函数又在0(，)∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-145．函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数6．对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ．)2(21x x f +=2)()(21x f x f +D ． 无法确定7．)()27,3)(14x f x f -，则的图象过点（幂函数的解析式是 ．8．已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=--y y x 轴都无交点，且关于轴，的图象与轴对称，则f x ()的解析式是 ． 9．已知幂函数12)()(-+=m m xx f (m ∈N *).（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)>f(a －1)的实数a 的取值范围.。
幂函数
y=x
y = x2
y = x3
1 2
1 3
y=x
y=x
当 k > 0 时，幂函数 y = x k 有下列性质：
y
4 3 2 1
y=x
3
1. 图象都通过点（0，0） 与（1，1）。 2. 在区间 [0，∞）上，是 增函数。
y=x 1 y = x3
o
-1 1 2 3
1 2
-2
-11 -2 -1
o
-1
1
2
3
x
要点1， 要点 ，幂函数的图像和性质归纳 1）k＞0 时； ） ＞ 图象都通过点(0,0)，(1,1)； ①图象都通过点 ， ； 第一象限内， 的增大而增大， ②在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大， ，＋∞ 上是增函数． 即在(0，＋∞)上是增函数． ，＋ 上是增函数 2) k＜0 时； ＜ 图象都通过点(1,1)； ①图象都通过点 ； 第一象限内， 的增大而减小， ②在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小， 即在(0，＋ 上是减函数 ，＋∞ 上是减函数． 即在 ，＋∞)上是减函数． 在第一象限内， 轴无限地接近， ③在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近， 轴无限地接近． 向右与 x 轴无限地接近．
1 3.设α ∈{－1,1，，，则使函数y＝xα的定义域为R， 3} 2 且为奇函数的所有α的值为( ) A． 1,3 C．－1,3 B．－1,1 D．－1,1,3
4.当x ∈ (0，＋∞)时，幂函数y＝(m －m－ x 1)
2
－5 m－3
为增函数，则实数m的值为
.
5． (a＋1) ＞(3－2a) ， a 的取值范围是 ． 若 ＋ － 则 的取值范围是________． ．
幂函数图像与性质
幂函数的周期性
幂函数性质：周 期性是指函数在 一定周期内重复
出现的性质。
幂函数周期：幂 函数的周期与其 指数有关，当指 数为正整数时， 幂函数具有周期
性。
周期计算：幂函 数的周期可以通 过将指数除以自 变量来计算，得 到的结果即为函
数的周期。
周期性特点：幂 函数的周期性具 有一些特点，例 如当指数为偶数 时，函数图像关 于y轴对称；当 指数为奇数时， 函数图像关于原
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左到右下降
幂函数应用： 在数学、物理、 工程等领域有
广泛应用
幂函数定义域和值域
值域：y>0
定义域：x属于R
定义：幂函数f(x)=x^a， 其中a为实数
性质：幂函数图像在第一象 限，随着a的增大，函数图
像从右上至左下逐渐上升
02
幂函数图像
幂函数图像特点
幂函数图像在第 一象限内单调递 增
幂函数图像在第 二象限内单调递 减
幂函数图像在y 轴两侧对称
幂函数图像在x 轴上无交点
幂函数图像与x轴关系
当a>0时，幂函数图像与x轴有交 点
当a=0时，幂函数图像与x轴只有 一个交点
添加标题
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当a<0时，幂函数图像与x轴无交 点
幂函数图像与x轴交点的个数和位 置与a的取值有关
幂函数图像与y轴关系
当x>0时，幂函数图像位于 第一象限
04
幂函数的应用
幂函数在数学领域的应用
幂函数在微积分中的应用 幂函数在求解方程中的应用 幂函数在概率论中的应用 幂函数在复数分析中的应用
幂函数在物理领域的应用
力学：描述物体的运动规律，如加速度与速度的关系。 光学：解释光的干涉和衍射现象，如杨氏双缝干涉实验。 电磁学：解释电磁波的传播规律，如无线电信号的传输。 量子力学：描述微观粒子的运动状态，如波函数的形式。
高一数学知识点幂函数的总结
高一数学知识点幂函数的总结高一数学知识点关于幂函数的总结幂函数定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
(完整版)幂函数知识总结
幂 函 数 复 习一、幂函数定义：形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图:归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质归纳:幂函数在第一象限的性质:0>α，图像过定点（0,0）（1,1)，在区间(+∞,0）上单调递增。
0<α，图像过定点(1，1)，在区间（+∞,0）上单调递减.探究：整数m,n 的奇偶与幂函数nm x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系? 结果：形如nmx y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性（1）当m,n 都为奇数时，f （x)为奇函数,图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称；（3）当m 为偶数n 为奇数时，f(x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1，在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1，在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0，在第一象限为水平的射线； 指数小于0，在第一象限为双曲线型; 四、规律方法总结:1、幂函数)1,0(==ααx y 的图像：2、幂函数),,,,(互质q p Z q p p qx y ∈==αα的图像:3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： (1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性; （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 题型一:幂函数解析式特征例1。
