工程力学第二章基本理论
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2工程力学静力学第二章 基本力系
6
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 线通过各力的汇交点。 线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的充要条件是
R = ∑F = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力 为零意味着力多边形自行封闭。所以平 平 面汇交力系平衡的必要与充分的几何条 件是： 件是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
30
§2 - 3
问题的提出： 问题的提出： 平面一般力系的简化
与力偶不同，力是滑移 矢量而不是自由矢量， 其作用线如果作平行移 动，会改变它对刚体的 作用效果。
力线平移
31
力线平移定理 F` O
∥ F`=F``= F
F`
. .
A
F
O
.
F``
结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶 必须附加一个力偶,附加力偶 必须附加一个力偶 的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。 M=mo（F） 平移结果： 平移结果：一力平移后即引出一个附加力偶以维持力在原作用点时的 作用效应，附加力偶之矩等于原力对新作用点之矩，转动方向取决于 原力绕新作用点的转动方向。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx = X1 + X2 + X4 = ∑X
Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = ∑Y
Rx = ∑ X
R y = ∑Y
合力投影定理：合力在某一轴上的投影， 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 线通过各力的汇交点。 线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的充要条件是
R = ∑F = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力 为零意味着力多边形自行封闭。所以平 平 面汇交力系平衡的必要与充分的几何条 件是： 件是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
30
§2 - 3
问题的提出： 问题的提出： 平面一般力系的简化
与力偶不同，力是滑移 矢量而不是自由矢量， 其作用线如果作平行移 动，会改变它对刚体的 作用效果。
力线平移
31
力线平移定理 F` O
∥ F`=F``= F
F`
. .
A
F
O
.
F``
结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶 必须附加一个力偶,附加力偶 必须附加一个力偶 的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。 M=mo（F） 平移结果： 平移结果：一力平移后即引出一个附加力偶以维持力在原作用点时的 作用效应，附加力偶之矩等于原力对新作用点之矩，转动方向取决于 原力绕新作用点的转动方向。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx = X1 + X2 + X4 = ∑X
Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = ∑Y
Rx = ∑ X
R y = ∑Y
合力投影定理：合力在某一轴上的投影， 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
工程力学第2章PPT课件
解 （1）取球O为研究对象，画分离体受力图，如图2-9b。 这是一平面汇交力系。
（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。 （3）列平衡方程，并求解：
-
29
第2章 平面汇交力系
F ix 0 F T G c6 o 0 s 0
FT 0.5kN
F iy 0 F N G si6n 0 0
FN0.86k6N
由F iy0,得
F BC F T1co 3 s0 F T2 co 6s 0 0
3 1 31 F B C F T 12 F T 2 2 G 2 G 2 2.3 7 k 2N
-
35
第2章 平面汇交力系
例2-6 在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、 B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向 下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不 计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。
