第四节析因设计和方差分析
生物统计(技术)：析因设计的方差分析
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两种药物联合镇痛效果研究
例6 .2 观察A，B两种镇痛药物联合运用在 产妇分娩时的镇痛效果。A药取3个剂量：1.0m， 2.5mg，5.0mg；B药也取3个剂量：5μg，15μg ，30μg。共9个处理组。将27名产妇随机等分为9 组，每组3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时 间。分析A，B两药联合运用的镇痛效果。
3. 交互效应（interaction) 如果一个处理因素的单 独效应随另一因素水平变化而变化，而且变化的幅 度超出随即波动的程度，则称两因素间存在 交互作 用。
4
一、固定效应型两因素两水平的析因分析
5
固定效应型
a
SS A bn (x ix )2 i 1
b
SSB an (x j x )2 j 1
29
表6-15 退休人员家庭亲密度资料
医院 职业
家庭亲密度分值
n
甲A B
乙A B
丙A B
合计
76 88 75 75 64 78 70 70 60 77 72 72 12 60 51 64 79 69 73 72 68 65 74 72 68 12 57 70 88 68 81 67 74 70 65 72 70 88 12 56 65 70 71 58 54 69 66 58 60 64 68 12 73 71 81 79 65 69 77 68 86 63 60 83 12 64 71 70 59 80 57 59 72 65 63 56 63 12
72
X
X2
877 64647
815 55945
870 63996
759 48383
4析因设计方差分析
24~25 沪白种
13~15
0.063, 0.094, 0.047
0.013, 0.009, 0.013
0.471, 0.088,0.176
0.251, 0.368, 0.133
完全随机的三因素2×2×2析因设计
完全随机的三因素析因设计 方差分析表
交叉设计的方差分析
Cross-over design ANOVA
• 析因设计可以提供三方面的重要信息：
1、各因素不同水平的效应大小；
2、各因素间的交互作用通过比较各种组合；
3、找出最佳组合 • 如果在一次实验中，一个因素水平间的效 应随其他因素水平的不同而变化时，则因 素间存在交互作用，它是各因素效应间不 独立的表现。
• 如将2×2析因设计中的4个均数作图，2条 直线方向一致但斜率不等，表示A、B两因 素有交互作用（协同作用）。
SS总=SS个体+SS阶段 + SS处理 + SS误差
ν总=ν个体+ν阶段 + ν处理 + ν误差
ν总= 2n – 1 ν个体= n - 1 ν阶段 = 1 ν处理 = 1 νe = n-2
MS个体= SS个体/ν个体 MS阶段 = SS阶段 /ν阶段 MS处理= SS处理 /ν处理 MS误差 = SS误差 /ν误差 F个体 = MS个体/ MS误差 F阶段 = MS阶段/ MS误差 F处理 = MS处理/ MS误差
a. R Squared = .974 (Adjusted R Squared = .937)
重复测量资料方差分析
Repeated measure ANOVA
• 重复测量的概念： • 对同一试验单位的某一观察指标在不同时 间点的多次观测。如对高血压患者治疗前 与治疗后2，4，6，8周的心率进行多次测 量。将试验结果的测量时间也作为一个因 素来分析。
析因设计资料的方差分析
若将例11-1进行完全随机设计ANOVA （错！）
处理组 误差
处理组间变异的分解
单独效应
B的效应
A的效应
B因素为2水平时A 因素的单独效应
A的效应
主效应
A的主效应
B的效应
A因素的主效应解释 为：束膜缝合与外 膜缝合相比（不考 虑缝合时间），神 经轴突通过率提高 了6%。
B因素的主效应解释 为：缝合后2月与1 月相比（不考虑缝 合方法），神经轴 突通过率提高了22% 。
完全随机的三因素2×2×2析因设计
例3：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射频次下药 剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效应 如何？②二者间有无交互作用？
随机配伍的两因素3×2析因设计
析因设计的特点
➢ 2个以上处理因素（factor）（分类变量） ➢ 每个因素2个以上水平（level） ➢ 每一种处理有2个以上重复（repeat）
SS处理的析因分解
Ti、 Ai、 Bi的计算
析因分析结果(P239表11－5由SPSS计算）
建议：
原始数据作平方根反正弦变换后分析（考 虑ANOVA的条件）
此例平方根反正弦变换后的结论相同。
