因式分解的常用方法及练习题

（

因式分解的常用方法

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a 2-b 2

(2) 完全平方公式：(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 (3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2

)

{

(4) 立方差公式：a 3

-b 3

=(a-b)(a 2

+ab+b 2

)

（5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³ 下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

；

(7)a 3

+b 3

+c 3

-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2

-ab-bc-ca)； 三、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式：))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

|

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652++x x 672

+-x x

#

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

}

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102

--x x

】

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132

+-x x

~

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

^

（3）317102

+-x x （4）101162++-y y

|

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a -- ^

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：2

21288b ab a --=)16(8)]16(8[2

b b a b b a -⨯+-++

=)16)(8(b a b a -+

练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2

26b ab a --

》

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、22672y xy x +- 例10、232

2+-xy y x

:

1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）2

24715y xy x -+ （2）862

2+-ax x a

$

综合练习10、（1）1783

6--x x （2）22151112y xy x --

（

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a

（5）222265x y x y x -- （6）263442

2++-+-n m n mn m

"

（7）3424422---++y x y xy x （8）2

222)(10)(23)(5b a b a b a ---++

#

（9）10364422-++--y y x xy x （10）2

222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

，

四、分组分解法. ￥

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

~

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

.

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 例4、分解因式：2

222c b ab a -+- ?

解：原式=)()(22ay ax y x ++- 解：原式=2

22)2(c b ab a -+- =)())((y x a y x y x ++-+ =2

2)(c b a -- =))((a y x y x +-+ =))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 22

22---

>

综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2

:

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2-++-

￥

（5）922

34-+-a a a （6）y b x b y a x a 2

22244+-- …