三角函数图象的平移伸缩变换问题

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三角函数中的平移与伸缩变换

三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。

本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。

一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。

在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。

具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。

1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。

当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。

与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。

与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。

当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。

在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。

具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。

1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。

纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。

横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。

2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。

三角函数的平移及伸缩变换(含答案)

三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( )A.πB.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。

三角函数图象的平移和伸缩

3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解：有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。

三角函数的伸缩变换与平移变换

三角函数的伸缩变换与平移变换嘿，你们知道吗，三角函数其实还挺有意思的呢。

它们可以通过
伸缩变换和平移变换，变得更加灵活多变。

就好比我们平时的生活一样，有时候也需要做些变化才能更加精彩呢。

哎呀，伸缩变换就是把三角函数的图像按照一定的比例进行伸缩，就好像我们自己的身高一样。

有时候我们想变得更高更远一些，就需
要做一下伸缩变换嘛。

这样一来，三角函数的图像就可以变得更高或
者更矮，更宽或者更窄了。

咦，平移变换和伸缩变换不太一样哦。

它是把三角函数的图像沿
着坐标轴水平或者垂直方向进行移动，就好像我们在空间中移动一样。

有时候我们想要到达不同的地方，就需要做一下平移变换。

这样一来，三角函数的图像就可以在坐标轴上来回移动了。

唉呦，你们知道吗，这些伸缩变换和平移变换其实也可以帮助我们更好地理解三角函数的特点。

就好像我们在生活中需要不断调整自己的状态一样，三角函数也可以通过这些变换，变得更加灵活和多样化。

嗨，如果你们对三角函数感兴趣的话，不妨也尝试一下图像的变换，也许会有意想不到的收获呢。

就好比我们平时生活中，经历一些变化之后，也会找到更多新的乐趣和意义一样。

三角函数的伸缩平移变换

三角函数的伸缩平移变换三角函数指的是根据角的大小和正弦、余弦和正切函数求出关于角的关系的数学函数，是数学计算中经常使用的一组精确的指令。

广义上来说，三角函数实际上是把数学中的反复指令简化成一个公式，以方便日常的计算。

通过伸缩平移变换，我们可以改变三角函数的形状，以实现特殊的计算需求。

一般来说，要改变三角函数的形状，首先要应用向量和矩阵的知识。

通过应用矩阵和向量可以实现平移、旋转等改变三角函数形状的变换，以实现特殊的计算需求。

伸缩变换是改变物理位置或大小的特殊数学变换，可以实现改变三角函数的形状。

通过应用一个坐标变换矩阵对点的坐标进行缩放或伸缩变换可以实现将两个图形缩放成完全一样的形状。

这种方法可以实现伸缩变换，以实现特殊计算需求。

平移变换是改变物体位置的特殊数学变换，可以实现改变三角函数的形状。

通过应用向量和矩阵的知识，同时直接移动每个点的位置可以实现将两个图形平移到完全一样的位置。

这种方法可以实现向左、向右或者水平垂直平移，以实现特殊计算需求。

综上所述，三角函数的伸缩平移变换通过应用矩阵和向量可以随意改变三角函数的形状，以实现特殊的计算需求。

其中伸缩变换可以实现将两个图像缩放成完全一致的形状，而平移变换可以使两个图形完全重合。

一、左右平移四个字“左加右减”，这是大家熟知的，但要注意变化的位置是“x”而不是“φ”.把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向左平移m（m＞0）个单位，得到的是函数y=Asin［ω（x+m）+φ］+b的图象；把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向右平移m （m＞0）个单位，得到的是函数y=Asin［ω（x-m）+φ］+b的图象.所以函数y=sinx的图象向左平移φ个单位得到的是函数y=sin（x+φ）的图象，函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位，得到的是函数y=sin［2（x+φ）］，即y=sin（2x+φ）的图象.二、上下平移四个字“上加下减”，注意变化的位置是“b”.把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向上平移n（n＞0）个单位，得到的是函数y=Asin（ωx+φ）+（b+n）的图象；把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向下平移n（n＞0）个单位，得到的是函数y=Asin （ωx+φ）+（b-n）的图象.三、横坐标伸缩两个字“反比”，注意变化的位置是“ω”.把y=Asin（ωx+φ）+b图象的横坐标变为原来的p倍，得到的是函数y=Asin（ωx+φ）+b的图象.四、纵坐标伸缩两个字“正比”，注意变化的位置是“A”.把y=Asin（ωx+φ）+b图象的纵坐标变为原来的q倍，得到的是函数y=qAsin（ωx+φ）+b的图象.。

