matlab实验报告--求代数方程的近似根

数学实验报告

实验序号： 日期： 年 月 日

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实验名称：求代数方程的近似根 问题背景描述：

求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一，当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程．

当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．

本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间],[b a ，或给出某根的近似值0x ．

实验目的：

1. 了解代数方程求根求解的四种方法：对分法、迭代法、牛顿切线法

2. 掌握对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。

实验原理与数学模型：

1．对分法

对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．

设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(<⋅b f a f ，即 ()0f a >，()0f b <或()0f a <，()0f b >．则根据连续函数的介值定理，在),(b a 内至少存在一点 ξ，使()0f ξ=．

下面的方法可以求出该根：

(1) 令02

a b

x +=，计算0()f x ；

(2) 若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =．

若 0()()0f a f x ⋅<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ⋅>，则令10a x =，1b b =；11

12

a b x +=． ……，有k a 、k b 以及相应的2

k k

k a b x +=

． (3) 若()k f x ε≤ (ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果2

k k

k a b x +=； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．

以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的根．

当区间长k k b a -很小时，取其中点2

k k

k a b x +=

为根的近似值，显然有 1111111

()()()2222

k k k k k k x b a b a b a ξ--+-≤-=⨯⨯-==-

以上公式可用于估计对分次数k ．

2. 迭代法

1) 迭代法的基本思想：

由方程()0f x =构造一个等价方程

()x x φ=

从某个近似根0x 出发，令

1()k k x x φ+=， ,2,1,0=k

可得序列{}k x ，这种方法称为迭代法．

若 {}k x 收敛，即

*lim k k x x →∞

=，

只要()x φ连续，有

1lim lim ()(lim )k k k k k k x x x φφ+→∞

→∞

→∞

==

即

可知，{}k x 的极限*x 是()x x φ=的根，也就是()0f x =的根．

当然，若k x 发散，迭代法就失败． 迭代过程1()k k x x φ+=收敛的常用判别标准：

当根区间[,]a b 较小，且对某一0[,]x a b ∈，()'x φ明显小于1时，则迭代收敛

2) 迭代法的加速：

a) 松弛法：

若()x φ与k x 同是*x 的近似值，则1(1)()k k k k k x x x ωωφ+=-+是两个近似值的加权平均，其中k ω称为权重，现通过确定k ω看能否得到加速．

迭代方程是：

()x x ψ←

其中()(1)()x x x ψωωφ=-+，令'()1'()0x x ψωωφ=-+=，试确定ω：

当'()1x φ≠时，有11'()x ωφ=

-，即当1

1'()k k x ωφ=-，'()11'()

k k k x x φωφ--=-时，

可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：1(1)()k k k k k x x x ωωφ+=-+，1

1'()

k k x ωφ=-

b) Altken 方法：

**()x x φ=，*x 是它的根，0x 是其近似根． 设10()x x φ=，21()x x φ=，因为

****222121[][()()]()()x x x x x x x x 'x x φφφξ=+-=+-=+-， 用差商

10211010

()()

x x x x x x x x φφ--=--近似代替()'φξ，有 **

212110

()x x x x x x x x -≈+

-- ， 解出*x ，得

**()

x x φ=

2

*

212210

()2x x x x x x x -≈-

-+ 由此得出公式

(1)()k k x x φ= ； (2)(1)()k k x x φ=；

(2)(1)2(2)

1(2)

(1)

()

2k k k k

k k k

x x x x

x x x +-==-+， ,2,1,0=k 这就是Altken 公式。

3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法） 1) 牛顿法的基本思想：

()0f x =是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．

20000''()

()()'()()()2!

f f x f x f x x x x x ξ=+-+

- 记：000()()'()()P x f x f x x x =+-

()P x 是一次多项式，用()0P x =作为()0f x =的近似方程．

000()()'()()0P x f x f x x x =+-=的解为

000()

'()

f x x x f x =-

0('()0)f x ≠ 记为1x ，一般地，记

1()

'()

k k k k f x x x f x +=-

,2,1,0=k 即为牛顿法公式。

实验所用软件及版本：

Matlab 7.0