复合函数求导法则
复合函数的求导法则推导过程
复合函数的求导法则推导过程1.常数规则：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
2. 变量规则：如果f(x) = x^n是一个幂函数，那么它的导数可以通过幂函数的微分公式计算得到，即f'(x) = nx^(n-1)。
3.和差规则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的和与差的导数可以通过和差的基本性质得到，即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的乘积的导数可以通过乘积法则得到，即(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
在掌握了基本的导数规则后，我们开始推导复合函数的求导法则。
设有两个函数f(x)和g(x)，并且它们都是可导的。
我们定义一个新的函数h(x)=f(g(x))，即将g(x)作为输入，代入f(x)中得到输出。
我们希望求解h(x)的导数h'(x)。
为了推导复合函数的求导法则，我们采用数学归纳法的思想，从简单的情况开始考虑，逐步推导更一般的情况。
首先考虑最简单的情况，即g(x)=x。
我们将x作为输入代入f(x)中得到f(x)的导数f'(x)，同时，由于g(x)=x，所以g'(x)=1、根据乘积规则，可以得到h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)。
接下来，考虑g(x) = a（a为常数）。
由于g(x)是常数，所以g'(x) = 0。
根据乘积规则，可以得到h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) =f'(x)a = af'(x)。
考虑一般情况，即g(x)不再是一个常数。
我们假设g(x)的导数g'(x)存在，并且f(x)的导数f'(x)也存在。
复合函数的求导法则,反函数的求导法则
数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x
g[ f ( x )] g[ f ( x )]
f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x
e
x ln x
e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
复合函数的求导法则.
复合函数的求导法则是指对于一个复合函数而言，求导时
需要将自变量和函数进行分离，分别对自变量和函数求导，
再求和。
具体来说，复合函数的求导法则可以分为两种情况:
1. 直接求导法则
如果复合函数的内层函数是简单函数(即只包含一个自变
量的函数)，那么可以直接按照求导法则对内层函数进行求导，然后利用链式法则对外层函数进行求导。
例如，对于函数
f(x)=x^2+2x,求f(x)的导数，可以按照以下步骤进行:
f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + 2(x^2)'x = x^2 + 4x
其中，x^2的导数为2x,2x的导数为2,x的导数为1。
2. 间接求导法则
如果复合函数的内层函数是复合函数，那么需要先将内层
函数转化为简单函数，然后再按照求导法则对简单函数进行
求导。
例如，对于函数f(x)=sin(wx+b),求f(x)的导数，可
以按照以下步骤进行:
f'(x) = (sin(wx+b))' = (sin(wx+b))'w·cos(wx+b) + (sin(wx+b))'b·sin(wx+b) = w·cos(wx+b) + b·sin(wx+b)
其中，w为常数，表示角速度，cos(wx+b)为在wx+b方向
上的余弦函数，sin(wx+b)为在wx+b方向上的正弦函数。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数的导数求解方法是通过链式法则来完成的，链式法则是微分学中的一条重要定理，用于计算复合函数的导数。
链式法则的公式如下：设函数y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，且y=f(u)及u=g(x)都是定义在实数集上的函数，则复合函数y=f(g(x))是可导的，其导数为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，dy/du表示函数y = f(u)关于u的导数，即f'(u)，du/dx表示函数u = g(x)关于x的导数，即g'(x)。
链式法则的理解可以形象地理解为：复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数的导数。
具体而言，链式法则可以分为两个步骤：1.外层函数对内层函数的导数：首先计算函数y=f(u)关于u的导数，即f'(u)。
这一步是对内层函数的导数进行计算。
2.内层函数对自变量的导数：然后计算函数u=g(x)关于x的导数，即g'(x)。
这一步是对自变量的导数进行计算。
最后，将两个步骤得到的导数相乘，即得到复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数dy/dx。
链式法则的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的复合函数的导数，包括多元函数、隐函数和参数方程等等。
下面将针对一些常见的函数类型，给出链式法则的具体应用示例：1.多项式函数：对于多项式函数y=f(u)=a_n*u^n+a_{n-1}*u^{n-1}+...+a_1*u+a_0，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算得到。
例如，设y = (3x^2 + 2x + 1)^3，则u = g(x) = 3x^2 + 2x + 1，可以求出du/dx = 6x + 2、然后，求f(u)关于u的导数，有df/du =3u^2、最后，根据链式法则，复合函数y = (3x^2 + 2x + 1)^3关于x的导数dy/dx = df/du * du/dx = 3u^2 * (6x + 2) = 3(3x^2 + 2x +1)^2 * (6x + 2)。
复合函数求导法则证明
复合函数求导法则证明
复合函数求导法则是一种重要的数学求导法则，它可以帮助我们更加精确地求出复合函数
的导数。
复合函数求导法则的定义是：如果f(x)和g(x)是可微的函数，那么
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
这个定义表明，复合函数的导数等于复合函数中的每一个函数的
导数乘积。
