求导法则PPT课件
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人教版高中数学选择性必修2《导数的四则运算法则》PPT课件
特别地 , 若f ( x ) = e x , 则f' ( x ) = e x ;
1
6. 若f ( x ) = loga x, 则f' ( x ) =
(a > 0 , 且a 1);
xlna
1
特别地 , 若f ( x ) = lnx, 则f' ( x ) = .
x
探究一：两个函数的和（差）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
两个函数积的导数
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[f(x)g(x)]′＝_______________________________
两个函数商的导数
fx
gx ′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
____________________ (g(x)≠0)
探究二：两个函数的积（商）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
’()和’()有什么关系？
[() + ()]’ ≠ ’()’()
() ’ ’()
() ≠ ’()
探究新知
导数的运算法则2:
即：
15x y 24 0．
小结反思
小结
导数的四则运算法则
设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则：
两个函数和的导数
f′(x)＋g′(x)
[f(x)＋g(x)]′＝_________________
两个函数差的导数
f′(x)－g′(x)
[f(x)－g(x)]′＝_________________
b 1
1
6. 若f ( x ) = loga x, 则f' ( x ) =
(a > 0 , 且a 1);
xlna
1
特别地 , 若f ( x ) = lnx, 则f' ( x ) = .
x
探究一：两个函数的和（差）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
两个函数积的导数
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[f(x)g(x)]′＝_______________________________
两个函数商的导数
fx
gx ′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
____________________ (g(x)≠0)
探究二：两个函数的积（商）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
’()和’()有什么关系？
[() + ()]’ ≠ ’()’()
() ’ ’()
() ≠ ’()
探究新知
导数的运算法则2:
即：
15x y 24 0．
小结反思
小结
导数的四则运算法则
设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则：
两个函数和的导数
f′(x)＋g′(x)
[f(x)＋g(x)]′＝_________________
两个函数差的导数
f′(x)－g′(x)
[f(x)－g(x)]′＝_________________
b 1
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学PPT课件：函数的求导法则
1 x x I x dy
因
y
f 1( x) 连续,
故 lim y
x0
0,
[
f
1
(
x)]
lim y
x0x
lyim01x
1. f ( y)
y
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
9
函数的求导法则
例
求函数
y
反函数
arcsin
x 的导数.
[ f 1( x)] 1 f ( y)
( x)
1
3 x 2
3
sin
x
3
x cos x,
当x 0时,
0,
当x 0时, 8
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x f ( y)在 I y内单调、可导 且f ( y) 0 , 反函数 y f 1( x)在对应I x内可导 ,
[ f 1( x)]
f
1 (
y)
或
dy dx
因变量对自变量求导,等于因变量对中间
变量求导,乘以中间变量对自变量求导.
12
函数的求导法则
定理3 如果 u g( x)在x可导 , y f (u)在u可导 , 则 y f [g( x)]在 x可导，dy f (u) g( x) dx
证 y f (u)在点u可导 , lim y f (u), u0 u
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv dx du dv dx
例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x
522导数的四则运算法则课件共36张PPT
课堂篇·互动学习
类型一
导数的运算法则
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝x22＋x 1； (3)y＝xsin x－co2s x； (4)y＝3x－lg x. [思路分析] 本题考查导数的运算法则，观察函数的结构特征，可先对函数式 进行合理变形，然后利用导数公式及相应的运算法则求解．
3．已知 f(x)＝xln x＋2 018x，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝__e___.
解析：∵f′(x)＝ln x＋1＋2 018，∴f′(x0)＝ln x0＋2 019＝2 020，∴ln x0＝1，解 得 x0＝e.
4．若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标 是___(_e，__e_)___．
5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
[课标解读]1.掌握导数的基本运算法则.2.能利用导数的四则运算法则求简单函 数的导数．
[素养目标] 水平一：能应用导数的四则运算法则求简单函数的导数(数学运 算)．
水平二：能利用导数的运算法则求复杂函数的导数(数学运算).
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
[解] (1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (2)y′＝x22＋x 1′＝2x′x2＋x12＋－122xx2＋1′ ＝2x2x＋2＋11－24x2＝2x－2＋21x22.
[变式训练 1] 求下列函数的导数： (1)y＝( x－2)2；(2)y＝( x＋1) 1x－1.