（二）两因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
例11-2：观察A、B两药联合应用在产 妇分娩时的镇痛时间（min）P241
➢ 交互作用（Interaction）：当某一因素的 单独效应随着另一因素变化而变化时，称 这两个因素间存在交互作用。
（如一级交互作用AB、二级交互作用 ABC…）
析因设计的优缺点
优点
不仅用来分试验的次数很多，如2因素， 各3水平5次重复需要试验为45次。
➢ 试验将全部因素的不同水平组合,其组合数 即处理的组数；
研究生医学统计学随机区组设计和析因设计的方差分析课件.ppt
表 9-3 护 士 进 行 家 庭 访 视 所 花 费 的 时 间 (分 钟 )
因 素 B ： 护 士 年 龄 组 : 岁 ( j)
按 A 水平合计
因 素 A ： 病 种 (i)
1
(20～ )
1.心 脏 病 2.肿 瘤 3.脑 血 管 意 外 4.结 核 病
20 25 22 27 21
115
30 45 30 35 36
15
一、两因素析因设计的ANOVA
符号
两个处理因素：A、B
A、B因素各有a、b个水平，共有a×b种组合
每一组合下有n个受试对象
全部实验受试对象总数为a×b×n
i (i=1,2…,α)表示因素A的水平号， j (j=1,2,…,b)表示因素B的水平号， k (k=1,2,…,n)表示在每一组合下的受试对象号
(3)处理因素间交互作用的假设：
H0
:
ij
0
无交互作用 ；
H1
:
ij
0有交互作用
α=0.01
20
3. 计算离均差平方和及自由度
SS总
57456 18122
60
2733.6 ；
总
60 1 59
SS A
1 [3882 (3 5)
5252
5342
+ 3652 ] 18122 60
an
SS总 Yij2 C 110447.5 1591.12 / 24 4964.21
i1 j1
n
SS处理
a (
Y )2 ij
j1
i1 n
C
1 (500.72 8
523.42
567.02)
1591.12
析因设计
ANOVA分析的必要性
A因素（缝合方法）的主效应为6%，
B因素（缝合时间）的主效应为22%，
AB的交互作用为2%。
以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要 对试验结果进行方差分析后下结论。
• H0：两种缝合方式间轴突通过率相同 • H1：两种缝合方式间轴突通过率不同 H0：不同时间轴突通过率相同 H1：不同时间轴突通过率不同 H0：缝合方式与时间存在交互作用 H1：缝合方式与时间不存在交互作用 α＝0.05
B1 B1
A1
A2
两因素无交互作用
50
B1 B2
反 应 值
40
30
20
10
B1
B2
A1
A2
两因素有交互作用，ຫໍສະໝຸດ 拮抗作用析因试验的均数差别
b因素
b1 b2 44 52 48 8
当某因素的各个单独 平均 b2－b1 34 40 6 20 24 22 效应随另一因素水平的变 化而变化,且相互间的差 别超出随机波动范围时, 则称这两个因素间存在交 互作用。
(A+B)=A+B+AB (A+B+C)=A+B+C+AB+AC+BC+ABC
析因设计资料的方差分析 ppt课件
缝合2月 （b2）
均数
30 20 10 0
缝合1月 （b1）
外膜缝合（a1）
束膜缝合（a2）
图11-2
两因素交互作用示意图
10 ppt课件YOUR SITE HERE
（二）方差分析
本例A因素（缝合方法）的主效应为6%，B因素 （缝合时间）的主效应为 22%， AB的交互作用 表示为 2% 。以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要对试验结
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表 11-4
两因素两水平处理 SS处理 的析因分解
变异来源 处理组间 A 因素主效应 B 因素主效应 AB 交互作用
自由度 3 1 1 1
SS
1 SS处理 (T12 T22 T32 T42 ) C n 1 2 SS A ( A12 A2 )C 2n 1 2 SS B ( B12 B 2 )C 2n
180 2420 20 300
0.60 8.07 0.07
0.05
0.05 0.05
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表 H 0 ：A 因素主效应=0，
B 因素主效应所对应的检验假设为 H 0 ：B 因素主效应=0，
因素 A 为缝合方法，有两水平，一为外膜缝合，记作 a1，二为束膜缝合，记作a2；因素B为缝合后的时间， 亦有两水平，一为缝合后 1月，记作 b1，二为缝合后 2 月，记作 b2。试验结果为家兔神经缝合后的轴突通过
率(%)（注：测量指标，视为计量资料），见表11-1。
