周期信号的分解与合成

2
bk T
TA
2 T
T
t sin(k 0t)d t
2
A (1)k1 kπ
k 1,2,3
求周期锯齿波的余弦形式傅里叶级数展 开
f (t ) 0
A π
sin
0t
A sin 2π
2
0t
0
A π
c o s ( 0t
2
)
A 2π
( c o s 2 0t
2
)
直流
基波
2次谐波
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
信号与系统
第 11 讲 周期信号的分解与合成
周期信号是每隔一定时间间隔，按相同 规律重复无始无终变化的信号。
任何周期函数在满足狄义赫利条件下， 都可以展开成一组正交函数的无穷级数 之和。
使用三角函数集的周期函数展开就是周 期信号的傅里叶级数展开
本讲主要内容
周期信号的三角函数傅里叶级数表示 周期信号的余弦信号展开 周期信号的对称性与傅里叶系数的特点 周期信号的分解 周期信号的合成与吉伯斯（Gibbs）现象
n
0
tdt
2
n
0 n = 2，4，6，
( 1 c o s n ) n4n = 1，3，5，
周期信号用三角函数形式傅里叶级数表示
解：
f (t) 1
0 T/2 T
t
1
f
(t)
4
[sin 0t
1 3
sin
3
0t
1 5
s
in
5
0t
1 n
sin
n
0t
]
周期信号用余弦形式的傅里叶级数表示
f ( t ) a 0
周期方波信号的分解
•任何一个 周期信号 都 可以分 解为 一系 列三角 函 数之和， 这是周期 信 号分解 的思 想。
周期信号的合成——吉伯斯现象
f1
(t)
4
s int0
f 2 (t)
4
(sin 0t
1 sin 3
3
0t )
2
0
2
t
2
0
2
t
(a)
f3 (t)
4
(sin 0t
1 sin 3 3
f
(t) sin(k0t)
)dt dt
0 0
T
O
T
t
偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零，直流分量和余弦项不为零。
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
（3）f(t)为半波镜像信号
f (t )
f
t
T
2
T
波形移动T/2后与原波形镜像对称
f (t )
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数中，仅含有奇次谐波，偶次谐波为零，即：
0t
1 sin 5 5
0t )
(b)
f1 0( t )
4
(
s
i
n
t0
1 sin 3 3
t0
1 sin 5 5
t0
1
sin19 19
t) 0
2
0
2 t
2
0
2
t
(c)
(d)
• 低频分量构成信号的整体；高频分量影响信号的细节
周期信号的合成——吉伯斯现象
合成波形随着项数的增加越 来越逼近原信号，但在不连 续点处出现起伏振荡现象， 且随着项数的增加，振荡幅 度不变而振荡的频率加剧。
周期信号用三角函数形式傅里叶级数表示
f ( t ) a 0
a k c o s k 0 t b k s i n k 0 t
k 1
1
其中：a 0 T
T
2 T
f (t )dt
2
ak T
T2
2 T
f ( t ) ( c o s k 0t ) d t
2
2T
b k T
2 T
f ( t ) ( s i n k 0t ) d t
一般而言，Akcos(k 0t + k)称为k次谐波。
周期信号用余弦形式的傅里叶级数表示
例2求周期锯齿波的三角形式傅里叶级数展开式
f
(t)
A T
t
解：
T 2
t
T 2
0， 其 他
f(t)
A
2
T T
2
0
T 2
T
t
A
2
ak
2 T
T
2 T 2
A T
t
cos(k0t)
d
t
0
k 0，1,2,3L
a k c o s k 0 t b k s i n k 0 t
k 1
将上式同频率的正弦和余弦项合并，可写为：
其中
f (t) A0 A1 cos(0t 1) A2 cos(20t 2 )
f ( t ) A0 Ak c o s ( k 0 t k )
k 1
A0 a0
A a 2 b2
0
奇函数：直流分量和余弦项为零，正弦项不为零。
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
（2） f(t)为偶函数
f ( t ) f ( t ) 对称于坐标纵轴
f (t ) E
1T
2T
a0
ak
b k
T
2 T 42 2T
T
f
(t)dt 2 f (t)dt
T T0
2 f (t ) cos(k0 t
T0
2 T 2
2
0
2
T
直流分量
余弦分量幅度
正弦分量幅度
周期信号用三角函数形式傅里叶级数表示
例1：将周期方波信号 f (t)展开成三角形式的傅里叶级数。
f (t) 1
0 T/2
T
t
1
解： a 0
1 T
T
f (t)dt 0
0
an
2 T
T
0 f (t)(cosn 0t)dt 0
b n
2 T
T
f
0
(t)
sin
这一现象最早由 Gibbs 发现，所以称为吉伯斯现象 。
周期信号的合成——吉伯斯现象
周期三角波取N=2和N=10合 成的结果； N＝10时合成的波形几乎和 原始信号完全相同； 由于周期锯齿波是一个连 续函数，在合成时不存在 吉伯斯现象。
思考与练习
1.判断如图所示各个周期信号的傅里叶级数所包含的分量。
a0 a2 a4 0
பைடு நூலகம்
b2 b4 0
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
（4）f(t)为半波重叠信号
f (t)
f t
f
t
T2
波形移动T/2后与原波形重合。
T T O 2
T
T
t
2
f(t)的傅氏级数中，仅含有偶次谐波，奇次谐波为零。
a1 a3 a5 0 b1 b3 b5 0
（1） f(t)为奇函数 f ( t ) f ( t ) 信号对称于坐标原点
1
a0 T
T
2 f (t )dt = 0
T 2
T
f (t)
1
0
T
t
a k
2
T
T
2 T
f (t ) cos(k 0t)d t = 0
2
1
bk
2 T
T 2
T 2
f (t)sin(k 0t) dt
4 T
T
2 f (t)sin(k0 t) dt 0
k
k
k
k
arctan
bk ak
周期信号用余弦形式的傅里叶级数表示
f ( t ) A0 Ak c o s ( k 0 t k )
k 1
上式表明：周期信号可分解为直流与一系列余弦分量之和。
其中： A0：直流分量；
A1cos(0t+1 )：称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同； A2cos(2 0t + 2 )：称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；