数理统计试卷(06、08、10、11)

第一卷（2011年）

一、(12分)设两个独立样本X 1,…,X n , Y 1,…,Y n 分别来自总体N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，

令222

21111

1111,,(),()11n n n n i i X i Y i i i i i X X Y Y S X X S Y Y n n n n =======-=---∑∑∑∑， 及2

,1

1()()1n X Y i i i S X X Y Y n ==---∑。

(1)当n=17时，求常数k

使得12(0.95P X Y μμ->-+=

(2)求概率2

2(1)X

Y

S P S >。

二、(15分)设总体X 的密度函数为(;)f x θ=

,1θ> (1)求参数θ的矩估计量θ；

(2)求参数()g θθ

=的极大似然估计g ；

(3)试分析g 的无偏性、有效性和相合性。

三、(10分)某生产商关心PC 机用的电源的输出电压，假设输出电压服从标准差为0.25V 的正态分布N(μ,σ2)，

(1)问样本容量n 为多大时，才能使平均输出电压的置信度为0.95的置信区间的长度不超过0.2V ；

(2)设X 1,…,X n 是来自总体X~N(0,θ)的样本，()1max n i i n

X X ≤≤=。统计假设：H 0：θ≥3，

H 1：θ＜3的拒绝域为{}0() 2.5n K X =<，求假设检验犯第Ⅰ类错误的最大概率max α。

四、(10分)一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原止痛片至少缩短一片，因此厂方提出检验假设： 012112:2,:2H H μμμμ=>。此处12,μμ分别是服用原止痛片和新止痛片后至开始起作

用的时间间隔的总体均值。设两总体均为正态分布且方差分别为已知值21σ和2

2σ，X 1,…,X n 和 Y 1,…,Y n 是分别来自两个总体分布的相互独立样本。试分析上述假设检验的检验统计量和拒绝域。

五、(15分)设样本(,)(1,2,...,)i i x y i n =满足，01ln i i i y x ββε=++，且12,,...,n εεε相互独

立。

(1)求系数0β和1β的最小二乘估计量0β，1β；

(2)证明：2

2

21

1

1

??()()()n

n

n

i i i i i i i y y y y

y y ===-=-+-∑∑∑ 其中011

1???,,1,2,...,n

i i i

i y y y x i n n ββ===+=∑。

{

1,(0,1)0,(0,1)

x x ∈

∈

六、(8分)某组装产品有部分噪音很大的次品，很伤脑筋。产生次品的原因似乎是由于这种组装品的某个部位的间隙过大引起的，为了检验这个认识是否正确，待从正

著差异(取显著水平α=0.05)，并指出方差分析中的指标、因素和水平，完成方差分析表。

第二卷（2008年）

一、假设X 1, X 2…,X 9，是来自总体X~N(0,4)的样本，X 是样本均值，S 2是样本方差，求下列常数a 的值。

18

21(1)((2)()0.05(3)(

)0.05i i P X X a P X a X

P a S

=-<=>=>=∑

二、设总体X 的分布律为

X 1, X 2…,X n ，是来自X 的样本。

(1)试求1

()g θθ

=的矩估计量1g 和极大似然估计量2g ；

(2)试分析2g 的无偏性、有效性和相合(一致)性。

三、设X 1, X 2…,X n 、 Y 1, Y 2…,Y n 分别来自总体N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)的样本，且相

互独立，22

,,,X Y

X Y S S 分别表示X 、Y 的样本均值和样本方差。 (1)当参数σ2已知时，分析并给出参数3μ1-4μ2置信度为1-α的置信区间； (2)当参数σ2未知时，对统计假设：012112:341,:341H H μμμμ-=->给出显著水平为α时的检验统计量和拒绝域。 四、设总体X~B(2,p)，X 1, X 2 , X 3是来自总体X 的一个样本，01:0.2,:0.4H p H p ==。

H 0的拒绝域为3012i i K X =??

=≥????

∑。求犯两类错误的概率(提示：3

1~(6,)i i X B P =∑)。

五、设(X,Y)的观测数据(X i ,Y i )，i=1,2,3,4满足下列线性模型：

10112012

30134014

22Y Y Y Y ββεββεββεββε=++??=-+??

=-+??=++?

其中2~(0,)(1,2,3,4)i N i εσ=且相互独立。

(1)试用最小二乘法求参数0β、1β的乘估计量0β、1β；

(2)分析并求出0β、1β的分布。

六、简述方差分析、正交设计、聚类分析、主成分分析这些统计方法各自的用途。

第三卷（2010年）

一.（20分）假设X 1，X 2，….,X 24是来自总体X~N （0，2σ）的简单随机样本，,X S 2分别为样本均值和样本方差

（1）求参数a,b,c,使得X=a(X 1-X 2)2+b(3X 3-4X 4)2

+24

25

i c X ∑服从卡方分布，并指出它

的自由度;

（2）求参数k,使得满足E ()2222S kX σ+=,并求()222D S kX +;

（3）求参数d(0d >)，使得()()122

221652221

10.90i i i j j j X X P d X X -=-=??-????

>=????

-????