解：(1)∵y＝( x－2)Байду номын сангаас＝x－4 x＋4，
高中数学-函数的导数及运算法则精品ppt课件
2 2
1 1 a ( 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 , 2 ).
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
练习1、若直线y =3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
3 2 练习2、设三次曲线 y x x 3 x 在原点处的切 2
3
a=4
线为l1,平行于l1的另一条切线为l2. 求l1、l2的方程;
基本初等函数的导数
导数运算法则
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) [ ] g( x ) [ g( x )]2
(a x ) a x ln a (a 0)
2
1 x y 0 4
1 1 ( , ) 2 4
例.如图，设直线l1与曲线y x 相切于点P，直线 l2过点P且垂直于l1。若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于 x轴于点K，求KQ的长。
设：P ( x0 , x0 )
1 则：k1 , k 2 2 x 0 2 x0
y
l1
P
O
K
Q
x
l2
x (e ) e x
1 (log a x ) (a 0, a 1) x ln a
1 (ln x ) x
练习一
1.在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线方程。
y 13 x 14
2.求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
x y 1 0
3.求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
y 2 x 1, y 10 x 25
1 1 a ( 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 , 2 ).
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
练习1、若直线y =3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
3 2 练习2、设三次曲线 y x x 3 x 在原点处的切 2
3
a=4
线为l1,平行于l1的另一条切线为l2. 求l1、l2的方程;
基本初等函数的导数
导数运算法则
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) [ ] g( x ) [ g( x )]2
(a x ) a x ln a (a 0)
2
1 x y 0 4
1 1 ( , ) 2 4
例.如图，设直线l1与曲线y x 相切于点P，直线 l2过点P且垂直于l1。若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于 x轴于点K，求KQ的长。
设：P ( x0 , x0 )
1 则：k1 , k 2 2 x 0 2 x0
y
l1
P
O
K
Q
x
l2
x (e ) e x
1 (log a x ) (a 0, a 1) x ln a
1 (ln x ) x
练习一
1.在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线方程。
y 13 x 14
2.求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
x y 1 0
3.求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
y 2 x 1, y 10 x 25
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
高等数学(第2版)课件：函数的求导法则
2
4
即 3x 4 y 8 3 0.
问题 : y xsin x的导数?
对数求基导本法信则息
1. 幂指函数： 形如 y f (x)g(x)的函数, 如 y xsin x , y x2x.
2. 方法： 先对函数两边求对数，再用隐函数求导求出导数.
y f (x)g(x) 取对数 ln y g(x) ln f (x) 隐函数求导 y'
3sec2 (3x 4)
2 tan(3x 4)
(7) y ln(x 1 x2 )
解： y'
1
(1 1 2x)
1
x 1 x2
1
x 1 x2
2 1 x2
x 1 x2 1 x2
1 x2
(8) y lnln(ln x)
解：y' {lnln(ln x)}' 1 1 1
1
.
ln(ln x) ln x x x ln x ln(ln x)
则y'
e xe y
y
1
.
由x 0, 代入方程得 y 1.
1 e y x e y y' y' 0,
则y'|x0 e.
则曲线在 x 0处的切线方程为：y 1 e(x 0), 即：y ex 1.
则曲线在
x
0处的法线方程为：
y
1
1 e
(x
0),
即：y
1 x 1. e
隐函数的基求本导信法则息
例 7 : 求椭圆 x2 y 2 1在 点(2, 3 3 )处的切线.
16 9
2
解：对 x2 y2 1两边关于x求导，得 2x 2 y y' 0.