解 （1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B 为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用， 且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA 和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计， 这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d 所示。
-
19
第2章 平面汇交力系
图2-6
-
20
第2章 平面汇交力系
2.2 平面汇交力系的平衡
2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件
设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇 交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用
力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合 力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5） 等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系
（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。 （3）列平衡方程，并求解：
-
29
第2章 平面汇交力系
F ix 0 F T G c6 o 0 s 0
FT 0.5kN
F iy 0 F N G si6n 0 0
FN0.86k6N
由F iy0,得
F BC F T1co 3 s0 F T2 co 6s 0 0
3 1 31 F B C F T 12 F T 2 2 G 2 G 2 2.3 7 k 2N
-
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第2章 平面汇交力系
例2-6 在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、 B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向 下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不 计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。
解 （1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B 为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用， 且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA 和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计， 这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d 所示。
-
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第2章 平面汇交力系
图2-6
-
20
第2章 平面汇交力系
2.2 平面汇交力系的平衡
2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件
设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇 交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用
力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合 力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5） 等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系
第2-1讲工程力学基本知识
2. 力偶是由大小相等、方向相反、作用线平行且不共线的两个 力组成的力系 【 】
3. 矩心到力的作用点的距离称为力臂。
4. 力对点之矩，力对轴之矩统称为力偶
【
【
】
】
5. 力对点之矩是度量力使物体绕其支点（矩心）转运效果的物 理量。 【 】
6. 力偶中两个力所组成的平面称为力偶作用面，两个力作用线
之间的垂直距离称为力偶臂。
m1
偶的转向不变，可同时相应地改变组成
力偶的力的大小和力偶臂的长度，而不 改变它对物体的转动效应。
2.1 基本概念
2.1.3 力矩及力矩的性质
转动
移动
引例
杠杆
2.1 基本概念
2.1.3 力矩及力矩的性质
力矩三要素：矩心、力矢量、力臂 力对点之矩: 简称力矩，其定义为 O
M O (F ) F d
