有限元板壳单元上课讲义
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有限元板壳单元
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892220 Fax:(025)4895966 E-mail:nuaacw@263.net
第八章 关于板壳单元
8.1 板壳结构
板壳结构是指板的厚度t与其它两个方向的尺寸相
比小得多。板壳结构的板可以是平板也可以是单曲面或 双曲面板，同时可以承受任意方向上的载荷，也就是既 有作用在平面内的载荷，又作用有垂直于平面的载荷。 一般板壳结构处于三维应力状态。
N x L x 1 L x 1 L x 2 L x 2 L x 3 L x 3 2 1 b 1 L x 1 b 2 L x 2 b 3 L x 3 （8-26）
类似地有
N y2 1 c1 L y1c2 L y2c3 L y3
对式（8-26）和式（8-2）二阶求导
等，因此 M =xy M yx 。内力列向量为
图8-2 薄板微元体内力与应力示意图
M x
M =
M
y
（8-11）
M xy
M 是 对中性面力矩的合成（见图8-2），即
M 1 2 1 2zd z 1 2 1 2z2D d z 1 t2 3D
引用记号
1 0
Db
t3 D
12
Et3
x [ B ] e B 1B 2B 3 e
式中
2N x 2
i
[Bi
]
2Ni y 2
2
2
N
i
xy
i 1,2,3
（8-24） （8-25）
[ B ]矩阵是插值函数 N i 的二阶导数。N i是Li(i1,2,3)
的函数，它们对x和y的偏导数按复合函数求导法则
（8-23）
N13
c3(L12L2
1 2L1L2L3)
c2(L12L3
12L1L2L3)
其中，b2 y3 y1，c2 x1x3，b3 y1y2，c3 x2 x1。
8.3.3 应变位移转换矩阵
为了建立单元刚度矩阵，需要建立位移应变转换矩
阵 [ B ] ，即建立 与单元结点位移 e的关系式。
将式（8-21）代入式（8-5），可得
其中，[N 1 ] 、[N 2 ] 和 [ N 3 ] 为插值函数，是 13的行
阵
[N1] [N11 N12 N13]
[N2]
[N21
N22
N23]
[N3] [N31 N32 N33]
插值函数具体形式如下
（8-22）
N11 L1 L12L2 L12L3 L1L22 L1L23
N12 b3(L12L2 12L1L2L3)b3(L12L3 12L1L2L3)
8.3.2 位移向量
根据薄板理论，薄板结点位移如图8-4所示。
图8-4 薄板结点位移示意图
单元任一结点位移列向量为
（8-19）
单元结点位移列向量
e [ w 1x 1 w y 1 2x 2 w y 2 3x 3y 3 ] T （8-20）
单元内任意点的位移w用结点位移插值表示如下
w N e N 1N 2 N 3 e （8-21）
L2L1 2
L3L1
2
L1L2 2
L2L2 2
L3L2
2
L1L3
2
L2 2
L3
L3L3
由式（8-23）可得
2L2 2L3 2L1 2L3 2L1 2L3
c. 板内各点没有平行于中性面的位移； d. 垂直于板面挤压应力可以不计。
x 图8-2所示为板的一个微元体。为方便计，取 和
y的方向的宽度均为1。在垂直于x轴的横截面上的正应
力与z 坐标成正比，并可合成为一个力偶，从而构成该横
截弯面矩上M的y弯，矩 x（y 和单位yx宽合度成上扭的矩弯M矩xy ）和MMx。yx 。同由理于，剪 应y 合力成互
2
mt62 M
（8-15）
综上所述，薄板的中性面挠度w 是基本的未知量。
由w即可计算出位移、应变、应力及内力。
8.3 3结点三角形薄板单元
8.3.1坐标变换
图8-3为一个任意形状的3结点三角形板单元，结点 编号 1、2、3 按右手法则排序。图8-3（a）为单元直角
坐标系 ( x , y ) , 图8-3（b）为单元自然坐标系 ( , ) 。
2N 1
x 2 42
