第二章-3--波的能量

2.5 波的能量
一．有波传播时媒质质元的能量 二．能量密度 三．能流密度
作业：2.12
2.5 波的能量
在弹性媒质中有波传播时， 媒质中各质元都在各自的平衡位置附近振动， 由于各质元有振动速度，所以它们具有振动动能。
同时由于质元产生了形变，所以还具有弹性势能。 这样，随同振动的传播就有机械能量的传播。 这是波动过程的一个重要特征。 下面说明能量传播的定量表达式 为了说明这一问题， 先求任一质元的振动动能和弹性势能.
1 V 2 A2
2
W
P
o
W K y
弹簧振子的动能和势能振动曲线
1 KA2 2
o
E P
E K
x
t
E E
K
P
t
1 V 2 A2
2
W
P
o
W K yt
1 KA2 2
o
E P
E K
x
E E
K
P
t
讨论题 质元的动能和势能为何同时达最大同时达最小？
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
质元 ab 体积 V Sx 质量 m V
设有波函数为 y Acos( t 2 x )

a
的平面简谐纵波在细棒中传播
则质元 ab 在 t 时刻
振动表达式
y Acos( t 2 x )

a
a
b
o●●
S
x●
x x
u
x m V
y Acos( t 2 x )
A2 2
能量密度表示某一时刻质元所具有的机械能的大小， 但并没有反映能量是如何传播的， 为此引入能流密度来说明能量在媒质中的传播。
三．能流密度
1. 能流 当媒质中有波传播时，任取一截面， 单位时间通过该截面的能量 ——称作通过该面积的能流
能流的计算
记作 P
能流的计算
以平面简谐波为例
设一平面简谐波沿 x 方向传播，如图 u
x t x
所以 t 0
WP

1 2
ES x
( y x
x)2

1 2
ESx( y )2 x
y Acos( t 2 x )

a
y 2 Asin( t 2 x )
x

a
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
WP

1 2
ESx( y )2 x
(t

2
x )dt 0
1 A 2 2
2
2 2 A2 2 2
此式表明： 平均能量密度和媒质密度、 波的振幅、波的频率的 平方成正比。
2 2 A2 2
这一公式是从平面简谐纵波的特殊情况得到的， 平均能量密度和波的振幅、波的频率的平方成正 比的结论，对各种弹性波都成立。
2 2 A2 2
通过面积 ΔS 的平均能流 P Su
P 2 2 A2 2Su
2. 能流密度
通过垂直波传播方向的单位面积的能流 ——称作能流密度
S P u S
记作 S
2. 能流密度
S P u S
平均能流密度又称波的强度
2 2 A2 2 记作 I 2
质元 ab 所受应力
x
E 杨氏模量。
a
b u
o●●

x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
E y
x
质元 ab
所受弹性力
f S ES y
x
Δy 为 质元 ab 长度变化 ES / x 为常数
t 时刻质元 ab
所受弹性力
f S ES y
a
b u
o●●

x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
质元 ab 长度变化为 Δy
质元 ab 的应变为 y x
质元 ab 的原长 Δx
a
b u
o●●

x●
d
●
x
x x
t
时 刻
o●
a
b
y●
●
y y
u x
y x
由胡克定律
E y
y 2 Asin( t 2 x )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x

a
WP

1 ESx( 2
2

)2 A2 sin2 (t
2
x 0)
2 ，T
T
u
2 u
u
E

E u2 V Sx
所以 t 时刻质元 ab 的弹性势能
WP

1 2
ESx( 2 )2 A2 sin2 (t
I S u I 2 2 A2 2u
通常
I 2 2 zA2 2
I 1 A2 2u
2
z u 是表征介质特性的一个常量，
——称为介质的特性阻抗
说明：
S u I 2 2 A2 2u
上式根据平面简谐波得到的结论， 但是波的强度与波的振幅、波的频率的 平方成正比的结论对任何弹性波都成立. 能量密度表征媒质中某点质元的
P2

0
质元的动能和势能都随时间作简谐振动，
而且它们具有相同的振幅、角频率、相位。
1 V 2 A2
2
W P
W K
o
y
t
1 V 2 A2
2
W P
W K
o t
y
意味着，质元经过平衡位置时， 具有最大的振动速度，同时其形变也最大。
这一点与孤立的振动系统显著不同，作一比较
质元的动能和势能的振动曲线
K2