合力矩定理建立了合力对点的矩与分力对
同一点的矩的关系。
2.2 基本理论
2.2.6 合力矩定理
例 已知F1=4kN，F2=3kN，F3=2kN，试求下图中三力
的合力对O点的力矩。
解 根据合力矩定理得到 合力对O点的矩。
M 0 F1 F1d1 4 5 sin 300 10kN m
d
3）在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等， 转向相同，则这两个力偶是等效的。
2.1 基本概念
2.1.2 力偶及基本性质
推论1 力偶可以在其作用平面内任意 移动或转动，而不改变它对物体的转动效 应。即力偶对物体的转动效应与它在作用 平面内的位置无关。 推论2 只要保持力偶矩的大小和力
m2
力的投影由始到末端与坐标轴正向
FX
a
工程力学第二章
总结
4.力在坐标轴上的投影 5.合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在
同一个轴上投影的代数和。
6.平面汇交力系的平衡方程（投影方程）：
Fx = 0 Fy = 0
重点难点
1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
合成：汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 平衡：力多边形自行封闭。
（2）已知 A 轮重GA，平衡时，欲使α=00 的 B 轮的重量。
B
A
300
600
解：先取A轮为研究对象，受力分析：
y
B A
GA
300
A
FAB
300
300
600
FNA
x
Fx = 0 GAcos600 - FAB cos (α+300 ) = 0 (1)
y
取 B 轮为研究对象，受力分析：
GA
B A
600
B
C D
150
300
E A
B FTBC150150300
FTBD
FTBD=G
FAB E
G
解：1.取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
Fx = 0 - FTBC cos300 - FTBD cos450 + FAB cos600= 0 Fy = 0 - FTBC cos600 - FTBD cos450 + FAB cos300-G= 0
y
B
A
30
W C
FB
A
x
300
W
Fc
y
FB
工程力学(1)-第2章
力的平移定理：可以把作用在刚体上点 的力 平行移到任一 力的平移定理 可以把作用在刚体上点A的力 F 可以把作用在刚体上点 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 ，但必须同时附加一个力偶。 对新作用点B的矩 的矩。 的矩等于原来的力 F对新作用点 的矩。 [证] 力F 证 力系 F,F′, F′ ′
• 简化的含义
力系的简化
力系简化的基础是力向一点平移定理 力系简化的基础是力向一点平移定理。 力向一点平移定理。
力系的简化
♣ 力向一点平移定理
力系的简化
♣ 力向一点平移定理
力向一点平移
F :力; O :简化中心; α :F与O所在平面;
r
n :α 平面的法线; en :n 方向的单位矢。
F
力系的简化ห้องสมุดไป่ตู้
平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 未知力系） 已知力系） （未知力系） （已知力系） 主矢) 作用在简化中心) 汇交力系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心 主矢 作用在简化中心 主矩) 作用在该平面上) 力偶系 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上 主矩 作用在该平面上
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
大小： 大小 主矩M 主矩 O 方向： 方向
MO =∑mO (Fi )
方向规定 + —
（转动效应 转动效应） 简化中心： (与简化中心有关 转动效应 简化中心： 与简化中心有关 与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
工程力学1-4章
为保持体系几何不变并不需要的约束叫多余约束。一个平面体系， 通常都是由若干个构件加入一定约束组成的。加入约束的目的是为
了减少体系的自由度。如果在体系中增加一个约束，
而体系的自由度并不因此而减少，则该约束被称为多余约束。 多余约束只说明为保持体系几何不变是多余的，在几何体系中增设多余约束， 可改善结构的受力状况，并非真是多余。
首先以地基及杆AB为二刚片，由铰A和链杆1联结， 链杆l延长线不通过铰A，
组成几何不变部分，见图12-17b。以此部分作为一刚片，杆CD作为另一刚片，
用链杆2、3及BC链杆（联结两刚片的链杆约束，必须是两端分别连接在所研究 的两刚片上）连接。三链杆不交于一点也不全平行，符合两刚片规则，
故整个体系是无多余约束的几何不变体系。
铰用小圆圈作为符号。
(2)刚结点 被连接的杆件在连接处既不能相对移动，又不能相对转动 。
4．用符号表示理想化的支座
结构与基础或其他支承物的连接区称为支座。按照杆件受力、位移的特点， 平面杆件结构实际的支座经常简化为四种理想化的支座，
