算术平方根的概念
2022年初中数学同步 7年级下册 第07课 算数平方根与平方根(教师版含解析)-
第07课 算数平方根与平方根课程标准1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0)；的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：(1)当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. (2)负数没有算数平方根；(3)算数平方根等于本身的数有：0和1； (4)算数平方根平方等于原来的数； (5)注意a 运算结果的非负性； 2.平方根的定义如果，那么x 叫做a 的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.注意：(1)非负数才有平方根； (2)负数没有平方根；(3)平方根等于本身的数是：0；(4)一个正数有2个平方根，他们互为相反数； (5)平方根平方等于原来的数；x a 2x a =a a a a a a a 2x a =a a a (0)a a ±≥a a 目标导航知识精讲知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：(1)定义不同；(2)结果不同：和 2．联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3)0的平方根和算术平方根均为0． 注意：算术平方根平方根定义若正数x ，2x a =，正数x 叫做a 的算术平方根，x a =若数x ，2x a =，数x 叫做a 的平方根，x a =±a 的范围 0a ≥0a ≥表示aa ±正数有一个算术平方根，是正数正数有两个平方根，它们互为相反数0的算术平方根是0 0的平方根是0 负数没有算术平方根负数没有平方根知识点03 平方根的性质(1)2a =,0||0,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)2()a =,(0)a a ≥知识点04 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。
《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练
《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练算术平方根、平方根、立方根易错题训练1. 算术平方根的定义和计算方法在数学中，算术平方根指的是一个数的平方等于给定数的平方根。
如果我们要计算16的算术平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于16。
在这个例子中，16的算术平方根是4，因为4的平方等于16。
在实际计算中，我们可以使用开方符号√来表示算术平方根，即√16=4。
但在实际运用中，很多学生容易将算术平方根和平方根搞混，导致错题。
掌握算术平方根的定义和计算方法非常重要。
2. 平方根的概念和应用与算术平方根类似，平方根也是一个数的平方等于给定数的根。
但与算术平方根不同的是，平方根更常用于几何和物理问题中。
在计算一个矩形的对角线长度时，我们就需要使用平方根来计算。
平方根通常用来求解两边边长已知的等腰三角形的高、直角三角形斜边等问题。
然而，很多学生在高中数学学习中，由于对平方根的概念和应用理解不够深入，容易在相关题目中出错。
理解平方根的概念及其应用也是十分重要的。
3. 立方根的特点和求解方法立方根是一个数的立方等于给定数的根。
27的立方根是3，因为3的立方等于27。
立方根在几何和物理问题中同样有广泛的应用，如求解立方体的体积、长方体的对角线长度等。
虽然立方根的概念和求解方法比较直观，但在实际运用时，一些立方根的运算和问题求解可能会让学生感到困惑，容易出错。
熟练掌握立方根的特点和求解方法对于学生来说也是必不可少的。
4. 总结和回顾通过本篇文章的训练，我们可以得出结论：学生需要深入理解算术平方根、平方根、立方根的定义和计算方法，避免混淆和错题。
学生需要在实际问题中灵活应用平方根和立方根的知识，加深对概念和应用的理解。
学生可以通过练习题目加深对这些数学概念的掌握，并避免在考试中出现低级错误。
5. 个人观点和理解在我看来，数学中的算术平方根、平方根、立方根是非常基础但又非常重要的知识点。
它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且还是建立数学思维和逻辑推理能力的重要基础。
平方根与算术平方根的应用
平方根与算术平方根的应用1. 什么是平方根与算术平方根在进行数学计算时，平方根和算术平方根是常常需要用到的。
平方根是指一个数的平方等于这个数的根，例如数值为4的平方根为2。
而算术平方根则是一组数的平均数，例如数值为1、2、3的算术平方根为2。
2. 平方根与算术平方根的应用场景2.1 使用平方根进行计算在数学中，平方根常用于计算各种数值。
例如，我们可以使用平方根来计算直角三角形的斜边长度。
在一个直角三角形中，如果我们知道两条直角边的长度，我们就可以使用勾股定理来计算斜边的长度。
勾股定理表达式为：a^2 + b^2 = c2，其中a、b为两条直角边的长度，c为斜边的长度。
在此公式中，我们可以使用平方根来计算c。
例如，如果a=3、b=4，则c的长度等于sqrt(32+4^2)=5。
另外，在几何形状的计算中，平方根也有着广泛的应用。
例如，在计算三角形的面积时，我们可以使用海龙公式 s(s-a)(s-b)(s-c) 的形式进行计算，其中s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边的长度。
在海龙公式中，我们可以使用平方根来计算根号部分的结果。
2.2 使用算术平方根进行估算算术平方根可以用于估算一组数的平均值。
例如，在统计一群人的平均身高时，我们可以使用算术平方根来计算这组身高数据的极差和标准差。
另外，在进行复杂计算时，算术平方根也可以用来估算结果。
例如如何计算 2的平方根+5的平方根？我们可以使用算术平方根进行估算，首先2的平方根约等于1.41，5的平方根约等于2.24，则2的平方根+5的平方根约等于3.65。
3. 小结以上就是平方根和算术平方根的几个应用场景。
虽然这些数学概念看起来比较抽象，但与现实生活中的复杂计算相比，它们还是非常基础的计算方法。
掌握它们可以让我们更好地理解和应用数学。
什么是一个数的算术平方根
1 a 1 3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根。
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
x0
(6)
1 x2
x0
x0
1.若 (a 5)2 (2b 3)2 =0，则 ab2 =_____。
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1 ，你能求出a及 a+b 的值吗？
3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 二 象限.
