2017年考研数学三真题及答案解析

2017全国研究生入学考试考研数学三试题
本试卷满分150，考试时间180分钟
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上.（1
）若函数0,(),0,
x f x b x >=⎪≤⎩
在0x =，处连续，则（ ）
（A ）1
2
ab =
（B ）12
ab =-
（C ）0
ab =（D ）2
ab =（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0)
（B ）(0,3)
（C ）(3,0)
（D ）(1,1)
（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)
f f >- （B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)
f f <-（4）设级数
211sin ln 1n k n
n ∞
=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1
（B ）2（C ）1-（D ）2
-（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）T
E αα-不可逆 （B ）T
E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆
（D ）2T
E αα-不可逆
（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似
（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似
（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似
（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是
（A ）A 与B 相互独立
（B ）A 与B 互不相容
（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容
（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则下列结论中
不正确的是 （A ）
21()n
i
i X
μ=-∑服从2χ分布
（B ）2
12()n X X -服从2χ分布
（C ）
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2
χ分布
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9
）
3(sin x dx π
π
-
=⎰_______。

（10）差分方程122t
t t y y +-=的通解为t y =_______。

（11）设生产某产品的平均成本()1Q
C Q e
-=+，其中Q 为产量，则边际成本为_______。

（12）设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则
(,)f x y =_______。

(13)设矩阵101112011⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
A =，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,AαAαAα的
秩为_______。

(14)设随机变量X 的概率分布为1
{2}2
P x =-=
，{1}P x a ==，{3}P x b ==，若0EX =，则DX =_______。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求0lim
t x dt +
→
(16)(本题满分10分)计算积分3
24
(1)D
y dxdy x y ++⎰⎰，其中D
是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域。

(17)(本题满分10分)求21
lim
ln(1)n
n k k k n n →∞=+∑。

(18)(本题满分10分)已知方程
11
ln(1)k x x
-=+在区间(0,1)内有实根，试确定常数k 的取值范围。

（19）（本题满分10分）设01a =，10a =，111
()(1,2,)1
n n n a na a n n +-=
+=+，()S x 为幂级数0
n
n n a x
∞
=∑的和函数，
（I ）证明幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径不小于1；
（II ）证明(1)()()0x S x xS x '--=（(1,1)x ∈-），并求()S x 的表达式。

（20）（本题满分10分）设三阶矩阵123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+， （I ）证明()2r A =；
（II ）若123βααα=++，求方程组Ax β=的通解。

（21）（本题满分10分）设二次型222
123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换
x Qy =下标准形为22
1122
y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

（22）（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为1
{0}{2}2
P X P X ====
，Y 的概率密度为2,01,
()0,
,y y f y <<⎧=⎨
⎩其他（I ）求{}P Y EY ≤；
（II ）求Z X Y =+的概率密度。

（23）(本题满分10分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的。

设n 次测量结果为12,,
n X X X 相互独立且服从正态分布2(,)N μσ，该
工程师记录的是n 次测量的绝对误差(1,2,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,n
Z Z Z 估计
σ
（I ）求Z 1的概率密度；
（II ）利用一阶矩求σ的矩估计量；
（IIII ）求σ的最大似然估计量；
2017全国研究生入学考试考研数学三解析
本试卷满分150，考试时间180分钟
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上.（1
）若函数0,(),0,
x f x b x >=⎪≤⎩
在0x =，处连续，则（ ）
（A ）1
2
ab =（B ）1
2
ab =-
（C ）0
ab =（D ）2
ab =【答案】（A ）
【解析】由()f x 在0x =连续可得0
lim ()(0)
x f x f →
=00112lim 2x x x
ax a →→==
，(0)f b =1
2
ab ⇒=（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0)（B ）(0,3)
（C ）(3,0)
（D ）(1,1)
【答案】
【解析】(3)(32)x
z y x y xy y x y '=---=--(3)(32)y z x x y xy x x y '=---=--2xx z y ''=-，322xy z x y ''=--，2yy z x
''=-验证可得（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个选项均满足00x y z z '=⎧⎨
'
=⎩其中（D ）选项对应
(1,1)2xx A z ''==-，(1,1)1xy B z ''==-，(1,1)2
yy C z ''==-满足2
30AC B -=>，所以该点为极值点.。

（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)
f f >- （B ）(1)(1)
f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)
f f <-
【答案】（C ）
【解析】令2()()F x f x =，则有()2()()F x f x f x ''=，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即
22[(1)][(1)]f f >-，即(1)(1)f f >-，故选C 。

（4）设级数
211sin ln 1n k n
n ∞
=⎡⎤
⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1
（B ）2
（C ）1
-（D ）2
-【答案】（C ） 【解析】由3322
11111111
sin
ln(1)(()62k k o k o n n n n n n n n --=-++++232111
(1)(26k k o n n n n
=++-+，
又
2
11
[sin ln(1n k n n ∞
=--∑收敛，故有10k +=，即1k =-，故选C 。

