第四章大学物理功和能
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M=dL/dt M=0 L=恒量
2
角动量定理 角动量守恒定律
本章目录
前言 §4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 一对力的功 §4.4 保守力 §4.5 势能（书4.5，4.6，4.7节） §4.6 由势能求保守力（书4.8节） §4.7 功能原理，机械能守恒定律（书4.9节） §4.8 守恒定律的意义（书4.10节） §4.9 碰撞（书4.11节）
18
§4.5 势能（potential energy）
利用保守力的功与路径无关的特点，可引入 “势能” 的概念。 一. 系统的势能 Ep 定义： 系统由位形(1)变到位形(2)的过程中， 其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。
E p1 E p2 = E p = W保12
若规定系统在位形（0）的势能为零， 则： (0) E p1 = (1) f 保 d r 19
解： Ai = E KB E KA
A2 (
x2
A2 [12 3 (3 8)] = 24
A2 = 12( J )
12
x1
Fx dx Fy dy ) = 24
y1
y2
§4.3 一对力的功
分别作用在两个物体上的大小相等、 一. 一对力：
方向相反的力。 它们通常是作用力与反作用力，
方法二：
AAB =
B A
dv F dr = m v dt A dt
B
AAB = mv dv = m(v x dv x v y dv y v z dv z ) A
B A
10
B
= m(
vx
2
vx
1
v x dv x
v y2
v y1
v y dv y
v z2
3
解： dA = F dr cos
F = F摩 = kv i
2
F = kv dr = dx cos = 1
2
A=
3
L c
0
27kc 3 t 6dt
2 3 7 3
6
v = dx dt
= 27 kc L 7
例2有一倔强系数为k 的轻弹簧，原 长为 l 0 ，将它吊在天花板上。当它下端 挂一托盘平衡时，其长度变为 l1。然后 在托盘中放一重物，弹簧长度变为 l 2 。 则由 l1 伸长至 l 2 的过程中，弹性力所 做的功 A=？
§4.1 功（work）
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的 标量积。
W12 =
( 2) dW (1 )
=
( 2) (1)
( 2) ( 1)
F d r
F cos d r
×
2
=
dr L m
×
F
▲ 功依赖于参考系； ▲ 功是标量，
1
有正、负之分。
5
例1
一物体按规律 x = ct 在媒质中 作直线运动，式中 c为常数，t 为时间。 设媒质对物体的阻力正比于速率的平方， 阻力系数为 k ，试求物体由 x = 0 运 动到 x = L 时，阻力所作的功。
机械运动范围内的体现。
27
四.守恒定律联合应用举例
[例1] 已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。 求：hmax = ? 光滑 解： m + M + 地球： v M m W外= 0，W内非 = 0 ， 光滑 故机械能守恒。
hmax
当 h= h max 时，M 与 m有相同的水平速度 V 。
A = Fx dx Fy dy Fz dz
= Fx dx Fy dy
0 0
B
A 0
2R
R
= F0 ydy = 2F0 R
0
2R
2
x
8
§4.2 动能定理（kinetic energy theorem）
▲
对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：
W12 = Ek 2 Ek1 （对惯性系）
即 若 dW外 = 0 且 dW内非 = 0 ，则 E = 常量
—— 机械能守恒定律
显然，孤立的保守系统机械能守恒。
当 E = 0 时，Ek = E p = W内保
即
Ep
W保内 > 0 W保内 < 0
Ek
26
保守内力作功是系统势能与动能相互转化 的手段和度量。
三. 普遍的能量守恒定律 如果考虑各种物理现象，计及各种能量， 则 一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变。 —— 普遍的能量守恒定律 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在
一. 定义 如果一对力的功与相对移动的路径无关， 而只决定于相互作用物体的始末相对位置， 这样的力称为保守力。 ( 2) ( 2) 若 f 为保守力，则： (1) f d r = (1) f d r
(2)
dr m2 L2 f r L1 (1) m1 L=L1+L2 L1
二. 一对力的功 dW对 = f1 d r1 f 2 d r2 B2× z B1× = f (d r d r ) 2 2 1 f dr
