【最新】有限差分方法基础
《有限差分方法基础》课件
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等 领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并 行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合 、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数 值计算方法，适用于各种微分方程的 求解，尤其在偏微分方程的数值求解 中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条 件，提供精确度和稳定性较高的数值 解，是科学研究、工程技术和实际应 用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方 法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以 便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换 为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式 进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的 数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真 实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择 稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判 断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛 性分析等。
有限差分法的原理与计算步骤
有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。
该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。
二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。
通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。
2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。
一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。
3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。
根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。
4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。
求解得到各个离散点的解。
5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。
将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。
三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。
2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。
3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。
然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。
2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。
3第二章有限差分方法基础解读
3第二章有限差分方法基础解读有限差分方法是数值计算中常用的一种方法，用于求解偏微分方程的数值解。
它的基本思想是将连续的空间或时间域离散化为有限的点，然后用差分近似代替导数，将偏微分方程转化为差分方程，从而得到问题的数值解。
有限差分方法的基础概念有三个：差分节点、差分近似和差分方程。
差分节点是指将连续的自变量区域划分为离散的点，这些点被称为节点。
差分近似是指用函数在差分节点上的函数值来近似代替它们的导数值。
差分方程是指在差分节点上建立的方程，用来表示问题的数值解。
在有限差分方法中，常用的几种差分格式有：向前差分、向后差分和中心差分。
其中，向前差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}$，向后差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}$，中心差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$。
这些差分格式的选择要根据问题的具体情况和求解的精度要求来确定。
有限差分方法中，差分方程的建立是非常重要的一步。
一般来说，差分方程的建立需要利用边界条件和初始条件。
对于初始条件，通常是指给定问题在初始时刻或初始位置上的条件；而边界条件是指给定问题在边界上的条件。
缺乏良好的边界条件和初始条件会导致差分方程无法建立或无法得到合理的数值解。
因此，在使用有限差分方法求解偏微分方程时，需要仔细考虑问题的边界条件和初始条件，并将其合理地纳入差分方程中。
有限差分方法还包括时间步长和空间步长的选择。
时间步长是指时间域上的离散间隔，空间步长是指空间域上的离散间隔。
时间步长和空间步长的选取要兼顾问题的稳定性和精度要求。
一般来说，时间步长和空间步长越小，计算的精度越高，但计算量也会增加。
因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和计算资源的限制来选择合适的步长。
有限差分法的基本原理
f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差； 舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差； 稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式； 减小网格间距或时间步长； 选择合适的初始条件和边界条件； 选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