0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2

0
质元的机械能 W W W
K
P
W V 2 A2 sin2 (t 2 x )

0
表明：质元的总能量随时间作周期性变化，
时而达到最大值，时而为零
W V 2 A2 sin2 (t 2 x )
一．有波传播时媒质质元的能量
（以平面纵波在固体细长棒中的传播为例）
设有一截面积为 S ，密度为 ρ 的固体细棒，
一平面纵波沿棒长方向传播。
a
b u
o●●
S
x●
●
x
x x
选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近 取一长为 Δx 质元 ab ，
a
b u
o●●
S
x●
x
x x
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
K2

0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2

0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
K2

0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )

a
W 1 mv2 K2
1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
2

0
1）求势能：
a
b u
o●●

x●
d
●
x
x x
t
a
b u
时
o●
刻
y●
●
y y
x
当有纵波传播时，在应力作用下质元 ab 发生线变,
设 t 时刻质元 ab 正被拉长，
由图上几何关系，质元 ab 长度变化为 Δy

0
表明：质元的总能量随时间作周期性变化， 时而达到最大值，时而为零
意味着：在波传播的细棒中有能量在传播
把这样的波称作行波 ——既传播振动形式又传播振动能量
当媒质中有机械波传播时，媒质的质元具有机械能, 为了描述媒质中能量分布状况引入——能量密度
二．能量密度
波传播时 ，媒质中单位体积内的能量 ——称作波的能量密度
●
●
o
x
S
x
在媒质中垂直波传播方向距离原点 x 处
取一面积 ΔS ，考虑 dt 时间通过面积 ΔS 的能量
●
●
o
x
u
S
x
udt
在面积 ΔS 后做一方体，侧面积为 ΔS，宽为 udt , dt时间通过面积 ΔS 的能量就等于方体中的能量. 设能量密度为 Ω，方体的体积为 Δsudt, 方体中的能量 ΩΔSudt， 所以 dt 时间通过面积 ΔS 的能量 ΩΔSudt
2
x 0)
2 u
E u2 V Sx
W

1
u2
V

(
)2
A2
sin
2
(t

2
x
)
P2
u

0
W 1 V 2 A2 sin2 (t 2 x )
P2

0
a
b
o●●
S
x●
x x
u
x m V
结论
t 时刻质元 ab 的动能和弹性势能
V

0
波动的能量不但与体积有关,且与,A,,u.
波动的能量与简谐运动的能量有显著的不同,在简谐 振动系统中,动能和势能有/2的相位差,系统的机械 能是守恒的.在波动中,动能和势能的变化是同相位 的,对任何体积元来说,系统的机械能是不守恒的.
记作 Ω
W 2 A2 sin2 (t 2 x )
V

0
在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度
W 2 A2 sin2 (t 2 x )
V

0
在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度

1 T
T
0

2
A2
sin 2

a
1）求动能：
质元 ab 在 t 时刻的速度
v y Asin( t 2 x )
t

a
质元 ab 在 t 时刻的动能 W 1 mv 2
K2
a
o●●
S
x●
x x
b u
x m V
v y Asin( t 2 x )
t
●
●
o
x
u
S
x
udt
2 A2 sin2 (t 2 x )

0
dt 时间通过面积 ΔS 的能量 ΩΔSudt
单位时间通过面积 ΔS 的能量——能流
显然， P 和 Ω 一样， P Sudt Su
是随时间周期性地变化
dt
P Sudt Su dt
能量的大小. 能流密度表征媒质中某点能量传播的
多少和快慢.
例:波动的能量与那些物理量有关?比较波动的能量与 简谐运动的能量.
答: 1 V 2 A2
2
W
P
o
W K
1 KA2 2
yt
o
E P
E K
x
E E
K
P
t
从波的能量密度公式可知 W 2 A2 sin2 (t 2 x )
x
Δy 为 质元 ab 长度变化 ES / x 为常数
与弹簧比较 f弹簧 Kx
弹簧的弹性势能
W弹簧P

1 2
Kx 2
所以时刻质元 ab
的弹性势能
WP

1 2
ES x
(y)2
（对比而得的）
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
WP

1 2
ES x
(y)2
y y x y t y x 考虑 t 时刻