dr1 f1 r21 m 1 r1 r2
A×
1 2
但也可不是。
m 2 2
× A
x
o
2
y
d r21：m2相对m1 的
元位移。
13
= f 2 d(r2 r1 ) = f 2 d r21
W12对
( 2) = f 2 d r21(= f1 d r12 ) ( 2) (1) ( 1)
(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2； (2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。 说明： 1.W对 与参考系选取无关。 2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。 （摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果） 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情 况下，一对力的功必为零。 14
v z1
v z dv z )
1 1 2 2 = mv2 mv1 2 2
物理意义：合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量
11
例5 （
）一质点在二恒力作用下，位移为: r = 3i 8 j ( SI ) ,在此过程中，动能增量 为24J，已知其中一恒力 F1 = 12 i 3 j ( SI ) 则另一恒力所作的功 = ？
说明： 1.势能属于相互作用的系统； 2.势能不依赖于参考系的选择，不要将势能 零点的选择与参考系的选择相混淆。 二. 几种势能 1.万有引力势能
GMm E p (r ) = C r
令 E p () = 0 ， 则 C = 0，
有
GMm E p (r ) = r
20
2.重力势能
E p (h) = mgh C
斜率 = 0
r
§4.7 功能原理，机械能守恒定律
一. 功能原理（work-energy theorem） 对质点系有： W外 W内 = Ek 2 Ek1
W内 = W内保 W内非 = ( E p2 E p1 ) W内非
W外 W内非 = （Ek 2 E p2） （Ek1 E p1）
第四章
h
功和能
v E>0 双曲线 E=0 抛物线
（Work and Energy）
E<0
椭圆
1
上节回顾：
t 动量定理 I = Fdt = mv2 mv1 = P 0 动量守恒定律 Pi = mi vi = C F外 = 0
i
i
角动量
L = r p 力矩 M = r F
M
·
r
f
·
d re r m
=
( 2 ) GMm 2 er (1)
r
r1
× (1)
GMm = d r r2 GMm GMm = r2 r1
r2 r1
17
任何中心力 f ( r )er 都是保守力。
2. 弹力 一维运动时
f = kx i
P = mg
x — 对自然长度的增加量， k — 弹簧的劲度（stiffness）。 3. 重力 重力并不是地球表面附近的万有引力。 三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： ▲ 摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负； ▲ 爆炸力：作功为正。
解： A =
l 2 l0 l1 l0
kxdx
1 2 2 = k l1 l0 l2 l0 2
7
例3（ ）一质点在如图所示的坐标平面 内作圆周运动，有一力 F = F0 ( x i y j ) 作用在质点上。在该质点从坐标原点运 动到 (0, 2 R) 位置过程中，力对它所做 的功为多少？ y
23
grad E p — EP 的梯度（gradient）
引入算符 i j k x y z
则有
f 保 = E p
二 . 由势能曲线求保守力 Ep
O
例：双原子分子势能曲线
斜率 < 0 r 斜率 > 0
0
× × ×
r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。 r > r0 ： 斜率 >Biblioteka Baidu0 ， fr < 0， r 是引力。 r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0， 是斥力。 24
( 2) (1)
(1) f d r = ( 2 ) f d r
L2
（此式也可作为 保守力的定义） 16
L2
L
f dr = 0
L1
二. 几种保守力 1.万有引力
(2) ×
W12对 =
( 2) f (1 )
dr
dr
r2
d r = er d r
1 2 E k = m v —— 动能 2
▲
对质点系，有动能定理：
W外 W内 = Ek 2 Ek1
注意：内力虽成对出现， 但内力功的和不一定 为零（各质点位移不一定相同）。 9
