函数和方程之间的相互转化运用

函数和方程之间的相互转化运用

武汉市第四十九中学 魏志平（430080）

函数和方程是中学数学的两个核心内容，同时函数思想方法和方程思想方法也是中学数学中的重要思想方法，函数给人以动态的想象，方程给人以静态的感觉，它们相互之间的转换，是动态与静态、特殊与一般的辨证统一在数学中的深刻体现。

一、利用函数探讨方程的根的存在或根的个数问题

例1.若关于x 的方程()a x +=---22222有实根，求实数a 的取值范围。 解：已知方程变形为：()22

222--=--x a 设()()22222--=--x x f ，易知()21<≤-x f

所以实数a 的取值范围是[)2,1-.

例 2.已知方程()()()x a x x -=-+-lg 3lg 1lg

围。

解：原方程等价于

()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-x a x x x a x x 310

0301 得⎩⎨⎧<<-+-=31352x x x a 作函数()31352<<-+-=x x x y 和a y =知31≤

13=a 时，方程有唯一实根. 评析：同一个关于x 与a 的等式（即方程），我们既可以将其看成以x 为未知数的方程，也可以看成函数关系()x f a =。

二、利用函数解方程

例3.解方程()()()

0414*******=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+x x x x 解：设()()

412++=x x x f ，则原方程化为()()056=++x f x f ()()x f x f -=- 即函数()x f y =为奇函数

∴原方程可化为()()x f x f -=+56

又易证函数()x f y =为单调函数. ∴x x -=+56 得7

5-=x 三、构造方程求函数的最值

例4.对于实数x 、y ，求4623222+++++=y x y xy x s 的最小值. 解：由题意知，关于x 的方程()04632222=-+++++s y y x y x 有实根

则()()s y y y -++-+=∆46342222

1 =()034242≥+---s y y

即：03422≤-++s y y 有实解 则()0324162≥-⨯⨯-=∆s 得1≥s

容易验证：当⎩

⎨⎧-==10y x 时，1min =s 例5.设x 、R y ∈，且122=++y xy x ，求22y xy x w +-=的值域. 解：由已知条件得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=+222222121w y x w y x 则关于z 的方程021212

2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++-w z w z 有两个非负实根 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆021********w w w 解得：33

1≤≤w