欲用析因分析比较不同缝合方法及缝合后时间对轴突 通过率的影响。
A因素的主效应 (4 8) / 2 6 B因素的主效应 (20 24) / 2 22
第四节析因设计与方差分析
第四节析因设计与方差分析1. 基本概念完全随机设计(单因素)随机区组设计(两因素, 无重复)拉丁方设计(三因素, 无重复)析因设计(两因素以上, 至少重复2次以上)析因设计的意义在评价药物疗效时，除需知道A药和B药各剂量的疗效外（主效应），还需知道两种药同时使用的协同疗效。
析因设计及相应的方差分析能分析药物的单独效应、主效应和交互效应。
例：A因素食物中蛋白含量; B因素食物中脂肪含量B A 平均a2-a1a1 a2b1 30 32 31 2b2 36 44 40 8平均33 38 35.5 5b2-b1 6 12 9(1)单独效应: 在每个B水平, A的效应。
或在每个A水平，B的效应。
(2)主效应：某因素各水平的平均差别。
(3)交互效应：某因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而变化，则称两因素间存在交互效应。
如果)()()(0μμμμμμ-+-≠-baab，存在交互效应。
如果)()()(0μμμμμμ-+->-baab，协同作用。
如果)()()(000μμμμμμ-+-<-b a ab ，拮抗作用。
2527293133353739414345a1a22527293133353739414345a1a2如果不存在交互效应，则只需考虑各因素的主效应。
在方差分析中，如果存在交互效应，解释结果时，要逐一分析各因素的单独效应，找出最优搭配。
在两因素析因设计时，只需考虑一阶交互效应。
三因素以上时，除一阶交互效应外，还需考虑二阶、三阶等高阶交互效应，解释将更复杂。
析因设计的优点：用相对较小样本，获取更多的信息，特别是交互效应分析。
析因设计的缺点：当因素增加时，实验组数呈几何倍数增加。
实际工作中部分交互效应，特别是高阶交互效应可以根据临床知识排除，这时可选用正交设计。
2. 析因设计与结果的方差分析(1)实验设计设有k个因素，每个因素有L1, L2, …, L k个水平，那么共有G= L1×L2×…×L k个处理组。
拉丁方设计 析因设计 方差分析
拉丁方设计
☺优点：可同时分析三个因素 缺点：
通常要求三个因素有相同的水平数； 不同分析因素之间的交互作用。
固定效应与随机效应
固定效应：各水平均有实际意义。 随机效应：各水平是从总水平中随机选取 的，无实际意义。
析因设计
析因设计是一种两因素或多因素各水平完 全交叉分组组合的实验设计。 它不仅可用以进行两个因素各个水平间的 比较，还可以进行因素间交互作用的分析。
当某因素的各个单独效应随另一因素水平的变化而变化且相互间的差别超出随机波动范围时则称这两个因素间存在交互效应交互作用
拉丁方设计
拉丁方设计：是按拉丁方阵的字母、行 和列安排实验（或试验）的三因素等水 平的设计。该设计同时考虑三个因素对 试验结果的影响。
拉丁方设计的方差分析
☺SS总
☺ ☺ ☺ ☺
SS处理（SS字母） SS行区组 SS列区组 SS误差
析因设计的方差分析
☺SS总
☺ ☺ ☺ ☺
SSA SSB SS交互 SS误差
析因设计的优缺点
☺优点：是一种高效率的实验设计方法，不 仅能够分析各因素内部不同水平间有无差 别，还具有分析各种组合的交互作用的功 能。 缺点：析因设计随因素与水平数的增加， 所需要受试对象和分析工作量急剧增加， 分析结果的解释也比较复杂。
析因设计
析因设计与完全随机设计的区别：析因设 计的处理组是由两个或两个以上处理因素 的不同水平的全面组合而成，即处理组数 等于因素数与水平数的乘积。
析因设计
单独效应：指其它因素的水平固定时，同 一因素不同水平间的差别。 主效应：指某一因素各水平间的平均差别。 交互效应：当某因素的各个单独效应随另 一因素水平的变化而变化，且相互间的差 别超出随机波动范围时，则称这两个因素 间存在交互效应（交互作用）。
析因设计与分析PPT课件
析因设计方法的提出（意义）
例：在评价药物疗效时，除需知道A药和B 药各剂量的疗效外（主效应），还需知道 两种药同时使用的交互效应。 析因设计及相应的方差分析能分析 药物的单独效应、主效应和交互效应。
2019年8月6日
2×2析因设计
2因素2水平全面组合
AB=[( a2b2- a2b1)-(a1b2- a1b1)]/2=(22-10)/2=6
2019年8月6日BB1ຫໍສະໝຸດ (未用药) B2 (用药)A
A1(未用药)
A2 (用药)
A1B1
A2B1
A1B2
A2B2
0 , a , b , ab 表示4个处理组A1B1,A2B1 ,A1B2,A2B2对应的总体均值
2019年8月6日
45
43
b1
b2
41
39
37
35
33
31
29
27
25
a1
a2
协同作用
2019年8月6日
