精选浙江专用2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.2 空

间几何体的表面积与体积教师用书

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

【知识拓展】

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2

＋b 2

＋c 2

. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )

(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( × )

(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × )

1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2

，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D.3

2 cm

答案 B

解析 S 表＝πr 2

＋πrl ＝πr 2

＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2

＝4，∴r ＝2 cm.

2．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π B.323

π

C ．8π

D ．4π 答案 A

解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2

＝(2R )2

π＝12π，故选A.

3．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2

，体积是________cm 3

.

答案 80 40

解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的棱长为2 cm ，下面长方体的底面边长为4 cm ，高为2 cm ，其直观图如图所示，

其表面积S ＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm 2

)，体积V ＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm 3

)．

4. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为1，P 为侧棱B 1B 上的一点，则四棱锥P －ACC 1A 1的体积为______．

答案 23

解析 设点P 到平面ABC ，平面A 1B 1C 1的距离分别为h 1，h 2，则棱柱的高为h ＝h 1＋h 2，又记S

＝S △ABC ＝111

A B C S

，则三棱柱的体积为V ＝Sh ＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P －ACC 1A 1的剩余体

积为V ′＝V P －ABC ＋111－P A B C V ＝13Sh 1＋13Sh 2＝13S (h 1＋h 2)＝13，从而11－P ACC A V ＝V －V ′＝1－13＝2

3

.

题型一 求空间几何体的表面积

例1 (1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )

A ．21＋3

B ．18＋ 3

C ．21

D ．18

(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 (1)A (2)12

解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为 6×(4－12)＋2×34

×(2)2

＝21＋ 3.故选A.

(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×1

2×2×3×h ＝23，

∴h ＝1， ∴斜高h ′＝12

＋

3

2

＝2，

∴S 侧＝6×1

2

×2×2＝12.

思维升华 空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为____．

答案 26

解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱

轴截面

＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12

－2×1＋12

×2π×1＝26.

题型二 求空间几何体的体积

命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积

例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )