(完整版)高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法

确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问
题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较
大的考题。

但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。

只要确定了
带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。

现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果
从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的
中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带
电粒子如果沿半径方向射
入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2 ）。

利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1．如图3 所示，直线MN上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。

正、负电
子同时从同一点同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
解析：正、负电子的半径和周期是相同的。

只是偏转方向相反。

先确定圆心，画出半径和轨迹
（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组
成正三角形。

所以两个射出点相距s =2r= ，由
图还看出经历时间相差
，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。

图6 所示。

O以与MN 成30°角的
例2．如图5 所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。

一带电粒子以速度v0 从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。

当∠ MO＝N 120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

解析：分别过M、N 点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O' 的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电
粒子圆轨道半径为R=r/tan30 ° =
又带电粒子的轨道半径可表示为：
故带电粒子运动周期：
带电粒子在磁场区域中运动的时间
二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动
轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

例3．如图8 所示，S 为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，
P 为切点，所以 OP ＝L ，所以粒子能击中的范围为 。

电量为 q 的电子（ q <0），MN 是一块足够大的竖直挡板， 与 S 的水平距离为 磁感应强度大小为 mv 0/ qL ，求挡板被电子击中的范围为多大？
解析： 由于粒子从同一点向各个方向发射， 粒子的轨迹 为绕 S 点旋转的动态圆， 且动态圆的每一个圆都是逆时针旋 转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹， 如图 9 所示， 最高点为动态圆与 MN 的相切时的交点 P ，最低点为动态圆 与
MN 相割， 且 SQ 为直径时 Q 为最低点， 带电粒子在磁场中 作圆周运动，
L ，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场， 得：
SQ 为直径，则：
洛仑兹力提供向心力，由
SQ=2L ，SO=L ，由几何关系得：
最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（
1）速度大小；（ 2）速度方向与
解析：设粒子的发射速度为 v ， 粒子做圆周运动的半径为 R ，由牛 顿第二定律和洛仑兹力公式得：
y 轴正方向夹角正弦。

，解得：
粒子在磁场中的运动时间为
t ，依题意 ，所以∠ OCA ＝ 。

从 O 点以半径 R （ <R < a ）
例4．（2010 全国新课程卷）如图10 所示，在0≤x≤A．0≤y≤范围内有垂直于xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度
大小相同，速度方向均在xy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运动的半
径介于到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系得：
，，再加上
解析： 如图 14 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越
大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为 v 0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：
r+r cos θ=d
联立①②解得： ，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于
例 6．（2010 全国 II 卷）如图 15
所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为
磁感应强度为 B 0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。

图中右边有一边长为 a 的正三角形区域 EF （G EF
边与金属板垂直） ， 在此区域内及其边界上也有匀强磁场， 磁感应强度大小为 B ，方向垂直纸面向里。

假设一系列电荷量为 q 的正离子沿平 行于金属板面、 垂直于磁场的方向射入金属板之间， 沿同一方向射出金属板间的区域， 并经 EF 边中点 H 射入磁场区域。

不计重力。

（1）
（2） （3）
解析：由题意知， 所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动， 则有： qvB 0=qU / d ，解得离子的速度为： v=U/B 0d （为
一定数值）。

虽然离子速度大小不变，但质量
m 改变，结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式
解得： ，，
三、缩放圆法 带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速 度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图 12），利用缩放的动态圆，可以探
索出临界点的轨迹，使问题得到解决。

例 5．如图 13 所示，匀强磁场中磁感应强度为 的夹角为 θ ，已知电子的质量为 m ，电量为 e ，
B ，宽度为 d ，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界
要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：
，所以：
已知这些离子中的离子甲到达边界 EG 后，从边界 EF 穿出磁场，求离子甲的质量； 已知这些离子中的离子乙从 EG 边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且
GI 长为 3a /4 ，求离子乙的质量；
若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域 内可能有离子到
达？
d ，电压为 U ，两板间有匀强磁场，
R=mv/qB 分析，可画
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甲之间，即～；
②若离子的质量满足m甲＜m≤m乙，则所有离子都从EG边离开磁场，离开磁场的位置介于 A 到I 之间，其中AE的
距离AE= ，IE 距离IE= 。

四、临界法
以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r
和速度
v 以及磁场
B 之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。

例7．长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19 所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极
板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v 射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。

解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态，分别作出两个
状态的轨迹图，如图20、图21所示，打到右边界时，在直角三角形OAB中，由几何关系得：解1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17 中的半圆，半圆与EG边相切于A 点，与EF边垂直相交于B 点，由几何
关系可得半径：R甲=a cos30 °tan15 °=（）a，
从而求得离子甲的质量m甲=
2）离子乙的运动轨迹如图18 所示，在ΔEIO2 中，由余弦定理得：
从而求得乙离子的质量m乙=
3）由半径公式R=mv/qB可知R∝m，结合（1）（2）问分析可得：
①若离子的质量满足m甲/2 ≤m≤m甲，则所有离子都垂直EH边离开磁场，离开磁场的位置到H 的距离介于R 甲到2R
，解得R 乙=a/4 ，
得轨道半径
因此
打在左侧边界时，如图21 所示，由几何关系得轨迹半径
电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，所以
所以打在板上时速度的范围为≤v≤
例8．如图22，一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30°，大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m, 电量为q，ad 边长为L，ab边足够长，粒子重力忽略不计。

求：（1）试求粒子能从ab 边上射出磁场的v0的大小范围；（2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。

解析：（1）画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从ab边射出的粒子的临界轨迹如图23 所示，轨
迹与dc 边相切时，射到ab边上的A点，此时轨迹圆心为O1，则轨道半径r 1=L，由
得最大速度
轨迹与ab边相切时，射到ab 边上的B 点，
此时轨迹圆心为O 2，则轨道半径r 2=L/3，
由得最小速度
所以粒子能够从ab 边射出的速度范围为：
2）当粒子从ad 边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转过的圆心角为300°，所以最长时间：，射出的范围为：OC=r 2=L/3 。

通过以上分析不难发现，对于带电粒子在磁场中的运动问题，解题的关键是画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，如果能够熟练掌握带电粒子在磁场中运动轨迹的上述四种画法，很多问题都可以迎刃而解。