下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=xxB 。
幂函数知识点
幂函数知识点一、定义与性质幂函数是指函数表达式为y = ax^n的一类函数，其中a和n为常数，且a ≠ 0。
1. 幂函数的定义域与值域- 当n为正整数时，幂函数的定义域为全体实数集R，值域为R+（正实数集）。
- 当n为负整数时，幂函数的定义域为x ≠ 0的实数集R，值域为R+。
- 当n为0时，幂函数的定义域为x ≠ 0的实数集R，值域为{1}（常数函数）。
2. 幂函数的奇偶性- 当n为奇数时，幂函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
- 当n为偶数时，幂函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
3. 幂函数的单调性与极值点- 当n为正整数且n > 1时，若a > 0，则幂函数是递增函数；若a< 0，则幂函数是递减函数。
幂函数没有极值点。
- 当n为正整数且n = 1时，幂函数是严格单调递增函数，没有极值点。
- 当n为负整数时，幂函数是递减函数，在定义域内有极小值点。
- 当n为0时，幂函数为常数函数，没有单调性和极值点。
4. 幂函数的图像特点- 当n为正整数且n > 1时，幂函数的图像是一条通过原点的增长趋近于正半轴的曲线。
- 当n为正整数且n = 1时，幂函数的图像是一条通过原点且与直线y = a平行的直线。
- 当n为负整数时，幂函数的图像是一条与x轴正向趋近于0的曲线。
- 当n为0时，幂函数的图像是一条水平直线。
二、幂函数的运算1. 幂函数的加减运算- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^n（a ≠ b），它们的和函数为y = (a + b)x^n。
两个幂函数之和仍为幂函数，且幂指数不变。
- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^n（a ≠ b），它们的差函数为y = (a - b)x^n。
两个幂函数之差仍为幂函数，且幂指数不变。
2. 幂函数的乘除运算- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^m，它们的乘积函数为y = (ab)x^(n+m)。
数学中的幂函数与指数函数公式整理与推导
数学中的幂函数与指数函数公式整理与推导一、幂函数的定义与性质在数学中，幂函数是指形如 y = x^n 的函数，其中 x 是实数，n 是常数，且n ≠ 0。
幂函数中的 x 称为底数，n 称为指数。
幂函数有以下几个性质：1. 当指数 n 为正数时，幂函数是一个递增函数。
随着底数 x 的增加，函数值 y 也随之增加。
2. 当指数 n 为负数时，幂函数是一个递减函数。
随着底数 x 的增加，函数值 y 逐渐减小。
3. 当指数 n 为偶数时，幂函数的图像关于 y 轴对称。
即，对于任意的 x，有 y = (-x)^n = x^n。
4. 当指数 n 为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
即，对于任意的 x，有 y = (-x)^n = -x^n。
二、指数函数的定义与性质指数函数是数学中的一类特殊函数，形如 y = a^x，其中 a 是底数，x 是变量，y 是函数值。
指数函数有以下几个性质：1. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是一个递增函数。
随着变量 x 的增加，函数值 y 也随之增加。
2. 当底数 a 在 0 和 1 之间时，指数函数是一个递减函数。
随着变量x 的增加，函数值 y 逐渐减小。
3. 当底数 a 等于 1 时，指数函数为常函数 y = 1。
无论变量 x 的取值如何，函数值始终为 1。
4. 指数函数与幂函数是互为反函数。
即，对于任意的 x 和 y，有 y = a^x 当且仅当 x = loga(y)。
三、幂函数与指数函数的公式推导1. 幂函数的一般公式幂函数的一般公式可以通过指数函数的性质推导得出。
设幂函数的底数为 x，指数为 n，根据指数函数的反函数性质，可以得到：x = y^(1/n)两边取 n 次方，得到：x^n = (y^(1/n))^n化简得到：x^n = y所以，幂函数的一般公式为 y = x^n。
2. 指数函数的一般公式指数函数的一般公式可以通过幂函数的性质推导得出。
设指数函数的底数为 a，指数为 x，根据幂函数的性质，可以得到：y = a^x两边取以 a 为底的对数，得到：loga(y) = loga(a^x)由于对数函数 loga(a^x) 的定义是 x，所以可以进一步化简为：loga(y) = x所以，指数函数的一般公式为 x = loga(y)。
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B)d>b>c>a
D)b>c>d>a
f(x)=x a b f(x)=x f(x)=x f(x)=x c
答案：D
2018年10月23日5时45 分 7
试比较
3 5
例 2：
3 5 3 5
0.96 , 0.95 , 0.95
3 5 3 5
, 0.96
解： 1) R; （２）R； （３）R; ( 4) f ( x ) x x , 定 义 域是[0, ) (5) f ( x ) x
1 3 1 2
x (6),(7),(8) ( , 0) ( 0, )。
2018年10月23日5时45 分
1
3
, 定 义 域是 ( , 0) ( 0, );
2
yx
x
yx
作出下列函数的图象 : 1
y x2
-3 -3 9
y x3
-1 -1 1 -1
yx
2
y x 1
… … … …
… … …
-2 -2 4
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 4 8
3 3 9 27
yx yx
2
3
1 2
… -27 -8
yx
… …
\
\
\ -1
0 \
1 1
2
3 5
3 5
3 5
3 5
3 5
思考：
如 m 4 3 2m , 则求m的取值范围.
