2012年北京高考数学真题及答案(理科)

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2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）已知集合{

A x

=∈R|320}

x+>，{

B x

=∈R|(1)(3)0}

x x

+->，则A B=

I

（A）(,1)

-∞-（B）

2

(1,)

3

--（C）

2

(,3)

3

-（D）(3,)

+∞

（2）设不等式组

2,

2

x

y

⎧

⎨

⎩

≤≤

≤≤

表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐

标原点的距离大于2的概率是

（A）π

4

（B）

π2

2

-

（C）

π

6

（D）

4π

4

-

（3）设,a b∈R．“0

a=”是“复数i

a b

+是纯虚数”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为

（A）2

（B）4

（C）8

（D）16

数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）

（5）如图，90

ACB

∠=︒，CD AB

⊥于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（A）CE CB AD DB

⋅=⋅

（B）CE CB AD AB

⋅=⋅

（C）2

AD AB CD

⋅=

（D）2

CE EB CD

⋅=

（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为

（A）24（B）18（C）12（D）6

（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的

表面积是

（A

）28+

（B

）30+

（C

）56+

（D

）60+

（8）某棵果树前n年的总产量

n

S与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的

年平均产量最高，m的值为

（A）5

（B）7

（C）9

（D）11

B

A D

C

E

正（主）视图侧（左）视图俯视图

4

2 3 4

数学（理）（北京卷）第2 页（共11 页）

数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos ,

3sin x y αα=⎧⎨=⎩

（α为参数）的交点个数为 ．

（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若11

2

a =

，23S a =，则2a = ；n S = ．

（11）在ABC △中，若2a =，7b c +=，1

cos 4

B =-，则b = ．

（12）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两

点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF △的面积为 ． （13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB −−→−−→

⋅的值为 ；

DE DC −−→

−−→

⋅的最大值为 ．

（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若同时满足条件：

① x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ② (,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <， 则m 的取值范围是 ．

数学（理）（北京卷） 第 4 页（共 11 页）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x

f x x

-=

．

（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．

（16）（本小题共14分）

如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =．D E ，分别是AC AB ，上的点，且//=2DE BC DE ，．将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；

（Ⅱ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE

所成角的大小；

（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP

与平面1A BE 垂直？说明理由．

（17）（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为

a b c ，，，其中0a >，600a b c ++=．当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c

，，的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．

（注：2222121

[()()()]n s x x x x x x n

=-+-++-L ，其中x 为数据12,,,n x x x L 的平均数）

A

C

D

E

A 1

B

C

E D

M 图1

图2