16 9
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
导数的四则运算法则 课件)
②[cf (x)]′＝__c_f_′_(x_)__．
(3)商的导数gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
3．(1)2xx′＝________；(2)(xex)′＝________．
1－xln 2 (1) 2x
(2)(1＋x)ex
[(1)2xx′＝2x－x2·x22xln 2＝1－2xxln 2；
(2)y′＝(xtan
x)′＝xcsoisn
x′
x
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin xccooss2xx＋x．
类型 3 导数计算的综合应用 【 例 3 】 (1) 曲 线 y ＝ 3(x2 ＋ x)ex 在 (0 ， 0) 处 的 切 线 方 程 为 ________． (2)设 f (x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数 a，b，c，d， 使得 f ′(x)＝xcos x．
又∵f ′(x)＝xcos x，
a－d＝0， ∴aa－x＋cxb－＋dc＝＝0x，， 即－ a＝c＝1，0，
b＋c＝0，
解得 a＝d＝1，b＝c＝0．
含参数的函数的求导问题 (1)求导是对自变量的求导，要分清解析式中的自变量和参变量． (2)函数 f (x)中含有 f ′(a)时，通常将导数 f ′(x)中的 x 取 a，求出 f ′(a) 的具体值，代入函数 f (x)中，从而确定函数的解析式． (3)函数式中含有参数的，一般利用待定系数法、导数的运算法 则确定参数的值即可．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
课件5：1.2.3 导数的四则运算法则
解：因为 f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋x－2 2(x<2)， 所以 f′(1)＝2a－2， 所以切线 l 的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线 l 与圆相切，所以圆心到直线 l 的距离等于半径， 即 d＝ 4a|2－－1a|2＋1＝21，解得 a＝181.
名师指津 关于复合函数导数的应用及其解决方法
1．应用 复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已
知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用． 2．方法
先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切 线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率， 再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至 关重要的作用．
变式训练 3：若将上例中条件改为“直线 l 与圆 C：x2＋y2＝41相交”， 求 a 的取值范围．
解：由例题知，直线 l 的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0.
∵直线 l 与圆 C：x2＋y2＝14相交， ∴圆心到直线 l 的距离小于半径．
解得
11 a> 8 .
系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式 时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样 可以减少运算量，优化解题过程．
变式训练
1：(1)设函数
f(x)＝sin3 θx3＋
3cos 2
θx2＋tan
θ，其中
θ∈
0，152π，则导数 f′(1)的取值范围是(
)
A．[－2,2]
B．[ 2， 3]
【答案】x 的函数
y＝f(g(x))
dy du du·dx
y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积
类型1：导数四则运算法则的应用
D8-4多元复合函数求导ppt课件
∵ f 有二阶连续偏导数，
∴
*
解
例4 设
，其中
具有二阶连续
偏导数，求：
*
例4 设
求：
∵ f 有二阶连续偏导数，
∴
*
情形Ⅲ 中间变量既有一元函数，又有多元函数。
则函数
设
z
u
v
w
x
y
x
y
*
解：
z
u
v
w
x
y
x
y
例5.设
求
*
例5
求
设
另解：
题设函数可看作由
复合而成，利用情形Ⅱ中的公式可得同样结果
或者先式
两边取对数，后求得
偏导数
*
多元复合函数求导，遵循一个如下法则：
设复合函数有n个中间变量
这里变化率即为偏导数（或导数）
[（因变量对 的变化率）×
（ 对自变量 变化率）]
则复合函数对自变量
的变化率等于
m个自变量
*
。
例如 设
，而
，则
再如,
注意:
这里
表示固定 y 对x 求导,
*
思考与练习
1.
求
解：
*
2. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求
解: 令
则
*
3. 已知
求
解: 由
两边对 x 求导, 得
*
4.
求
在点
处可微 , 且
设函数
解: 由题设
(2001考研)
*
解
另解 因为
所以
。
例5 设
而
求全导数
*
《函数求导法则》课件
高阶导数的求导法则
高阶导数的定义
总结词
高阶导数的定义是指一个函数在某一点 的导数，对其再次求导，得到的导数称 为二阶导数，以此类推，可以得到更高 阶的导数。