为了证明复合函数求导法则，我们可以使用微积分中的基本定理，即如果f(x)和g(x)是可
微的函数，那么[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
我们可以使用这个定理来证明复合函数求导法则。
首先，我们假设f(x)和g(x)是可微的函数，那么[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
根据这个定理，
我们可以得出复合函数求导法则的结论：如果f(x)和g(x)是可微的函数，那么
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
因此，我们可以得出结论：复合函数求导法则是一种重要的数学求导法则，它可以帮助我们更加精确地求出复合函数的导数。
它的定义是：如果f(x)和g(x)是可微的函数，那么
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
通过使用微积分中的基本定理，我们可以证明复合函数求导法则
的正确性。
3.3 复合函数求导法则
解: y [ f ( e x ) ] e
x
f (x)
f ( e )[ e
xfBiblioteka (x) xf (x)]
f ( x )
f ( e ) e e
x
f ( e )e
f (x)
y f (sin
2
x ) f (cos
2
x ), 求 y .
2 2 key : y f (sin x )2 sin x cos x f (cos x )2 sin x cos x
sin 1 x
, 2） y arcsin
2
, 3） y arctan
x a
2
1 x
tan
6
2x
tan 3 x , 5） y
a arccos （ x 0 , a 0） x
作业：P71 1(1)(2)(4)(5);2(2)(3)(4)(7)(8) 选做：3；5
x x0
f ( u 0 ) g ( x 0 ) f [ g ( x 0 )] g ( x 0 )
(3 4)
写成导函数的形式为
dy dx
简写为
( f [ g ( x )] ) f [ g ( x )] g ( x ) dy dx dy du du dx
e
x
x
sin
2 x , 求 y
x
x
) sin
2x e
(sin
cos
2 x )
2x (
2
( x ) sin
sin
2x e
x
x
2 x )
e
e
复合函数的求导法则
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复 合 函 数 的 求 导 法 则
练习 求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导 数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为 所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设 因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。 的导数。 2 4
x π 解： 设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4
复合函数求导法则.
1 2 ( x 2 1) 1 x x 1 x 1 x 2 2 2 2 2 x 1 x x 1 x 1 2 2 1 1 2 x x 1 x 1 2 2 x 1 2 x x2 1
2
2x 1
（2）两个以上的函数复合，也有相应的类似结论。如三个函数
z f (t ), t g ( y), y h( x), 则有
dz dz dt dy f ( g (h( x))) f (t ) g ( y)h( x) dx dt dy dx
【3-3-6】
4、法则应用举例 例1 解：
2
2 x 1
2
1 2 x 1
2
x
2
x2 1
【3-3-16】
(5) y (1 2 x) ( x 0)
1 x
1 ln(1 2 x ) y (1 2 x) ln(1 2 x) (1 2 x) x x 2x ln(2 x 1) 1 2x 1 x (1 2 x) 2 x 1 2 x (2 x 1) ln(2 x 1) x (1 2 x) 2 x (2 x 1)
【3-3-5】
y f [ g ( x0 x)] f [ g ( x0 )] 0,(x 0)
即( f [ g ( x)])
x x0
0,因此此时法则结论亦成立
3、法则使用中应注意的问题
(1) f [ g ( x)] 与f [ g ( x)]的区别
前者是对x求导数, 后者是对g ( x) u求导数
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。
链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。
反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。
我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
3-2.2复合函数求导法则
1 1 1 1 ′′ = = (arcsin x) = (arcsinx ) . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
= f ′(u )ϕ ′( x)
推广 设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
(7) (sec x)′ = sec x tan x (9)
(a )′ = a ln a
x x
′ = ex (e )
x
1 (11) (log a x)′ = x ln a 1 (13) (arcsin x)′ = 1 − x2 (15) (arctan x)′ = 1 1 + x2
1 (ln x)′ = x
1 特别地 (ln x )′ = . x
dy 例8 设y = arshx( x ∈ R ), 求 . dx 解 y = arshx是双曲正弦x = shy的反函数，
由反函数求导定理得 1 1 1 1 (arshx)′ = = = = 2 2 ( shy )′ chy 1 + sh y 1+ x
所以
f [ g ( x )] =| sin x | 在 x = 0 处不可导，(1) × 处不可导，
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导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y ， 求 z 和z . x y
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
同理有 f2, f11, f22.
