第三章行波法与积分变换法
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解：由题意可知，等价于求下定解问题
此问题不能用Fourier变换法（）。要用Laplace变换法求解。若关于x作Laplace变换，则需要有u关于x的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t的Laplace变换。记 ，则作Laplace变换可得
从而可得
由定解条件知，当 时，U有界，从而可得Ｂ＝０．又 ，故
三、公式的物理意义
由
其中 表示一个沿x轴负方向传播的行波， 表示一个沿x轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a。因此此法称为行波法。
四、依赖区间、决定区域、影响区域
由方程的解（4）可以看出，解在（x,t）点的数值由x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间[x-at,x+at]称为点（x,t）的依赖区间
很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。下面我们用Fourier 变换法求解。
用 表示 的Fourier变换，关于x对上方程作Fourier变换可得
此为一阶ODE，在由原问题的初始条件作Fourier变换可得上常微分方程的定解条件
从而可得
再利用Fourier逆变换可得原问题的解。
。
由前面讨论知道，直线 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波 在特征线 上取值为常数值 ，右行波 在特征线 上取值为常数值 ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。
注：此方法可以推广的其他类型的问题。
例3．用Laplace变换法求解定解问题：
解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记 ，对方程做拉氏变换可得
用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解
又上常微分方程相应的齐次问题的通解为
所以，上常微分方程的通解为
，
再由定解条件可得A＝B＝0，从而
故而，原定解问题的解
。精心搜集整理，只为你的需要
另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（）
则经过时间t后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为
而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。
注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。
由Fourier变换表知
再由Fourier变换的卷积性质知
。
总结：积分变换法解定解问题的一般过程
1．根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化；
2．对所得简化问题求解；
3．运用逆变换，求得原问题的解。
例2．一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C0，求杆上温度分布规律。
同理可得
代入（1）可得
＝0。
先对 求积分，再对 求积分，可得 d的一般形式
这里 为二阶连续可微的函数。Hale Waihona Puke Baidu由初始条件可知
（3）
由（3）第二式积分可得
，
利用(3)第一式可得
所以，我们有
（4）
此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用
考虑一般的二阶偏微分方程
称下常微分方程为其特征方程
3．相似性
若 ，则
4．延迟性
若 ，则若
5．频移性
若 ，则 ， 。
6．微分性
若 ，则 ，特别 。
7．积分性
若 ，则 。
8．卷积性
若 则
。
§ 积分变换法举例
例1、无界杆上的热传导问题
设有一根无限长的杆，杆上具有强度为 的热源，杆的初温为 ，求t>0时杆上温度分别情况。
解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：
对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图
则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。
为求原问题的解，下用Laplace逆变换，查表可知
令 ，则知
再由Laplace变换的微分性质知
最后，由Laplace变换卷积性知
。
注：从例1 和例2解的表达公式不难看出：函数 对热传导问题起重要作用。令
则例1的解可写为
此公式为Possion公式，称函数 为热传导方程的基本解。它表示在杆上 处时刻 的一个瞬时单位热源所引起的杆上温度分布。故有时称基本解为瞬时单位点热源的影响函数。
例 求解柯西问题：
解：其特征方程为
由此可得特征线方程为
因此作变换
从而可得
＝0
从而有
由初始条件可得
所以有
，
从而可得
故而可知
。
补充：Fourier变换
一、定义
设 为定义在 ，若积分
存在，称 为 的Fourier变换。 称为 的逆Fourier变换。
记
二、性质
1．线性性质
若已知 则有
2．对称性
若 ，则 。
第三章行波法与积分变换法
分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§ 一维波动方程的达朗贝尔（D’alembert）公式
一、达朗贝尔公式
考察如下Cauchy问题：
（1）
作如下代换;
（2）
利用复合函数求导法则可得
此问题不能用Fourier变换法（）。要用Laplace变换法求解。若关于x作Laplace变换，则需要有u关于x的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t的Laplace变换。记 ，则作Laplace变换可得
从而可得
由定解条件知，当 时，U有界，从而可得Ｂ＝０．又 ，故
三、公式的物理意义
由
其中 表示一个沿x轴负方向传播的行波， 表示一个沿x轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a。因此此法称为行波法。
四、依赖区间、决定区域、影响区域
由方程的解（4）可以看出，解在（x,t）点的数值由x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间[x-at,x+at]称为点（x,t）的依赖区间
很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。下面我们用Fourier 变换法求解。
用 表示 的Fourier变换，关于x对上方程作Fourier变换可得
此为一阶ODE，在由原问题的初始条件作Fourier变换可得上常微分方程的定解条件
从而可得
再利用Fourier逆变换可得原问题的解。
。
由前面讨论知道，直线 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波 在特征线 上取值为常数值 ，右行波 在特征线 上取值为常数值 ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。
注：此方法可以推广的其他类型的问题。
例3．用Laplace变换法求解定解问题：
解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记 ，对方程做拉氏变换可得
用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解
又上常微分方程相应的齐次问题的通解为
所以，上常微分方程的通解为
，
再由定解条件可得A＝B＝0，从而
故而，原定解问题的解
。精心搜集整理，只为你的需要
另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（）
则经过时间t后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为
而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。
注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。
由Fourier变换表知
再由Fourier变换的卷积性质知
。
总结：积分变换法解定解问题的一般过程
1．根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化；
2．对所得简化问题求解；
3．运用逆变换，求得原问题的解。
例2．一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C0，求杆上温度分布规律。
同理可得
代入（1）可得
＝0。
先对 求积分，再对 求积分，可得 d的一般形式
这里 为二阶连续可微的函数。Hale Waihona Puke Baidu由初始条件可知
（3）
由（3）第二式积分可得
，
利用(3)第一式可得
所以，我们有
（4）
此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用
考虑一般的二阶偏微分方程
称下常微分方程为其特征方程
3．相似性
若 ，则
4．延迟性
若 ，则若
5．频移性
若 ，则 ， 。
6．微分性
若 ，则 ，特别 。
7．积分性
若 ，则 。
8．卷积性
若 则
。
§ 积分变换法举例
例1、无界杆上的热传导问题
设有一根无限长的杆，杆上具有强度为 的热源，杆的初温为 ，求t>0时杆上温度分别情况。
解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：
对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图
则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。
为求原问题的解，下用Laplace逆变换，查表可知
令 ，则知
再由Laplace变换的微分性质知
最后，由Laplace变换卷积性知
。
注：从例1 和例2解的表达公式不难看出：函数 对热传导问题起重要作用。令
则例1的解可写为
此公式为Possion公式，称函数 为热传导方程的基本解。它表示在杆上 处时刻 的一个瞬时单位热源所引起的杆上温度分布。故有时称基本解为瞬时单位点热源的影响函数。
例 求解柯西问题：
解：其特征方程为
由此可得特征线方程为
因此作变换
从而可得
＝0
从而有
由初始条件可得
所以有
，
从而可得
故而可知
。
补充：Fourier变换
一、定义
设 为定义在 ，若积分
存在，称 为 的Fourier变换。 称为 的逆Fourier变换。
记
二、性质
1．线性性质
若已知 则有
2．对称性
若 ，则 。
第三章行波法与积分变换法
分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§ 一维波动方程的达朗贝尔（D’alembert）公式
一、达朗贝尔公式
考察如下Cauchy问题：
（1）
作如下代换;
（2）
利用复合函数求导法则可得