１）链杆支座
２）铰支座
３）定向支座
４）固定支座
5、荷载的简化 结构构件的自重、楼面上人群或各种物品的重量、厂房中设备的重量、
(2)、单铰(即连接两个刚片的铰) 一个单铰为两个约束；
(3)、复铰约束（如图12—3，连接多于两个刚片的铰） 连接n个刚片的复铰相当于（n－1）个单铰（n为刚片数）约束；
(4).刚结点,刚结点为三个约束。
(5),、刚性复铰、连接n个刚片的复铰相当于（n－1）个单铰（n为刚片数）约束；
图12-3
2．必要约束、多余约束：为保持体系几何不变必须有的约束叫必要约束；
R
3.平面一般力系平衡方程的其它形式
了减少体系的自由度。如果在体系中增加一个约束，
而体系的自由度并不因此而减少，则该约束被称为多余约束。 多余约束只说明为保持体系几何不变是多余的，在几何体系中增设多余约束， 可改善结构的受力状况，并非真是多余。
首先以地基及杆AB为二刚片，由铰A和链杆1联结， 链杆l延长线不通过铰A，
组成几何不变部分，见图12-17b。以此部分作为一刚片，杆CD作为另一刚片，
用链杆2、3及BC链杆（联结两刚片的链杆约束，必须是两端分别连接在所研究 的两刚片上）连接。三链杆不交于一点也不全平行，符合两刚片规则，
故整个体系是无多余约束的几何不变体系。
铰用小圆圈作为符号。
(2)刚结点 被连接的杆件在连接处既不能相对移动，又不能相对转动 。
4．用符号表示理想化的支座
结构与基础或其他支承物的连接区称为支座。按照杆件受力、位移的特点， 平面杆件结构实际的支座经常简化为四种理想化的支座，
１）链杆支座
２）铰支座
３）定向支座
４）固定支座
5、荷载的简化 结构构件的自重、楼面上人群或各种物品的重量、厂房中设备的重量、
(2)、单铰(即连接两个刚片的铰) 一个单铰为两个约束；
(3)、复铰约束（如图12—3，连接多于两个刚片的铰） 连接n个刚片的复铰相当于（n－1）个单铰（n为刚片数）约束；
(4).刚结点,刚结点为三个约束。
(5),、刚性复铰、连接n个刚片的复铰相当于（n－1）个单铰（n为刚片数）约束；
图12-3
2．必要约束、多余约束：为保持体系几何不变必须有的约束叫必要约束；
R
3.平面一般力系平衡方程的其它形式
工程力学第二章(力系的平衡)
{
平衡方程其他形式： 平衡方程其他形式：
Σ Fx = 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MC（F）= 0
A
B
x
A、B 连线不垂直于x 轴 连线不垂直于x
（两矩式） 两矩式）
{
C B A C
（三矩式） 三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
l FC C B F
∑F x
y
∑M ( F) = 0,
A
F cos 45 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 C
y FAy AF
Ax
l C FC
l x
45
B F
3、解平衡方程，可得 解平衡方程，
FC = 2 F cos 45 = 28.28 kN
FAx = − FC ⋅ cos 45 = −2 F = −20 kN
平面任意力系平衡方程讨论： 平面任意系平衡方程讨论：
{
x
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？ 请思考： 的选择是否有一定任意性？
x y y x
y
例4 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连 支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链 与斜杆DC彼此以铰链C
FBC cos 60 − G − Fcos 30 = 0
FBC = 74.5 kN
联立求解得 FAB = −5.45 kN
约束力F 为负值， 约束力FAB为负值，说明该力实际指向与 图上假定指向相反，即杆AB实际上受 实际上受拉 图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。
解析法的符号法则： 解析法的符号法则：
平面任意力系平衡的充分必要条件： 平面任意力系平衡的充分必要条件：
工程力学(静力学部分第二章)
M Fd
1
1
M Fd
2
2
M F d
n
n
=
=
F F F F
R
1
2
n
F F F F
R
1
2
n
=
=
=
M Fd R
F1d F2d Fnd
n
M
Mi
M i
i1
M M M
1
2
n
平面力偶系平衡的充要条件 M=0
即 Mi 0
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
n
r FR r F1 r F2 r Fn
即
M
O
F R
M
O
F i
平面汇交力系
M
0
F R
M
0
F i
三、力矩与合力矩的解析表达式
M F M F M F x F sin y F cos x F y F
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
三.平面力偶系的合成和平衡条件
已知： M1 , M 2 ,M n ;
任选一段距离d
M 1 d
F1
M 2
F
d
2
M
n F