b 1
b 2
b 1
wenku.baidu.com
b 3
H
b
2
b 3
2N 1
y 2 42
c 1
c 2
c1
c 3
H
c
2
c 3
2N 1 xy 42
c 1
c 2
c 3
H
b 1
b
2
b 3
（8-27） （8-28）
式中 [ H ] 为二阶微分算子。
2
L1L1
H
2
第八章 关于板壳单元
8.2 薄板基础理论知识
如图8-1所示平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直 于中性面。其中 t 为板厚。当板受有垂直于板中性面的 外力时，板的中性面将发生弯扭变形，从而变成一个曲 面。板变形的同时，在板的横截面上将存在内力——弯 矩和扭矩。
图8-1 平板弯曲
对于薄板弯曲问题采用如下假设： a. 板的法线没有伸缩； b. 板的法线在板变形后仍垂直于中性面；
12(12)
1
0
1
（8-12）
0 0
则
2
M D b
（8-13）
式中 Db ——弹性薄板的应力应变转换矩阵，它等于
平面应力问题中的 D 与 t 3 12 的乘积。
根据 Db 与 D 之间的关系，不难由（8-13）和
（8-10）式求出
1t23zM
（8-14）
板上下表面 ( z t ) 的应力
结构是否为板壳问题，需要确定厚度与其它方位尺 寸的比值，如果 1/80≤t≤1/10可以归结为板（薄壳）问题， 若介于1/10 ~ 1/5 之间属于厚壳问题，若大于 1/5 则不属 于板壳结构问题。
板壳单元的力学模型取为结构单元的中性面，即以 各中性面来代表为不同厚度的板或壳单元的组合体，以 此来模拟结构体。在工程有限单元法的软件设计中，常 常将板壳结构划分成薄板、厚板以及壳单元。
（a）单元直角坐标系 （b）单元自然坐标系 图8-3 3结点三角形板单元坐标系
单元坐标变换
x y
3
i 1
Li
xi
yi
式中 L i 为面积坐标。
L1 L2
L3 1
（8-16） （8-17）
面积坐标 L i 具有插值函数的性质，即
Li(j,j) 1 0ii jj时 时i,j1,2,3 （8-18）
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892220 Fax:(025)4895966 E-mail:nuaacw@263.net
第八章 关于板壳单元
8.1 板壳结构
板壳结构是指板的厚度t与其它两个方向的尺寸相
比小得多。板壳结构的板可以是平板也可以是单曲面或 双曲面板，同时可以承受任意方向上的载荷，也就是既 有作用在平面内的载荷，又作用有垂直于平面的载荷。 一般板壳结构处于三维应力状态。
N x L x 1 L x 1 L x 2 L x 2 L x 3 L x 3 2 1 b 1 L x 1 b 2 L x 2 b 3 L x 3 （8-26）
类似地有
N y2 1 c1 L y1c2 L y2c3 L y3
对式（8-26）和式（8-2）二阶求导
等，因此 M =xy M yx 。内力列向量为
图8-2 薄板微元体内力与应力示意图
M x
M =
M
y
（8-11）
M xy
M 是 对中性面力矩的合成（见图8-2），即
M 1 2 1 2zd z 1 2 1 2z2D d z 1 t2 3D
引用记号
1 0
Db
t3 D
12
Et3
x [ B ] e B 1B 2B 3 e
式中
2N x 2
i
[Bi
]
2Ni y 2
2
2
N
i
xy
i 1,2,3
（8-24） （8-25）
[ B ]矩阵是插值函数 N i 的二阶导数。N i是Li(i1,2,3)
的函数，它们对x和y的偏导数按复合函数求导法则
（8-23）
N13
c3(L12L2
1 2L1L2L3)
c2(L12L3
12L1L2L3)
其中，b2 y3 y1，c2 x1x3，b3 y1y2，c3 x2 x1。
8.3.3 应变位移转换矩阵
为了建立单元刚度矩阵，需要建立位移应变转换矩
阵 [ B ] ，即建立 与单元结点位移 e的关系式。
将式（8-21）代入式（8-5），可得