有限差分法推导
有限差分法推导【最新版】目录1.有限差分法的基本概念2.有限差分法的推导方法3.有限差分法的应用实例4.有限差分法的优缺点正文一、有限差分法的基本概念有限差分法是一种数值计算方法，主要应用于求解偏微分方程的初值问题。
它是通过将连续的函数值用有限个离散点上的函数值来代替，从而将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
这种方法可以有效地降低问题的复杂度，使得求解过程更加简便。
二、有限差分法的推导方法有限差分法的推导过程主要包括以下几个步骤：1.对边界条件进行离散处理，将边界上的函数值用有限个离散点上的函数值来代替。
2.对偏微分方程进行离散处理，将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
3.求解代数方程组，得到离散点上的函数值。
4.通过插值方法，将离散点上的函数值还原为连续函数。
三、有限差分法的应用实例有限差分法广泛应用于各种物理、工程和数学问题中，例如求解热传导方程、波动方程和亥姆霍兹方程等。
下面以求解一维热传导方程为例，展示有限差分法的应用过程。
假设我们要求解如下的热传导方程：u/t = k * ^2u/x^2x = [0, 1]t = [0, T]边界条件：u(0, t) = f(t), u(1, t) = 0初始条件：u(x, 0) = 0我们可以通过以下步骤应用有限差分法：1.对边界条件进行离散处理，将边界上的函数值用有限个离散点上的函数值来代替。
2.对偏微分方程进行离散处理，将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
3.求解代数方程组，得到离散点上的函数值。
4.通过插值方法，将离散点上的函数值还原为连续函数。
四、有限差分法的优缺点有限差分法具有以下优点：1.适用范围广泛，可以应用于各种偏微分方程的初值问题。
2.推导过程相对简单，容易理解和实现。
3.计算精度较高，可以通过增加离散点数来提高精度。
然而，有限差分法也存在以下缺点：1.计算量较大，需要处理大量的代数方程组。
2.对于某些问题，可能需要进行特殊的处理，例如处理不稳定的代数方程组。
有限差分方法
有限差分方法
有限差分方法是数值分析中常用的一种数值计算方法，它主要用于解决微分方
程和积分方程的数值逼近问题。
有限差分方法的基本思想是将微分方程中的导数用差分代替，将微分方程转化为代数方程，然后利用数值计算方法求解代数方程，从而得到微分方程的数值解。
有限差分方法的核心是将求解区域离散化，将连续的求解区域划分为有限个小
区域，然后在每个小区域内利用差分逼近微分方程，得到代数方程。
通过对这些代数方程进行适当的组合和求解，最终得到微分方程的数值解。
有限差分方法有很多种形式，常见的有向前差分、向后差分、中心差分等。
这
些方法在具体应用中有各自的特点和适用范围。
在选择使用哪种有限差分方法时，需要根据具体的问题和求解区域的特点来进行合理的选择。
有限差分方法在实际应用中具有广泛的适用性，它可以用于求解各种类型的微
分方程和积分方程，包括常微分方程、偏微分方程以及积分方程等。
在工程、物理、经济等领域中，有限差分方法被广泛应用于模拟和求解各种实际问题。
在使用有限差分方法时，需要注意选取合适的离散化步长和求解区域的划分方式，这对于最终的数值解的精度和稳定性有着重要的影响。
同时，还需要注意数值计算方法的稳定性和收敛性，避免出现数值解的不稳定或者发散现象。
总之，有限差分方法作为一种常用的数值计算方法，在数值分析和科学计算中
具有重要的地位和作用。
掌握有限差分方法的基本原理和应用技巧，对于解决实际问题和开展科学研究具有重要的意义。
通过不断的学习和实践，可以更好地掌握有限差分方法的使用技巧，提高数值计算的准确性和效率。
有限差分法基本原理
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
有限差分法基本原理
流体力学
模拟流体在各种情况下的运动和传输现象， 如空气动力学、水力学等。
热传导
用于研究材料中的热传导现象，如传热设 备的设计和材料的热特性分析。
结构力学
分析结构中的应力、应变等力学性质，用 于优化结构设计和评估结构的稳定性。
电磁场
分析电磁场的分布和变化规律，用于电磁 波传播、电路设计等领域。
有限差分法的优缺点
有限差分法在实际工程中的应用
流体动力学
模拟流体在航空、航天等领 域的流动性能，评估气动设 计和分 析材料的热传导特性、预测 温度场的分布。
结构分析
评估结构的稳定性和强度， 优化结构设计，分析材料的 力学性能。
3 差分法程式
利用节点上的差分近 似替代连续的偏微分 方程，从而得到离散 的差分方程。
有限差分法的基本步骤
网格划分
将求解域划分为离散的节 点，构建求解网格。
边界条件
明确边界上的条件，用于 确定差分方程的边界值。
离散方程
利用节点上的差分近似， 将偏微分方程转化为离散 的差分方程。
有限差分法的应用领域
有限差分法基本原理
有限差分法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值逼近解。它通 过将连续的偏微分方程转化为差分方程，从而实现数值求解。
有限差分法的概述
1 定义
有限差分法是一种将 连续的偏微分方程离 散化为差分方程的数 值方法。
2 离散化
通过在网格上对偏微 分方程进行离散化， 将求解域划分为有限 个离散的节点。
隐式-显式格式
结合了显式和隐式格式的 优点，兼顾计算速度和稳 定性。
有限差分法的误差分析
1
稳定误差
2
主要由数值格式和边界条件的选择 引起，不会随网格精度改变而改变。
4第四讲 有限差分方法基础
3u 3 x
8
(二）. 微商（偏导数）的差商近似:待定系数法
3）待定系数方法
9
(二）. 微商（偏导数）的差商近似:差分算子
4) 差分算子方法 ●定义以下差分算子：
n n u u 移位算子： E x j j
（当移位为+1时可省略）
n n 1 E t1 u n E u u j t j j
1 2u 1 3u 2 x x T , E o( x ) 2 3 2 x 3! x
由于T.E.是 o( x ) 为一阶小量，故上述差商近似（差分格式） 称为一阶（精度）格式
7
(二）. 微商（偏导数）的差商近似: Taylor’s公式 类似地可得；
1 2 1 2 x
算术平均算子：
xu
n j
1 1 n n (u 1 u 1 ) (E j j 2 2 2 2
x
E
)u
n j
1 2 2) x (Ex Ex 2
1
1
n n n n 前差算子： x u j u j 1 u j ( E x 1)u j n n 1 n 后差算子： x un j u j u j 1 (1 E x )u j
x n n!