45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25
a1
b1 b2
a2
拮抗作用
2019年8月6日
一级交互效应: 两个因素间 二级交互效应：三个因素间 设计特点：在一个实验设计里，既可分析 因素的单独效应，又可分析其交互效应。
B因素
A因素
A1
A2
B1
A1 B1
A2 B1
B2
A1 B2
A2 B2
2×2=4种处理
2019年8月6日
2×3析因设计
各因素各水平全面组合的设计
A
B
B1
B2
第六章 析因实验
在初步试验中，检验尺度应放宽，则可取大一些，如0.1 等。 在严格分析、进一步确认时， 值可取小一些，如取 0 . 01 等。
第二节 单因素析因实验
单因素析因实验 —
在一项实验中，其它因素维持不变, 只改变一个因 素的水平, 考察这一个因素对实验结果影响是否显 著。
Excel 2003 加载宏 工具--数据分析--方差分析—单因素方差分析 Excel 2007 加载宏 数据-- 数据分析，点击数据分析
Excel在分析工具中直接给出了“方差分析宏来 实现单因素、多因素（有交互作用、无交互作用） 方差分析。 具体操作步骤为： [数据分析]，选择[方差分析：单因素方差分析]
这里介绍原理
1、总变差的平方和分解
如果各组观测值数目均为n，分解为
i=I,2…,p。表示i因素不同水平平均 值相对于总平均值的波动。波动越大， 平方和越大，说明该因素水平变化时 引起的结果变化大，即对结果影响大。 组内变差 xit 组间变差
用F 检验判断是否显著。 F 分布表，见附录 V - 1 ，p202
F(n1,n2)> Fα(n1,n2) n1 = fa n2 = fe
置信水平与显著性水平的关系
置信水平和置信度是一样的，变量落在置信区间 的可能性，“置信水平”就是相信变量在设定的 置信区间的程度，是个0~1的数，用1-α表示。 显著性水平α：变量落在置信区间以外的可能性， “显著”就是与设想的置信区间不一样，用α表 示。 显著性水平与置信水平的和为1。
置信度越高，显著性水平越低，代表假设的可靠 性越高，越好。
二、 总结F 检验步骤 1 ．由观测值 计算各种方差： 按（ 6 - 9 ）式算出观测值的 F 值。
单因素方差分析计算 Q 值可采用简化公 式表 6 - 3 。
析因设计的方差分析
完全随机的三因素析因设计 方差分析表
战士主 观感觉 冷热等 级评分
计算两因素交叉分组的合计
SS处理的析因分解
Ti、 Ai、 Bi的计算
析因分析结果
（二）两因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
例11-2：观察A、B两药联合应用在产 妇分娩时的镇痛时间（min）
完全随机的两因素3×3析因设计
完全随机的两因素析因设计 方差分析表
A、B两药联合运用的镇痛时间 方差分析结果表
（三）三因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
主效应（main effectsБайду номын сангаас：某因素各单 独效应的平均效应
交互作用（Interaction）：某一因素效 应随着另一因素变化而变化的情况。（ 如一级交互作用AB、二级交互作用 ABC…
析因设计的优缺点 优点
可用来分析全部主效应，以及因素 间各级的交互作用
缺点
所需试验的次数很多，如2因素，各 3水平5次重复需要试验为45次
交互作用
缝合后2月后束膜 缝合与外膜缝合神 经轴突通过率的差 异，仅比缝合后1 月提高了2%，
两条直线相互平行 , 表示两因素交互 作用很小
ANOVA分析的必要性
A因素（缝合方法）的主效应为6%， B因素（缝合时间）的主效应为22%， AB的交互作用表示为2%。
以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要 对试验结果进行方差分析后下结论。
完全随机的两因素2×2析因设计
实例3：小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS瘤 细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3）问①A、B 、C各自的主效应如何？②三者间有无交互作用？
完全随机的三因素2×2×2析因设计
材料科学第4章 方差分析与析因实验
2020/1/22
3
二、 方差分析的基本原理
不同组的均值间的差别基本来源有两个： （1）随机误差如测量误差造成的差异，称为组内差异，用 指标值在各组的均值与该组内指标值之变差平方和的总和表示， 也称为误差变差平方和。 （2）实验条件即不同因素或因素不同的水平造成的差异， 称为组间差异。用指标值在各组的均值与总均值之变差平方和 表示，称为因素变差平方和。
试验中，使其他因素都尽量维持不变而只对一个因素的水 平加以变化，以检验该因素的影响是否显著的方法。