三角函数的基本变换平移伸缩和反射

三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。

它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。

在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。

本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。

在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。

对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。

当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。

在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。

对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。

当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

伸缩变换还可以改变函数的周期。

对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。

通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。

三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。

在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。

对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。

三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以经由过程变更A kωϕ，，，来互相转化．A ω，影响图象的外形,k ϕ，影响图象与x 轴交点的地位．由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由ϕ引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称高低平移变换,它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换办法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．xy sin =)3sin(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y 纵坐标不变横坐标向左平移π/3 个单位纵坐标不变横坐标缩短为本来的1/2 横坐标不变纵坐标伸长为本来的3倍例1将sin y x =的图象如何变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（办法一）①把sin y x=的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（办法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y 纵坐标不变横坐标缩短为本来的1/2 纵坐标不变横坐标向左平移π/6 个单位横坐标不变纵坐标伸长为本来的3倍移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解释：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到本来的12,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于庞杂的变换,可引进参数求解．例2将sin 2y x =的图象如何变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．剖析：应先经由过程引诱公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．依据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。

三角函数图像变换总结

三角函数图像变换总结三角函数是数学中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

三角函数的图像变换是三角函数研究中的一个重要内容，通过对三角函数图像的变换，可以更直观地理解三角函数的性质和特点。

本文将对三角函数图像的平移、垂直伸缩和水平伸缩等变换进行总结，希望能够帮助读者更好地理解三角函数图像的变换规律。

1. 平移变换。

平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移。

对于三角函数图像而言，平移包括水平平移和垂直平移两种情况。

水平平移是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行平移，而垂直平移则是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行平移。

对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴平移a个单位，则新的函数图像为y=sin(x-a)；将其图像沿着纵坐标轴平移b个单位，则新的函数图像为y=sin(x)+b。

同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像平移变换。

2. 垂直伸缩变换。

垂直伸缩是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行伸缩。

对于三角函数图像而言，垂直伸缩可以分为垂直方向的拉伸和压缩两种情况。

对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着纵坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=ksin(x)；将其图像沿着纵坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=(1/k)sin(x)。

同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像垂直伸缩变换。

3. 水平伸缩变换。

水平伸缩是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行伸缩。

对于三角函数图像而言，水平伸缩可以分为水平方向的拉伸和压缩两种情况。

对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=sin(kx)；将其图像沿着横坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=sin(x/k)。

同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像水平伸缩变换。

通过以上对三角函数图像变换的总结，我们可以发现三角函数图像的变换规律其实并不复杂。

三角函数图像的伸缩变换

三角函数图像的伸缩变换
三角函数图像的伸缩变换
一、sin sin y x y A x =→=
二、sin sin y x y x ω=→=
三、sin sin()y x y x φ=→=+
典型题:（1ω≠的平移）
1、要得到sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，需要将sin 2y x =怎么平移（）
A ．向左平移 3π
个单位 B ．向右平移3π
个单位
C ．向左平移6π个单位
D ．向右平移6π
个单位
2、函数1
cos()23y x π
=+的图像经过怎样的变换得到函数1
cos 2y x =的图像（
) A ．向左平移 3π
个单位 B ．向右平移3π
个单位
C ．向左平移23π个单位
D ．向右平移23π
个单位
3、要得到sin 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，需要将sin y x =怎么平移( ）
A ．向左平移 3π
个单位 B ．向右平移3π
个单位
C ．向左平移6π个单位
D ．向右平移6π
个单位
4、要得到tan 23y x π⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭，需要将tan 2y x =-怎么平移（ )
A ．向左平移 3π
个单位 B ．向右平移3π
个单位
C ．向左平移6π
个单位 D ．向右平移6π
个单位
5、要得到sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，需要将cos 2y x = .
总结：。

三角函数变换法则

三角函数变换法则引言三角函数是数学中常见的一类函数，它们在几何和物理等领域中具有重要的应用。

三角函数变换法则是指通过一些变换操作，可以将一个三角函数的图像转换为另一个三角函数的图像，从而更好地理解和分析问题。

本文将介绍三角函数变换法则的基本概念和应用。

一、平移变换平移是三角函数图像变换中最常见的操作之一。

平移可以将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。

对于正弦函数和余弦函数来说，平移可以用以下的式子表示：y = f(x ± a)其中f(x)表示原始函数的表达式，a表示平移的距离。

当a为正数时，函数图像沿着横轴正方向平移；当a为负数时，函数图像沿着横轴负方向平移。

二、伸缩变换伸缩是指通过改变函数图像在横轴或纵轴方向上的比例关系来改变函数图像的形状。

对于正弦函数和余弦函数来说，伸缩可以用以下的式子表示：y = a * f(bx)其中f(x)表示原始函数的表达式，a和b分别表示纵轴和横轴方向上的伸缩因子。

当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当a小于1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

