微积分：微分方程-习题课

(A) y P , 则y P ；
(B) y P , 则y P dP ； dy
(C) y P , 则y P dP ； dx
(D) y P , 则y P dP . dy
8、已知方程x 2 y xy y 0 的一个特解为y x ,于
是方程的通解为( ).
(A) y C1 x C2 x 2； (C) y C1 x C2e x ；
解是( ).
(A)
y
e
P ( x )dx
[
Q( x)e P( x)dx dx C ]；
(B) y e P( x)dx Q( x)e P( x)dx dx ；
(C) y e [ P( x)dx Q( x)e P( x)dx dx C ]；
(D) y ce . P( x)dx
2、方程 xy x 2 y 2 y 是( ).
(A)齐次方程；
(B)一阶线性方程；
(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 .
3、 dy dx 0 , y(1) 2的特解是( ). y2 x2
(A) x 2 y 2 2 ；
(B) x 3 y3 9 ；
(C) x 3 y 3 1；
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
微分方程类型 及解题思路：
一阶方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作 变 换
降 阶
二阶方程
形如 g( y)dy f ( x)dx 分离变量法
形如 dy f ( y) dx x
作代换u y x
形如 dy P( x) y Q( x) dx
齐次的 当Q( x) 0, 分离变量
非齐次的 当Q( x) 0, 常数变异法
(1) y f (x, y) 令 y P( x),则 y P,
(D) y A1 x 2e x cos 2 x B1 x 2e x sin 2 x .
二、求下列一阶微分方程的通解: 1、xy ln x y ax(ln x 1) ；
(D) x 3 y 3 1. 33
4、方程 y sin x 的通解是( ).
(A)
y
cos
x
1 2
C1
x2
C2
x
C3；
(B)
y
sin
x
1 2
C1 x2
C2
x
C3；
(C) y cos x C1 ；
(D) y 2 sin 2 x .
7、求方程 yy ( y)2 0 的通解时,可令( ).
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y sin x
y cos
y
x y
),
xx x
令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
二、典型例题
例1 求通解
y( x cos y y sin y)dx x( y sin y x cos y)dy.
x
x
x
x
(2) y f ( y, y)令 y P( x), 则y P dp , dy
高阶方程 y(n) f (x) 接连积分n次，
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
(B)
y
C1 x
C2
1； x
(D) y C1 x C2e x .
10、方程 y 3 y 2 y e x cos 2x 的一个特解形式是 ( ). (A) y A1e x cos 2 x ； (B) y A1 xe x cos 2 x B1 xe x sin 2 x ； (C) y A1e x cos 2 x B1e x sin 2 x ；
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程.
当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
所求通解为 xycos y C. x
例5 求通解 y 1 y2 . 2y
解 方程不显含 x .
令 y P, y P dP , 代入方程，得 dy
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q( x) 0,
dP 1 P 2
P
,
dy 2 y
解得， 1 P2 C1 y,
P C1 y 1,
即 dy dx
C1 y 1,
故方程的通解为 2 C1
C1 y 1 x C2.
参数方程微商复习
隐含的初值条件
综合应用题 解此微分方程得
测验题
一、选择题:
1、一阶线性非齐次微分方程 y P(x) y Q(x)的通