数学物理方程与特殊函数课后答案

29.0(,)11

cos ,

sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;

sin cos .

sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r r

x r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u r

u θθθθθθ

θθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨

=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()

sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨

∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠

⎩

∂∂∂∂∂⎛

⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝

⎠∂∂∂∂⎛

⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而

2222222222222

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()

sin yy u u u u r r r r r r u u u

r r r r u u u y y r r y θθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂

∂=+

−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222

22

2222222

cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u u

r r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθ

∂∂∂∂⎛

⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠

∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 1

0.

u +=

21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,

2(,0)(1);tt xx t

u a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪

==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪

⎪=−⎩求下列问题的解

22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,

(0)(1)0.

(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨

==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题

得， 1

11212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .

2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n πππππππ

πππ

∞

===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程，得

则

其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2n

n n

n b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a ππππππππ

π∞

=⎡⎤=−=−−⎣

⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此，所求定解问题的解为

2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin

6sin ,22(,0)0.

tt xx x t u a u x l t u t u l t x x

u x l l u x ππ⎧=<<>⎪

==⎪⎪⎨=+⎪⎪

=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,

(0)()0.

21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨

′==⎩+=解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题

得， ()()()()()()1

21)sin (0,1,2,).22121()cos

sin (0,1,2,).22212121(,)(cos

sin )sin .222235(3sin

6sin 22n n n n n n n n n x B x n l

a n a n T t C t D t n l l

a n a n n u x t a t

b t x l l l x x a l l πππ

πππππ∞

=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程，得

则 其中 ()03,1;

21)sin 6,2;20,12.0.

3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l l

πππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩

==+∫、 因此，所求定解问题的解为