a
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
第三章 实数 考点2 算术平方根(解析版)
第三章实数（解析板）2、算术平方根知识点梳理算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．同步练习一．选择题（共14小题）1．4的算术平方根是（）A．B．±2C．2D．±【考点】算术平方根．【分析】依据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根．2．的算术平方根是（）A．B．C．±2D．2【考点】算术平方根．【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可．【解答】解：＝2，2的算术平方根是．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．3．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【考点】算术平方根．【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．4．下列等式正确的是（）A．B．C．D．【考点】算术平方根．【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据负数没有平方根即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据算术平方根的定义算术平方根为非负数，负数没有平方根．【解答】解：A、，故选项A错误；B、由于负数没有平方根，故选项B错误；C、，故选项C错误；D、，故选项正确．故选：D．【点评】本题所考查的是对算术平方根的正确理解和运用，要求学生对于这些基本知识比较熟练．5．的算术平方根为（）A．9B．±9C．3D．±3【考点】算术平方根．【分析】直接根据算术平方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵＝9，32＝9∴的算术平方根为3．故选：C．【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．6．已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm【考点】算术平方根．【分析】根据正方体的表面积公式：s＝6a2，解答即可．【解答】解：因为正方体的表面积公式：s＝6a2，可得：6a2＝12，解得：a＝．故选：B．【点评】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据公式进行计算．7．的算术平方根是（）A．±B．C．±D．5【考点】平方根；算术平方根．【分析】直接根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：因为＝5，所以的算术平方根是，故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．8．下列计算正确的是（）A．＝2B．＝±2C．＝2D．＝±2【考点】算术平方根．【分析】根据＝|a|进行计算即可．【解答】解：A、＝2，故原题计算正确；B、＝2，故原题计算错误；C、＝4，故原题计算错误；D、＝4，故原题计算错误；故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．9．已知a＝，b＝，则＝（）A．2a B．ab C．a2b D．ab2【考点】算术平方根．【分析】将18写成2×3×3，然后根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：＝＝××＝a•b•b＝ab2．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，难点在于对18的分解因数．10．9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义解答．【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．11．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【考点】算术平方根．【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．也利用了算术平方根的定义．12．289的平方根是±17的数学表达式是（）A．＝17B．＝±17C．±＝±17D．±＝17【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义求解可得．【解答】解：289的平方根是±17的数学表达式是±＝±17，故选：C．【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．13．16的算术平方根是（）A．4B．﹣4C．±4D．8【考点】算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．【解答】解：∵4的平方是16，∴16的算术平方根是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．14．的值等于（）A．B．﹣C．±D．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根解答即可．【解答】解：，故选：A．【点评】此题考查算术平方根，关键是熟记常见数的算术平方根．二．填空题（共5小题）15．4是16的算术平方根．【考点】算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴4是16的算术平方根．故答案为：16．【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．16．的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．【解答】解：∵＝9，又∵（±3）2＝9，∴9的平方根是±3，∴9的算术平方根是3．即的算术平方根是3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道，实际上这个题是求9的算术平方根是3．注意这里的双重概念．17．9的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．18．的算术平方根是．【考点】算术平方根．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可求解．【解答】解：∵＝3，∴的算术平方根是：．故答案是：．【点评】本题考查平方根及算术平方根的知识，难度不大，关键是掌握平方根及算术平方根的定义．19．的算术平方根是．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义进行化简，再根据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：∵52＝25，∴＝5，∴的算术平方根是．