例4（ ）试就质点受变力作用而且做一般 曲线运动的情况推导质点的动能定理。并 说明定理的物理意义。 推导： 方法一：书 P181~182
f 保l = E p l
Ep y
若
E p = E p ( x, y, z ) ， 则有：
f保 x = Ep x ， f保 y =
， f保 z =
Ep z
E p f保 = （ i x = grad E p
E p j y
E p k） z
例如：
N v12 光滑
v1 1 m 2
v2
N′ M
WN 0 N 不垂直于 v1 WN 0 N 不垂直于 v2 Nv 12 , 即 N d r12
W对 = WN WN = 0
15
§4.4 保守力（conservative force）
f保 d l = d E p
f保l d l = d E p
f 保l = d Ep dl
所以有：
1 2 例 如 弹 性 势 能 E p = kx ， 2 d 1 2 则可得弹性力 fx = ( kx ) = kx 22 dx 2
通常 EP 可以是几个坐标的函数，此时有：
3
前言
本章讨论力对空间的积累效应 —— 功、动能、 势能、动能定理、机械能守恒定律。 要求： 1.深入理解以上概念，搞清它们是属于质点、
还是属于系统？与参考系的选择有无关系？ 来源、 对象、适用条件、 2.搞清规律的内容、 与参考系的关系等。 ▲ 功的计算是否依赖参考系？ 如： ▲ 势能是否与参考系的选择有关？ ▲ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？ 4 ▲ 摩擦生热是否与参考系选择有关？
引入系统的机械能 功能 原理
E = Ek E p
（积分形式）
（微分形式）25
W外 W内非 = E2 E1
dW外 dW内非 = d E
二. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy） 在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。
取地面 Ep = 0，有：
1 1 2 2 m v E pM = ( m M )V E pM mghmax 2 2 (1)
28
m + M： 水平方向F外= 0，故水平方向动量守恒
mv =（m+M）V
令 E p (0) = 0 ， 有
E p (h) = mgh
3.弹性势能
1 2 E p ( x ) = kx C 2
1 2 令 E p (0) = 0 ， 有 E p ( x ) = kx 2
21
§4.6 由势能求保守力
一. 由势能函数求保守力 f保
m l dl f =f cosθ 保l 保
2
角动量定理 角动量守恒定律
本章目录
前言 §4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 一对力的功 §4.4 保守力 §4.5 势能（书4.5，4.6，4.7节） §4.6 由势能求保守力（书4.8节） §4.7 功能原理，机械能守恒定律（书4.9节） §4.8 守恒定律的意义（书4.10节） §4.9 碰撞（书4.11节）
18
§4.5 势能（potential energy）
利用保守力的功与路径无关的特点，可引入 “势能” 的概念。 一. 系统的势能 Ep 定义： 系统由位形(1)变到位形(2)的过程中， 其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。
E p1 E p2 = E p = W保12
若规定系统在位形（0）的势能为零， 则： (0) E p1 = (1) f 保 d r 19
解： Ai = E KB E KA
A2 (
x2
A2 [12 3 (3 8)] = 24
A2 = 12( J )
12
x1
Fx dx Fy dy ) = 24
y1
y2
§4.3 一对力的功
分别作用在两个物体上的大小相等、 一. 一对力：
方向相反的力。 它们通常是作用力与反作用力，
方法二：
AAB =
B A
dv F dr = m v dt A dt
B
AAB = mv dv = m(v x dv x v y dv y v z dv z ) A
B A
10
B
= m(
vx
2
vx
1
v x dv x
v y2
v y1
v y dv y
v z2
3
解： dA = F dr cos
F = F摩 = kv i
2
F = kv dr = dx cos = 1
2
A=
3
L c
0
27kc 3 t 6dt
2 3 7 3
6
v = dx dt
= 27 kc L 7
例2有一倔强系数为k 的轻弹簧，原 长为 l 0 ，将它吊在天花板上。当它下端 挂一托盘平衡时，其长度变为 l1。然后 在托盘中放一重物，弹簧长度变为 l 2 。 则由 l1 伸长至 l 2 的过程中，弹性力所 做的功 A=？
§4.1 功（work）
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的 标量积。
W12 =
( 2) dW (1 )
=