VS
详细描述
高阶导数的定义是通过对一个函数进行多 次求导来得到的。具体来说，一个函数在 某一点的导数，对其再次求导，得到的导 数称为二阶导数。类似地，对二阶导数再 次求导，可以得到三阶导数，以此类推， 可以得到更高阶的导数。
高阶导数的计算方法
总结词
高阶导数的计算方法是通过连续求导来得到 的。具体的计算方法取决于函数的表达式和 求导法则。
详细描述
高阶导数的计算方法是通过连续求导来得到 的。对于多项式函数，可以使用链式法则和 幂函数求导法则进行计算。对于三角函数、 指数函数等其他类型的函数，可以使用相应 的求导法则进行计算。在进行高阶求导时， 需要注意保持运算的准确性和简洁性，以避 免计算错误和繁琐的计算过程。
05
导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是求 切线的斜率。
详细描述
对于可导函数，其在某一点的导数值 即为该点切线的斜率。通过求导，我 们可以得到切线的斜率，进而确定切 线的方程。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
详细描述
当一元函数在某区间内单调递增时，其导数大于0； 当函数单调递减时，其导数小于0。因此，通过判断 导数的符号，我们可以确定函数图像的凹凸性。
复合函数的导数
总结词
理解复合函数的导数概念，掌握复合 函数导数的计算方法。
详细描述
复合函数的导数是通过对函数进行微 分来得到的，它描述了函数值随自变 量变化的速率。复合函数的导数计算 需要遵循链式法则、乘积法则等基本 法则。
高阶导数的定义
总结词
高阶导数的定义是指一个函数在某一点 的导数，对其再次求导，得到的导数称 为二阶导数，以此类推，可以得到更高 阶的导数。
VS
详细描述
高阶导数的定义是通过对一个函数进行多 次求导来得到的。具体来说，一个函数在 某一点的导数，对其再次求导，得到的导 数称为二阶导数。类似地，对二阶导数再 次求导，可以得到三阶导数，以此类推， 可以得到更高阶的导数。
高阶导数的计算方法
总结词
高阶导数的计算方法是通过连续求导来得到 的。具体的计算方法取决于函数的表达式和 求导法则。
详细描述
高阶导数的计算方法是通过连续求导来得到 的。对于多项式函数，可以使用链式法则和 幂函数求导法则进行计算。对于三角函数、 指数函数等其他类型的函数，可以使用相应 的求导法则进行计算。在进行高阶求导时， 需要注意保持运算的准确性和简洁性，以避 免计算错误和繁琐的计算过程。
05
导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是求 切线的斜率。
详细描述
对于可导函数，其在某一点的导数值 即为该点切线的斜率。通过求导，我 们可以得到切线的斜率，进而确定切 线的方程。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
详细描述
当一元函数在某区间内单调递增时，其导数大于0； 当函数单调递减时，其导数小于0。因此，通过判断 导数的符号，我们可以确定函数图像的凹凸性。
复合函数的导数
总结词
理解复合函数的导数概念，掌握复合 函数导数的计算方法。
详细描述
复合函数的导数是通过对函数进行微 分来得到的，它描述了函数值随自变 量变化的速率。复合函数的导数计算 需要遵循链式法则、乘积法则等基本 法则。
高二数学《导数的四则运算法则》课件
导数的运算
引入新课
问题
我们学习了哪些基本初等函数的导数？
答案：1.若 = 为常数 ，则′ = 0；
2.若 = （α∈Q，且α≠0），则′ = −1 ；
3.若 = sin，则′ = cos；
4.若 = cos，则 ′ () = −sin；
知识应用
追问1
怎样求纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率？
′
5284
=
100 −
5284′ × 100 − − 5284 × 100 −
=
100 − 2
′
答案：
′
0 × 100 − − 5284 × −1
5284
=
=
2
100 −
100 −
所以 ′
5284
90 =
100 − 90
2
=
52.84, ′
2
5284
98 =
100 − 98
.
2
= 1321.
知识应用
追问2
根据导数的物理意义，结合两个计算结果，对比纯净度及资金投
入的变化，你有什么发现？
答案：
′ 98 = 25 ′ 90 .
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
知识应用
例1
求下列函数的导数：
（1） = 3 − + 3；
（2） = 2 + cos.
解：（1） ′ = 3 − + 3 ′ = 3 ′ − ′ + 3 ′ = 3 2 − 1；
（2）′ = (2 + cos)′ = 2
引入新课
问题
我们学习了哪些基本初等函数的导数？
答案：1.若 = 为常数 ，则′ = 0；
2.若 = （α∈Q，且α≠0），则′ = −1 ；
3.若 = sin，则′ = cos；
4.若 = cos，则 ′ () = −sin；
知识应用
追问1
怎样求纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率？
′
5284
=
100 −
5284′ × 100 − − 5284 × 100 −
=
100 − 2
′
答案：
′
0 × 100 − − 5284 × −1
5284
=
=
2
100 −
100 −
所以 ′
5284
90 =
100 − 90
2
=
52.84, ′
2
5284
98 =
100 − 98
.
2
= 1321.
知识应用
追问2
根据导数的物理意义，结合两个计算结果，对比纯净度及资金投
入的变化，你有什么发现？
答案：
′ 98 = 25 ′ 90 .