( x0 x0 x )
u x
( x0 , y0 )
u( x0 x , y0 ) u( x0 , y0 ) T .E . x
T.E.=Truncation Error
T . E.
u 采用差分格式中的记法： x
其中:
(i, j)
ui 1, j ui , j x
有限差分基础白
实际问题往往是上述三类边界条件的组合。
7.4 稳态传热问题的有限差分方程
对于多变量函数T=T( x, y)，涉及到求一阶和二阶偏导 数的近似值。 若把y看作常数，则函数T对于x的偏导数就是T对x的普 通导数。 同样，若把x看作常数，则函数T对于y的偏导数就是T 对y的普通导数。 因此，可以直接应用前面介绍的所有导数的概念和公 式。当然，在应用前面的公式对x求偏导时，必须保持 y = y0。
1. 内节点差分方程
首先只考察内部节点。
图7-4所示是直角坐标系下一个三 维导热区域中的网格点P及其六 个相邻点，它们分别记为N，S， E，W，I，O。令网格间距Δx= Δy=Δz =Δ。
稳态基本方程为
2T 2T 2T H 0
x 2 y 2 z 2
图7-4 在均匀网格的 三维直角坐标中典型 点P及其六个相邻点
1. 二维非稳态热传导方程
2T 2T H 1 T
x2 y2 t
(1) 离散化
• 几何区域离散化。假定区域离散化后，距离步长Δx=xi+1-xi, Δy=yj+1-yj，且Δx=Δy。显然，xi=iΔx；yj=jΔy，i,j=0,1,2,…。
• 时间域离散化。用n（n=0,1,2,…）将时间区域t≥0离散化，两 个时刻的间隔（时间步长）Δt=tn+1-tn，tn=nΔt。
0
其中：a 称为导温系数或扩散系数
c
（7-1）
存在初值的一维热传导问题，可以用下式表示
u t
a
2u x2
0
u(x,0) f (x)
x , t 0
x
（7-2）
在给定条件下，上述偏微分方程有唯一确定的解。
(1) 定解区域的离散化 用网格线将定解区域离散化为节点集，是将微分方程 定解问题离散化为差分方程的基础。
有限差分法初步
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 结论与展望
01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将偏微分方程离散化为差分方程， 从而求解偏微分方程的近似解。
近似表示微 分，从而将微分方程转化为差分方程。
有限差分法。
COMSOL Multiphysics实现
COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的多物理场仿真软件，也支持有限差分法。 COMSOL提供了友好的用户界面和丰富的物理模型库，使得有限差分法的实现更加便
捷。
有限差分法的并行计算实现
MPI实现
MPI（Message Passing Interface）是一种并行计算的标准，支持多个处理 器之间的通信。通过MPI，可以实现有限差分法的并行计算，提高计算效率。
自适应网格技术
根据解的特性自适应地调整离散点间距，以 提高计算精度和效率。
并行化与优化
通过并行计算和算法优化等技术提高有限差 分法的计算效率。
与其他方法的结合
将有限差分法与其他数值方法或物理模型相 结合，以处理更复杂的问题。
06
结论与展望
结论
01
有限差分法是一种数值计算方 法，通过离散化连续问题为差 分方程，进而求解数值近似解 。
有限差分法原理简单，易于理解和实现，不需要复杂的数学工 具。
有限差分法可以方便地进行并行计算，提高计算效率。
有限差分法可以应用于各种不同类型的偏微分方程，具有广泛 的适用性。
有限差分法的缺点
精度问题
由于有限差分法是一种离散化方法，其精度受到离散点间距的限制， 可能导致计算结果不够精确。
3 有限差分法基础
—Lax 格式
（3）仍然采用线性拟合，采用 B、C 点外插：
un un uC uB j 1 j n 1 n ct u n cr u n un uD uP uB ct u j u j j j 1 j x x
2
（4）若设未知量 u 在 P 的领域满足二次曲线分布，即： u x ao a1 x a2 x
2x
o(
x3 x 2 ) x
时间一阶精度、空间二阶精度。
1 un un u u 2u 3u j j n n 1u n a b 2 c 3 j 1 o u j 1u j 1 ...... t t x x x
若离散的精度越高，或右端项的阶数越高，则需要的点越多。
不失一般性，局部坐标原点处于 B 点，则 A、B、C 三点的 x 坐标分别为： x ，0，
x
a0 uB u A u j 1 a0 xa1 x 2 a2 u uA uB u j a0 a1 C 2x u u a xa x 2 a j 1 0 1 2 C u u 2u a2 A C 2 B 2x
t: u
n 1 j
x: u
n j 1
u
n j 1
2
n n n n n n 2 2 2 2 2 u t u u x u u x u n n n ... 0u j 1 u j x 2 ... 1 u j x x j 2 x 2 j x j 2 x 2 j t j 2 t j
2 2 u t u u t ... ； 2 t 2 j t j n j 2 2 u x u u x ... 2 x 2 j x j n j 2 2 u x u u x ... 2 x 2 j x j n j n n n n n n
2.1有限差分法基础——(4)
d f ( x x) f ( x-x) f ( x) dx 2x
对称，二阶精度
对于二阶导数
d2 f ( x x) 2 f ( x) f ( x-x) f ( x ) dx 2 (x)2
二阶精度
• 定解问题的有限差分解法 1．离散 x = ih, y= jh, i= 0, ±1, ±2,…. ±n, h: 步长（正方形的边长） 2．根据泰勒级数建立差商格式：对于一维情况:在x处的一阶导数 可以用