( 2) (1)
( 2) ( 1)
F d r
F cos d r
×
2
=
dr L m
×
F
▲ 功依赖于参考系； ▲ 功是标量，
1
有正、负之分。
5
例1
一物体按规律 x = ct 在媒质中 作直线运动，式中 c为常数，t 为时间。 设媒质对物体的阻力正比于速率的平方， 阻力系数为 k ，试求物体由 x = 0 运 动到 x = L 时，阻力所作的功。
机械运动范围内的体现。
27
四.守恒定律联合应用举例
[例1] 已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。 求：hmax = ? 光滑 解： m + M + 地球： v M m W外= 0，W内非 = 0 ， 光滑 故机械能守恒。
hmax
当 h= h max 时，M 与 m有相同的水平速度 V 。
A = Fx dx Fy dy Fz dz
= Fx dx Fy dy
0 0
B
A 0
2R
R
= F0 ydy = 2F0 R
0
2R
2
x
8
§4.2 动能定理（kinetic energy theorem）
▲
对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：
W12 = Ek 2 Ek1 （对惯性系）
即 若 dW外 = 0 且 dW内非 = 0 ，则 E = 常量
—— 机械能守恒定律
显然，孤立的保守系统机械能守恒。
当 E = 0 时，Ek = E p = W内保
即
Ep
W保内 > 0 W保内 < 0
Ek
26
保守内力作功是系统势能与动能相互转化 的手段和度量。
三. 普遍的能量守恒定律 如果考虑各种物理现象，计及各种能量， 则 一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变。 —— 普遍的能量守恒定律 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在
一. 定义 如果一对力的功与相对移动的路径无关， 而只决定于相互作用物体的始末相对位置， 这样的力称为保守力。 ( 2) ( 2) 若 f 为保守力，则： (1) f d r = (1) f d r
(2)
dr m2 L2 f r L1 (1) m1 L=L1+L2 L1
二. 一对力的功 dW对 = f1 d r1 f 2 d r2 B2× z B1× = f (d r d r ) 2 2 1 f dr
dr1 f1 r21 m 1 r1 r2
A×
1 2
但也可不是。
m 2 2
× A
x
o
2
y
d r21：m2相对m1 的
元位移。
13
= f 2 d(r2 r1 ) = f 2 d r21
W12对
( 2) = f 2 d r21(= f1 d r12 ) ( 2) (1) ( 1)
(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2； (2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。 说明： 1.W对 与参考系选取无关。 2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。 （摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果） 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情 况下，一对力的功必为零。 14
v z1
v z dv z )
1 1 2 2 = mv2 mv1 2 2
物理意义：合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量
11
例5 （
）一质点在二恒力作用下，位移为: r = 3i 8 j ( SI ) ,在此过程中，动能增量 为24J，已知其中一恒力 F1 = 12 i 3 j ( SI ) 则另一恒力所作的功 = ？
说明： 1.势能属于相互作用的系统； 2.势能不依赖于参考系的选择，不要将势能 零点的选择与参考系的选择相混淆。 二. 几种势能 1.万有引力势能
GMm E p (r ) = C r
令 E p () = 0 ， 则 C = 0，
有
GMm E p (r ) = r
20
2.重力势能
E p (h) = mgh C
斜率 = 0
r
§4.7 功能原理，机械能守恒定律
一. 功能原理（work-energy theorem） 对质点系有： W外 W内 = Ek 2 Ek1
W内 = W内保 W内非 = ( E p2 E p1 ) W内非
W外 W内非 = （Ek 2 E p2） （Ek1 E p1）
第四章
h
功和能
v E>0 双曲线 E=0 抛物线
（Work and Energy）
E<0
椭圆
1
上节回顾：
t 动量定理 I = Fdt = mv2 mv1 = P 0 动量守恒定律 Pi = mi vi = C F外 = 0