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
知识应用
例1
求下列函数的导数：
（1） = 3 − + 3；
（2） = 2 + cos.
解：（1） ′ = 3 − + 3 ′ = 3 ′ − ′ + 3 ′ = 3 2 − 1；
（2）′ = (2 + cos)′ = 2
《隐函数的求导法则》课件
对数求导法则
对数求导法则
对于形如 `y = f(g(x))` 的复合函数，其导数为 `dy/dx = (d(g)/dx) * (df/dg) * (dg/dx)`。
应用
对数求导法则在处理复杂函数的求导问题时非常有用，特别是当需要计算复合 函数的导数时。
04
隐函数在实际问题中的应用
经济模型中的应用
通过求导法则，可以分析工程系统中 的动态特性，例如稳定性、响应时间 等。
05
隐函数求导的注意事项
初始条件的确定
01 初始条件是隐函数存在的前提，必须先确定初始 条件才能进行求导。
02 初始条件通常由实际问题或实验数据给出，是隐 函数求导的基础。
03 在确定初始条件时，需要充分考虑隐函数的性质 和特点，确保初始条件的合理性和准确性。
参数的取值范围
01
在对隐函数进行求导时，需要考虑参数的取值范围。
02
参数的取值范围会影响到隐函数的形状和性质，进而影响到求
导的结果。
在确定参数的取值范围时，需要充分考虑隐函数的实际背景和
03
意义，确保取值范围的合理性和准确性。
多重解的情况
1
对于某些隐函数，可能存在多个解的情况。
2
在求导过程中，需要特别注意多重解的情况，并 采取适当的措施进行处理。
3
处理多重解的方法包括筛选、验证和比较等，需 要根据具体情况选择合适的方法进行处理。
06
总结与展望
隐函数求导的总结
隐函数求导的定义
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程决定，而非显 式地给出。求隐函数的导数需要使用特定的求导法则。
求导法则的应用
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数，如经济模型、物 理现象等。掌握隐函数求导法则对于解决这些问题至关重要。
高等数学第二章第二节函数的求导法则课件
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2) (uv) uv u v
证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)
[
f
1 1 (
y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y f (x x) f (x) 0, y x
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0, 因此
f (x) lim y lim x0 x y0
1 ln
a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
3. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
注意: 1)
(uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
1.
1 x
x
1 x
3
4
3 4
导数的四则运算法则课件
【错因】忽略 f′(x)与 f′(x0)的区别，f′(x)是导数，而 f′(x0)是函数值， 即常量，题中 f′－31是函数 f(x)的解析式中一次项 x 的系数，应用多项式 的求导法求导时，一次项部分的导数是一个常数．
【正解】因为 f(x)＝x2＋2f′－13x， 所以 f′(x)＝2x＋2f′－31， 所以 f′－13＝2×－31＋2f′－31， 所以 f′－13＝－2×－13＝23， 即 f′－31的值为23.
3．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x) 相切，则直线l的方程为__________．
【答案】x－y－1＝0 【解析】因为点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上，所以设切点为(x0， y0)．又因为 f′(x)＝1＋ln x，所以直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x.所以由 yy00＝ ＋x10＝ln(x10＋，ln x0)x0，解得 x0＝1，y0＝0，所以直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0.