（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）T
E αα-不可逆 （B ）T
E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆
（D ）2T
E αα-不可逆
【解析】选项:A 由()0T
E ααααα-=-=可知，()0T
E X αα-=有非零解，故0T
E αα-=,
即T
E αα-不可逆。

选项:B 由()1T
r αα=知，T
αα的特征值为(1)0,0,
0,1n -个
，
故+T
E αα的特征值为(1)1,1,
1,2n -个
，因此+20T E αα=≠，可逆。

选项:C 同理可得+2T E αα的特
征值为(1)1,1,1,3n -个，故+230T E αα=≠，
可逆。

选项:D 同理可得2T E αα-的特征值为(1)1,1,1,1n --个
，故210T
E αα
-=-≠，可逆。

（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似
（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似
（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似
【答案】（B ）
【解析】由（）=0E A λ- 可知A 的特征值为2,2,1。

3(2)1r E A --=。

∴A 可相似对角化，且100020002A
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
由0E B λ-=可知B 的特征值为2,2,1。

3(2)2r E B --=。

∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化，
∴A C 。

且B 不相似于C 。

（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是
（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互不相容
（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容
【答案】（C ）
【解析】由A B ⋃与C ，独立得
(())()()
()(()()())()
()()()(()()())()P A B C P A B P C P AC BC P A P B P AB P C P AC P BC P ABC P A P B P AB P C +=++=+-+-=+-，
又由A 与C ，B 与C 独立得()()()()P ABC P A P B P C =。

由此验证（A ）（B ）（C ）（D ）四项，
又（C ）选项可得()()()()P ABC P A P B P C =。

（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则下列结论中
不正确的是 （A ）
21()n
i
i X
μ=-∑服从2χ分布
（B ）212()n X X -服从2
χ分布
（C ）
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2
χ分布
【答案】（B ） 【解析】（A ）(0,1)i X N μ
-故2
21
()()n
i i X n μχ=-∑；
（B ）1
1
(0,2)(0,1)
2
n n X X X X N N --⇒
2
2(1)
χ⇒即
2
21()(1)2
n x x χ-。

（C ）由2
22
2211
1(),(1)()(1)1n n
i i i i S X X n S X X n n χ===--=---∑∑。

（D ）1()
0,
X N n μ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
)(0,1)X N μ-，所以22()(1)n X μχ-。

二、填空题：
9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）
3(sin x dx π
π
-
=⎰_______。

【答案
】
3
2
π。

【解析】由对称区间上积分的性质可知，
3
3
(sin
2
x dx π
π
ππ
π-
-+==
⎰⎰。

（10）差分方程122t
t t y y +-=的通解为t y =_______。

【答案】122,2
t
t
t y C t C R =+
⋅∈。

【解析】由122t
t t y y +-=可得齐次特征方程为20r -=，得2r
=，故其齐次方程的通解为
2t y C =⋅，设*2t y at =，代入得12a =
，故通解为122,2
t
t t y C t C R =+⋅∈。

（11）设生产某产品的平均成本()1Q
C Q e -=+，其中Q 为产量，则边际成本为_______。

【答案】()1(1)Q
C Q e Q -'=+-。

【解析】
()
1Q C Q e Q
-=+得()(1)Q C Q Q e -=+，
则边际成本为：()1(1)Q C Q e Q -'=+-。

（12）设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则
(,)f x y =_______。

【答案】y xye 。

【解析】由题可知，y x
f ye '=，()1y y f x y e '=+，(),()y y f x y ye dx xye c y ==+⎰，()y y y y
y f xe xye c y xe xye ''=++=+，即()0c y '=，即()c y c =，()0,00f =，故0c =，即()
,y
f xy x y e =。

(13)设矩阵101112011⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
A =，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,AαAαAα的
秩为_______。

【答案】2 【解析】 由
于
12
,,ααα线性无关，可知矩阵
123(,,)
ααα可逆，故
123123(,,)((,,))()r r r αααααα==A A A A A ，不难计算的()2r =A ，故123(,,)2r ααα=A A A 。

(14)设随机变量X 的概率分布为1
{2}2
P x =-=
，{1}P x a ==，{3}P x b ==，若0EX =，则DX =_______。

【答案】
92
【解析】
由分布律的归一性可知
112a b ++=，又由于0EX =，可知1
21302
a b -⨯+++=，解得11,44a b ==，从而22221119(2)132442EX =-++⨯+⨯=,229(EX)2
DX EX =-=。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求0
lim t x dt +
→
【解析
】先对变上限积分
t dt ⎰
作变量代换u x t =-，得。