1 2 1 2
解 : 幂函数f ( x ) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数 , 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
yx
x0 x0
y0 y0
增函数
yx
1
奇函数
2018年10月23日5时45 分
5
幂函数的性质:
所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1). 如果α >0,则幂函数的图象过点(0,0),并在 (0,+∞)上为增函数. 如果α <0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数. 当α 为奇数时,幂函数为奇函数, 当α 为偶数时,幂函数为偶函数.
3 5
的大小。
3 解： 0， f ( x ) x 在第一象限是增函数。 5 而f ( x ) x 是奇函数 f ( x ) x 在第三象限也是增函数 0.96 0.95 0, 同理, 0.95 0.96 0
2018年10月23日5时45 分 8
观察下列函数，它们的形式有什么共同的特 点:
(1). y x 2 (2). y x 它们都具有 y x 的形式 3 (3). y x 1 (4). y x 2 (5). y x 1
一般地,函数
2018年10月23日5时45 分 1
叫
二.幂函数的图象和性质
求下列函数的定义域并画出图像
2018年10月23日5时45 分
(2)从图象可知, 当x1或x 1时, f ( x ) g( x ); 当 1 x 0或0 x1时, f ( x ) g( x ).
10
精品课件！
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作业
教材73页感受理解的第一和第三题。
2018年10月23日5时45 分
13
1 2
3 …
1 3
yx
1
1 1 2 3
…
3
2018年10月23日5时45 分
yx
作出下列函数的图象 : 1
y x2 y x3
(-2,4)
yx
2
y x 1Βιβλιοθήκη 4(2,4)3
2
(-1,1)
1
(1,1)
-4
-2
2
4
6
(-1,-1)
-1
-2
2018年10月23日5时45 分
-3
4
幂函数的性质:
yx
y x2
定义域
yx
y x3
值域 R
yx
1 2
y x 1
奇偶性 单调性 定点 奇函数 增函数 偶函数 奇函数 增函数
非奇非偶 (0,0)(1,1) (0,0)(1,1) (0,0)(1,1) (0,0)(1,1) (1,1)
R
2
yx yx
R R
y0
R
3
1 2
6
2018年10月23日5时45 分
例1:
1.画出幂函数f ( x ) x , f ( x ) x 的大致图象.
２．幂函数f(x)=xa ,f(x)=xb , f(x)=xc, f(x)=xd ,在第一 象限的图象如图所示， 则a,b,c,d的大小关系是（）
d
3 5 3 5
A)a>b>c>d
(1) f ( x ) x ( 2) f ( x ) x (3) f ( x ) x ( 4)( x) x
2 3 1 3 1 2
(5) f ( x ) x (6) f ( x ) x 1 ( 7) f ( x ) x 2 (8) f ( x ) x 3
2018年10月23日5时45 分 9
1 2
例3:
幂函数f ( x )的图象经过点（ 2，）， 2 1 点（ 2， ）在幂函数g( x )的图象上， 4 （1）求f ( x ), g( x )的解析式， （2）x为何值时f ( x ) g( x )? x为何值时f ( x ) g( x )? 解 : (1)设f ( x ) x , 则( 2) 2, 2, f ( x ) x 2 1 设g( x ) x , 则( 2) , 2, g( x ) x 2 . 4