判别一元二次方程根的情况

22.2.4 判别一元二次方程根的情况

教学内容

用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用． 教学目标

掌握b 2-4ac>0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．

通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目． 重难点关键

1．重点：b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．

2．难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系．

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程．

（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2（3）4x 2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0，•方程没有实根

二、探索新知

从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

求根公式：x=2b a

-±，当b 2-4ac>0

于一个具体数，所以一元一次方程的x 1=2b a -+≠x 1=2b a

--，即有两

个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a -，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．

因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）•有两个不相

等实数根即x1x2

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=

2b a

-

．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0

（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．

解：（1）化为16x2+8x+3=0

这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0

所以，方程没有实数根．

（2）a=9，b=6，c=1，

b2-4ac=36-36=0，

∴方程有两个相等的实数根．

（3）a=2，b=-9，c=8

b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0

∴方程有两个不相等的实根．

（4）a=1，b=-7，c=-18

b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0

∴方程有两个不相等的实根．

三、巩固练习

不解方程判定下列方程根的情况:

（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-3

4

=0

（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+

1

16

=0

（5）x21

4

=0 （6）4x2-6x=0

（7）x（2x-4）=5-8x

四、应用拓展

例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

a<-2

∵ax+3>0即ax>-3

∴x<-3 a

∴所求不等式的解集为x<-3 a

五、归纳小结

本节课应掌握：

b2-4ac>0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．

六、布置作业

1．教材P46复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．

2．选用课时作业设计．

第五课时作业设计

一、选择题

1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．

A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解

B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解

C．∵b2-4ac=8，∴方程有解

D．∵b2-4ac=8，∴方程无解

2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．

A．a=0 B．a=2或a=-2

C．a=2 D．a=2或a=0

3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．

A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数

二、填空题

1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．

2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．

3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．

三、综合提高题

1．不解方程，试判定下列方程根的情况．

（1）2+5x=3x2（2）x2-（+4=0

2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．