d
n
《工程力学》目录
目录绪论第一部分静力学引言第1章静力学公理和物体的受力分析1.1 静力学公理1.2 约束和约束反力1.3 物体的受力分析与受力图小结思考题习题第2章基本力系2.1 汇交力系的合成与平衡2.2 力矩2.3 力偶系的合成与平衡小结思考题习题第3章一般力系3.1 力线平移定理3.2 平面一般力系向一点简化3.3 一般力系的平衡方程3.4 物体系统的平衡·静定问题和超静定问题3.5 平面简单桁架的内力计算3.6 摩擦小结思考题习题第二部分材料力学引言第4章材料力学的基本概念4.1 材料力学的任务4.2 变形固体的基本假设4.4 内力·截面法和应力的概念4.5 位移与应变的概念4.6 杆件变形的基本形式小结思考题习题第5章拉伸、压缩与剪切5.1 轴力及轴力图5.2 轴向拉伸、压缩时的应力5.3 轴向拉伸、压缩时材料的力学性能5.4 轴向拉伸、压缩时的强度计算5.5 轴向拉伸、压缩时的变形5.6 轴向拉伸、压缩的应变能5.7 拉伸、压缩超静定问题5.8 应力集中的概念5.9 连接件的实用强度计算小结思考题习题第6章扭转6.1 外力偶矩的计算·扭矩及扭矩图6.2 薄壁圆筒的扭转6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算6.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算6.5 圆轴的扭转应变能6.6 圆轴扭转超静定问题6.7 非圆截面杆扭转的概念小结思考题习题第7章弯曲7.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图7.2 剪力与弯矩·剪力图与弯矩图7.3 梁的正应力和强度计算7.4 梁的切应力和强度计算7.5 提高梁弯曲强度的措施7.6 梁的变形和刚度计算7.7 梁内的弯曲应变能7.8 简单超静定梁小结思考题习题第8章应力状态和强度理论8.1 应力状态的概念8.2 二向应力状态8.3 三向应力状态8.4 广义胡克定律8.5 强度理论及其应用小结思考题习题第9章组合变形的强度计算9.1 拉伸（压缩）与弯曲的组合9.2 扭转与弯曲的组合9.3 两相互垂直平面内的弯曲小结思考题习题第10章压杆稳定10.1 压杆稳定的概念10.2 细长压杆的临界力10.3 压杆的临界应力及临界应力总图10.4 压杆的稳定计算10.5 提高压杆稳定性的措施小结思考题习题第三部分运动学引言第11章点的运动学和刚体的基本运动11.1 点的运动学11.2 刚体的平行移动11.3 刚体的定轴转动小结思考题习题第12章点的合成运动12.1 点的合成运动基本概念12.2 点的速度合成定理12.3 点的加速度合成定理小结思考题习题第13章刚体的平面运动13.1 刚体平面运动的概述与运动分解13.2 平面图形内各点的速度计算13.3 平面图形内各点的加速度计算13.4 运动学综合应用举例小结思考题习题第四部分动力学引言第14章动量定理和动量矩定理14.1 质点动力学的基本方程14.2 动量定理14.3 动量矩定理小结思考题习题第15章动能定理15.1 功和功率15.2 动能定理15.3 势力场·势能·机械能守恒15.4 动力学普遍定理的综合应用小结思考题习题第16章机械振动基础16.1 单自由度系统的自由振动16.2 单自由度系统的有阻尼自由振动16.3 单自由度系统的受迫振动16.4 隔振小结思考题习题第五部分构件强度问题的专题研究引言第17章构件的动载荷强度17.1 惯性力·动静法17.2 考虑惯性力时的应力计算17.3 受冲击载荷时的应力和变形计算17.4 提高构件抗冲击能力的措施小结思考题习题第18章构件的疲劳强度18.1 交变应力与应力循环特性18.2 疲劳破坏的概念18.3 疲劳极限及其测定18.4 影响构件疲劳极限的主要因素18.5 对称循环下的疲劳强度计算小结思考题习题附录A 截面的几何性质附录B 梁在简单载荷作用下的变形附录C 型钢表附录D 习题答案参考文献。
工程力学第二章
S 3 π r 2 9.079 cm 2
4R 4r b 1.273 cm y1 4.244 cm y 2 3π 3π
y3 0
3）根据组合图形重心坐标公式求重心坐标
yc
S y
i 1 3 i
3
i
S
i 1
157.1 4.244 14.14 1.273 9.079 0 157.1 14.14 9.079
F 2 (b c) F 2 a 0
bac
上式即为长方体边长ɑ、b、c应满足的条件。
判断题
1、某平面力系向一点简化的结果与简化中心无关，则该力系一定平衡
2、若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个力偶 3、当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关 4、平面力系若不平衡，则一定可以合成为一个力 5、某平面力系向A，B两个点简化的主矩都为零，此力系简化的 最终结果可能是一个力么？可能是一个力偶么？可能平衡吗？
回顾 大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。 力偶：
基本的物理量，仅与力的转动效应有关
§2.1 汇交力系的简化
2.1.1 几何法
汇交力系： 力的作用线均汇交于同一点的力系 。
几何法： 通过力多边形求合力的方法称为几何法，又称为力多边形法则。
