圆锥曲线与方程专题:圆锥曲线的综合问题(教师版)

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《圆锥曲线与方程》专题复习

第四节圆锥曲线的综合问题考点一椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题

1.(2013年浙江卷,文9)如图,F1,F2是椭圆C1:

2

4

x

+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四

边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )

(A)2 (B)3 (C)3

2

(D)

6

解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4,

|F1F2|=241

-=23,

因为四边形AF1BF2为矩形,

所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,

所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4,所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=12-4=8,

所以|AF2|-|AF1|=22,

因此对于双曲线有a=2,c=3,

所以C2的离心率e=c

a

=

6

2

.

故选D.答案:D

2.(2012年山东卷,理10)已知椭圆C:

2

2

x

a

+

2

2

y

b

=1(a>b>0)的离心率为

3

2

.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这

四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )

(A)

2

8

x

+

2

2

y

=1 (B)

2

12

x

+

2

6

y

=1(C)

2

16

x

+

2

4

y

=1 (D)

2

20

x

+

2

5

y

=1

解析:利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.

∵椭圆的离心率为3

,

∴c

a

=

22

a b

a

-

=

3

,

∴a=2b.

∴椭圆方程为x 2

+4y 2

=4b 2

.

∵双曲线x 2

-y 2

=1的渐近线方程为x ±y=0,

∴渐近线x ±y=0与椭圆x 2

+4y 2

=4b 2

在第一象限的交点为2525,b b ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

,

∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为

255b ×25

5

b=4, ∴b 2=5,

∴a 2

=4b 2

=20.

∴椭圆C 的方程为220x +

25

y =1.

故选D. 答案:D

3.(2012年浙江卷,文8)如图所示,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M 、N 是双曲线的两顶点.若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

(A)3

(B)2

(C)

3 (D)2

解析:设椭圆的标准方程为22x a +22

y b

=1(a>b>0),半焦距为c 1,

则椭圆的离心率为e 1=

1

c a

. 设双曲线的标准方程为2

2

x m

-22y n

=1(m>0,n>0),半焦距为c 2,

则双曲线的离心率为e 2

=2

c m

.

由双曲线与椭圆共焦点知c 1=c 2. 由点M,O,N 将椭圆长轴四等分可知m=a-m, 即2m=a.

∴21e e =2

1c m c a

=a m =2.

故选B. 答案:B

4.(2011年浙江卷,文9)已知椭圆C 1

: 22x a +2

2

y b

=1(a>b>0)与双曲线C 2:x 2

-

24

y =1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为

直径的圆相交于A,B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则( )

(A)a 2

=

132 (B)a 2

=13 (C)b 2

=12

(D)b 2

=2 解析:双曲线渐近线方程为y=±2x, 圆的方程为x 2

+y 2

=a 2

,

则|AB|=2a,不妨设y=2x 与椭圆交于P 、Q 两点,且P 在x 轴上方, 则由已知|PQ|=13|AB|=23

a

, ∴|OP|=

3

a , ∴

P ,1515⎛ ⎝⎭

. 又∵点P 在椭圆上,

22

5225a a +

2

220225

a b =1.①

又a 2

-b 2

=5,b 2

=a 2

-5,②

联立①②解得2211,2

1.2

a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选C.

答案:C

5.(2011年山东卷,文15)已知双曲线22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)和椭圆216x +

2

9

y =1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的

两倍,则双曲线的方程为 .

解析:椭圆216x +

2

9y =1的焦点坐标为F 1

,0),F 2

,0),离心率为

. 由于双曲线22x a -2

2

y b

=1与椭圆216x +

2

9

y =1有相同的焦点,

因此a 2

+b 2

=7.

又双曲线的离心率

e=

a

=

a

,

, 所以a=2,b 2

=c 2

-a 2

=3,

故双曲线的方程为

2

4

x -

23

y =1.

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