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根的定义，先把化简是解题的关键．三．解答题（共8小题）20．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵3a+b﹣1的算术平方根是4，∴3a+b﹣1＝16，∴3×5+b﹣1＝16，∴b＝2，∴a+2b＝5+2×2＝9．【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．21．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根和算术平方根的定义列方程求出a、b的值，然后求出3a﹣4b的值，再根据平方根的定义解答．【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，∴2a+1＝9，解得a＝4，∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，∴5a+2b﹣2＝16，解得b＝﹣1，∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，∴3a﹣4b的平方根是±4．【点评】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．22．已知＝x，＝2，z是9的算术平方根，求：2x+y﹣z的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据＝x，＝2，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵＝x，＝2，z是9的算术平方根，∴x＝5，y＝4，z＝3，∴＝，即2x+y﹣z的平方根是．【点评】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法．23．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵2a﹣1的平方根为±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，∵3a+b﹣1的算术平方根为4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根为：±3．【点评】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．24．工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件．（1）求正方形工料的边长；（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4：3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】算术平方根．【分析】（1）求出的值即可；（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，得出方程4a•3a＝24，求出a＝，求出长方形的长和宽和6比较即可．【解答】解：（1）正方形工料的边长为＝6分米；（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米．则4a•3a＝24，解得：a＝，∴长为4a≈5.656＜6，宽为3a≈4.242＜6．满足要求．【点评】本题考查了算术平方根，长方形，正方形的性质的应用，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题．25．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．【考点】算术平方根．【分析】（1）对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9＜25时，③当9＜25≤a时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵＝6，＝4，＝12，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，＝3，解得a＝0（不合题意）；②当a≤9＜25时，＝3，解得a＝（不合题意）；③当9＜25≤a时，＝3，解得a＝81，综上所述，a的值为81．【点评】本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．26．某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计：，其中d（km）是雷雨区域的直径．（1）雷雨区域的直径为8km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（2）如果一场雷雨持续了2h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？【考点】算术平方根．【分析】（1）根据，其中d＝8（km）是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；（2）根据，其中t＝2h是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案．【解答】解：（1）根据，其中d＝8（km），∴t2＝，∵t＞0，∴t＝（h），答：这场雷雨大约能持续h；（2）根据，其中t＝2h，∴d2＝3600，∵d＞0，∴d＝60（km），答：这场雷雨区域的直径大约是60km．【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．27．小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；（2）若使长方形的长宽之比为3：2，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．【考点】算术平方根．【分析】（1）直接利用算术平方根的定义正方形纸片的边长，进而得出答案；（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案．【解答】解：（1）设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm，∴a2＝400，又∵a＞0，∴a＝20，又∵要裁出的长方形面积为300cm2∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，则长方形的宽为：300÷20＝15（cm）∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）∵长方形纸片的长宽之比为3：2，∴设长方形纸片的长为3xcm，则宽为2xcm，∴6x2＝300，∴x2＝50，又∵x＞0，∴x＝，∴长方形纸片的长为，又∵＞202即：＞20∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确开平方是解题关键。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别平方根和算术平方根，听起来很相似，但其实大有不同。
