(浙江专版)201X年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A

1．3.1 函数的单调性与导数

预习课本P22～26，思考并完成下列问题

(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？

(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？

(3)怎样求函数的单调区间？

[新知初探]

1．函数的单调性与其导数正负的关系

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内是常数函数．

[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明

(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.

2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则函数f (x )在定义域上单调递增．( ) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√

2．函数f (x )＝(x －3)e x

的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)

答案：D

3．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数

C ．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减

D ．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增 答案：A

4. 函数y ＝x 3

＋x 在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的． 答案：上升

判断或讨论函数的单调性

[典例] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2

＋1－3a

，讨论函数f (x )的单调性．

[解] 由题设知a ≠0.

f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

x －2a ，

令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2

a

.

当a >0时，若x ∈(－∞，0)，则f ′(x )>0. ∴f (x )在区间(－∞，0)上为增函数．

若x ∈⎝

⎛⎭

⎪⎫0，2a ，则f ′(x )<0，

∴f (x )在区间⎝

⎛⎭

⎪⎫0，2a 上为减函数．

若x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a

，＋∞，则f ′(x )>0，

∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a

，＋∞上是增函数．

当a <0时，若x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－∞，2a ，则f ′(x )<0.

∴f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫－∞，2a 上是减函数．

若x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a

，0，则f ′(x )>0.

∴f (x )在区间⎝

⎛⎭

⎪⎫2a

，0上为增函数． 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )<0. ∴f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数．

利用导数证明或判断函数单调性的思路

[活学活用]

判断函数y ＝ax 3

－1(a ∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性． 解：∵y ′＝(ax 3

－1)′＝3ax 2

.

①当a ＞0时，y ′≥0，函数在R 上单调递增； ②当a ＜0时，y ′≤0，函数在R 上单调递减； ③当a ＝0时，y ′＝0，函数在R 上不具备单调性.

求函数的单调区间

[典例] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3

－3x ＋1；

(2)f (x )＝x ＋b x

(b ＞0)．

[解] (1)函数f (x )的定义域为R ，

f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＞0，则3x 2－3＞0.

即3(x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜－1.

∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令f ′(x )＜0，则3(x ＋1)(x －1)＜0，解得－1＜x ＜1. ∴函数f (x )的单调递减区间为(－1,1)． (2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

f ′(x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2， 令f ′(x )＞0，则1

x

2(x ＋b )(x －b )＞0，

∴x ＞b ，或x ＜－b .

∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)． 令f ′(x )＜0，则1

x

2(x ＋b )(x －b )＜0，

∴－b ＜x ＜b ，且x ≠0.

∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．

(1)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为： ①确定函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；

③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．

(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．

[活学活用]

1．设f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2

－4ac ＞0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＝0，c ＞0

D ．b 2

－3ac ＜0