有限差分法的主要内容
1. 建立地球物理问题的离散有限差分模型 （1）如何根据问题的特点将定解区域做网格划分； （2）如何在所有网格节点上用有限差分格式对导数求近似， 对函数、初始条件和边界条件求近似； （3）如何把原方程离散化为代数方程组，即有限差分方程组。 2.从理论上研究有限差分模型的形态，以保证计算过程的可行性和计算结果的正确性 （1）解的相容性； （2）解的稳定性； （3）解的收敛性。
汶川大地震的动力学成因
Hu, C., Y. Cai, and Z. Wang (2012), Effects of large historical earthquakes, viscous relaxation, and tectonic loading on the 2008 Wenchuan earthquake, Journal of Geophysical Research, 117, B06410, doi:10.1029/2011JB009046. (SCI, IF: 3.303)
（12）式称为二阶导数的二阶精度中心差分形式。忽略Δx的四次方及更高阶项
总结： 对一阶导数
1、向前差分形式： 2、向后差分形式：
3、中心差分形式：
3第二章_有限差分方法基础
3第二章_有限差分方法基础有限差分方法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值近似解。
它的基本思想是将求解域离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代求解差分方程的解来逼近原方程的解。
有限差分方法的基础是差分近似。
差分近似是将连续函数在一组离散点上进行近似表示的方法。
差分近似的基本思想是用函数的差商来近似函数的导数。
例如，对于函数f(x)，在点x上的导数可以用差商表示为f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h，其中h是一个小的正数。
有限差分方法的核心是离散化。
离散化是将求解域划分为有限个网格点，然后在这些网格点上进行近似计算。
通常使用均匀网格，即将求解域等分为相同大小的网格。
在每个网格点上，用差分近似来代替偏微分方程中的导数项，将偏微分方程转化为离散的差分方程。
在离散的差分方程中，未知函数在每个网格点上的值可以通过迭代求解得到。
迭代的过程是通过将差分方程中的未知函数值代入到方程中，然后求解得到新的未知函数值。
不断迭代直到满足一定的收敛准则，得到近似解。
有限差分方法有很多的变形和扩展。
其中最基础的是一维情况下的有限差分方法，它适用于求解一维偏微分方程。
在一维情况下，求解域只有一个自变量x，因此只需要在x方向上进行离散化。
除了一维情况，有限差分方法还可以扩展到更高维的情况，例如二维和三维情况。
在二维情况下，求解域有两个自变量x和y，需要在x和y 方向上都进行离散化。
在三维情况下，求解域有三个自变量x、y和z，需要在x、y和z方向上都进行离散化。
有限差分方法的优点是简单易懂，计算效率高。
它可以应用于各种偏微分方程的求解，包括椭圆方程、双曲方程和抛物方程等。
然而，有限差分方法也有一些局限性，例如对于复杂的几何形状和边界条件的处理比较困难。
总之，有限差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值近似解。
它通过将求解域离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代求解差分方程的解来逼近原方程的解。
有限差分法基础
有限差分法求解示例
求微分方程：
u x u 0
u x ex u 0
sin x
2 cos x ,0
x
的数值解。
离散网格点
x0 x1 x2 x3
xn-1 xn
差商代替微商
令
h M , xi ih
得到差分格式
ui1
2ui h2
ui1
ui
fi
u0 uM 0
得到的线性方程组
2.针对某一点，用差商近似代替导数
对流方程在 (xi ,点tn )为
n
n
0
t i x i
t
tn1 tn tn1
o
x xi1 xi xi1
t
x
差分方程的建立过程
时间导数用一阶向前差商近似代替：
n
n1 i
in
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似代替：
n
n i 1
n i 1
x i
0
0
1.0 100 0
100 0
0
1.5 100 200 -100 100 0
0.5 0.6 0.7
0
00
00
0
00
0
00
100
0.8 0.9 1.0
00
100
0 100 100
100 0
100
-100 200 100
差分法的基本理论
1.相容性
Ti n1
Tin
t x 2
(Ti
n 1
2Tin
Tin1)
37.5 68.8 100
45.3 68.8 100
热传导方程的求解
如仍取 10 2 , x 0.1, 而为缩短计算时间，时间 步长 取t 1.0 ，则最终的差分方程：
有限差分方法基础
2!
3!
4!
（1-14）
f (x x) f (x) f (x) f (x) x f (x) (x)2 f IV (x) (x)3 O((x)4 )
x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似替代，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点旳对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面有关逼近误差旳分析懂得，用时间向前差商替代时间导数时旳误差为 O(t) ,