我们来聊聊这两个概念的区别，深入挖掘它们的本质。
平方根是一个数字，能够自我相乘，得到原来的那个数。
比如，4的平方根是2，因为2乘2等于4。
这是个简单的数学事实。
算术平方根，咱们可以认为是平方根的一个特定类别。
它专门指非负数的平方根，通俗点说，就是我们常用的“正平方根”。
第一部分，先说平方根。
这个词听上去很高大上，但其实就是个很直观的概念。
比如说，9的平方根是3，为什么呢？因为3×3=9。
无论我们选哪个数，平方根总是存在的。
这里要特别注意，平方根可以是正数、负数，甚至是零。
像0的平方根就是0，负数的平方根就不太常见了，通常我们会说它没有实数解。
再来看算术平方根。
大家都知道，数学里的习惯用法就是关注非负数。
所以，算术平方根只挑选正数。
例如，9的算术平方根是3，但-9的算术平方根就没有了。
简单来说，算术平方根强调的是“非负”，就像生活中很多事情，有些选择就是要往好的方向走。
第二部分，咱们再深入看看这两者的关系。
平方根包含了所有的根，包括负的。
而算术平方根只专注于正的。
这个小区别，却反映出数学世界的细腻与复杂。
你要是把它们混淆了，可就得小心了！想想看，平方根就像一扇宽阔的大门，能让你走进各种可能性，而算术平方根则是那条明确的小路，指引着你朝着阳光明媚的方向前进。
我们再来聊聊实际应用。
这两个概念不仅仅是书本上的文字，它们在生活中随处可见。
在工程、物理等领域，平方根的运用可谓是屡见不鲜。
比如，计算面积时，平方根帮助我们找出边长。
而算术平方根常用于统计和数据分析，能帮助我们了解数据的波动情况。
想象一下，一个简单的房间，要计算地板的面积，你需要用到平方根。
而当你在分析一个数据集时，算术平方根则是不可或缺的工具。
第三部分，数学的美丽在于它的逻辑。
平方根的定义虽然简单，却是无数复杂问题的基础。
它像是数学世界里的一个基石，支撑着各种定理和公式。
平方根与算术平方根概念辨析
平方根与算术平方根概念辨析平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。
为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：一、区别：1、定义不同。
平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。
例如，，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。
例如，，正数2是4的算术平方根。
虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。
2、表示方法不同。
平方根：一个非负数a的平方根记做。
例如，5的平方根记做。
算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。
例如，5的算术平方根记作。
3、个数不同。
平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。
算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。
例如，16的算术平方根只有一个，是4。
二、联系1、二者之间存在着从属关系。
一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。
例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。
2、二者被开方数的取值范围相同。
只有非负数才有平方根，负数没有平方根。
只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。
一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。
三、典型例题例1 求下列各数的平方根。
（1）121 （2）（3）0 （4）解：（1）因，故121的平方根是。
（2）因，故的平方根是。
（3）因，故0的平方根是0。
（4）因，故的平方根是。
评析：求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。
正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。
例2 求下列各数的算术平方根。
（1）225．（2）（3）0.49 （4）解：（1）因，故225的平方根是，取正的平方根，即225的算术平方根是15。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个容易被混淆，但又有着明显区别的概念。
理解它们的差异对于我们正确解决数学问题、深入掌握数学知识至关重要。
首先，让我们来看看什么是平方根。
平方根，简单来说，如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 就叫做 a 的平方根。
用数学式子表示就是，如果 x²＝ a，那么 x ＝±√a 。
这里的“±”表示正负两个值。
例如，因为4²＝ 16，同时（－4)²＝ 16，所以 16 的平方根是 ±4 。
而算术平方根呢，它是平方根中的非负根。
也就是说，如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 就叫做 a 的算术平方根，记为√a 。
例如，4 的算术平方根是 2，因为 2²＝ 4 ，且算术平方根只取正值。
从符号上来看，平方根的符号是±√ ，而算术平方根的符号是√ ，没有“±”。
这是一个非常直观的区别，在看到符号的时候就能立刻判断出是在求平方根还是算术平方根。
从取值范围来说，平方根可以是正的，也可以是负的，还可以是0 。
而算术平方根一定是非负的，即大于等于 0 。
比如，0 的平方根和算术平方根都是 0 ，因为 0²＝ 0 。
但对于正数，如 9 ，它的平方根是 ±3 ，而算术平方根是 3 。
在实际计算中，平方根的计算结果通常有两个值，一正一负。
而算术平方根只有一个正值。
这在解决方程问题时需要特别注意。
比如，当方程 x²＝ 25 时，x 的值为 ±5 ，这是求平方根；但如果是√x ＝ 5 ，那么 x ＝ 25 ，这里的√x 表示的就是算术平方根。
再从几何意义上来理解。
假设一个正方形的面积是 a ，那么这个正方形的边长就是a 的平方根。
但如果我们说这个正方形的边长是正数，那么这个边长就是 a 的算术平方根。
在数学运算中，平方根和算术平方根的性质也有所不同。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个重要的概念。
虽然它们听起来相似，但实际上存在着显著的区别。
首先，让我们来明确一下平方根的定义。