一、单因素方差分析的基本原理
因素A：
p个水平，记为 Ai（i=1，2，......，p，水平数）；
每水平测试重复 n 次，数据记为 yiz ( z＝1，2，......，n，测量次 数)。
2020/1/22
第4章 方差分析与析因实验
析因实验：通过对试验结果观测值的波动（变差）的分析，寻找 影响结果的主要因素，判断因素的影响是否显著的一种方法。常 借助于对试验数据的方差分析来实现。
4.1 方差分析简述 4.2 单因素试验的方差分析 4.3 双因素试验的方差分析
2020/1/22
1
4.1 方差分析简述
i1 z1
2020/1/22
13
求因素变差平方和 SSA 和误差平方和 SS
SST
QT2 N
11502 4202 16
=477
SS A
1 n
p i 1
Ki2
T2 N
45114 4
4202 16
=253.5
SS SST SSA =477-253.5=223.5
结论：在风险度 ＝0.05 时，添加剂浓度对热水管传热系数的 影响显著。浓度取4ppm左右时最理想。
析因设计和分析课件
H1:三个原因旳各水平旳体重平均增长值旳差别不独立 第(4)-（7）个假设就是检验原因旳交互影响。
2024年10月4日
1.计算总变异
S 2
(X X )2 SST
n 1
VT
SST X 2 ( X )2 n 24.3785 39.072 64 0.5275
AB=[( a2b2- a2b1)-(a1b2- a1b1)]/2=(22-10)/2=6
2024年10月4日
B
B1 (未用药) B2 (用药)
A
A1(未用药)
A2 (用药)
A1B1
A2B1
A1B2
A2B2
0 , a , b , ab 表达4个处理组A1B1,A2B1 ,A1B2,A2B2相应旳总体均值 存在交互效应 (ab 0 ) (a 0 ) (b 0 )
(I-1)(J-1) (I-1)(K-1) (J-1)(K-1)
SSTAB-SS(A)-SS(B) SSTAB-SS(A)-SS(C) SSTAB-SS(B)-SS(C)
SS(AB)/dfab SS(AC)/dfab SS(BC)/dfab
MS(AB)/MSE MS(AC)/MSE MS(BC)/MSE
豆
雌雄
A
B1
C1
C2
A1 A1B1C1 A1B1C2
A2 A2B1C1 A2B1C2
B2
C1
C2 玉米
A1B2C1 A1B2C2
A2B2C1 A2B2C2
(二)将试验单位随机分配
32只雌猪随机分配到（1）～（4）组，随机数序号 1 ～8（1）组，9 ～16（2）组，17 ～24（3）组，25 ～ 32（4）组。32只雄猪随机分配到（5）～（8）组。
析因设计资料的方差分析
完全随机的方差分析 变异来源 SS df MS F P-value 总 7420 19 处理组 组间 2620 3 873.333 2.91111 0.06657 4800 16 300 误差 组内
处理组间变异的分解
单独效应
B的效应
A的效应
B因素为2水平时A 因素的单独效应
主效应
B的效应
A因素的主效应解释 为：束膜缝合与外 膜缝合相比（不考 虑缝合时间），神 经轴突通过率提高 了6%。 B因素的主效应解释 为：缝合后2月与1 月相比（不考虑缝 合方法），神经轴 突通过率提高了22% 。
A2
A3
随机配伍的两因素3×2析因设计
析因设计的特点
2个以上处理因素（factor）（分类变量） 每个因素2个以上水平（level） 每一种处理有2个以上重复（repeat）
试验将全部因素的不同水平组合,其组合数 即处理的组数； 若行ANOVA，要求观察值（效应指标）为 定量资料（独立、正态、等方差）。
A的主效应 B的主效应
A的效应
交互作用
AB (a2b2 a1b2 ) (a2b1 a1b1 ) 2 (8 4) 2 2
缝合后2月后束膜 缝合与外膜缝合神 经轴突通过率的差 异，仅比缝合后1 月提高了2%， 两条直线几乎相互 平行, 可以不考虑 两因素间存在交互 作用。
64 78 80 不用 28 31 23 完全随机的两因素2×2析因设计
例2：小鼠种别（A）、体重（B）和性别（C）对皮 内移植SRS瘤细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3 ）问①A、B、C各自的主效应如何？②三者间有无交 互作用？
种别 A 昆明种 体重（ g ） 24 ～ 25 性别 雄性 0.7069 0.7854 0.3581 1.0838 0.9425 0.3335 0.0628 0.0942 0.0471 0.0126 0.0094 0.0125 雌性 0.1885 0.3403 0.2503 0.9550 0.9215 0.8514 0.4712 0.0880 0.1759 0.2513 0.3676 0.1327
卫生统计学之析因设计的方差分析