B．(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex
C．lnx2x′＝(ln
x)′x2－(ln (ln x)2
x)(x2)′＝1x·x2－(ln(lxn)2x)·2x＝x－ln2x2xln
x
D．x3－1x′＝(x3)′－(x－1)′＝3x2＋x12
【答案】C
【解析】对于 A，(x2＋2x)′＝(x2)′＋(2x)′＝2x＋2xln 2，正确；对于 B，
在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数 表面形式为函数的商或积，直接求导比较烦琐且易出错，可先将函数化 简，然后再求导．
1．求下列函数的导数：
函数求导PPT课件
利用导数求曲线的切线方程
总结词
求曲线切线方程的方法
详细描写
根据切线的定义和性质，结合一阶导数的几何 意义，可以求出曲线的切线方程。
总结词
求曲线法线方程的方法
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
1 2
3
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边际变化，例如边际成本、边 际收益和边际利润等，帮助企业做出更好的经济决策。
导数与函数变化率的关系
总结词
导数与函数的变化率密切相关，可以 用来描写函数在某一点处的变化速率 。
详细描写
导数可以反应函数在某一点处的变化 速率，当导数大于零时，函数在该点 处单调递增；当导数小于零时，函数 在该点处单调递减。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示曲线在某一点处的倾斜 程度。
详细描写
在二维平面中，函数的导数可以视为曲线在某一点处的切线 的斜率，表示曲线在该点处的倾斜程度。
02
函数求导的法则和性质
导数的四则运算
总结词
导数的四则运算法则是函数求导的基础，包括加、减、乘、除运算。
详细描写
导数的加法运算法则指出，两个函数的和或差的导数等于它们各自导数的和或差；导数的乘法运算法则说明，两 个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以第一个函数；除法运算 法则则是将除法转化为乘法，然后使用乘法法则进行求导。
详细描写
在17世纪，科学家们开始研究切线问题和速度问题，这导致了导数的起源。费马、巴罗和牛顿等数学 家在研究曲线切线和运动物体速度时，逐渐发展出了导数的概念。这一时期，他们还研究了函数的增 减性、极值等问题，奠定了导数的基础。
高数课件-求导的运算法则
（9） (secx) secx tan x ；
（11） (arcsin x) 1 ； 1 x2
（ 13）
(arctanx)
1 1 x2
；
2021-10-3
（2） (x ) x1 ；
（4）(loga
x)
1 x ln
a
，(ln
x
)
1 x
；
（6） (cosx) sin x ；
（8） (cot x) csc2 x ；
注 1.基本初等函數的導數公式和上述求導法則
是初等函數求導運算的基礎，必須熟練掌握
2.複合函數求導的鏈式法則是一元函數微分 學的理論基礎和精神支柱，要深刻理解 ，熟 練應用——注意不要漏層
3.對於分段函數求導問題：在定義域的各個部 分區間內部，仍按初等函數的求導法則處理， 在分界點處須用導數的定義仔細分析，即分別 求出在各分界點處的左、右導數，然後確定導 數是否存在。
2021-10-3
lim
x0
u x
u(x),
lim
x0
v x
v(x)
，
lim u
x0
lim v
x0
0，
且
u u(x x) u(x), v v(x x) v(x),
u(x x) u(x) u,v(x x) v(x) v.
⑵ ⑴⑶
yxyxyx[u[((x1ux)(xu)v((uxx]))[vu()x)uvx((vuvv(]((xxx)))ux(
例 3.2.9
设
y
shx
ex
ex 2
, 求 dy .
dx
解 dy (ex ) (ex ) ex ex (x) ex ex chx.
导数的运算ppt课件
解：(1) y x2 sin x sin x x2
2x sin x x2 cosx
(2) y x ln x xln x 3 cos x 3cos x
ln x 1 3sin x
新课讲授
法则2：
uv uv vu
同理：
c 0
cu cu
【例4】求函数的导数 y 2x3 4x2 3x 5
法则1：u v u v
新课讲授
法则1：
u v u v
【例1】求函数的导数
y x3 sin x
解：y x3 sin x
3x2 cosx
新课讲授
法则1：
u v u v
同理：
u v w u v w
【例2】求函数的导数
y 1 sin ln x
x4解：yFra bibliotek1复习回顾
1、常用的基本求导公式
（1）xa axa1
（2）ex e x
（3）ln x
1 x
（4）sin x cosx
（5）cos x sin x
复习回顾
2、求下列函数的导数
（1）y x3
（2）设
f x cosx，求 f 和
6
f
3
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
sin
ln
x
x 4
x2 0 1 x
1 x2
1 x
课堂练习
P 课本 45,练习题
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
法则1：u v u v 法则2：uv uv vu
新课讲授
法则2：
uv uv vu
【例3】求下列函数导数
(1) y x2 sin x
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F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?
隐函数求导法则: 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程
F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.
2/18
例1 求由方程 xy ey - e 0 所确定的隐函数 y y(x)
2 x4
1)
.
9/18
三、由参数方程所确定的函数的导数
若
x (t)
y
(t
)
可确定
y 与 x 间的函数关系 ,
称此函数为由此参数方程所确定的函数 .
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
得 , 此参数方程确定的函数 y t 2 ( x )2 ,
即 y y(x) x2 .
(2) 含有较多的乘、除、乘 方、开方运算的函数。
6/18
例4 设 y xsin x ( x 0) , 求 y .