对于一个非负数 a ，如果存在一个数 x ，使得 x²＝ a ，那么 x 就被称为 a 的平方根。
例如，因为 2²＝ 4 ，（－2）²＝ 4 ，所以 4 的平方根是 ±2 。
这意味着一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
而 0 的平方根是 0 ，负数在实数范围内没有平方根。
接下来，我们看看算术平方根。
一个非负数 a 的非负平方根被称为它的算术平方根。
还拿 4 举例，4 的算术平方根就只是 2 。
也就是说，算术平方根一定是非负的。
从符号表示上来看，平方根用“±√a ”表示，而算术平方根用“√a ”表示。
例如，4 的平方根表示为±√4 ＝ ±2 ，4 的算术平方根表示为√4 ＝2 。
在计算过程中，这两个概念的运用也有所不同。
比如，在求解方程x²＝ 9 时，我们需要考虑 9 的平方根，即 x ＝ ±3 ；但如果是求一个正方形的边长，已知其面积为9 ，那么这里要求的就是9 的算术平方根，即边长为 3 。
再从几何意义上讲，假设一个正方形的面积为 a ，那么其边长就是a 的算术平方根。
而如果要考虑这个正方形的边长可能的取值，那就是a 的平方根。
在实际生活中，平方根和算术平方根也有不同的应用场景。
比如，在测量物体的长度时，如果计算得到的长度的平方等于某个数值，那么我们需要求出这个数值的平方根来得到可能的长度。
但如果是计算平均增长率或者速度等，通常用到的是算术平方根。
此外，平方根的性质与算术平方根也有所不同。
平方根的平方等于被开方数，即（±√a ）²＝a ；而算术平方根的平方同样等于被开方数，（√a ）²＝ a 。
对于初学者来说，很容易混淆这两个概念。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1•算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作■. a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子.a有意义时，a一定表示一个非负数，即>0，a >0.2•平方根的定义如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a（a > 0）的平方根的符号表达为_-、a（a_O），其中,a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1•区别：（i）定义不同；（2）结果不同：和a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写岀它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，62500 =250，、、宓=25，,625 =2.5，0.062^0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m —4与3m —1是同一个正数的两个平方根，求m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m —4=—（3m —1），解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2 m —4 = —（3m —1 ），解得m = 1；••• m的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】已知2a —1与一a + 2是m的平方根，求m的值.【答案】2a —1与—a + 2是m的平方根，所以2 a —1与—a + 2相等或互为相反数.2 2解：①当2a —1 = —a + 2时，a = 1,所以m =(2a —1) =(2x 1 —1)=1②当2 a —1+(—a + 2)= 0时，a =—1，2 2 2所以m =(2a—1 ) =[2x(—1)—1]2=(七)=92、X为何值时，下列各式有意义？(1)X2; (2)、X 一4 ; (3)、、X • 1 • ■ 1 一X ; (4) ― 1 -x —3【答案与解析】解：(1)因为X2_0，所以当X取任何值时，X2都有意义.(2)由题意可知：x-4亠0，所以x亠4时，x-4有意义.「x+1^0 >(3)由题意可知：解得：一1乞X岂1 •所以「1冬X岂1时•• X • 1 • 1 - X有意义.J -x X0「x—1 兰0(4)由题意可知：，解得X _ 1且X = 3 .x -3 式0:(X -1所以当X _1且x=3时，有意义.x —3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：【变式】已知b =4. 3a -2 2 . 2 -3a 2，a b【答案】^3a—2 二0 2113 1解：根据题意，得'则a ，所以b = 2，二2，2-3^0.3 a b 2 21 1二的算术平方根为a b类型二、平方根的运算3、求下列各式的值.1 ___________ 1 ____ -、.话 - .900.3 5【思路点拨】 (1)首先要弄清楚每个符号表示的意义 •( 2)注意运算顺序.【答案与解析】解：⑴、.252 -242 LI 「32 42 二「49 L 一无=7 5 = 35 ； ⑵，201 一1预一 1「81 一〕0.6 一〕30 =9—0.2 一6 —1.7 . ^43 5 V 4 3 5 2【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行. (2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据Ja 2=a(a .0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的 X .2 2(1) x -361 =0; (2) x 1 289 ；(3) 9(3x+2 f —64 =0 【答案与解析】 解：(1)丁 x 2 -361 =0••• x 2 =361••• x = 一 361 = 192(2)丁(x +1 ) =289 • x 1 二.289 • x + 1 = ± 17x = 16 或 x =- 18.K{ A 2(3)••• 9(3x+2 丫-64 = 064• 3x 2 2二98•- 3x 2 = 32十149 9【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.(2) ( 3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的X :(1 )若X2=1.21，则x = ________ ；(2) X2=169，则x = __________ ；2 2 2(3)若X ,则X = ___________ ；(4)若X 2 ，贝U X = ____________ .43【答案】(1 )± 1.1 ; ( 2)± 13;( 3) ； ( 4)± 2.2类型四、平方根的综合应用5、已知a、b 是实数，且..2a 6 |b _=0，解关于X的方程(a • 2)x • b2二a _ 1 .