r r r r FR = F1 + F2 + L + Fn =
2.4.3 物体的重心
Pi xi xc Pi Pi yi （物体的重心坐标） yc Pi z Pi zi c Pi
2.4.4 确定物体重心的方法
1）计算方法
（1）对称法： （2）积分法： （3）查表法： 具有对称面、对称轴和对称中心的形状规则的均质物体， 其重心一定在对称面、对称轴和对称中心上。 均质简单几何形状物体的重心一般可通过积分求得。 工程上常见形状的重心位置均可通过工程手册查出。
工程力学第二章
FF
作用点：
与物体的接触点 方向： 力与X,Y轴的夹角。
3、力在平面坐标轴上的投影
y B
Fx=F· cos
F
A x
Fy
Fy=F· sin
F Fx Fy
Fx F
2 2
o
cos
Fx
说明：
Fx的指向与 x 轴一致，为正，否则为负；
13
例2-1 试求出图2-5中各力在 x、y 轴上的投 影。已知F1 =100N，F2 =150N，F3 = F4 = 200N。
力偶系：作用在刚体上的一群力偶。 力偶的作用效应：使刚体转动（由两个力共同作用引起）。 力的作用效应： 移动效应--取决于力的大小、方向；
转动效应--取决于力矩的大小、方向。
20
§3-5 力偶系的合成与平衡
一、力偶系的合成
设有两个力偶
M1、 2 M
由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移动，故可将其 按照矢量合成的方法进行合成。 M
M1 M2 M1 M2
A
B
A
B
合力偶矩矢
M M1 M2
21
一、力偶系的合成
对于 n 个力偶组成的力偶系：
合力偶矩矢： M
R
M1 M2 Mn
M
i 1
n
i
对于 n 个力偶组成的平面力偶系：
合力偶矩： MR
M
i 1
n
i
平面力偶系合成结果是一个合力偶,其力偶矩为各力偶
F2
F3
Fn Fn
F3
FR
26
§4-2 平面任意力系向一点简化
M2 M1
FR
M3
作用点：
与物体的接触点 方向： 力与X,Y轴的夹角。
3、力在平面坐标轴上的投影
y B
Fx=F· cos
F
A x
Fy
Fy=F· sin
F Fx Fy
Fx F
2 2
o
cos
Fx
说明：
Fx的指向与 x 轴一致，为正，否则为负；
13
例2-1 试求出图2-5中各力在 x、y 轴上的投 影。已知F1 =100N，F2 =150N，F3 = F4 = 200N。
力偶系：作用在刚体上的一群力偶。 力偶的作用效应：使刚体转动（由两个力共同作用引起）。 力的作用效应： 移动效应--取决于力的大小、方向；
转动效应--取决于力矩的大小、方向。
20
§3-5 力偶系的合成与平衡
一、力偶系的合成
设有两个力偶
M1、 2 M
由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移动，故可将其 按照矢量合成的方法进行合成。 M
M1 M2 M1 M2
A
B
A
B
合力偶矩矢
M M1 M2
21
一、力偶系的合成
对于 n 个力偶组成的力偶系：
合力偶矩矢： M
R
M1 M2 Mn
M
i 1
n
i
对于 n 个力偶组成的平面力偶系：
合力偶矩： MR
M
i 1
n
i
平面力偶系合成结果是一个合力偶,其力偶矩为各力偶
F2
F3
Fn Fn
F3
FR
26
§4-2 平面任意力系向一点简化
M2 M1
FR
M3
工程力学 第二章
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
用力多边形的封闭边来表示汇交力系的合 力
力的多边形法则
平面汇交力系平衡的几何条件
平衡
FR 0
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分的
几何条件是：该力系的力多边形自行封 闭.
平衡条件
FR 0
FR Fx 2Fy 2
Fx 0
平衡方程
Fy 0
平面汇交力系平衡的解析条件为:力系中各分力在 两个轴上的投影的代数和分别为零.
例2
已知：碾子P=20kN，R=0.6m,
h=0.08m 求：
R
F
BP
h
A
1.水平拉力F=5kN时，地面对碾子的压力？
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡
平面汇交力系是指力系中各力的作用线或者作用 线的延长线位于一个平面内，并且相交于一点.
合成就是指要用一个合力去等效替换这个复杂
的力系.
F
AP
B
FA
FB
一.多个汇交力的合成的几何法
公理 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合
解得 F=11.55kN
例3 已知重物P=20kN,
A
不计杆重以及滑轮尺寸,
C
求杆AB和BC的受力. θ 30
解: 取B点分析 (假设均受拉)
B
θ θ
P D
Fy 0
FBC sin 30 FBD cos 30 P 0 FAB
工程力学第二章平面力系的合成与平衡汇总
工程力学第二章平面力系的合成与平衡汇总平面力系的合成与平衡在工程力学中是一个重要的概念，它主要涉及到力的合成、力的平衡等内容。
本文将对平面力系的合成与平衡进行详细介绍，内容包括力的合成原理、平面力系的合成方法、平面力系的合力与合力矩计算、平面力系的平衡条件等。