w x
f u f v
u x v x
f1yfz2 ;
2w xz
( z
f1
yzf2)
fz1yf2yzfz2;
f 1 z
fu1uzfv1vz f1 1xf1 y ;2
f 2 z
f2uf2v u z v z
f2 1xf2 y ;2
于是
2w xz
f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
连续偏导数，求 w 和 2w . x xz
（3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。
二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1设 zf(x2y2,x),f C (2),求 2z,2z.
y
x2 x y
例 2z y f(x y ,x 2 y ),f C (2 ),求 z, z, 2 z. x y x y
z t u z u t v z v t1 u t2 v t
当 t 0 时 ， u 0 ， v 0
u du, t dt
v dv, t dt
d zli m zzd u zd.v dt t 0 t udtvdt
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 d zzd uzd vzdw dtudtvdtwdt
第四节 复合函数的求导法则
------链式法则
情形一: 中间变量为多元函数
zf[(x,y) ,(x,y)]
如果u ( x, y) 及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
dzzduzdv． dt udt vdt
证 设t获得增t量 ，
则 u (t t)(t), v (t t)(t);
由 于 函 数 z f ( u ,v ) 在 点 ( u ,v ) 有 连 续 偏 导 数
z u z u v z v1 u 2 v ,
当 u 0， v 0时 ，1 0 ， 2 0
例 5z=f(x2,e2x),f可 微 ,求 dz. dx
情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数
z f( u ,v ) ,u u ( x ,y ) ,v v ( y ) ,则
z f u u u x z f u f dv v u y v dy
特别一: zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z y
z u
u y
z v
v y
z w
w y
.
z
ux v wy
情形二:中间变量为一元函数
定理 如果函数u(t)及v(t)都在点t 可
导，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏
导数，则复合函数z f[(t),(t)]在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
解 z z u z v x u x v x
eusivn yeuco v1 seu(ysivn co v)s, z z u z v y u y v y
e u sv ix n e u cv o 1 s eu(xsivncov)s.
例 2z(x2y2)sin(x3y),求 z和 z. x y
例 3zf(xy,x),f可 微 ,求 z和 z.
y
x y
类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
w w( x, y) 都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
特别二:z f (u),u(x, y),
则z df u x du x
例6 zsinx,求z和z. y x y
例 7 设w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z , vxy;z
记
f1
f(u,v), u
f122fu(uv,v),
u
zv
t
w
以上公式中的导数 dz
dt
称为全导数.
例 4 设 z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
解 d zzd uzd vz dtudtvdtt vte u sit n co t s e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
f 1 1 y ( x z ) f 1 2 x 2 z f 2 y 2 y f 2 .
小结：（多元复合函数求偏导数——链式 法则，应注意以下几点）
（1）先要搞清复合关系，哪些是自变量，哪些 是中间变量，要画结构图；
（2）对某个自变量求偏导数时，要经过一切与 其有关的中间变量，最后归结到该自变量。
例3 设uyf(x)xg(y),其中f、g具有二阶导数, yx
求x2u2,x2uy及xx2u2 yx2uy.
注意：对抽象f函 (u,v数 ), 其偏导 fu、 数 fv或f1、 f2 均仍然是多元 ,它 复们 合 f与 具 函有 数相同的 变量和相同.的自变量
例 4 设 w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