【答案与解析】解：••• a、b 是实数，.2a 6 |b —|=0，2a 6 _ 0, |b-辽|_0,••• 2a 6 = 0 , b「.2 二0 .a = — 3，b = •. 2 .把a =—3, b-2 代入(a+2)x+b2= a-1，得—X + 2 = —4,二X = 6.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求岀a、b的值，再解方程•此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【变式】若X2—1 •y 1 =0，求X2011- y2012的值.【答案】解：由x2「1y • 1 = 0，得x2「1 = 0 , y T = 0，即X= 1 , y = -1 .2011 2012 ,2011 / 八2012①当X = 1, y =—1 时，X y =1 (—1) =2 .②当X =—1, y =—1 时，X y =(一1) (一1) =0 .2 26、小丽想用一块面积为400 cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3X ( X >0) cm，则宽为2 X cm，依题意得3X 2X =300.6X2-300 .x2=50.X >0,x 二空50.长方形纸片的长为3, 50 cm .•/ 50 > 49,/• .50 7.••• 3・.50 .21,即长方形纸片的长大于20cm .2由正方形纸片的面积为400 cm ,可知其边长为20 cm ,•长方形的纸片长大于正方形纸片的边长答：小丽不能用这块纸片裁岀符合要求的长方形纸片20 cm的正方形纸片裁【总结升华】本题需根据平方根的定义计算岀长方形的长和宽，再判断能否用边长为岀长方形纸片.。
算术平方根定义
算术平方根定义
算术平方根的概念就是一个正数的正的方根。
在这里对于一个正数来说，它一共是有两个平方根的，一个是正的平方根，一个是负的平方根，它们是互为相反数的，那么它的正的平方根就是它的算术平方根，所以说，算术平方根概念就是一个正数的正的平方根就是它的算术平方根。
平方根，又叫二次方根，对于非负实数来说，是指某个自乘结果等于的实数，其中属于非负实数的平方根称算术平方根。
一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根。
例：9的平方根是±3注：有时我们说的平方根指算术平方根。
简单来说就是一个数，假如是9，那么就是±3的平方：如果是4，就是±2的平方。
算术平方根的定义：
平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,那么这个数x 叫做a的平方根。
一般地，如果一个非负数（包括0和正数）x的平方等于a,那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
注意这里的x要求是非负数，所以我们知道负数不能作为算术平方根，0的算术平方根等于0。
平方根和算术平方根
平方根与算术平方根概念辨一、区别：1、定义不同。
平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。
例如，，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。
例如，，正数2是4的算术平方根。
虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。
2、表示方法不同。
平方根：一个非负数a的平方根记做。
例如，5的平方根记做。
算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。
例如，5的算术平方根记作。
3、个数不同。
平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。
算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。
例如，16的算术平方根只有一个，是4。
二、联系1、二者之间存在着从属关系。
一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。
例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。
2、二者被开方数的取值范围相同。
只有非负数才有平方根，负数没有平方根。
只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。
一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。
三、典型例题例1 求下列各数的平方根。
（1）121 （2）（3）0 （4）例2 求下列各数的算术平方根。
（1）225．（2）（3）0.49 （4）例3 下列说法是否正确？为什么？（1）5是25的平方根。
（2）25的平方根是5。
例4 下列说法正确的是（）A. －5是的算术平方根B. 81的平方根是C. 2是－4的算术平方根D. 9的算术平方根是例5 求下列各式的值。
（1）（2）（3）（4）例6 下列各式正确的是（）A. B.C. D.解：选D。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个重要的概念，虽然它们之间有着密切的联系，但也存在着明显的区别。
理解这两个概念的差异对于我们正确地解决数学问题至关重要。
首先，让我们来明确一下平方根的定义。
一个数的平方根，是指能够使得这个数平方后等于原来的数的数值。
例如，对于数字 9 来说，因为 3 的平方是 9，同时－3 的平方也是 9，所以 9 的平方根是 ±3 。
也就是说，一个正数如果有平方根，那么它有两个，且互为相反数。
而 0 的平方根则是 0 ，负数在实数范围内是没有平方根的。
接下来，再看看算术平方根。
算术平方根则是一个非负的平方根。
还以 9 为例，9 的算术平方根就只是 3 ，而不是－3 。
也就是说，对于一个非负数来说，它的算术平方根一定是非负的。
从符号表示上来看，平方根通常用“ ± ”来表示，例如 9 的平方根记作±√9 ＝ ±3 ；而算术平方根则只用“ √ ”表示，且结果为非负，比如 9 的算术平方根记作√9 ＝ 3 。
从取值范围来说，平方根可以是正的、负的或者是 0 ；但算术平方根一定是非负的，即大于等于 0 。
在实际的计算中，这两个概念的应用场景也有所不同。
当我们需要考虑一个数的所有可能的平方根时，就会用到平方根的概念。
比如在求解某些方程，如 x²＝ 16 时，我们就需要考虑 16 的两个平方根 ±4 ，从而得到 x ＝ ±4 。
而算术平方根更多地出现在涉及长度、面积等实际问题中，因为这些量通常是正的。
比如一个正方形的面积是 25 平方米，求它的边长，这里就需要用到算术平方根，因为边长不能是负数，所以边长就是√25 ＝ 5 米。
另外，从数学性质上来说，平方根具有双重性，一正一负；而算术平方根具有唯一性和非负性。
在数学运算中，如果混淆了平方根和算术平方根，就很容易得出错误的结果。
例如，如果把一个数的算术平方根当作平方根来处理，或者反过来，都会导致计算的偏差。
数学平方根的计算方法知识点总结