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
例11-1：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔轴突通过 率（％）的影响，问①两种缝合方法间有无差别？缝合后 时间长短间有无差别？②两者间有无交互作用
完全随机的两因素2×2析因设计
A 因素
缝合方法
B 因素
缝合时间
n Σx 均数
18
26
21
资料仅供参考,不当之处，请联系改正。
析因设计的特点
➢ 2个以上（处理）因素（factor）（分类变 量）
➢ 2个以上水平（level） ➢ 2个以上重复（repeat） ➢ 每次试验涉及全部因素,即因素同时施加 ➢ 观察指标（观测值）为计量资料（独立、
正态、等方差）
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实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用？②两种药间有无交互作用
乙药
用
不用
甲药 用
73
47
不用
27
20
完全随机的两因素2×2析因设计
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甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效
乙药
用
不用
乙药单独效应
甲
用
73
47
26
药
不用
27
20
7
甲药单独效应 46
27
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析因设计的有关术语
➢ 单独效应（simple effects）：其它因 素的水平固定为某一值时，某一因素不 同水平的差别
➢ 主效应（main effects）：某一因素各 水平间的平均差别 (即某因素各单独效 应的平均效应)
析因设计
b2－b1
20
A因素
平均
24
44
34
a2
28
26
52
48 8
40
24
22
a2－a1
4
6
在a1b1、a1b2、a2b1和a2b2的四种处理组合中，每个格子均有 5个数据，因此它又是重复数相等的析因设计。由于数据按因 素A和因素B两个方向交叉分组，故可用双向方差分析。进一 步分析处理的单独效应(simple effect)、主效应(main effect)和 交互效应(interaction)。
ANOVA分析的必要性
A因素（缝合方法）的主效应为6%，
B因素（缝合时间）的主效应为22%，
AB的交互作用为2%。
以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要 对试验结果进行方差分析后下结论。
• H0：两种缝合方式间轴突通过率相同 • H1：两种缝合方式间轴突通过率不同 H0：不同时间轴突通过率相同 H1：不同时间轴突通过率不同 H0：缝合方式与时间存在交互作用 H1：缝合方式与时间不存在交互作用 α＝0.05
5.AB交互作用
SS ( AB) SS处理 SS ( A) SS ( B) 2620 180 2420 20
A2
A3
随机配伍的两因素3×2析因设计
显著特征
每个处理是各因素各水平的一种组合，总处理数为
各因素各水平的全面组合数，即各因素各水平数的乘积。 如两因素析因设计，设A因素有I个水平，B因素有J个水 平，则总处理数G=I×J。在三个因素的析因设计中，若 各因素水平为I、J、K，则总处理数G=I×J×K。
3.析因设计的特点
2个以上（处理）因素（factor）（分类 变量） 2个以上水平（level）
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第四节析因设计与方差分析1. 基本概念完全随机设计(单因素)随机区组设计(两因素, 无重复)拉丁方设计(三因素, 无重复)析因设计(两因素以上, 至少重复2次以上)析因设计的意义在评价药物疗效时，除需知道A药和B药各剂量的疗效外（主效应），还需知道两种药同时使用的协同疗效。
析因设计及相应的方差分析能分析药物的单独效应、主效应和交互效应。
例：A因素食物中蛋白含量; B因素食物中脂肪含量B A 平均a2-a1a1 a2b1 30 32 31 2b2 36 44 40 8平均33 38 35.5 5b2-b1 6 12 9(1)单独效应: 在每个B水平, A的效应。
或在每个A水平，B的效应。
(2)主效应：某因素各水平的平均差别。
(3)交互效应：某因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而变化，则称两因素间存在交互效应。
如果)()()(000μμμμμμ-+-≠-b a ab ，存在交互效应。
如果)()()(000μμμμμμ-+->-b a ab ，协同作用。
