3圆周运动的实例分析

【总结】由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置，故具有重 复性。在做这类题目时，应该考虑圆周运动的周期性。 （5）竖直平面内圆周运动的临界问题 圆周运动的临界问题：
图3-8
（1）如上图3-8所示，没有物体支撑的小球，在绳和轨道的约束下，在 竖直平面做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的做用：mg＝m
v临界＝。 ②能过最高点的条件：v≥，当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生 压力。
③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了 轨道） 图3-9 （2）如图3-9球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v＝0时，FN＝mg（FN为支持力）。 ②当0＜v＜时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力。 ③当v＝时，FN＝0。
③ T2sin45°=mLACsin30°④
代入数据得：ω2=3.16rad/s。要使AC绳有拉力，必须ω<ω2，依 题意ω=4rad/s>ω2，故AC绳已无拉力，AC绳是松驰状态，BC绳与杆的 夹角θ>45°，对小球有：
T2cosθ=m ω2LBCsin θ ⑤
而LACsin30°=LBCsin45°
【审题】两绳张紧时，小球受的力由0逐渐增大时，ω可能出现两 个临界值。
【解析】如图3-1所示，当BC刚好被拉直，但其拉力T2恰为零，设 此时角速度为ω1，AC绳上拉力设为T1，对小球有： 图3-1
① ② 代入数据得：
， 要使BC绳有拉力，应有ω>ω1，当AC绳恰被拉直，但其拉力T1恰
为零，设此时角速度为ω2，BC绳拉力为T2，则有
④当v＞时，FN为拉力，FN随v的增大而增大。 图3-10
如图所示3-10的小球在轨道的最高点时，如果v≥此时将脱离轨道 做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力。
例7：半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图3-11所示。顶部有一 小物体甲，今给它一个水平初速度
，则物体甲将（ ） 图3-11 A．沿球面下滑至M点 B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面作斜下抛运动 C．按半径大于R的新的圆弧轨道作圆周运动 D．立即离开半圆球作平抛运动
②变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变 化。求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速 圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆 心。合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量 和）提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿 轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。 ③当物体所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R时，物体做离心 运动。
例4：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机启
动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．则电机对地面的最大压力和最
小压力之差为__________。
图3-5
【审题】铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮
对它的力F的合力．由圆周运动的规律可知：当m转到最低点时F最大，
当m转到最高点时F最小。
利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运 动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独 立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。
在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等 来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答 案。 图3-6 例5：如图3-6所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动， 其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落 点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝ _________。
b.最常见的圆周运动有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用 下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在 垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；④物体在各种外力（重 力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。
c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周 运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆 心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力，提 供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切向加速 度，其效果是改变速度的大小。 例1：如图3-1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg的小球，两绳的另 一端分别固定在轴上的A、B两处，上面绳AC长L=2m，当两绳都拉直时， 与轴的夹角分别为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆 周运动角速度为ω=4rad/s时，上下两轻绳拉力各为多少？
【解析】物体A做匀速圆周运动，向心力： 而摩擦力与重力平衡，则有： 即： 由以上两式可得： 即碗匀速转动的角速度为：
【总结】分析受力时一定要明确向心力的来源，即搞清楚什么力充 当向心力．本题还考查了摩擦力的有关知识：水平方向的弹力为提供摩 擦力的正压力，若在刚好紧贴碗口的基础上，角速度再大，此后摩擦力 为静摩擦力，摩擦力大小不变，正压力变大。
传动过程中二者的线速度大小相等，即va＝vc，又v＝ωR， 所以ωar＝
ωc·2r，即ωa＝2ωc．而b、c、d三点在同一轮轴上，它们的角速度相
等，则ωb＝ωc＝ωd＝ωa，所以选项Ｂ错．又vb＝ωb·r＝ ωar＝，
所以选项A也错．向心加速度：aa＝ωa2r；ab＝ωb2·r＝（）2r＝ωa2r
＝aa；ac＝ωc2·2r＝为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的
一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，
到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传
动过程中，皮带不打滑，则
图3-2
A．a点与b点线速度大小相等
B．a点与c点角速度大小相等
C．a点与d点向心加速度大小相等
【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内， 圆盘做了一定角度的圆周运动。
【解析】①小球做平抛运动，在竖直方向上： h＝gt2 则运动时间 t＝ 又因为水平位移为R 所以球的速度 v＝＝R· ②在时间t内，盘转过的角度θ＝n·2π，又因为θ＝ωt 则转盘角速度： ω＝＝2nπ(n＝1，2，3…)
【解析】设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别为F1和
F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：
在最高点：mg＋F1＝mω2r
①
在最低点：F2－mg＝mω2r
②
电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高
点时，且压力差的大小为：ΔFN＝F2＋
F1
③
由①②③式可解得：ΔFN＝2mω2r
D．a、b、c、d四点，加速度最小的是b点
【审题】 分析本题的关键有两点：其一是同一轮轴上的各点角速
度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度大小相同。这
两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得
出正确的结论。
【解析】由图3-2可知，a点和c点是与皮带接触的两个点，所以在
ωa2r＝aa；ad＝ωd2·4r＝
（ωa）2·4r＝ωa2r＝aa．所以选项C、D均正确。
【总结】该题除了同轴角速度相等和同皮带线速度大小相等的关系 外，在皮带传动装置中，从动轮的转动是静摩擦力作用的结果．从动轮 受到的摩擦力带动轮子转动，故轮子受到的摩擦力方向沿从动轮的切线 与轮的转动方向相同；主动轮靠摩擦力带动皮带，故主动轮所受摩擦力 方向沿轮的切线与轮的转动方向相反。是不是所有的题目都要是例1这 种类型的呢？当然不是，当轮与轮之间不是依靠皮带相连转动，而是依 靠摩擦力的作用或者是齿轮的啮合，如图3-3所示，同样符合例1的条 件。 图3-3 （3）向心力的来源 a．向心力是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况 时，切记在物体的作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外不要再添加一 个向心力。 b．对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析： ①确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。 ②明确运动情况，包括搞清运动速率v，轨迹半径R及轨迹圆心O的位置 等。只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向 心力大小( mv2/R )和向心力方向（指向圆心）。 ③分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图， 确定指向圆心的合外力F（即提供向心力）。 ④选用公式F=m=mRω2=mR解得结果。 c．圆周运动中向心力的特点： ①匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不 变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合 外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆 周运动的条件。
【总结】
（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动?
（2）当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力?
（3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M，
则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多
少?
解：（1）做初速度沿圆周切线方向，只受重力的平抛运动。
4、圆周运动的周期性把握不准。 5、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却 不能理解本质，更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。
二、难点突破
（1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动 a.圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向（即速度方向）在不
断变化。圆周运动也不可能是匀变速运动，因为即使是匀速圆周运动， 其加速度方向也是时刻变化的。
【总结】上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两 种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种
运动联系起来。
例6：如图3-7所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图 示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球 在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？ 图3-7