数学平方根的计算方法知识点总结在数学中，平方根是一个重要的概念，它指的是一个数的平方等于给定数的值。
计算平方根有多种方法和技巧，以下是数学平方根的计算方法的知识点总结。
一、算术平方根算术平方根是最常见的平方根计算方法，它可以用于求解整数和小数的平方根。
算术平方根的计算方法如下：1. 估算：首先，我们可以估算给定数的平方根。
找到一个较小的整数作为估算值，使得估算值的平方大于或等于给定数，但又尽可能的接近给定数。
2. 迭代求解：利用迭代的方法不断逼近给定数的平方根。
假设我们的估算值为x，我们可以通过以下公式来迭代求解更精确的平方根值： x = (x + (给定数/x))/2使用上述公式，不断迭代计算，直到得到一个足够满意的平方根值。
3. 精确计算：在计算算术平方根时，我们可以使用现代计算器或计算机程序进行精确计算。
通过使用数值计算方法，我们可以得到给定数的精确平方根值。
二、开平方公式开平方公式是一种用于计算平方根的代数方法，它适用于求解某些特定类型的数的平方根。
开平方公式的计算方法如下：1. 完全平方数：如果给定的数是一个完全平方数，即可以表示为两个相同因子的乘积，那么它的平方根就是这个因子。
例如，给定数为16，它是一个完全平方数，因为16 = 4 * 4。
所以它的平方根是4。
2. 二次方程：开平方公式还可以用于解决某些二次方程的平方根问题。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，可以使用以下开平方公式计算其平方根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中，±表示取正负号。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解函数零点的数值方法，也可以用于计算平方根。
牛顿迭代法的计算方法如下：对于给定的数a，考虑方程f(x) = x^2 - a = 0。
我们可以通过迭代的方式逼近方程的解，即平方根。
1. 初始猜测：选择一个初始猜测值x0，通常可以选择给定数的一半作为初始猜测值。
《算术平方根》课件
06 总结与回顾
本课重点回顾
01
02
03
04
算术平方根的定义：非负实数 的平方根。
平方根的性质：正数有两个平 方根，互为相反数；0的平方 根是0；负数没有实数平方根
。
平方根的表示方法：使用 “√”符号表示，读作“根号
”。
平方根的运算性质：平方根具 有交换律、结合律和分配律。
学习心得分享
掌握了算术平方根的基本概念 和性质，能够正确判断一个数 的平方根。
平方根近似值的实际应用
大数开方
在处理大数时，直接计算其平方 根可能超出计算机的表示范围， 此时需要使用近似值进行计算。
科学计算
在物理、工程、金融等领域中，经 常需要计算平方根，近似值可以满 足实际应用的需求。
数学建模
在数学建模中，平方根的近似值可 以用于解决一些实际问题，如求解 线性方程、优化问题等。
开方运算的性质
开方运算具有非负性，即对于任何实数a，其算术平方根√a都是非负的。此外， 开方运算还具有正值性，即对于任何正实数a，其算术平方根√a都是正的。
开方运算的规则
开方运算的运算法则
在进行开方运算时，需要注意运算法则的运用。首先，对于 任何实数a，都有√(a^2) = |a|。此外，对于任何实数a和b， 都有√(a^2 + b^2) = √(a + b)^2 = |a + b|。
通过实例练习，加深了对平方 根运算的理解和应用。
在学习过程中，遇到了一些困 难，但通过与同学讨论和请教 老师，最终克服了困难。
下一步学习计划
深入学习平方根的性质和应用， 掌握更多关于平方根的运算技巧
。
学习其他与数学相关的内容，如 乘方、开方等，以扩展数学知识
第一讲 平方根与算术平方根
是 49 的平方根，即±
都有意义，则 a 的值是(
(A)a≥0 (B)a≤0 4、求下列各式 x 中的取值范围： (1) x 1 (2)
(C)a＝0
3 x 2x 4
(3) x 2 1
(4) 9 x 2 5、求下列各式的平方根： （1）
(5) 3 x
x3
(6) x 4
-2-
3. 性质： （1） ( a ) 2 a (a 0) （2） a 2 a ：①当 a 0 时， a 2 a ； ②当 a＜0 时， a 2 a 。 4、开平方：①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数； ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算. 例 6、求下列各数的平方根： （1）121； （2）
5 3 x 18
144 ； 49
（2） 10 12 ；
（3）
1 ； 16
（4） 17 2 152
6、求 x 值： ① x 2 24 25 ② 4 x 2 25 ③ ( x 0.7 ) 3 0.027
B 组：能力提升
1、若数轴上的点 A，B，C，D 表示数－2，1，2，3，则表示 (A) AB 上 (B) BC 上 (C) CD 上 (D) OB 上 的点 P 应在线段( ).
3
x x 有意义，则 x 1 的值是
；
；若
x
1 1 ＋ x 有意义，则 8 8
x=
5． （ 2012 江苏）已知 x 、 y 都是实数，且 y 是 . 6. .若 4a 1 有意义，则 a 能取得最小整数是（ A、0 B、1 C、 5 D、 4
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学中，平方根和算术平方根是常见的概念，它们经常用于解决各种问题。
尽管二者都与根数相关，但它们的定义和用法有着明显的区别。
本文将探讨平方根和算术平方根的区别，并分别介绍它们的定义、性质以及应用。
一、平方根平方根是一个数学术语，用来表示数的平方的根。
简单来说，对于任意非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，那么b 就是a的平方根。
平方根可以是正数或零。
表示平方根的常用符号是√。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
平方根在实际应用中经常被用来求解长度、面积、体积等问题。
例如，当我们想要计算一个正方形的边长时，可以使用平方根来获取边长的值。
同样地，当我们需要求解一个圆的半径或直径时，也可以借助平方根来完成计算。
二、算术平方根算术平方根是一个数学术语，用来表示一个正数的非负平方根。
简单来说，对于任意正数a，算术平方根是一个非负数b，使得b的平方等于a。
通常情况下，我们使用符号√来表示算术平方根。
例如，√16 = 4，因为4的平方等于16。
算术平方根的概念在数学和物理领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种实际问题，如速度、加速度、电压等。
在几何学中，算术平方根也经常用于求解图形的边长、面积以及体积等参数。
三、平方根与算术平方根的区别1. 定义不同：平方根是用来表示任意实数的平方的根；而算术平方根仅仅是一个正数的平方根。
2. 取值范围不同：平方根可以是正数、负数和零，而算术平方根仅仅是非负实数。
