复合函数求导法则

u
zv
t
w
以上公式中的导数 dz
dt
称为全导数.
例 4 设 z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
解 d zzd uzd vz dtudtvdtt vte u sit n co t s e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
（3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。
二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1设 zf(x2y2,x),f C (2),求 2z,2z.
y
x2 x y
例 2z y f(x y ,x 2 y ),f C (2 ),求 z, z, 2 z. x y x y
解 z z u z v x u x v x
eusivn yeuco v1 seu(ysivn co v)s, z z u z v y u y v y
e u sv ix n e u cv o 1 s eu(xsivncov)s.
例 2z(x2y2)sin(x3y),求 z和 z. x y
例 5z=f(x2,e2x),f可 微 ,求 dz. dx
情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数
z f( u ,v ) ,u u ( x ,y ) ,v v ( y ) ,则
z f u u u x z f u f dv v u y v dy
特别一: zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
连续偏导数，求 w 和 2w . x xz
例3 设uyf(x)xg(y),其中f、g具有二阶导数, yx
求x2u2,x2uy及xx2u2 yx2uy.
注意：对抽象f函 (u,v数 ), 其偏导 fu、 数 fv或f1、 f2 均仍然是多元 ,它 复们 合 f与 具 函有 数相同的 变量和相同.的自变量
例 4 设 w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶
特别二:z f (u),u(x, y),
则z df u x du x
例6 zsinx,求z和z. y x y
例 7 设w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z , vxy;z
记
f1
f(u,v), u
f122fu(uv,v),
同理有 f2, f11, f22.
w x
f u f v
u x v x
f1yfz2 ;
2w xz
( z
f1
yzf2)
fz1yf2yzfz2;
f 1 z
fu1uzfv1vz f1 1xf1 y ;2
f 2 z
f2uf2v u z v z
f2 1xf2 y ;2
于是
2w xz
f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
dzzduzdv． dt udt vdt
证 设t获得增t量 ，
则 u (t t)(t), v (t t)(t);
由 于 函 数 z f ( u ,v ) 在 点 ( u ,v ) 有 连 续 偏 导 数
z u z u v z v1 u 2 v ,
当 u 0， v 0时 ，1 0 ， 2 0
例 3zf(xy,x),f可 微 ,求 z和 z.
y
x y
类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
w w( x, y) 都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
导数存在，且可用下列公式计算
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z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y ， 求 z 和z . x y
z t u z u t v z v t1 u t2 v t
当 t 0 时 ， u 0 ， v 0
u du, t dt
v dv, t dt
d zli m zzd u zd.v dt t 0 t udtvdt
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 d zzd uzd vzdw dtudtvdtwdt
f 1 1 y ( x z ) f 1 2 x 2 z f 2 y 2 y f 2 .
小结：（多元复合函数求偏导数——链式 法则，应注意以下几点）
（1）先要搞清复合关系，哪些是自变量，哪些 是中间变量，要画结构图；
（2）对某个自变量求偏导数时，要经过一切与 其有关的中间变量，最后归结到该自变量。
第四节 复合函数的求导法则
------链式法则
情形一: 中间变量为多元函数
zf[(x,y) ,(x,y)]
如果u ( x, y) 及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z y
z u
u y
z v
v y
z w
w y
.
z
ux v wy
情形二:中间变量为一元函数
定理 如果函数u(t)及v(t)都在点t 可
导，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏
导数，则复合函数z f[(t),(t)]在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：