如果)()()(000μμμμμμ-+-<-b a ab ，拮抗作用。
2527293133353739414345a1a22527293133353739414345a1a2如果不存在交互效应，则只需考虑各因素的主效应。
在方差分析中，如果存在交互效应，解释结果时，要逐一分析各因素的单独效应，找出最优搭配。
在两因素析因设计时，只需考虑一阶交互效应。
三因素以上时，除一阶交互效应外，还需考虑二阶、三阶等高阶交互效应，解释将更复杂。
析因设计的优点：用相对较小样本，获取更多的信息，特别是交互效应分析。
析因设计的缺点：当因素增加时，实验组数呈几何倍数增加。
实际工作中部分交互效应，特别是高阶交互效应可以根据临床知识排除，这时可选用正交设计。
2. 析因设计与结果的方差分析(1)实验设计设有k个因素，每个因素有L1, L2, …, L k个水平，那么共有G= L1×L2×…×L k个处理组。
例如有三个因素，分别是A，B，C。
A因素有两水平，B因素有3水平和C因素有2水平，则共有G=2×3×2=12个处理组。
大家可以自己回去将这12种组合排列出来。
确定了处理组数后，将实验对象分配到各组的方法可以采用完全随机设计、随机区组设计或拉丁方设计。
注意：析因设计的基本要求，各组例数相等，每组例数必须2例以上。
(2)析因设计资料的方差分析第一步：与一般的方差分析一样，将总变异分离成组间变异和组内变异。
如果是随机区组设计还需从组内变异分离出单位组间变异和误差变异。
方差来源 DF SS MS总变异(T) N-1 C X -∑2组间变异(B) G-1 C T r k -∑2/1 SS B /(G-1)组内变异(E) N-G SS T -SS B SS E /(N-G) T k (k=1,2,…,G)为各处理组观察值小计，r 为各处理组例数，C=(ΣX)2/N第二步：将组间变异分解出主效应项和交互效应项，以两因素析因设计为例，i 和j 分别是因素A 和因素B 的水平数，A i 和B j 分别是各水平观察值的小计。
方差来源DF SS MS F 主效应A i-1 C A rj i -∑21 SS (A)/df a MS (A)/MS EB j-1C B ri j -∑21 SS (B)/df b MS (B)/MS E交互效应AB (i-1)(j-1) SS B -SS (A)-SS (B) SS (AB)/df ab MS (AB)/MS E 两个因素以上的析因设计，计算原理类似，但手工计算较繁琐。
当有计算机后和统计软件的帮助后，已完全没必要手工计算。
但是掌握变异来源分解的基本思想很重要，应该将哪项变异作为误差项，如何解释结果都与此有关。
下面用实例介绍计算过程：A(缝合方法) 外膜缝合(a1) 束膜缝合(a2) 总计B(缝合时间) 1月(b1) 2月(b2) 1月(b1) 2月(b2)1 10 30 10 502 10 30 20 503 40 70 30 704 50 60 50 605 10 30 30 30T k120 220 140 260 740 Σx24400 11200 4800 14400 34800 C=(740)2/20=27380方差分析表SS DF MS F PT 7420 19B 2620 3 873.3 2.911 >0.05E 4800 16 300A1=120+220=340, A2=400, B1=260, B2=480A 180 1 180 0.60 >0.05B 2420 1 2420 8.07 <0.05AB 20 1 20 0.07 >0.05结论：缝合时间（B ）的主效应有统计学意义，即2610/)140120(1=+=B x 4810/)260220(2=+=B x B 的主效应=48-26=22。
第五节 裂区设计与结果的方差分析(1)基本概念裂区设计与一般析因设计的区别在于每种处理因素分别作用于不同级别的实验单位。
如眼科实验中，兔子为一级实验单位，每只兔子的两只眼睛为二级实验单位。
当处理因素分别作用于一级实验单位和二级实验单位时，称裂区设计。
如果将作用于二级实验单位的处理因素称为二级处理，作用于一级实验单位的处理因素称为一级处理。
显然前者为区组设计，后者为完全随机设计，两种处理的设计精度不同。
因此又称这类设计为不完整析因设计。
一般在设计时，常选最感兴趣的主要研究因素为二级处理因素或出于区组的限制，选水平数少的研究因素为二级处理因素(2)实验设计方法设一级处理因素有i个水平，二级处理因素有j个水平。
一级实验单位的分配方式可采用完全随机设计或随机区组设计形式，一般是前者。
设各一级处理组有观察单位数r。
然后按随机区组设计的方法将二级处理的各水平随机分配给二级单位。
10只家兔随机分两组(i=2)，一组给抗毒素，另一组给生理盐水(A)。
每只家兔取甲、乙两部位(j=2)，甲部位给低浓度毒素，乙部位给高浓度毒素(B)。