3. 应用领域不同：平方根通常用于求解长度、面积等几何问题，而算术平方根则更广泛地应用于各个学科领域，如物理、经济、工程等。
结论平方根和算术平方根是两个相似但又有着明显区别的概念。
平方根用来表示任意实数的平方的根，可以是正数、负数和零；而算术平方根仅仅是一个正数的平方根，只能是非负实数。
平方根通常用于求解几何问题，而算术平方根则在各个学科领域都有广泛的应用。
了解平方根和算术平方根的区别，可以帮助我们在数学和实际问题中更加准确地运用这两个概念。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个容易被混淆，但又有着明确区别的概念。
对于初学者来说，理解它们之间的差异可能会有些挑战，但只要我们耐心剖析，就能清晰地把握它们的特点。
首先，我们来看看什么是平方根。
平方根，简单来说，如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。
用数学符号表示，如果x²＝ a，那么 x 就叫做 a 的平方根。
比如说，4 的平方根是多少呢？因为 2²＝ 4，同时（－2)²＝ 4，所以 4 的平方根是 ±2。
这就引出了平方根的一个重要特点——一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
0 的平方根还是 0，而负数是没有平方根的。
接下来，我们再聊聊算术平方根。
算术平方根是平方根中的“正数代表”。
对于一个非负数 a，它的非负平方根就叫做它的算术平方根。
还是以 4 为例，4 的算术平方根就是 2。
也就是说，算术平方根只有一个非负的值。
从符号表示上来看，平方根我们用±√a 来表示，而算术平方根则用√a 来表示。
这一符号上的差异也直观地反映了它们本质上的不同。
在计算过程中，平方根和算术平方根的求解方法也有所不同。
对于一些简单的数字，我们可以通过乘法口诀或者简单的计算来得出。
但对于较为复杂的数字，可能就需要借助计算器或者一些数学方法，比如开方运算。
再从应用的角度来看，平方根和算术平方根在解决实际问题中都有着广泛的用途。
在几何领域，比如计算正方形的边长。
如果已知正方形的面积是 16 平方厘米，那么要求它的边长，实际上就是求 16 的算术平方根，因为边长不能是负数，所以边长为 4 厘米。
在物理学中，平方根和算术平方根也经常出现。
比如计算物体的加速度、速度等。
从性质上来说，平方根的平方等于被开方数，即（±√a)²＝ a；而算术平方根的平方同样等于被开方数，即（√a)² ＝ a。
在数学运算中，平方根和算术平方根的运算法则也需要我们明确区分。
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3若 ，求3x＋y的值。
4若a、b、c满足 ，求代数式 的值。
五补偿提高1．如果 ，那么 的算术平方根是
2.已知2a-1的算术平方根是3, 3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值. (知识点2)
3. .若 与 互为相反数,求xy的算术平方根. (知识点2)
1 2011日照中考（-2）2的算术平方根是（）A 2 B±2 C -2 D
22011四川泸州中考25的算术平方根是______
3 2012烟台中考 的平方根是
课外作业：
习题6.1第1、2、3题
师生问答
情境引入学生看课本40页，思考问题并填表。
教师板书课题，定义
学生思考，小组交流，教师点拨。
当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25, = =5,5是- 5的相反数,故a<0时, a2的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.
课题:6.1。1平方根教学目标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
重点、难点
教学重点：算术平方根的概念。
教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
教学环节教学过程师生来自动由此可知 =|a|=
练一练
1.若 -3，则 的取值范围是().
A. ＞3 B. ≥3 C. ＜3 D. ≤3
2.若 ，则 =
3.若 ，则a______0。
尝试应用1.求下列各式的值: = = = =
2.3x-4为25的算术平方根,求x的值为______
3.已知9的算术平方根为a，b的绝对值为4,求a-b= ______
回顾旧知
自主探究
尝试应用
补偿应用
补偿提高
1.你能求出下列各数的平方吗?
0,-1,5,2.3,- ,-3,3,1,
2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗?
25,0,4, , ,- ,1.69
1探究1小欧学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少 ？
4. 有意义吗?分析:因为任何数的平方都是＿＿＿,即a2≥0,故 ＿意义.
3。探究3举例说明你的结论。
（1）当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?
（2）当a为正数时,a2的算术平方根如何表示?（3）a为0呢?.
当a为正数时, a2的算术平方根表示为 ,其值为a,即 =a. a<0时, a2的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.当a=0时, =0
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。
定义一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为 ,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.
2．探究2例1求下列各数的算术平方根:
(1) 100 (2) 1 (3) (4) 196 (5) 0.0001
当a为正数时, a2的算术平方根表示为 ,其值为a,即 =a.
当a=0时, =0
由此可知 =|a|=
学生独立完成
师生交流讨论
4．若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.
小结这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,求一个数的算术平方根与求一个正数的平方正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.
补偿应用1.已知 =0，则- =_______.
观察上面的运算可知：对所有正数，被开方数越大，对应点算术平方根也越大
练一练1。某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______; 的算术平方根是__________，4的算术平方根是 的算术平方根是
2.求下列各式的值:① =② =③ =④ =
3.若(a-1)2+│b-9│=0,则 的算术平方根是下列哪一个( ) A. B.±3 C.3 D.-3