《空间直角坐标系》典型例题解析

/ 2' 《空间直角坐标系》典型例题解析 例1：在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2, 4)。 点拨点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是6的点1M，再将1M沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M，然后将2M沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M。 解答M点的位置如图所示。 总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。 变式题演练 在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。 答案：略 例2：已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。 点拨先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。 解答正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为232。 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，232)。 总结在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。 1M 2M M（6，-2,4） O x y z 6 2 4 O A B C D P x y z
/ 2' 变式题演练 在长方体1111DCBAABCD中，AB=12，AD=8，1AA=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。 答案：以A为原点，射线AB、AD、1AA分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、1A(0,0，5)、1B(12,0，5)、1C(12,8，5)、1D(0,8，5)。 例3：在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz的平面的方程。 点拨求与坐标平面yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz平行的平面内的点的特点来求解。 解答坐标平面yOz⊥x轴，而平面与坐标平面yOz平行， ∴平面也与x轴垂直， ∴平面内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面与x轴的交点， ∴平面内的所有点的横坐标都相等。 平面过点A(2,3，1)，∴平面内的所有点的横坐标都是2， ∴平面的方程为x=2。 总结对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x轴(或y轴)平行的直线的方程。 变式题演练 在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3，0)且垂直于坐标平面xOy的直线

方程。 答案：所求直线的方程为x=2,y=3.