华工应用随机过程试卷及参考答案

华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷）

（闭卷时间 120 分钟）

院/系年级 __专业姓名学号

1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且

EX 存在，

C 是

F 的子σ－域，定义E (XC )如下：（1）_______________ ；

（2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为

λ

的 Poisson 过程，则 N (t )具有_____、

_____增量，且∀t >0，h >0充分小，有：P ({N (t + h )− N (t ) = 0})＝ ________，P ({N (t + h )− N (t ) =1})＝_____________；

3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则∀t >0，W (t ) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）；

4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。

二、证明分析题（共 12 分，选做一题）

1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量，并且具有

指数分布，即：P({X ≤ a}) =1−e−λa ，a >0，其中λ是正常数。设λ是

另一个正常数，定义：Z = λλe−(λ−λ)X ，由下式定义：P(A)=∫A ZdP，∀A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函

数：P({X ≤ a})，a>0；

2、设X0～U (0,1)，X n+1～U (1−X n,1)，n≥1，域流{F n,n≥ 0}满足：

F n =σ(X k,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Y n = 2n ⋅∏

k

n=1 1 X−k X −1 k ，n ≥1，

试证：{Y

n

,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅！

三、计算证明题（共60 分）

1、（12 分）假设X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记

E(XI A )

忆性和E(X A) = ，求E(XX >c)；

P(A)

2、（10 分，选做一题）

（1）设X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且X,Y 相互独立；∀c >0，设f

X X )为给定X +Y = c 时X 的条件概率密度，试求之并由此求

+Y (x c

E(X X +Y = c)；

⎧1

)及

（2）设(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;，试求f

Y X (y x

⎪⎩0,其它；

P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P({X 2 +Y 2 ≤1})；

3、（4 分，选做一

题）（1）设X,Y独立同U [0,1]分布，试基

（2）设

于微元法由条件密度求E(XX

[0,1]分布，Y = min{X1, X2, , 4、（10 分）设X1, X2, , X n 独立同U

求E(X1Y) = E(X1 σ(Y))；

X n}，试由条件数学期望的一般定义

5、（14 分）设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的Poisson 过程，S0 = 0，S n 表示第n个事件发生（到达）的时刻，试求：（1）

P(N (s) =kN (t) = n)（s

6、（10 分）设{W (t),t ≥ 0}为标准Brown 运动，试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程 d ⎡⎣S(t)⎤⎦= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，并求

E ⎡⎣W4 (t)⎤⎦，E ⎡⎣W6 (t)⎤⎦。

四、应用分析题（共12 分）

设股价遵循几何布朗运动dS(t)= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，利率为常

数r 。定义风险的市场价格为：Θ = μ−r 以及状态价格密度过程

σ

为：ζ(t) = exp⎧⎨⎩−ΘW (t)−⎛⎜⎝r + 1 2 Θ2 ⎠⎞⎟t⎭⎫⎬；a）证明：

dζ(t)=−Θζ(t)dW (t)−rζ(t)dt ；b）设X 表示投资者采用组合过程Δ(t) 时其资产组合的价值（自融资组合），即有：

dX (t)= rX (t)dt +Δ(t)(μ−r)S(t)dt +Δ(t)σS(t)dW (t)，证明：ζ(t) X (t)是鞅；c）试从对冲欧式看涨期权空头的角度（或用组合资产复制期权）导出股价遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的B—S 方程，并推导风险中性测度下的定价公式。【以上三小题选做a）、b）或c）】

华南理工大学2011—2012 学年第一学期

《应用随机过程》A 卷参考答案一、

填空题

1、（1）E(XC)为C-可测的；

（2）∀A∈C ，∫

A XdP =

∫A E(XC)dP⎡⎣∫A E(XC)dP C ⎤⎦； 2、独立、

平稳，1−λh+o(h)，λh+o(h)；