i
i
角动量
L = r p 力矩 M = r F
M
·
r
f
·
d re r m
=
( 2 ) GMm 2 er (1)
r
r1
× (1)
GMm = d r r2 GMm GMm = r2 r1
r2 r1
17
任何中心力 f ( r )er 都是保守力。
2. 弹力 一维运动时
f = kx i
P = mg
x — 对自然长度的增加量， k — 弹簧的劲度（stiffness）。 3. 重力 重力并不是地球表面附近的万有引力。 三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： ▲ 摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负； ▲ 爆炸力：作功为正。
解： A =
l 2 l0 l1 l0
kxdx
1 2 2 = k l1 l0 l2 l0 2
7
例3（ ）一质点在如图所示的坐标平面 内作圆周运动，有一力 F = F0 ( x i y j ) 作用在质点上。在该质点从坐标原点运 动到 (0, 2 R) 位置过程中，力对它所做 的功为多少？ y
23
grad E p — EP 的梯度（gradient）
引入算符 i j k x y z
则有
f 保 = E p
二 . 由势能曲线求保守力 Ep
O
例：双原子分子势能曲线
斜率 < 0 r 斜率 > 0
0
× × ×
r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。 r > r0 ： 斜率 >Biblioteka Baidu0 ， fr < 0， r 是引力。 r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0， 是斥力。 24
( 2) (1)
(1) f d r = ( 2 ) f d r
L2
（此式也可作为 保守力的定义） 16
L2
L
f dr = 0
L1
二. 几种保守力 1.万有引力
(2) ×
W12对 =
( 2) f (1 )
dr
dr
r2
d r = er d r
1 2 E k = m v —— 动能 2
▲
对质点系，有动能定理：
W外 W内 = Ek 2 Ek1
注意：内力虽成对出现， 但内力功的和不一定 为零（各质点位移不一定相同）。 9
例4（ ）试就质点受变力作用而且做一般 曲线运动的情况推导质点的动能定理。并 说明定理的物理意义。 推导： 方法一：书 P181~182
f 保l = E p l
Ep y
若
E p = E p ( x, y, z ) ， 则有：
f保 x = Ep x ， f保 y =
， f保 z =
Ep z
E p f保 = （ i x = grad E p
E p j y
E p k） z
例如：
N v12 光滑
v1 1 m 2
v2
N′ M
WN 0 N 不垂直于 v1 WN 0 N 不垂直于 v2 Nv 12 , 即 N d r12
W对 = WN WN = 0
15
§4.4 保守力（conservative force）
f保 d l = d E p
f保l d l = d E p
f 保l = d Ep dl
所以有：
1 2 例 如 弹 性 势 能 E p = kx ， 2 d 1 2 则可得弹性力 fx = ( kx ) = kx 22 dx 2
通常 EP 可以是几个坐标的函数，此时有：
3
前言
本章讨论力对空间的积累效应 —— 功、动能、 势能、动能定理、机械能守恒定律。 要求： 1.深入理解以上概念，搞清它们是属于质点、
还是属于系统？与参考系的选择有无关系？ 来源、 对象、适用条件、 2.搞清规律的内容、 与参考系的关系等。 ▲ 功的计算是否依赖参考系？ 如： ▲ 势能是否与参考系的选择有关？ ▲ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？ 4 ▲ 摩擦生热是否与参考系选择有关？
引入系统的机械能 功能 原理
E = Ek E p
（积分形式）
（微分形式）25
W外 W内非 = E2 E1
dW外 dW内非 = d E
二. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy） 在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。
取地面 Ep = 0，有：
1 1 2 2 m v E pM = ( m M )V E pM mghmax 2 2 (1)
28
m + M： 水平方向F外= 0，故水平方向动量守恒
mv =（m+M）V
令 E p (0) = 0 ， 有
E p (h) = mgh
3.弹性势能
1 2 E p ( x ) = kx C 2
1 2 令 E p (0) = 0 ， 有 E p ( x ) = kx 2
21
§4.6 由势能求保守力
一. 由势能函数求保守力 f保
m l dl f =f cosθ 保l 保