一、力的合成原理力的合成是指将多个力合成为一个力的过程。
根据几何矢量的加法原理，力的合成可以利用力的几何矢量的三角法来求解。
对于平面力系的合成，常用的方法有三角法和平行四边形法。
三角法是指利用三角形的几何性质，将力矢量首尾相接形成一个封闭的多边形，通过测量角度和边长计算出合力的大小和方向。
根据三角法，合力的大小可以用正弦定理或余弦定理求解，合力的方向可以用正切函数求解。
平行四边形法是指将力矢量按照一定比例平移，使它们首尾相接并形成一个平行四边形，通过测量平行四边形的对角线计算出合力的大小和方向。
根据平行四边形法，合力的大小等于对角线的长度，合力的方向与对角线的方向相同。
二、平面力系的合成方法平面力系的合成方法有两种，即图解法和代数法。
图解法是指利用力的几何图形进行合成计算。
它可以根据力的合成原理，通过画出力矢量的几何图形，测量几何图形的相关参数来求解合力的大小和方向。
代数法是指利用向量的代数运算进行合成计算。
它可以根据力的合成原理，通过将力矢量分解为水平和垂直方向的分量，然后将这些分量相互相加来求解合力的大小和方向。
三、平面力系的合力与合力矩计算合力是指平面力系中所有力的矢量和。
合力的大小等于各个力的大小的矢量和，合力的方向与各个力的方向相同。
合力矩是指平面力系中所有力矢量与其中一点的矢量积的矢量和。
合力矩的大小等于各个力矢量和它们到该点的距离的乘积的矢量和，合力矩的方向可以通过右手定则或左手定则确定。
四、平面力系的平衡条件平面力系的平衡表示力系的合力和合力矩都等于零。
根据平衡条件，可以推导出平面力系平衡的两个基本方程：合力矢量和合力矩矢量分别等于零。
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力在任一轴上的投影可求，力
沿一轴上的分量不可定。
8
合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和。
由合力投影定理有：
ac-bc=ab FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx
FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy
正交坐标系有: FRx = FRx ; FRy = FRy
FR
非自由体： 运动受到限制的物体。
吊重、火车、传动轴等
FT
。
W
约束：
限制物体运动的周围物体。如绳索、铁轨、轴承。
约束力： 约束作用于被约束物体的力。
是被动力，大小取决于作用于物体的主动力。
作用位置在约束与被约束物体的接触面上。
作用方向与约束所能限制的物体运动方向相反。
20
返回主目录
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
1
一般问题
(复杂问题)
抽象与简化 分析求解
验证
基本问题：
(1)受力分析—分析作用在物体上的各种力 弄清被研究对象的受力情况。
(2)平衡条件—建立物体处于平衡状态时， 作用在其上各力组成的力系 所应满足的条件。
(3)应用平衡条件解决工程中的各种问题。
2
返回主目录
第二章 刚体静力学基本概念与理论
2.1 力 2.2 力偶 2.3 约束与约束反力 2.4 受力图 2.5 平面力系的平衡条件
G
返回3主0目录
3)可确定作用点的约束
固定铰链： 约束反力FRA，过铰链中心。
大小和方向待定，用FAx、FAy表示
y
FAy
FA FAy
A
FAx
A
x
FAx
固定铰链
C
FCx
FCy 中间铰
中间铰： 约束力可与固定铰同样表示。
返回3主1目录
FAy
空间
A
FAz
FAx
球铰
FAy
FBy
FAz
A FAx FBz
指向不能确定的约束反力，可以任意假设。
若求解的结果为正，所设指向正确；为负则指向与假设相反。
28
返回主目录
回顾：约束力
1)可确定约束力方向的约束
柔性约束:
光滑约束:
约束力只能是沿柔 性体自身的拉力。
约束反力是沿接触 处的公法线且指向 物体的压力。
FT1
FT2
W
W
G1
G2
O
FN
G FN1
FN1
FN2
6
解析法（投影求和法）
力F在任一轴 x 上的投影， 等于力的大小乘以力与轴正 向夹角的余弦。 有：
Fx=Fcos
力的投影是代数量。
F
Fx
x
力在任一轴上的投影
或者：力在任一轴上投影的大小等于力的大小乘 以力与轴所夹锐角的余弦，其正负则由从力矢量 起点到终点的投影指向与轴是否一致确定。
7
y
F
y
F
y
F
F
Fy
O
Fx
x
Fy O Fx
x
Fy
x
O
Fx
O Fx x
分力Fx=？
可见， 力 F在垂直坐标轴 x、y上的投影分量与沿轴
分解讨的论分：力大力小的相投等影。与分量
力 F在相互不垂直的轴 x、y'上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的。
力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小。 而分力的大小却不一定都小于合力。
(b)
G2
FK
C
FD G1 FT B
FK FH
K G2
FD
D
G1
H
FE
G2
FD G1
E FAx
A FAy
(a)
(c)
FH FE
FT
FD
G2 G1
B (d)
AFAy
FAx
FH
FT
B
FE
AFAy FAx