当b大于1时，函数图像在横轴方向上被压缩；当b小于1时，函数图像在横轴方向上被拉伸。

三、反射变换反射是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转。

对于正弦函数和余弦函数来说，反射可以用以下的式子表示：y = -f(x) 或 y = f(-x)其中f(x)表示原始函数的表达式。

当对称轴为横轴时，函数图像在纵轴方向上进行翻转；当对称轴为纵轴时，函数图像在横轴方向上进行翻转。

四、综合变换在实际应用中，我们可以将平移、伸缩和反射等变换操作进行组合，从而得到更复杂的函数图像。

例如，我们可以将平移和伸缩结合起来，将函数图像沿着横轴平移并在纵轴方向上进行拉伸或压缩。

这样的综合变换可以用以下的式子表示：y = a * f(b(x ± c))其中f(x)表示原始函数的表达式，a、b和c分别表示纵轴方向上的伸缩因子、横轴方向上的伸缩因子和平移的距离。

三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩河北张军红函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。

专题2三角函数图像的平移与伸缩变换

专题2 三角函数图像的平移与伸缩变换例1、（2017山东卷）设函数),2sin()6sin()(πωπω-+-=x x x f 其中.30<<ω已知.0)6(=πf （1）求ω；（2）将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数)(x g y =的图像，求)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ上的最小值。

变式1、（2014山东卷）已知向量),,2(sin ),2cos ,(n x b x m a ==函数b a x f ⋅=)(且)(x f y =的图像过点)3,12(π和点).2,32(-π （1）求n m ,的值；（2）将)(x f y =的图像向左平移)0(πϕϕ<<个单位后得到的函数)(x g y =图像上各最高点到点)3,0(的最小距离为1，求)(x g y =的单调递增区间。

变式2、已知函数).32cos(21cos sin 3)(π--=x x x x f （1）求函数)(x f 的图像的对称轴方程；（2）将函数)(x f 的图像向右平移4π个单位长度，所得图像对应的函数为)(x g .当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x g 的值域.变式 3.函数)20,0(1)sin(2)(πϕωϕω<<>++=x x f 的图像过点,12,4⎪⎭⎫ ⎝⎛+π且相邻的最高点与最低点的距离为2642+π.（1）求函数)(x f 的解析式和单调递增区间；（2）若将函数)(x f 图像上所有的点向左平移83π个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的21，得到函数)(x g 的图像，求)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,12ππ上的值域。

变式4、函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 在它的某一个周期内的单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,125ππ.将)(x f y =的图像先向左平移4π个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的21（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数记为)(x g . （1）求)(x g 的解析式；（2）设ABC ∆的三边长为c b a ,,满足,2ac b =且边b 所对角为x ，若关于x 的方程k x g =)(有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围。

三角函数的平移伸缩变换练习题

三角函数的平移伸缩变换题型一：已知开始和结果，求平移量ϕω【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度（C ）向上平行移动3π个单位长度（D ）向下平行移动3π个单位长度【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（）（A ）．向右平移π6个单位（B ）．向右平移π3个单位（C ）．向左平移π3个单位（D ）．向左平移π6个单位【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【】要得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象（）（A ）向左平移3π个单位（B ）向右平移3π个单位（C ）向左平移6π个单位（D ）向右平移6π个单位【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则这个平移变换可以是（）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象，只需把函数4sin()()4y x x R π=+∈的图象上所有点（）A 、横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B 、横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C 、纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D 、纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．【2015山东】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位?? （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位??? （D ）向右平移3π个单位【】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位【】要得到cos(2)4y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（）A 向左平移8π个单位B 向右平移8π个单位C 向左平移4π个单位D 向右平移4π个单位【】已知函数()sin 4πf x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度题型二：已知开始，平移量，求结果【】. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-【】函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）（A ）sin(2),3y x x R π=-∈ （B ）sin(),26x y x R π=+∈（C ）sin(2),3y x x R π=+∈ （D ）2sin(2),3y x x R π=+∈【】函数3sin(2)3y x π=+的图象，可由y sinx =的图象经过下述哪种变换而得到 ( )（A ）向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（B ）向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（C ）向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍（D ）向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍【】.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 . 【】. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .【】把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的12，所得函数的解析式为（）。

三角函数的平移、伸缩变换(人教A版)

三角函数的平移、伸缩变换（人教A版）一、单选题(共14道，每道7分)1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )A. B.C. D.2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( )A. B.C. D.3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.7.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的，再向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将其图象向右平移2个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )A. B.C. D.9.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的倍，将所得图象向左平移2个单位，纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.10.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的B.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位C.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位D.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平移个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是( )A. B.C. D.13.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数的图象为( )A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称14.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度长。