∑∑；

（4）分析随机变量2

X 的分布。

二.（20分）设总体分布X 的密度函数为()()1;,,f x c x x c θθθθ-+=>其中0c >已知，

1θ>未知，求

（1）参数θ的矩估计量1?θ；

（2）参数()1

g θθ

=的极大似然估计()?g

θ； （3）试分析()?g

θ无偏性，有效性和相合性。

三、某厂使用两种不同的原料生产同一类型的产品。随即选取使用原料A 生产的样品22件，测得平均质量为,样本标准差为。选取使用原料B 生产的样品24件，测得平均质量为. 样本标准差为。设产品质量服从正态分布，两个样本独立。

（1） 问能否认为使用原料B 生产的产品质量比使用原料A 的显著大； （2） 求：H 0

：, H 1

： , 假设H 0的拒绝

域

。

四、某公司的考勤员试图证实星期一的缺勤是其他四个工作日缺勤的两倍，已有三月的缺勤记录如下表所示：

星期 一 二 三 四 五

缺勤数

304 176 139 141 130 给定显著水平，请用检验证实。

五、(20分)合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度y 对丝的质量是很重要的因素。如今发现它与电流的周波x 有密切的关系，由生产记录得相关数据),(i i y x ，10,...,2,1=i ,计算得到61.49=x ，86.16=y ，989.1=xx l ，674.0=xy l 244.0=yy l 。 （1）求第一导丝盘的速度y 与电流的周波x 的经验回归直线方程； （2）在显著水平05.0=α下，检验y 与x 是否有显著的线性关系；

（3）求∧

σ，并求回归系数1β的置信度为95%的置信区间

六、(15分)有五个商店以各自的销售方式卖出一种新款式手表，连续四天该手表的销售量如下表所示：

使用单因素方差分析，（1）指出方差分析中的指标、因素和水平；（2）指出方差分析中假设检验的原假设；（3）指出模型的假设条件；（4）完成下列方差分析表，并据此分析五种销售方式是否有显著差异（05.0=α），若有差异，哪种销售方式的销售量较高？

第四卷（2006年）

一、假设X 1，X 2，…，X 9和Y 1，Y 2，…，Y 16是分别来自总体X~N(0，1)和Y~N(2，1)的简单随机样本，且相互独立；，，

，

是相应的样本均值和样本方差。试

根据下列条件分析参数a ，b ，c ，d ，α，β，γ，λ，μ的值。 （1） a （-+b ）服从标准正态分布；

（2） c

+d

服从卡方分布；

（3）

服从t 分布；

（4）

服从F 分布。

二、设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的样本，总体密度函数为

，

，

（1） 求参数σ的矩估量；

（2） 求参数σ

的最（极）大似然估计量，并分析其无偏性、有效性、相合（一

致）性。

三、一生产商关心PC 机用的输出电压。假设输出电压X 服从标准为0.25V 的正态分布。

（1）问样本容量n 多大时，才能使平均输出电压的置信度为0.95的置信区间长度不 超过0.2V ？

（2）设EX=u ，生产商希望检验H 0：u=9V ，H 1：u≠9V 。求拒绝域为｛-

x <8.85｝∪｛-

x >9.15｝，n=9时，犯第Ⅰ类错误的概率α和真实的平均输出电压为9.1V 时犯第Ⅱ类错误的概率β。

四、要检验在计算机上产生随机数的一个程序。指令该程序产生0与9之间100个单个数字。观察整数的频数如下：

整数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 11 8 7 7 10 10 8 11 14 14

在显著性水平α=0.05下，有充分理由相信该批整数是均匀产生的吗？为什么？

五、某人在一个新城市找到了一份如意的工作，他非常关心住所到工作地点的距离和上班花在途中的时间。他的15位同事给出了他们上班的行车时间y （分钟）与上班到工作地点的距离x （公里）的数据资料，并得到。 x = 12.27, y = 26.87, l xx = 358.93,l xy = 679.53,l yy = 1661.34

(1) 求上班行车时间y 关于到工作点的距离x 的经验回归直线方程； (2) 在显著水平α= 0.05下，检验y 与x 是否有显著的线性关系； (3) 预测x = 7(公里)时上班的平均行车时间。

六、设组观测数据(x i , y i )(i =1,2,…, n) 满足y i =β0+β1(x-x ) +εi ，

εi ~ N (0,σ 2

) (i =1,2,…, n)（其中1

1x=n n i X ∑）且ε1,ε2,…,εn 相互独立。

(1) 求系数β0，β1的最小二乘估计量0

1

??,β

β；

(2) 证明2

2

21

1

1

??()()()n n n

i i i i i i i y y y y

y y ===-=-+-∑∑∑， 其中011

1???,,1,2,...,n

i i i

i y y y x i n n ββ==

=+=∑

七、一个试验用来比较4种不同药品解除外科手术后疼痛的时间长度。结果(小时)在下表中

2 6 6 10 4

3

4 4 10 2 4 2 4 10 --

5 -- -- 12 --

若使用方差分析来分析“4种药品解除外科手术后疼痛的时间长度有无显著差异”： (1) 指出方差分析中的因素和水平； (2) 指出方差分析中假设检验的原假设； (3) 指出上述表中的数据应满足的条件；

(4) 完成下列方差分析表，并据此分析“4种药品解除外科手术后疼痛的时间长度有无显著差异”(显著性水平α=0.05)。