其中，[N 1 ] 、[N 2 ] 和 [ N 3 ] 为插值函数，是 13的行
阵
[N1] [N11 N12 N13]
[N2]
[N21
N22
N23]
[N3] [N31 N32 N33]
插值函数具体形式如下
（8-22）
N11 L1 L12L2 L12L3 L1L22 L1L23
N12 b3(L12L2 12L1L2L3)b3(L12L3 12L1L2L3)
8.3.2 位移向量
根据薄板理论，薄板结点位移如图8-4所示。
图8-4 薄板结点位移示意图
单元任一结点位移列向量为
（8-19）
单元结点位移列向量
e [ w 1x 1 w y 1 2x 2 w y 2 3x 3y 3 ] T （8-20）
单元内任意点的位移w用结点位移插值表示如下
w N e N 1N 2 N 3 e （8-21）
L2L1 2
L3L1
2
L1L2 2
L2L2 2
L3L2
2
L1L3
2
L2 2
L3
L3L3
由式（8-23）可得
2L2 2L3 2L1 2L3 2L1 2L3
c. 板内各点没有平行于中性面的位移； d. 垂直于板面挤压应力可以不计。
x 图8-2所示为板的一个微元体。为方便计，取 和
y的方向的宽度均为1。在垂直于x轴的横截面上的正应
力与z 坐标成正比，并可合成为一个力偶，从而构成该横
截弯面矩上M的y弯，矩 x（y 和单位yx宽合度成上扭的矩弯M矩xy ）和MMx。yx 。同由理于，剪 应y 合力成互
2
mt62 M
（8-15）
综上所述，薄板的中性面挠度w 是基本的未知量。
由w即可计算出位移、应变、应力及内力。
8.3 3结点三角形薄板单元
8.3.1坐标变换
图8-3为一个任意形状的3结点三角形板单元，结点 编号 1、2、3 按右手法则排序。图8-3（a）为单元直角
坐标系 ( x , y ) , 图8-3（b）为单元自然坐标系 ( , ) 。
2N 1
x 2 42
b 1
b 2
b 1
wenku.baidu.com
b 3
H
b
2
b 3
2N 1
y 2 42
c 1
c 2
c1
c 3
H
c
2
c 3
2N 1 xy 42
c 1
c 2
c 3
H
b 1
b
2
b 3
（8-27） （8-28）
式中 [ H ] 为二阶微分算子。
2
L1L1
H
2
第八章 关于板壳单元
8.2 薄板基础理论知识
如图8-1所示平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直 于中性面。其中 t 为板厚。当板受有垂直于板中性面的 外力时，板的中性面将发生弯扭变形，从而变成一个曲 面。板变形的同时，在板的横截面上将存在内力——弯 矩和扭矩。
图8-1 平板弯曲
对于薄板弯曲问题采用如下假设： a. 板的法线没有伸缩； b. 板的法线在板变形后仍垂直于中性面；
12(12)
1
0
1
（8-12）
0 0
则
2
M D b
（8-13）
式中 Db ——弹性薄板的应力应变转换矩阵，它等于
平面应力问题中的 D 与 t 3 12 的乘积。
根据 Db 与 D 之间的关系，不难由（8-13）和
（8-10）式求出
1t23zM
（8-14）
板上下表面 ( z t ) 的应力
结构是否为板壳问题，需要确定厚度与其它方位尺 寸的比值，如果 1/80≤t≤1/10可以归结为板（薄壳）问题， 若介于1/10 ~ 1/5 之间属于厚壳问题，若大于 1/5 则不属 于板壳结构问题。
板壳单元的力学模型取为结构单元的中性面，即以 各中性面来代表为不同厚度的板或壳单元的组合体，以 此来模拟结构体。在工程有限单元法的软件设计中，常 常将板壳结构划分成薄板、厚板以及壳单元。
（a）单元直角坐标系 （b）单元自然坐标系 图8-3 3结点三角形板单元坐标系
单元坐标变换
x y
3
i 1
Li
xi
yi
式中 L i 为面积坐标。
L1 L2
L3 1
（8-16） （8-17）
面积坐标 L i 具有插值函数的性质，即
Li(j,j) 1 0ii jj时 时i,j1,2,3 （8-18）