用空间中心差商替代空间导数时旳误差为 O((x)2 )，因而对流方程与相应旳差分方程之间也存在一种误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi , tn t) (xi , tn ) (xi x, tn ) (xi x, tn )
0
t x
（2-1）
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
xi x0 ix, i 0,1, 2,
tn nt,
n 0,1, 2,
图2-1 差分网格
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20
第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）
图1-2 均匀和非均匀网格实例1
2021/2/2
21
第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（3/3）
图1-3 均匀和非均匀网格实例2
2021/2/2
22
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）
差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表 示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中 的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。 现以对流方程为例，列出对应的差分方程。
2021/2/2
17
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（8/9）
表3
表4
J
n
0
1
2 3 45
Aj
1 -3 4 -1
J n -5 -4 -3 -2 -1 0
Aj
1
1 -4 3
2 2 -5 4 -1
2
-1 4 -5 2
3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
3
3 -14 24 -18 5
t
2x
n
t i
122t2 int
n
xi
31!3t3 in(x)2
n O(t,(x)2)
t xi
2021/2/2
（2-6）
26
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）
一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。 对流方程的初值问题为
lim lim
d x x 0 x x 0
x
（1-1）
dy dx 是函数对自变量的导数，又称微商；
y 、x
分别称为函数及自变量的差分， y 为函数对自变量的差商。 x
2021/2/2
3
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）
向前差分 y f(x x ) f(x )
向后差分 y f(x ) f(x x )
（1-21）
2021/2/2
16
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（7/9）
表1 n0 1 -1
j 12
aj
1
34
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1 4 1 -4 6 -4 1
表2
j n -4 -3 -2 -1 0
aj
1
-1 1
2
1 -2 1
3
-1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
其中表1和表2的m=1，即此二表对应差商的精度是一阶的；
材料计算机数值模拟讲义
有限差分法
2021/2/2
1
主要内容
1、差分原理及逼近误差 2、差分方程，截断误差和相容性 3、收敛性与稳定性 4、Lax等价定理
2021/2/2
2
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）
1．差分原理
设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为
d y y f(x x ) f(x )
对应的函数值为 f(xi jx) ，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为
J2
nf(xi) cj f(xi jx) jJ1
式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。
当J1=0时，称为向前差分； 当J2=0时，称为向后差分；
当J1=J2且|cj ||cj |时，称为中心差分。
（1-19） （1-20）
中心差分
yf(x1 x)f(x1 x)
2
2
x 〉0
（1-2） （1-3） （1-4）
2021/2/2
4
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）
上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一 阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 2 y 。
以向前差分为例，有 2y(y) [f(xx)f(x)] f(xx)f(x) [f(x2x)f(xx)][f(xx)f(x)] f(x2x)2f(xx)f(x)
（1-5）
2021/2/2
5
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。
例如n 阶前差分为
n y (n1y)
[(n2y)] {[(y)]} {[( f (xx) f (x)]}
（1-6）
2021/2/2
6
