《一元二次方程》单元教材分析

《一元二次方程》单元教材分析

一. 教学内容：

复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点）

⑴了解一元二次方程的有关概念．

⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程．

⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．

⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．

⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题．

⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．

二. 基础知识回顾

1. 方程中只含有_______•个未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_____ __（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．

例如：一元二次方程7x－3＝2x2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．

2. 解一元二次方程的一般解法有

⑴_________；⑵________；⑶•_________；•⑷•求根公式法，•求根公式是______________．

3. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：

⑴x（5x＋21）＝20 ⑵x2＋9＝6x ⑶x2－3x＝－5

4. 设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝_______，x1·x2＝______．

例如：方程x2＋3x－11＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________；x1·x2＝_______．

5. 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝•_______，•x1·x2＝________．

三. 重点讲解

1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即①是整式方程（重点强调）；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．

2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．

（通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目）

3 .一元二次方程

20(0)

ax bx c a

++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以

⑴不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表⊿的取值范围）；

⑵根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数）；

针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下：

⑶解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明）．

举例如下：

4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．

6. 本章解题思想总结：

⑴转化思想

转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．

运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．

⑵从特殊到一般的思想

从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．

（对于理解力好的学生，可以要求其掌握公式法的求根公式的由来，以及怎样用两根推导根与系数的关系）

⑶分类讨论的思想

一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想（在目前单元测试的压轴性题目中出现的频率较高）． 举例如下：

四. 易错点点拨

易错点1：对一元二次方程的定义的理解．判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉（虽简单，但极易被学生忽略）．

易错点2：一元二次方程的一般形式．在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式（注意同类项的合并与等号右边不为零的情况）．

易错点3：关于解一元二次方程时的易错点．

⑴是在解形如“2

x x =”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以x ，从而造成方程丢根（告知学生原因，即当x=0时，两边是不能同时除以0的，无意义）；

⑵用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为1，再将方程左边配成完全平方式；

⑶利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断24b ac -必须非负才能求解；

举例如下：

⑷利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0．

易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形．另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系．特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义（两个解并非必须有一个是增根，二者都合适的情况也是存在的）．

【典型例题】

考点1：一元二次方程的概念及一般形式

相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，•a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．

复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程．

例1. ⑴下列方程是关于x 的一元二次方程的是 （ ）