解 等式两边取对数, 得 ln y sin x ln x ,
上式两边对 x 求导 , 得
1 y cos x ln x sin x 1 ,
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
22
的切线方程及法线方程 .
解 视 y y( x) , 方程两边对 x 求导, 得
3x2 3 y2 y 3 y 3xy,
y ( 3, 3) 22
y x2 y2 x
33 (,)
22
1.
于是，所求切线方程为 y 3 ( x 3) , 即 x y 3 0 .
2
2
法线方程为 y 3 x 3 , 即 y x .
y( x) dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
y(t) , x(t )
dt dy
y { x
y(t ) x(t)
确定
y
y( x)的求导法 :
dy dx
dt dx
y(t ) x(t )
dt
11/18
例7
求摆线
x a(t sin t)
y
a(1
cos
t
)
在 t
2
时的切线方程。
上式两边对 x 求导 , 得
y y
1 2
1 x
x
2x 2
1
2 (x 1)
2 x2
,
y' 1 2
x(x2 1) (x 2)(x 1)2
1 x
x
2
2
x
1
2 (x 1)
1 x2
.
8/18
例6 设
y
( x 1) 3 ( x 4)2
x ex
1
,
解
(D (, 4) (4, ) ,
求 y .
函数不恒正.)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
10/18
对
x
y
x(t) y(t )
t It,
若
x x(t)
在上
I
单调、可导且
t
x(t ) 恒不为零
x x(t ) 在对应的 I x上有可导的反函数 t t 1( x); 又若 y y(t) 在 It 上可导 ,
y y(t ) y(t 1( x)) y( x) 在 I x 上可导 , 且
解 dy y(t) a sin t sin t , dx x(t) a a cos t 1 cos t
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
1.
2
例8
求
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的 y y(x) 的导数 .
解
dy y(t) dx x(t)
3a sin2 t cos t 3a cos2 t( sin t)
2
2
注 本例中的方程形为 F(x, y)=G(x, y), 其确定的y=y(x)
的求导方法仍然是...。
4/18
例3 设 x4 xy y4 1, 求 y'(x) 在点 (0,1) 处的值 .
解 方程两边对 x 求导, 得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
法一：得y' y 4x3 4 y3-x
tan t ,
12/18
例9
求椭圆线
x a cos t
y
b
sin
t
(0 t 2 )在 t 时的切线方程。
4
解 dy y(t) b cos t b cot dx x(t) a sib cos
a
sin
4
b a
4
又当 t 时, x a cos a , y b sin b ,
高等数学
第二节_2 隐函数的导数及由参数方程所 确定的函数的导数
一、 隐函数的导数 二、 对数求导法 三、 由参数方程所确定的函数的导数 四、 小结、作业
1/18
一、隐函数的导数
由方程 F( x, y) 0 所确定的函数 y y( x) 称为隐函数 .
y f ( x) 形式的函数称为显函数.
y x0
y 1
1 4
;
法二：直接将 x 0、y 1代入（1），得
y x0
y 1
1 4
;
5/18
二、对数求导法 ——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。
对数求导法： 先对 y=f(x)（>0）两边取对数(或加绝对值后
两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
适用范围:
(1) 幂指型函数 u( x)v( x) ,
4
42
42
得 所求切线方程为
y b b (x a ), 即 bx ay 2ab 0 .
2a
2
13/18
等式两边取绝对值再取对数，得
ln | y | ln | x 1 | 1 ln | x 1 | 2ln | x 4 | x , 3
上式两边对 x 求导 , 得
y 1 1 2 1 , y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1) 3 ( x 4)2
x1 1
ex
( x1
1 3( x 1)
的导数 dy , dx
dy dx
x0.
解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导, 得
y x dy dx
e y dy 0
dx
解得
dy dx
y x ey
,
由原方程知 x 0 时, y 1,
dy dx
x0
y x ey
x0 y 1
1.
3/18
例2 设曲线 C 的方程为 x3 y3 3xy, 求过 C 上点 ( 3 , 3 )
xsin x (cos x ln x sin x ) . x
问： 能否用显式求导法求出（xsin x） ?
7/18
例5
设
x(x2 1) y (x 2)(x 1)2 ,
解
求 y.
等式两边取绝对值再取对数，得
ln | y | 1 [ln | x | ln(x2 1) 2 ln | x 1| ln | x 2 |] , 2