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）
（1-14）
f( x x ) f( x ) f( x ) f ( x ) x f ( x ) ( x ) 2 fI( V x ) ( x ) 3 O ( x ( ) 4 )
x
2 ! 3 !
4 !
f( x ) O ( x )
（1-15）
2021/2/2
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
28
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）
(a) FTCS
2021/2/2
(b)FTFS 图2-2 差分格式
(c)FTBS
29
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）
FTCS格式的截断误差为
RinO (t,(x)2)
FTFS和FTBS格式的截断误差为
Rin O(t,x)
差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。 由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量） 的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。
f ( x x ) f ( x ) x f ( x ) ( x ) 2 f ( x ) ( x ) 3 f ( x ) ( x ) 4 f I( x V ) O ( x ) 5 ( ) 2 ! 3 ! 4 !
J -3 -2 -1 0 1 2 3
aj
1 -8 0 8 -1
-1
16
30
16
-1
1
-8
13
0
13
8
-1
-1
12
39
56
39
12
-1
表6的m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。
2021/2/2
19
第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3）
3．非均匀步长
在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的
t
x
0
(x,0) (x)
这里 (x) 为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
（2-7）
in1
in
in1
n i1
0
t
2x
i0 (xi)
（2-8）
初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起， 称为相应微分方程定解问题的差分格式。
4 -2 11 -24 26 -14 3
表5
n -2 1
j -1 0
aj -1 0
12 1
2
1 -2 1
3 -1 2 0 -2 1 4 1 -4 6 -4 1
表3至表5的m=2，即这些表对应差商的精度是二阶的；
2021/2/2
18
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（9/9）
表6
n 1 2 3 4
f( x x ) 2 f( x ) f( x x ) f ( x ) O ( x ( ) 2 ) x 2
（1-18）
这说明二阶中心差商的精度也为二阶
2021/2/2
14
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（5/9）
设有函数f(x)，自变量x的增量为 x，若取
x x i j x , j 0 , 1 , 2 ,
2021/2/2
27
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）
FTCS格式
in1
in
2tx(in1
in1)
i0 (xi)
FTFS格式
in1
in
xt (in1
in)
i0 (xi)
FTBS格式
2021/2/2
in1
in
xt (in
in1)
i0 (xi)
（2-9） （2-10） （2-11）
2021/2/2
31
第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）
若微分问题的定解条件为
B()g
其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为
B()g
其中 B 是差分算子，则截断误差为
rB ()B ()
（2-18） （2-19） （2-20）
2021/2/2
32
第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（3/3）
0
t x
（2-1）
2021/2/2
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
x i x 0 i x ,i 0 ,1 ,2 ,
tn n t, n 0 ,1 ,2 ,
图2-1 差分网格
2021/2/2
24
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）
若时间导数用一阶向前差商近似代替，即
用空间中心差商代替空间导数时的误差为 O((x)2)，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是
R i n O ( t ) O ( x ( ) 2 ) O ( t ,( x ) 2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi,tn t)(xi,tn)(xi x,tn)(xi x,tn)
以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。