(e)
注意FK与FK、 FE与FE…间作用力与反作用力关系。
还要注意，部分受力图中反力必须与整体受力图一致。 未解除约束处的系统内力，不画出。
二力杆
FC
B
C
G
二力构件: 二力沿作用点连线,指向亦待定。 25
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。 3)可确定作用点的约束
固定铰链： 约束反力FRA，过铰链中心。 大小和方向待定，用FAx、FAy表示。
y
FAy
FA FAy
A
FAx x A
FAx
固定铰链
C
FCx
FCy 中间铰
中间铰： 约束力可与固定铰同样表示。
一对轴承
FAy My
Mz B FAz
A Mx
固定端
FAy 平面 A
FAx
FAy
FBy
A FAx
B
FAy
MA A FAx 固定端
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
指向不能确定的约束反力，可以任意假设。
若求解的结果为正，所设指向正确；为负则指向与假设相32反。
返回主目录
2.4 受力图
画受力图是对物体进行受力分析的第一步， 也是最重要的一步。
FN2
FN3
光滑约束（接触面法向压力） 返回2主9目录
2)可确定约束反力作用线的约束
滚动支承（滚动铰ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
反力作用线过铰链中心且垂直 于支承面，指向待定
滚动
FA
FB
支座
A
A
B
C
滚动(铰)支承
可动铰
FC
滑道、导轨： 约束反力垂直于滑道、导轨，指向亦待定
滑道 滑块
A FA
二力杆
FN
FN
导轨 滑套
FC
B
C
将研究对象（物体或物体系统）从周围物体的约 束中分离出来，画出作用在研究对象上全部力（主动 力和约束力）的图，称为受力图或分离体图。
画受力图时必须清楚： 研究对象是什么？ 将研究对象分离出来需要解除哪些约束？ 约束限制研究对象的什么运动？ 如何正确画出所解除约束处的反力？
33
返回主目录
例 2.4 球G1、G2置于墙和板AB间，BC为绳索。 画受力图。
17
c）平面力偶系的合成
h1
h2
F1
F2
h1
F1+
F2h2 h1
M=F1h1+F2h2
合力偶定理
若干个力偶组成的力偶系，可以合成为一个合 力偶。平面力偶系的合力偶之矩等于力偶系中 各力偶之矩的代数和。
M=Mi
18
力和力偶视作力学中表征物体相互机械作用的二个基本要素。
比较： 力
力偶
使物体沿力的作用 线移动。
且可求得： F1=940N, F2=342N 。
10
例2.3 求图示作用在O点之共点力系的合力。
解：取坐标如图。 合力在坐标轴上的投影为：
FRx=Fx=-400+250cos45-200×4/5 =-383.2 N
FRy=Fy=250cos45-500+200×3/5 =-203.2N
y F4=200N F3=500N
W
G1
G2
O
G
FN
FN1
FN1 FN2
FN2
FN3
光滑约束（接触面法向压力）
FN
22
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
1)可确定约束反力方向的约束
光滑约束:
约束反力是沿接触处的公法线且指向物体的压力 。
节圆
20° FN
齿轮约束
FN 20°压力角
23
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
2)可确定约束反力作用线的约束
返回主目录 3
第二章 刚体静力学基本概念与理论
若干定义： 刚体
--形状和大小不变，且内部各点的相对位置 也不变的一种物体理想模型。
刚体静力学
研究刚体在力系作用下的平衡问题。
研究对象被抽象为刚体，暂不考虑其变形， 为研究力系的平衡提供了极大的方便。
4
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2.1 力(回顾)
1. 基本概念
定义：力是物体间的相互作用，作用效应是使物体 运动状态发生变化（外）或使物体变形（內）。
x
相互平行的两个力。
作用效应 使刚体的转动状态发生改变。
力偶矩
M = F h
度量转动作用效应的物理量。单位为N·m或kN·m 在平面内，M是代数量，逆时针转动为正。
力偶的 三要素
力偶的作用平面、转向和力偶矩的大小， 可以用一个矢量（力偶矩矢M）来描述。
13
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工程应用实例
➢不可再简化的力系
不可能有一个力与其等效
26
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
4)几种常见约束
FAy
空间
A
FAz
FAx
球铰
FAy
FBy
FAz
A FAx FBz
一对轴承
FAy My
Mz B FAz
A Mx
固定端
空间球铰 一对轴承 固定端
反力是过球铰中心的FAx、FAy、FAz 3个分力。
共5个反力。允许绕 x 轴转动；x方向有间隙。
限制所有运动，有6个反力。
27
如果讨论的是x、y平面内的问题，则：
FAy 平面 A
FAx
FAy
FBy
A FAx
B
FAy
MA A FAx
空间球形铰链 相当于固定铰，反力用FAx、FAy二分力表示. 一对轴承 则只有3个反力。