结果见下表：表12.27 家兔皮肤损伤直径(mm)药物A 编号毒素浓度B 小计U k低浓度(b1) 高浓度(b2)抗毒素 1 15.75 19.00 34.75(a1) 4 15.50 20.75 36.256 15.50 80.25 18.50 98.75 34.00 179.07 17.00 (T1) 20.50 (T2) 37.50 (A1)10 16.50 20.00 36.50生理盐水 2 18.25 22.25 40.50(a2) 3 18.50 21.50 40.005 19.75 98.75 23.50 115.75 43.25 214.58 21.50 (T3) 24.75 (T4) 46.25 (A2)9 20.75 1 23.75 44.50合计179.00(B1) 214.50(B2) 393.50(3) 裂区设计结果的方差分析基本思想处理组间(A)一级单位 总变异(T 1)区组间ΣU 2-C 误差(E 1)总变异(T) ΣX 2-C处理组间(B)二级单位 总变异(T 2) 交互效应(AB)SS T -SS T1 误差(E 2)与析因设计方差分析相似，裂区设计方差分析的过程可分成两步第一步：一级处理因素的方差分析完全随机设计的方差分析表方差来源 DF SS MS F 总(T 1) ri-1 C U j k -∑21一级处理(A) i-1C A rji -∑21SS A /(i-1) MS A /MS E1误差(E1) i(r-1) SS T1-SS A SS E1/i/(r-1)U k是一级实验单位观察值小计二级因素与交互效应的方差分析方差来源 DF SS MS F总(T) rij-1 ΣX 2-C二级处理(B) j-1 C B rij -∑21 SS B /(j-1) MS B /MS E2 AB (i-1)(j-1) B A k SS SS C T r---∑21 SS AB /(i-1)/(j-1)MS AB / MS E2误差(E2) (r-1)i (j-1) AB B T SS SS SS --2SS E2/(r-1)/i /(j-1)SS T2=SS T -SS T1 T k 是AB 两因素组合的各处理结果小计现举例介绍裂区试验方差分析表方差来DF SS MS F P 源A 1 63.0125 63.0125 28.01 <0.01E1 8 18.0000 2.2500T1 9 81.0125B 1 63.0125 63.0125 252.05 <0.01AB 1 0.1125 0.1125 0.45 >0.05 E2 8 2.0000 0.2500T2 10 65.1250T 19 146.13754. 交叉设计与结果的方差分析(1)基本概念在实验设计一节中，介绍了交叉设计的基本结构如下图：A组接受常规药间歇期接受新药实验对象随机分配B组接受新药间歇期接受常规药广义地说，如果比较G种处理，相应将试验时间分成G个阶段，每个受试者在不同试验阶段分别接受这G种处理；不同试验组受试者接受G种处理的顺序不同。
交叉试验除处理因素外，还需考虑处理顺序和试验阶段的效应，因此是三因素设计，分析时要分解出三种效应。
一般假定因素间无交互作用。
优点：由于是自身前后比较，不受个体变异影响。
每种处理在每种顺序都有，可比性好。
缺点：限于慢性病的对症治疗，有时停药的间歇期不能为病人接受。
(2)设计方法两种处理时，随机分两组，每组顺序不同。
G>2时，可借用拉丁方安排处理顺序。
试验阶段试验组I ⅡⅢA 1 2 3B 2 3 1C 3 1 2(3)交叉试验的方差分析方差分析表方差来源DF SS MS F 受试者间(P)N-1 1/GΣB2i-C SS P/(N-1) MS P/MS E阶段间(S) G-1 1/NΣS2i-C SS S/(G-1) MS S/MS E 处理间(B) G-1 1/NΣT2i-C SS B/(G-1) MS B/MS E误差(E) (G-1)(N-2) SS T-SS P-SS S-SS BSS E/(G-1)/(N-2)总(T) GN-1 ΣX2-CC=(ΣX)2/G/N方差来源DF SS MS F受试者间(P)11 60.5631 5.5057 2.64(>0.05) 阶段间(S) 1 19.7871 19.7871 9.50(<0.05)处理间(B) 1 8.5753 8.5753 4.12(>0.05) 误差(E) 10 20.8207 2.0821 总(T) 23 109.7462C=56.2042/24=131.6204随机区组设计的方差分析表 方差来源 DF SSMS F 总(T 1) r-1 C U j k -∑21区组间(B2) r-1 C M rj r -∑21 SS B2/(r-1) MS B2/ MS E1 一级处理(A) i-1 C A rj i -∑21 SS A /(i-1) MS A /MS E1 误差(E 1) (i-1)(r-1) SS T1-SS B2-SS A SS E1/(i-1)/(r-1)M r是区组观察值小计。